专题04 指数与对数+幂、指数函数和对数函数（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

高一数学上学期·期末复习大串讲 专题03 指数与对数 冪函数、指数函数和对数函数 苏教版(2019) 必修第一册 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 26大常考点：知识梳理、思维导图 35个题型典例剖析+技巧点拨 精选26道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 考点1.根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做____________，其中n＞1，且n∈N＋. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．a的n次方根用符号_______表示； ②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．正数a的正的n次方根用符号_______表示，负的n次方根用符号______表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成____________； a的n次方根 考点透视 考点2.根式的性质 没有 0 根指数 被开方数 a a |a| 考点透视 考点3.分数指数幂的意义 0 没有意义 提示 考点透视 考点4.有理数指数幂的运算性质 ar＋s ars arbr 考点透视 考点5.无理数指数幂 (1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 实数指数幂的运算性质 (1)aras＝_____(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝____ (a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝____ (a>0，b>0，r∈R)． [拓展]　 ＝ar－s(a>0，r，s∈R)． [提醒]　实数指数幂中一定要有a>0. ar＋s ars arbr 考点透视 考点6.指数函数的定义 一般地，___________________________________________________________ _________． [想一想]　指数函数中为什么要规定a>0，且a≠1? 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R 提示 考点透视 考点7.指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝_______________．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． N(1＋p)x(x∈N) 考点透视 考点8.指数函数图像与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 ____ 值域 _____________ 过定点 过定点________，即x＝___时，y＝___ 函数值 的变化 当x>0时，____； 当x<0时，________ 当x>0时，________； 当x<0时，____ 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 R (0，＋∞) (0，1) 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 考点透视 考点9.不同底指数函数图象的相对位置 [点拨]　(1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当a>1时，x→－∞，y→0；当0<a<1时，x→＋∞，y→0. (3)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 考点透视 考点9.不同底指数函数图象的相对位置 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由_____变_____ ； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由_____变_____ ． 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． [点拨]　指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此可求出指数函数底数的大小． 大 小 大 小 考点透视 考点10.指数型复合函数的单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 考点透视 考点10.指数型复合函数的单调性 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． 考点透视 考点11.对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果_________(a>0，且a≠1)，那么数__叫做以__为底__的对数，记作_________，其中__叫做对数的底数，___叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将___________的对数叫做常用对数，并把log10N记为______； ②自然对数：_________的对数称为自然对数，并把logeN记为_______(其中e＝2.71828…)． ax＝N x a N 以10为底 a N x＝logaN lg N 以e为底 ln N 考点透视 考点11.对数的概念 (3)对数式与指数式的关系 考点透视 考点12.对数的基本性质 (1)对数的性质 ①__________没有对数，即真数N>0； ②1的对数为___，即loga1＝___ (a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于___，即logaa＝___ (a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝___ (a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝___ (a>0，且a≠1)． 负数和0 0 0 1 1 N N 考点透视 考点13.对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果_________(a>0，且a≠1)，那么数__叫做以__为底__的对数，记作_________，其中__叫做对数的底数，___叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将___________的对数叫做常用对数，并把log10N记为______； ②自然对数：_________的对数称为自然对数，并把logeN记为_______(其中e＝2.71828…)． ax＝N x a N 以10为底 a N x＝logaN lg N 以e为底 ln N 考点透视 考点13.对数的概念 (3)对数式与指数式的关系 考点透视 考点14.对数的基本性质 (1)对数的性质 ①__________没有对数，即真数N>0； ②1的对数为___，即loga1＝___ (a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于___，即logaa＝___ (a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝___ (a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝___ (a>0，且a≠1)． 负数和0 0 0 1 1 N N 考点透视 考点15.对数运算性质 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 考点透视 考点16.换底公式 1 考点透视 考点17.对数函数 一般地，函数______________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________． [点拨]　两种特殊的对数函数 (1)常用对数函数：y＝lg x. (2)自然对数函数：y＝ln x. y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞) 考点透视 考点18.对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 _________________ 值域 ________ 单调性 ________ ___________ (0，＋∞) R 增函数 减函数 考点透视 考点18.