专题03 函数概念与性质（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

高一数学上学期·期末复习大串讲 专题03 函数概念与性质 苏教版(2019) 必修第一册 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 13大常考点：知识梳理、思维导图 32个题型典例剖析+技巧点拨 精选19道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 考点1.函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是_______________，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________________和它对应，那么就称____________为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ____________________ 定义域 x叫做_________，x的______________叫做函数的定义域 函数值 与_________相对应的y值 值域 函数值的集合___________叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集 非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y (1)函数的概念 f：A→B y＝f(x)，x∈A 自变量 取值范围A x的值 {f(x)|x∈A} 考点透视 考点1.函数的概念 (2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． [点拨]　(1)集合A，B是非空实数集，值域C⊆B. (2)函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (3)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定就是解析式． (4)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 考点透视 考点2.区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做__________，表示为__________； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做__________，表示为__________； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做______________，分别表示为______________． 闭区间 [a，b] 开区间 (a，b) 半开半闭区间 [a，b)，(a，b] 考点透视 考点2.区间的概念 这里的实数a与b都叫做相应区间的_________． 实数集R可以用区间表示为______________，“∞”读作“_________”，“－∞”读作“___________”，“＋∞”读作“___________”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为___________，_____________，_____________，_____________． 端点 (－∞，＋∞) 无穷大 [a，＋∞) 负无穷大 正无穷大 (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 考点透视 考点2.区间的概念 区间 数轴表示 _________ _________ _________ _________ (2)区间的几何表示 在用数轴表示区间时，用实心点表示________________的端点，用空心点表示__________________的端点． 包括在区间内 不包括在区间内 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 考点透视 考点2.区间的概念 区间 数轴表示 _____________ _____________ _____________ _____________ [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (3)含“∞”的区间的几何表示 (－∞，b) 考点透视 考点 3.同一个函数的判定 常见函数的值域 如果两个函数的___________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为______，值域是______． (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是______，当a>0时，值域为 __________________，当a<0时，值域为____________________． 定义域 对应关系 R R R 考点透视 考点4.函数的表示法 (1)解析法：________________________________________． (2)列表法：________________________________________． (3)图象法：________________________________________． [想一想]　任何一个函数都可以用解析法或列表法表示吗？ 用解析式表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 提示 提示：不是． 考点透视 考点5.描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接 起来． [提醒]　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． 考点透视 考点 6.分段函数的概念 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为_____________． [点拨]　分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 分段函数 考点透视 考点7.函数奇偶性与单调性的关系 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________ ，即在对称区间上单调性______． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上_________ ，即在对称区间上单调性_______． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为_____． 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为_____ ． 以上a，b符号相同． 单调递增 相同 单调递减 相反 －M N 考点透视 考点8.函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 ____________________________________________叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D： 如果____________，当x1<x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间I上单调_______． 如果____________，当x1<x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间I上单调_______． 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质 ∀x1，x2∈I f(x1)<f(x2) 递增 ∀x1，x2∈I f(x1)>f(x2) 递减 考点透视 考点9.增函数、减函数 当函数f(x)在它的_________上____________时，我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的_________上____________时，我们就称它是减函数． [想一想]　若函数f(x)在区间I⊆D上单调递增，则此函数一定是增函数吗？ 定义域 单调递增 定义域 提示 提示：不一定． 单调递减 考点透视 考点10.单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上___________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)_________ ，________叫做y＝f(x)的单调区间． [想一想]　若函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，则函数f(x)的单调递减区间一定是[1，3]吗？ 提示 提示：不一定． 单调递增 单调递减 单调性 区间I 考点透视 考点11.函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f(x)____M f(x)_____M ∃x0∈D，使得___________ 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的________ f(x)图象上最低点的_______ ≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标 考点透视 考点12.偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果_________________________________，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果__________________________________，那么函数f(x)就叫做奇函数． [点拨]　奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数为奇函数(或偶函数)． ∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x) ∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x) 考点透视 考点13.偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以________________________；反之，____________________________________________________． (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以_______________________________；反之，__________________________________________________________________． [想一想]　是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？ y轴为对称轴的轴对称图形 如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数 坐标原点为对称中心的中心对称图形 提示 提示：存在．既奇又偶的函数有且只有一类：f(x)＝0，x∈D，且D是关于坐标原点对称的集合． 如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数 题型剖析 02 PART 题型剖析 题型1.函数关系的判断 　 答 解析 【例题1】图中①②③④四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数的有________． 解析：由图形判断对应关系是否为函数的方法，可知当－1≤a≤1时，只有图形②③与直线x＝a仅有一个交点，故可以表示y是x的函数的有②③. ②③ 题型剖析 题型2.求函数的定义域 题型剖析 题型2.求函数的定义域 解 题型剖析 题型2.求函数的定义域 解 题型剖析 题型3.求函数值 题型剖析 题型3.求函数值 解 题型剖析 题型3.求函数值 解 题型剖析 题型4.创建函数关系的问题情境 解 题型剖析 题型4.创建函数关系的问题情境 解 题型剖析 题型5.区间的应用 【例题5】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1){x|x<2}； (2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}； (3){x|2≤x≤8，且x≠5}； (4){x|3<x<5}． 解 　(1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图． 解 题型剖析 题型5.区间的应用 (2){x|－1<x<0，或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图． (3){x|2≤x≤8，且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图． (4){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图． 解 题型剖析 题型6.求函数的值域 解 题型剖析 题型6.求函数的值域 解 题型剖析 题型7.同一个函数的判定 答案 题型剖析 题型7.同一个函数的判定 解析 题型剖析 题型8.求抽象函数的定义域 答案 解析 题型剖析 题型9.函数表示法 题型剖析 题型9.函数表示法 解 题型剖析 题型10.函数图象的作法及应用 解　(1)因为函数的定义域为Z，所以其图象为离散的点．其图象如图①所示．由图可知y＝－x＋1，x∈Z的值域为Z. (2)因为y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x<3)，定义域不是R，所以图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分． 解 题型剖析 题型10.函数图象的作法及应用 解 题型剖析 题型11.函数解析式的求法 【例题11】已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，求f(x)的解析式． 解 题型剖析 题型12.分段函数求值问题 题型剖析 题型12.分段函数求值问题 解 题型剖析 题型13.根据图象求分段函数的解析式 【例题13】根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数f(x)的解析式． 题型剖析 题型13.根据图象求分段函数的解析式 解 题型剖析 题型14.分段函数图象的画法及应用 题型剖析 题型14.分段函数图象的画法及应用 解 题型剖析 题型15.分段函数的实际应用 【例题15】为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水的水费为1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)． 题型剖析 题型15.分段函数的实际应用 解 题型剖析 题型16.证明或判断函数的单调性 解　(1)由x2－1≠0得x≠±1， 故函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}． 解 题型剖析 题型16.证明或判断函数的单调性 解 题型剖析 题型17.求函数的单调区间 解　函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的定义域为[－4，＋∞)，值域 为(－∞，3]，单调递增区间为(－2，0)，单调递减区间为 (－4，－2)和(0，＋∞)． 解 题型剖析 题型18.函数单调性的应用 解析　因为二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为直线x＝－2，且开口向上，所以函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递增，所以f(－2)<f(0)<f(1)，又f(0)＝c，所以f(1)>c>f(－2)． 【例题18】已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　) A．f(1)<c<f(－2) B．c<f(－2)<f(1) C．c>f(1)>f(－2) D．f(1)>c>f(－2) 答案 解析 题型剖析 题型19.求对称区间上的解析式 解 题型剖析 题型20.构造方程组求解析式 解 题型剖析 题型21.利用奇偶性与单调性比较大小 解　因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－5)＝f(5)， 因为f(x)在[2，6]上单调递减， 所以f(5)<f(3)，所以f(－5)<f(3)． 【例21】 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递减，比较f(－5)与f(3)的大小． 解 题型剖析 题型22.用奇偶性与单调性解不等式 【例22】设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解 题型剖析 题型23.函数奇偶性的判断 解　 (1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数． 解 题型剖析 题型23.函数奇偶性的判断 解 题型剖析 题型24.奇、偶函数的图象及应用 【例24】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 题型剖析 题型24.奇、偶函数的图象及应用 解　 (1)由题意作出函数图象如图所示． (2)据图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． 解 题型剖析 题型25. 利用函数的奇偶性求参数的值 【例25】若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝______，b＝______． 答案 解析 0 题型剖析 题型26.利用奇偶性求函数值 解　解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)， 又f(x)＝g(x)－8， ∴f(－2)＝g(－2)－8＝10， ∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18， ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 【例26】已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，求f(2)． 解 题型剖析 题型26.利用奇偶性求函数值 解 题型剖析 题型27.利用图象求函数最值 解　作出函数f(x)的图象(如图)． 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取得最大值，为f(1) ＝ f(－1)＝1；当x＝0时，f(x)取得最小值，为f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 解 题型剖析 题型28.