对数函数的图象和性质 共点性 图象过定点_________，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0，1)时，y∈_____________； x∈[1，＋∞)时，y∈______________ x∈(0，1)时，y∈_____________； x∈[1，＋∞)时，y∈_____________ 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于__________对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越_____，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越___，图象越靠近x轴 (1，0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴 大 小 考点透视 考点19.指数函数与对数函数的关系 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax(a＞0，且a≠1) y＝logax(a＞0，且a≠1) 图象 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 考点透视 考点19.指数函数与对数函数的关系 单调性 当a＞1时，单调递增； 当0＜a＜1时，单调递减 当a＞1时，单调递增； 当0＜a＜1时，单调递减 函数值的变化情况 当a＞1时，若x＞0，则y＞1；若x＜0，则0＜y＜1.当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1；若x＜0，则y＞1 当a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0.当0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0 考点透视 考点20.三种函数的性质及增长速度比较 一次函数 指数函数 对数函数 解析式 y＝kx(k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) 单调性 在(0，＋∞)上单调递_____ 图象(随x的增大) 直线逐渐上升 逐渐与___轴平行 逐渐与___轴平行 增长速度(随x的增大) y的增长速度_____ y的增长速度越来越___ y的增长速度越来越___ 增长关系 存在一个x0，当x＞x0时，ax____kx____logax 增 y x 不变 快 慢 > > 考点透视 考点21.函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把____________________叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的_______就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的_____________． 使f(x)＝0的实数x 零点 横坐标 考点透视 考点22.方程的解与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)_________ ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴______________． 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条___________的曲线，且有_____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内_____________零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 有零点 有公共点 连续不断 f(a)f(b)＜0 至少有一个 f(c)＝0 考点透视 考点23.二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象__________且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间___________，使所得区间的两个端点逐步___________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [点拨]　二分法的依据是函数零点存在定理，仅适用于函数的变号零点(函数图象通过零点时函数值的符号改变)． 连续不断 f(a)·f(b)＜0 一分为二 逼近零点 考点透视 考点24.用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证________________． (2)求区间(a，b)的__________． (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则____就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈_________，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈__________，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． f(a)·f(b)＜0 中点c c (a，c)) (c，b)) 考点透视 考点25.五个幂函数的图象与性质 1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图. 考点透视 考点25.五个幂函数的图象与性质 2.五个幂函数的性质   y＝x y＝x2 y＝x3   y＝x－1 定义域 ___ ___ ___ ________ _______ 值域 ___ _________ ___ _________ _______ 奇偶性 ___ ___ ___ __________ ___ 单调性 增 在[0，＋∞) 上___， 在(－∞，0] 上___ ___ ___ 在(0，＋∞)上___， 在(－∞，0)上___ {x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减 减 R R R [0，＋∞) R R 考点透视 考点26.一般幂函数的图象特征 1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 . 2.当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 . 3.当 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数. 4.幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称. 5.在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列. (1,1) 原点 增 下凸 上凸 α<0 小 大 题型剖析 02 PART 题型剖析 题型1.根式的化简与求值 解 题型剖析 题型2.根式与分数指数幂的互化 解 题型剖析 题型3.有理数指数幂的运算 解 题型剖析 题型 4.指数函数的概念 【例题4】下列函数中，指数函数的个数是(　　) ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2×3x. A．1 B．2 C．3 D．0 解析　①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a>0，且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D. 答案 解析 题型剖析 题型5.指数函数的解析式及应用 答案 解析 题型剖析 题型6.指数型函数的实际应用 【例题6】一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　) A．na(1－b%)万元 B．a(1－nb%)万元 C．a[1－(b%)n]万元 D．a(1－b%)n万元 解析：1年后价值为a(1－b%)万元，2年后价值为a(1－b%)2万元，…，n年后价值为a(1－b%)n万元．故选D. 答案 解析 题型剖析 题型7.指数函数的图象 【例题7】(2024·广东梅州兴宁市叶塘中学高一上期中)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c 答案 题型剖析 解析 解法一：由图象可知③④的底数必大于1， ①②的底数必小于1. 作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交 点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从 而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．所以a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解析 题型7.指数函数的图象 题型剖析 题型8.与指数函数有关的定义域和值域问题 题型剖析 题型8.与指数函数有关的定义域和值域问题 解 题型剖析 题型8.与指数函数有关的定义域和值域问题 解 题型剖析 题型9.幂函数的图象及应用 得α＝－2，即f(x)＝x－2， f(x)的图象如图所示， 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0). 题型剖析 题型10. 无理数指数幂的运算 解 题型剖析 题型11.实际问题中的指数运算 答案 解析 【例题11】某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个分裂成4096个需经过_____小时． 解析：设细菌由1个分裂成4096个分裂了x次，则2x＝4096＝212，则x＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分钟)，即3小时． 3 题型剖析 题型1 题型三　指数函数图象的应用 　 (1)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(　　) A．(0，1) B．(3，3) C．(3，4) D．(4，3) 解析：解法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4)． 解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3，4)． 答案 解析 题型剖析 题型12.利用指数函数的单调性比较大小 【例题12】 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1和a0.3(a>0，且a≠1)． 题型剖析 题型12.利用指数函数的单调性比较大小 解 (1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. 解 题型剖析 题型13.利用指数函数的单调性解不等式 解　分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋2>－x＋5， ∴x2－2x－3>0， 根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>3. ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数， ∴x2－3x＋2<－x＋5， ∴x2－2x－3<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<3. 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>3；当a>1时，－1<x<3. 解 【例题13】已知ax2－3x＋2<a－x＋5(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 题型剖析 题型14.指数函数性质的综合应用 题型剖析 题型14.指数函数性质的综合应用 解 题型剖析 题型14.指数函数性质的综合应用 解 题型剖析 题型15.对数的概念 答案 解析 题型剖析 题型16.指数式与对数式的互化 题型剖析 题型16.指数式与对数式的互化 解 题型剖析 题型17.利用指数式与对数式的关系求值 题型剖析 题型17.利用指数式与对数式的关系求值 解 题型剖析 题型17.利用指数式与对数式的关系求值 解 题型剖析 题型18.对数的性质及对数恒等式 题型剖析 题型18.对数的性质及对数恒等式 解 题型剖析 题型19.对数运算性质的应用 题型剖析 题型19.对数运算性质的应用 解 题型剖析 题型20. 换底公式的应用 解 题型剖析 题型20. 换底公式的应用 解 题型剖析 题型21.对数运算的综合应用 解 【例题21】解关于x的方程(lg x)2＋lg x3－10＝0. 解：原方程整理得(lg x)2＋3lg x－10＝0， 即(lg x＋5)(lg x－2)＝0， 所以lg x＝－5或lg x＝2， 解得x＝0.00001或x＝100. 经检验知，x＝0.00001，x＝100都是原方程的根． 题型剖析 题型22.实际问题中的对数运算 解 题型剖析 题型23. 对数函数的概念 答案 解析 题型剖析 题型24. 对数型函数的定义域 解 题型剖析 题型24. 对数型函数的定义域 解 题型剖析 题型25.对数型函数在实际问题中的应用 题型剖析 题型25.对数型函数在实际问题中的应用 解 题型剖析 题型26. 对数函数的图象及应用 解析　由图象可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，故b＞a＞1＞d＞c. 答案 解析 【例题26】如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为_________________． b＞a＞1＞d＞c 题型剖析 题型27.比较对数值的大小 解 【例题27】比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.99，log32；(2)log30.2，log40.2； (3)log23，log0.32；(4)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1)． 题型剖析 题型28.对数型函数的单调性 【例题28】(2024·浙江丽水高一上期末)若函数f(x)＝log3(x2－ax＋3a)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案 解析 题型剖析 题型29.对数型函数的值域问题 解 【例题29】求函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域． 解：令u＝x2＋2x＋4， 则u＝(x＋1)2＋3≥3. 所以log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1， 即函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞)． 题型剖析 题型30.解对数不等式 解 解 题型30.解对数不等式 题型31. 对数函数性质的综合应用 题型31. 对数函数性质的综合应用 解 题型31. 对数函数性质的综合应用 解 题型1 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论： ①当x>1时，甲走在最前面； ②当x>1时，乙走在最前面； ③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲． 其中正确结论的序号为________． 题型一　函数模型增长差异的比较 答案 ③④⑤ 题型31. 对数函数性质的综合应用 解析　在同一直角坐标系中作出这四个函数的图象(图略)，易得①错误，因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)<f2(2)，所以当x＝2时，乙在甲的前面；②错误，因为f1(5)＝25－1＝31，f2(5)＝52＝25，所以f1(5)>f2(5)，所以当x＝5时，甲在乙的前面；③正确，当0<x<1时，f1(x)，f2(x)的图象在f3(x)图象的下方，f4(x)的图象在f3(x)图象的上方，即丁走在最前面；当x>1时，f4(x)的图象在最下方，即丁走在最后面；④正确，当0<x<1时，丙在甲、乙前面，在丁后面；当x>1时，丙在丁前面，在甲、乙后面；当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱；⑤正确，当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快，f1(x)的图象必定在f2(x)，f3(x)，f4(x)图象的上方，所以最终走在最前面的是甲． 解析 题型32.函数模型的选择 【例题32】某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 　 题型32.函数模型的选择 解　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)． 观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． 解 解析　解法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(0) f(1)<0，∴f(x)在(0，1)内有零点． 解法二：令ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以原函数的 零点所在的区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐 标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间为(0，1)． 