利用单调性求函数最值 解 题型剖析 题型28.利用单调性求函数最值 解 题型剖析 题型29.定轴定区间 【例29】 已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值： (1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]． 解　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7. (1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7恒成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值． 解 题型剖析 题型29.定轴定区间 (2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，在[0，3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，为5；在x＝2处取得最小值，为－7. (3)由图可知，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，所以在x＝－1处取得最大值，为f(－1)＝3×(－1－2)2－7＝20；在x＝1处取得最小值，为f(1)＝3×(1－2)2－7＝－4. 解 题型剖析 题型30.动轴定区间 【例30】已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值． 解　f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1，1]． 当a≥1时，函数f(x)的图象如图1中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，最小值为f(1)＝3－2a； 解 题型剖析 题型30.动轴定区间 当－1<a<1时，函数f(x)的图象如图2中实线所示，函数f(x)在区间[－1，a)上单调递减，在区间[a，1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2； 当a≤－1时，函数f(x)的图象如图3中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上单调递增，最小值为f(－1)＝3＋2a. 解 题型剖析 题型31.定轴动区间 【例31】已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，求g(t)的函数表达式． 解　 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R. 当t＋1<1，即t<0时，函数f(x)的图象如图1中实线所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1； 解 题型剖析 题型31.定轴动区间 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数f(x)的图象如图2中实线所示，最小值g(t)＝f(1)＝1； 当t>1时，函数f(x)的图象如图3中实线所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2. 解 题型剖析 题型32.函数最值的实际应用 【例32】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元(年利润＝年销售总收入－年总投资)． (1)求y(单位：万元)与x(单位：件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 解 题型32.函数最值的实际应用 押题预测 03 PART 题型剖析 1．下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　) 解析：因为垂直于x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点，故选A. 答案 解析 题型剖析 2．(2024·重庆南开中学高一上期中)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|－1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是(　　) 解析：对于A，图象对应的定义域不包含x＝0，不成立；对于B，图象存在一个x有两个y与之对应，不表示函数图象，不成立；对于C，图象对应的定义域为A＝{x|－1≤x≤1}，且每个x都有唯一的y与之对应，且值域为B＝{y|－1≤y≤1}，满足题意；对于D，当x＝0时，有两个y与之对应，不表示函数图象，不成立．故选C. 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 6．(2024·吉林长春十一高中高一上期中)如果函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　　) A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，所以函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}． 答案 解析 题型剖析 7．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝(　　) A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 解析：因为f(x)＝2x＋3，所以f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，故g(x)＝2x－1. 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 解析：当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知，f(x)的值域为[0，2]∪{3}． 答案 解析 题型剖析 解析：设任意的x1，x2∈R，且x1<x2，因为函数f(x)在R上是增函数，所以必有f(x1)<f(x2)，所以－f(x1)>－f(x2)，A一定成立；其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立；当a≤0时，D不成立．故选A. 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 13．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为(　　) A．每个95元 B．每个100元 C．每个105元 D．每个110元 解析：设售价为x元/个，利润为y元，则y＝[400－20(x－90)](x－80)＝－20(x－95)2＋4500(80≤x≤110)，所以当x＝95时，y有最大值． 答案 解析 14．若函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围为(　　) A．[1，2] B．[2，3] C．[1，3] D．[2，4] 解析：f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由函数f(x)的最小值为1，知m≥2.又函数f(x)的最大值为5，f(0)＝5，f(4)＝5，所以2≤m≤4.故选D. 答案 解析 15．(2024·湖北黄冈高一上期末)若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是 定义在[2－2a，a]上的偶函数，则a－b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 解析 16．设f(x)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝(　　) A．x3＋1 B．x3－1 C．－x3＋1 D．－x3－1 解析：当x<0时，－x>0，得f(－x)＝－x3＋1，∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x3－1. 答案 解析 17．(2024·重庆八中高一上阶段考试)若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上(　　) A．单调递增，且有最大值－5 B．单调递增，且有最小值－5 C．单调递减，且有最大值－5 D．单调递减，且有最小值－5 解析：因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5. 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 【例题2】求下列函数的定义域： (1)f(x)＝eq \f(3,x－2)； (2)f(x)＝(x－1)0＋eq \r(\f(2,x＋1))； (3)f(x)＝eq \r(3－x)·eq \r(x－1)； (4)f(x)＝eq \f(（x＋1）2,x＋1)－eq \r(1－x). 