【例题33】函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 答案 解析 题型33. 判断零点所在的区间 解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求其零点近似值的个数为3. 【例题34】已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是(　　) A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4 答案 解析 题型34.二分法的概念 【例题35】某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示培养时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A．640 B．1280 C．2560 D．5120 解析　因为原来的真菌数为10，由题意可得在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，所以20＝10eλ，即eλ＝2，所以y＝10×eλt＝10×2t.当t＝8时，真菌数为y＝10×28＝2560. 答案 解析 题型35.指数型函数模型的应用 押题预测 03 PART 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 4．(2024·重庆西南大学附属中学高一上期末)从盛满10 L纯硫酸的容器里倒出1 L，然后用水填满，这样继续下去，第三次填满后的硫酸浓度为(　　) A．70.4% B．67.2% C．81% D．72.9% 答案 解析 题型剖析 答案 解析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 解析：f(3)＝loga4＝2，则a＝2，f(－2)＝4－2a＋b＝0，解得b＝0. 答案 解析 答案 解析 解析： ∵loga(ex＋3)≥1＝logaa对任意实数x都成立，∴a＞1且a≤ex＋3.又ex＋3＞3，∴1＜a≤3. 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 12．已知a＝1.050.6，b＝0.60.8，c＝0.60.4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>c>b 解析： a＝1.050.6>1.050＝1，b＝0.60.8<0.60.4＝c.又c＝0.60.4<0.60＝1，所以a，b，c的大小关系是a>c>b.故选D. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 15．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(　　) A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝2x，y2＝x2， y3＝log2x的图象，如图所示．由图可得，在区间(2，4)上从上 往下依次是y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x的图象．所以当2<x<4时， x2＞2x＞log2x.故选B. 答案 解析 答案 解析 题型剖析 17．(2024·山东临沂一中高一上月考)已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　) A．d＝ac B．a＝dc C．c＝ad D．d＝a＋c 解析：由已知得5a＝b，10c＝b，所以5a＝10c.因为5d＝10，所以5dc＝10c，所以5dc＝5a，所以dc＝a.故选B. 答案 解析 题型剖析 18．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 答案 解析 题型剖析 19．(多选)下列各式运算正确的是(　　) A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18 解析：对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C， (－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，[－(a3)2·(－b2)3]3＝[－a6· (－b6)]3＝(a6b6)3＝a18b18，故D正确．故选ABD. 答案 解析 题型剖析 20．(多选)(2024·福建泉州一中高一上月考)若f(x)＝3x＋1，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)在[－1，1]上单调递增 B．y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象过点(0，1) D．f(x)的值域为[1，＋∞) 解析：因为f(x)＝3x＋1在R上单调递增，故A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，故B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，故C错误；由3x>0，可得f(x)>1，故D错误．故选AB. 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 22.若幂函数 在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝____. 2 解析　令m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3符合要求. 当m＝－1时，m2－2m－3＝0不符合要求. 故m＝2. 题型剖析 23．若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，则x＝____． 答案 解析 4 24．(2024·山东青岛二中高一上期末)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为(　　) A．(0，0.5)，f(0.25) B．(0，1)，f(0.25) C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.125) 解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)<0，f(0.5)>0知x0∈(0，0.5)．再计算(0，0.5)的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置．故选A. 答案 解析 题型剖析 答案 解析 64 解 eq \r(n,a) －eq \r(n,a) ±eq \r(n,a) (a>0) eq \r(n,a) eq \r(n,0)＝0 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0)) ③负数______偶次方根； ④0的任何次方根都是____，记作________． (3)根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做______，a叫做__________． 当n>1，且n∈N＋时， (1)根据n次方根的意义，可得(eq \r(n,a))n＝____． (2)当n为奇数时，eq \r(n,an)＝____； 当n为偶数时，eq \r(n,an)＝_____＝__________________． eq \r(n,am) eq \f(1,\r(n,am)) 提示：当a＝0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则aeq \s\up6(\f(m,n))，a－eq \f(m,n)无意义．因此规定a>0就省去了不必要的讨论，便于学习和应用． (1)aeq \s\up6(\f(m,n))＝________ (a>0，m，n∈N＋，n>1)， a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝_______ (a>0，m，n∈N＋，n>1)． (2)0的正分数指数幂等于_____，0的负分数指数幂____________． [想一想]　分数指数幂中，为什么规定a>0? (1)aras＝_______ (a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝_____ (a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝_____(a>0，b>0，r∈Q)． [拓展]　(1)eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up12(r)＝eq \f(ar,br)(a>0，b>0，r∈Q)． eq \f(ar,as) 提示：(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝_______________________； (2)logaeq \f(M,N)＝_________________________； (3)logaMn＝_____________(n∈R)． [拓展]　推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(a>0，且a≠1，Nk＞0，k∈N＋)． logab＝eq \f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1) eq \f(n,m)logab (1)对数的换底公式：______________________________________________． (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝____ (a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝eq \f(1,logba)(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝__________ (a>0，b>0，且a≠1，m≠0)． [点拨]　(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)在具体运算中，习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝eq \f(lg b,lg a)或logab＝eq \f(ln b,ln a). 【例题1】化简下列各式： (1)eq \r(5,（－3）5)＋(eq \r(5,－2))5；(2)eq \r(4,（－3）4)＋(eq \r(6,2))6； (3)eq \r(4,（a－3）4). 解　(1)原式＝(－3)＋(－2)＝－5. (2)原式＝|－3|＋2＝3＋2＝5. (3)原式＝|a－3|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－3，a≥3，,3－a，a<3.)) 【例题2】用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式子中字母均是正数)： (1)eq \r(3,a)·eq \r(4,a)；(2)eq \r(a\r(a\r(a)))；(3)eq \r(3,a2)·eq \r(a3)；(4)(eq \r(3,a))2·eq \r(ab3). 解　(1)原式＝aeq \s\up6(\f(1,3))·aeq \s\up6(\f(1,4))＝aeq \s\up6(\f(7,12)). (2)原式＝aeq \s\up6(\f(1,2))·aeq \s\up6(\f(1,4))·aeq \s\up6(\f(1,8))＝aeq \s\up6(\f(7,8)). (3)原式＝aeq \s\up6(\f(2,3))·aeq \s\up6(\f(3,2))＝aeq \s\up6(\f(13,6)). (4)原式＝(aeq \s\up6(\f(1,3)))2·aeq \s\up6(\f(1,2))·beq \s\up6(\f(3,2))＝aeq \s\up6(\f(7,6))beq \s\up6(\f(3,2)). 【例题3】计算下列各式(式子中字母都是正数)： (1)0.027eq \s\up6(\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,125))) eq \s\up12(－\f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9))) eq \s\up12(0.5)； (2)(－2aeq \s\up6(\f(1,3))beq \s\up12(－\f(3,4)))·(－aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up12(－\f(1,3)))6÷(－2aeq \s\up6(\f(5,3))b－eq \s\up7(\f(11,8)))2. 解：　(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(27,1000)))) eq \s\up12(2)＋eq \r(3,\f(125,27))－eq \r(\f(25,9))＝eq \f(9,100)＋eq \f(5,3)－eq \f(5,3)＝eq \f(9,100). 解析　∵点(a，27)在函数y＝(eq \r(3))x的图象上，∴27＝(eq \r(3))a，即33＝3eq \s\up6(\f(a,2))，∴eq \f(a,2)＝3，解得a＝6，∴eq \r(a)＝eq \r(6). 【例题5】若点(a，27)在函数y＝(eq \r(3))x的图象上，则eq \r(a)的值为(　　) A.eq \r(6) B．1 C．2eq \r(2) D．0 【例题8】求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2eq \s\up6(\f(1,x－4))； (2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|)； (3)y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)). 解　(1)x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴函数y＝2eq \s\up6(\f(1,x－4))的定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵eq \f(1,x－4)≠0，∴2eq \s\up6(\f(1,x－4))≠1， ∴函数y＝2eq \s\up6(\f(1,x－4))的值域为{y|y>0，且y≠1}． (2)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|)的定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(|x|)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(0)＝1， ∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－|x|)的值域为[1，＋∞)． 所以f(2)＝，即2α＝， 【例题9】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间. 解　因为f(x)＝xα的图象过点P， 【例题10】计算下列各式： (1) ；(2) . 解：(1)原式＝＝π3. (2)原式＝＝mπ. 【例题14】已知函数f(x)＝a－eq \f(1,2x＋1)(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． 解　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－eq \f(1,2x1＋1)－a＋eq \f(1,2x2＋1)＝eq \f(2x1－2x2,（2x1＋1）（2x2＋1）). ∵x1<x2， ∴2x1－2x2<0，(2x1＋1)(2x2＋1)>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)∵f(x)在x∈R上为奇函数， ∴f(0)＝0，即a－eq \f(1,20＋1)＝0，解得a＝eq \f(1,2). (3)由(2)知，f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2x＋1)， 由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)． ∵f(1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为eq \f(1,6). 解析　要使对数log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x<eq \f(1,2)，所以x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).故选C. 【例题15】使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) 【例题16】将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)2－7＝eq \f(1,128)；(2)logeq \s\do9(\f(1,3))81＝－4； (3)lg 1000＝3；(4)ln x＝2. 解　(1)由2－7＝eq \f(1,128)， 可得log2eq \f(1,128)＝－7. (2)由logeq \s\do9(\f(1,3))81＝－4，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(－4)＝81. (3)由lg 1000＝3，可得103＝1000. (4)由ln x＝2，可得e2＝x. 【例题17】(1)求下列各式中x的值： ①log27x＝－eq \f(2,3)；②logx16＝－4； ③lg eq \f(1,1000)＝x；④－ln e－3＝x. 解　①因为log27x＝－eq \f(2,3)， 所以x＝27－eq \s\up7(\f(2,3))＝(33) －eq \s\up7(\f(2,3))＝3－2＝eq \f(1,9). ②因为logx16＝－4，所以x－4＝16， 即x－4＝24. 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) eq \s\up12(4)＝24，所以eq \f(1,x)＝2，即x＝eq \f(1,2). ③因为lg eq \f(1,1000)＝x， 所以10x＝10－3， 所以x＝－3. ④因为－ln e－3＝x，所以－x＝ln e－3， 即e－x＝e－3，所以x＝3. (2)求下列各式的值： ①log525；②log2eq \f(1,16)；③lg 100. 解　①设x＝log525，则5x＝25＝52， 所以x＝2，即log525＝2. ②设x＝log2eq \f(1,16)，则2x＝eq \f(1,16)＝2－4， 所以x＝－4，即log2eq \f(1,16)＝－4. ③设x＝lg 100， 则10x＝100＝102，所以x＝2， 即lg 100＝2. 【例题18】求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log3[log4(log5x)]＝0； (4) ＝9. 解　(1)因为log2(log5x)＝0， 所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5. (2)因为log3(lg x)＝1， 所以lg x＝31＝3， 所以x＝103＝1000. (3)由log3[log4(log5x)]＝0， 可得log4(log5x)＝1， 故log5x＝4，所以x＝54＝625. (4)由＝9，可得eq \r(x)＝9，解得x＝81. 【例题19】计算下列各式的值： (1)eq \f(lg 3＋\f(2,5)lg 9＋\f(3,5)lg \r(27)－lg \r(3),lg 81－lg 27)； (2)(lg 5)2＋lg 2×lg 50＋. 解：(1)解法一(正用公式)： 原式＝eq \f(lg 3＋\f(4,5)lg 3＋\f(9,10)lg 3－\f(1,2)lg 3,4lg 3－3lg 3) ＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg 3,lg 3)＝eq \f(11,5). 解法二(逆用公式)： 原式＝＝eq \f(lg 3\s\up6(\f(11,5)),lg 3)＝eq \f(11,5). (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21×2log2eq \r(5) ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2eq \r(5)＝1＋2eq \r(5).　 【例题20】计算：(1)(log43＋log83)eq \f(lg 2,lg 3)； (2)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)． 解：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8))) eq \f(lg 2,lg 3)＝eq \f(lg 3,2lg 2)×eq \f(lg 2,lg 3)＋eq \f(lg 3,3lg 2)×eq \f(lg 2,lg 3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6). (2)解法一：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25×3log52＝13log25×eq \f(log22,log25)＝13.　 解法二：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 125,lg 2)＋\f(lg 25,lg 4)＋\f(lg 5,lg 8))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(lg 4,lg 25)＋\f(lg 8,lg 125)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg 5,lg 2)＋\f(2lg 5,2lg 2)＋\f(lg 5,3lg 2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(2lg 2,2lg 5)＋\f(3lg 2,3lg 5)))＝eq \f(13lg 5,3lg 2)×eq \f(3lg 2,lg 5)＝13. 解法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))×log25×3log52＝eq \f(13,3)×3＝13. 【例题22】一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余质量是原来的eq \f(1,3)(结果精确到1年，lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)? 解：假设经过x年，该物质的剩余质量是原来的eq \f(1,3)，根据题意得0.75x＝eq \f(1,3)， 所以x＝log0.75eq \f(1,3)＝eq \f(－lg 3,lg 3－lg 4)＝eq \f(－lg 3,lg 3－2lg 2)≈4(年)． 故估计经过4年，该物质的剩余质量是原来的eq \f(1,3).　 解析　由对数函数的定义知，②⑤是对数函数．故选D.　 【例题23】给出下列函数：①y＝log5x＋1；②y＝log(eq \r(3)－1)x；③y＝log3eq \f(x,3)；④y＝logxeq \r(3)(x＞0，且x≠1)；⑤y＝logeq \s\do9(\f(2,π))x.其中是对数函数的是(　　) A．③④⑤ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②⑤ 【例题24】求下列函数的定义域： (1)y＝eq \f(ln （4－x）,x－3)；(2)y＝eq \f(1,log3（3x－2）)； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)． 解：(1)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x>0，,x－3≠0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<4，,x≠3，)) ∴x<4，且x≠3， ∴y＝eq \f(ln （4－x）,x－3)的定义域为{x|x<4，且x≠3}．　 (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3（3x－2）≠0，,3x－2>0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2≠1，,3x>2，)) 解得x>eq \f(2,3)，且x≠1， ∴y＝eq \f(1,log3（3x－2）)的定义域为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,3)，且x≠1)))). (3)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1，)) ∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2，且x≠1)))). 【例题25】某化工厂生产一种溶液，若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,4)，设过滤y次后杂质含量为x. (1)求y关于x的函数解析式； (2)要使产品达到市场要求，杂质含量不超过0.1%，则至少应过滤多少次？(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)? 解：(1)由题意得， x＝0.02eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4))) eq \s\up12(y)，即50x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(y). 则y＝logeq \s\do9(\f(3,4))(50x)． (2)令x＝0.001， 则y＝logeq \s\do9(\f(3,4))0.05＝logeq \s\do9(\f(3,4)) eq \f(1,20)＝－eq \f(lg 20,lg \f(3,4))＝eq \f(1＋lg 2,2lg 2－lg 3)≈eq \f(1＋0.3010,2×0.3010－0.4771)≈10.42. 所以要使产品达到市场要求，至少应过滤11次．　 解：(1)(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.99＜2， 所以f(1.99)＜f(2)，即log31.99＜log32. (2)因为0＞log0.23＞log0.24， 所以eq \f(1,log0.23)＜eq \f(1,log0.24)，即log30.2＜log40.2.　 解析：令u＝g(x)＝x2－ax＋3a，该函数图象的对称轴为直线x＝eq \f(a,2)，∵函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，y＝log3u在(0，＋∞)上单调递增，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，且g(x)>0，∴eq \f(a,2)≤1且g(1)>0，即a≤2且1－a＋3a>0，解得－eq \f(1,2)<a≤2，即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)).　 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)) 【例题30】已知2loga(x－4)>loga(x－2)，求x的取值范围． 解　原不等式可变为loga(x－4)2>loga(x－2)． 当a>1时，y＝logax为定义域内的增函数， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－4）2>x－2，,x－4>0，,x－2>0，)) 解得x>6； 当0<a<1时，y＝logax为定义域内的减函数， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－4）2<x－2，,x－4>0，,x－2>0，))解得4<x<6. 综上所述，当a>1时，x的取值范围为(6，＋∞)； 当0<a<1时，x的取值范围为(4，6)． 【例题31】已知f(x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)． (1)指出函数f(x)的定义域，并求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值； (2)观察(1)中的函数值，请你猜想函数f(x)的一个性质，并证明你的猜想； (3)解不等式：f(1＋x)＋ln 3>0. 解：(1)要使函数有意义， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,1＋x>0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<1，,x>－1))⇒－1<x<1， 所以函数f(x)的定义域是(－1，1)． feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝ln eq \f(4,3)－lneq \f(2,3)＝ln 2； feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝ln eq \f(3,2)－lneq \f(1,2)＝ln 3； feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝ln eq \f(1,2)－lneq \f(3,2)＝－ln 3； feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝lneq \f(2,3)－lneq \f(4,3)＝－ln 2. (2)由(1)得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，猜想函数f(x)是奇函数．证明如下： 在(－1，1)上任取自变量x，f(－x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． (3)f(1＋x)＋ln 3＝ln (－x)－ln (2＋x)＋ln 3＝ln (－3x)－ln (2＋x)>0， 所以ln (－3x)>ln (2＋x)，原不等式等价于 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<x＋1<1，,－3x>2＋x))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<x<0，,x<－\f(1,2)))⇒－2<x<－eq \f(1,2)， 所以原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))). 1．已知a>0，则a－eq \s\up7(\f(2,3))＝(　　) A.eq \r(a3) B.eq \f(1,\r(3,a2)) C.eq \f(1,\r(a3)) D.eq \r(－3,a2) 解析：a－eq \s\up7(\f(2,3))＝eq \f(1,a\s\up6(\f(2,3)))＝eq \f(1,\r(3,a2)). 2．(2024·湖北襄阳六中高一上质检)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(\r(x－1))的值域是(　　) A．(－∞，0) B．(0，1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 解析：令t＝eq \r(x－1)，则t≥0，∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(t)在[0，＋∞)上单调递减，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(t)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(0)＝1，又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(t)>0，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(\r(x－1))的值域为(0，1]．故选B. 3．(2024·广西河池高一上期末)已知指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b))) eq \s\up6(\f(1,a))＝(　　) A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2) C．2 D．4 解析：由指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＝1，,（a－1）b－1＝\f(1,2)，))解得a＝b＝2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b))) eq \s\up6(\f(1,a))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2).故选A. 解析：每次填满后，硫酸浓度都是原来的eq \f(9,10)，所以第三次填满后的硫酸浓度为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(3)×100%＝72.9%.故选D. 5．(2024·福建厦门一中高一上质检)若3α＝5，3β＝6，则eq \f(125,36)＝(　　) A．33α－2β B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(α－β＋1) C．3α3－β2 D．325α－6β 解析：eq \f(125,36)＝eq \f(53,62)＝eq \f(（3α）3,（3β）2)＝eq \f(33α,32β)＝33α－2β.故选A. 6．已知ab>0，则下列四个等式中一定成立的是(　　) A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg eq \f(a,b)＝lg a－lg b C.eq \f(1,2)lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up12(2)＝lg eq \f(a,b) D．lg (ab)＝eq \f(1,log（ab）10) 解析：当a<0，b<0时，对于A，lg a和lg b无意义；对于B，lg a和lg b无意义；对于C，由ab>0可得eq \f(a,b)>0，故eq \f(1,2)lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up12(2)＝lg eq \f(a,b)一定成立；对于D，当ab＝1时，eq \f(1,log（ab）10)无意义．故选C.　 7．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　) A．y＝0.9576eq \s\up6(\f(x,100)) B．y＝0.9576100x C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9576,100))) eq \s\up12(x) D．y＝1－0.0424eq \s\up6(\f(x,100)) 解析：设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1×(1－t %)100，则1－t %＝0.9576eq \s\up6(\f(1,100))，故x年后的剩留量为y＝0.9576eq \s\up6(\f(x,100)). 8．(2024·山西大学附属中学高一上期末)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga（x＋1），x>0，,x2＋ax＋b，x≤0，))若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 9．(2024·广东广州六中高一上月考)设lg 3＝a，lg 5＝b，则log212的值为(　　) A.eq \f(2b－a＋2,1－b) B.eq \f(2b－a＋2,b－1) C.eq \f(a－2b＋2,1－b) D.eq \f(a－2b＋2,1＋b) 解析：根据换底公式和对数运算性质得log212＝eq \f(lg 12,lg 2)＝eq \f(lg 3＋2lg 2,lg 2)＝eq \f(lg 3＋2lg \f(10,5),lg \f(10,5))＝eq \f(lg 3＋2－2lg 5,1－lg 5)＝eq \f(a－2b＋2,1－b).故选C.　 10．若对任意的实数x，都有loga(ex＋3)≥1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B．(1，3] C．(1，3) D．[3，＋∞) 11．(2024·江苏徐州一中高一上月考)下列函数中，满足f(x＋1)＝eq \f(1,2)f(x)的是(　　) A．f(x)＝4x B．f(x)＝4－x C．f(x)＝2x D．f(x)＝2－x 解析：对于A，f(x＋1)＝4x＋1＝4·4x＝4f(x)，A不符合题意；对于B，f(x＋1)＝4－(x＋1)＝eq \f(1,4)·4－x＝eq \f(1,4)f(x)，B不符合题意；对于C，f(x＋1)＝2x＋1＝2·2x＝2f(x)，C不符合题意；对于D，f(x＋1)＝2－(x＋1)＝eq \f(1,2)·2－x＝eq \f(1,2)f(x)，D符合题意．故选D. 13.函数f(x)＝eq \f(1,x)＋ln eq \f(1,x)的零点所在的区间是(　　) A．(1，2) B．(2，e) C．(e，3) D．(3，4) 解析：由题意知f(1)＝1＋0＝1，f(2)＝eq \f(1,2)＋ln eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)－ln 2＜0，所以f(1)f(2)＜0，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)．　 14．已知函数f(x)＝logeq \s\do9(\f(1,2))x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),2)))，则f(x)的值域是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)) C．[0，2] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 解析：因为函数f(x)＝logeq \s\do9(\f(1,2))x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),2)))是减函数，所以函数f(x)的最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝logeq \s\do9(\f(1,2))eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2)，最大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝logeq \s\do9(\f(1,2))eq \f(1,4)＝2.所以函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).　 16．(2024·海南海口第一中学高一上质检)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))) 解析：因为函数f(x)＝ex＋4x－3在R上连续且单调递增，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝e\s\up6(\f(1,4))＋4×\f(1,4)－3＝e\s\up6(\f(1,4))－2<0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝e\s\up6(\f(1,2))＋4×\f(1,2)－3＝e\s\up6(\f(1,2))－1>0，))所以函数f(x)的零点在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))内．故选C.　 解析：函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(a2,4)在区间(0，1)上单调递减，因此eq \f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. 21．(多选)下列各式正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若10＝lg x，则x＝10 D．若log25x＝eq \f(1,2)，则x＝±5 解析：对于A，因为lg (lg 10)＝lg 1＝0，所以A正确；对于B，因为lg (ln e)＝lg 1＝0，所以B正确；对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，所以C错误；对于D，因为log25x＝eq \f(1,2)，所以x＝25eq \s\up6(\f(1,2))＝5，所以D错误．故选AB. 解析：因为log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－7x＋13＝1，,x－2>0，,x－2≠1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－7x＋12＝0，,x>2，,x≠3，))解得x＝4. 25．(2024·全国甲卷)已知a>1，eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝－eq \f(5,2)，则a＝________． 解析：由eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝eq \f(3,log2a)－eq \f(1,2)log2a＝－eq \f(5,2)，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64.　 26．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了 1个单位的该药物，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量保持在eq \f(3,5)个单位以上，才有疗效；而低于eq \f(1,5)个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少个小时？(精确到0.1，参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602) 解：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了1个单位的该药物，经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x＝(1－20%)y×1＝0.8y，即y与x的关系式为y＝log0.8x，0<x≤1. (2)当该药物在病人血液中的量保持在eq \f(3,5)个单位以上，才有疗效；而低于eq \f(1,5)个单位，病人就有危险，令x＝eq \f(1,5)， 则y＝log0.8eq \f(1,5)＝eq \f(lg 5,lg 5－lg 4)≈eq \f(0.699,0.699－0.602)≈7.2， 所以y≤7.2. 所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2个小时．　 $$