解　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝eq \f(3,x－2)有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}． (2)函数有意义，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}． (3)函数有意义，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1≥0，))解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}． (4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，所以这个函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． 【例题3】已知函数f(x)＝eq \f(3－x2,1＋x2)，g(x)＝eq \f(1,x). (1)求f(2)，f(3)，f(g(2))，f(g(3))； (2)求f(g(x))，并证明f(x)＋f(g(x))是常数． 解　(1)f(2)＝eq \f(3－22,1＋22)＝－eq \f(1,5). f(3)＝eq \f(3－32,1＋32)＝－eq \f(3,5). ∵g(2)＝eq \f(1,2)， ∴f(g(2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(11,5). ∵g(3)＝eq \f(1,3)， ∴f(g(3))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq \f(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝eq \f(13,5). (2)f(g(x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \f(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(2))＝eq \f(3x2－1,x2＋1)， f(x)＋f(g(x))＝eq \f(3－x2,1＋x2)＋eq \f(3x2－1,x2＋1)＝eq \f(2（x2＋1）,x2＋1)＝2， 即f(x)＋f(g(x))是常数． 【例题4】试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝eq \f(300,x)来描述． 解　把y＝eq \f(300,x)看作反比例函数，那么它的定义域为{x|x≠0}，值域是B＝{y|y≠0}，对应关系把定义域中任意一个数x，对应到B中唯一确定的数eq \f(300,x). 如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|x>0}，那么可以构建如下情境： 某工厂现有原材料300 t，平均每天用去x t，这批原材料能用y天，则y＝eq \f(300,x)，其中x的取值范围是A＝{x|0<x≤300}，y的取值范围是B＝{y|y≥1}，对应关系f把每天的使用量x，对应到唯一确定的使用天数y＝eq \f(300,x). 【例题6】求下列函数的值域： (1)y＝2eq \r(x)＋3； (2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y＝eq \f(2x＋1,x－3)； (4)y＝2x－eq \r(x－1). 解　(1)因为eq \r(x)≥0，所以2eq \r(x)≥0. 所以2eq \r(x)＋3≥3. 故y＝2eq \r(x)＋3的值域为[3，＋∞)． (2)当x＝－2，－1，0，1，2，3时，y＝11，6，3，2，3，6. 故函数的值域为{2，3，6，11}． (3)y＝eq \f(2x＋1,x－3)＝eq \f(2（x－3）＋7,x－3)＝2＋eq \f(7,x－3). 因为eq \f(7,x－3)≠0，所以y≠2. 故函数的值域为{y∈R|y≠2}． (4)设t＝eq \r(x－1)， 则t≥0，且x＝t2＋1. 所以y＝2(t2＋1)－t ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4))) eq \s\up12(2)＋eq \f(15,8). 由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)). 【例题7】下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1 C．f(x)＝1，g(x)＝eq \f(x,x) D．f(x)＝x，g(x)＝|x| 解析　对于A，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝(eq \r(x))2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；对于B，函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数；对于C，由于f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝eq \f(x,x)的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；对于D，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数． 解析　因为函数f(x)＝eq \r(x－1)的定义域为[1，＋∞)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)≥1，,\f(4,x)≥1，))解得2≤x≤4.故选B. (x－1)【例题8】设函数f(x)＝，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)))的定义域为(　　) A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4)) B．[2，4] C．[1，＋∞) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2)) (b,x)【例题9】已知完成某项任务的时间t与参加此项任务的人数x之间适合关系式t(x)＝ax＋.当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20. (1)写出函数t(x)的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t(x)的图象． 解　(1)由题设条件知， 当x＝2时，t＝100； 当x＝14时，t＝28， 列出方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(b,2)＝100，,14a＋\f(b,14)＝28，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝196，)) 所以t(x)＝x＋eq \f(196,x). 又因为x≤20，x为正整数， 所以函数的定义域是{x|0<x≤20，x∈N＋}． 所以函数t(x)的解析式为t(x)＝x＋eq \f(196,x)(0<x≤20，x∈N＋)． 【例题10】　作出下列函数的图象，并指出其值域： (1)y＝－x＋1，x∈Z； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)； (3)y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)． 图象如图②所示．由图可知y＝2x2－4x－3(0≤x<3)的值域为[－5，3)． (3)用描点法可以作出函数的图象如图③所示．由图可知y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 解　(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－6，))所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6.　 \lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x>1，,－3x＋3，x≤1.))【例题12】已知函数f(x)＝ (1)求f(－2)，f(1)，f(f(2))的值； (2)若f(m)＝10，求m的值； (3)求不等式f(n)≤5的解集． 解　(1)因为函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x>1，,－3x＋3，x≤1，)) 所以f(－2)＝9，f(1)＝0，f(f(2))＝f(0)＝3. (2)当m>1时，m2－2m＝10， 解得m＝1＋eq \r(11)或m＝1－eq \r(11)(舍去)； 当m≤1时，－3m＋3＝10，解得m＝－eq \f(7,3). 所以m的值为－eq \f(7,3)或1＋eq \r(11). (3)当n>1时，n2－2n≤5， 解得1－eq \r(6)≤n≤1＋eq \r(6)，即1<n≤1＋eq \r(6)； 当n≤1时，－3n＋3≤5，解得－eq \f(2,3)≤n≤1. 所以不等式f(n)≤5的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1＋\r(6))). 解　当－3≤x<－1时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－eq \f(3,2)x－eq \f(7,2)； 当－1≤x<1时，同理，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1，1)代入，可得f(x)＝eq \f(3,2)x－eq \f(1,2)； 当1≤x<2时，f(x)＝1. 所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)x－\f(7,2)，－3≤x<－1，,\f(3,2)x－\f(1,2)，－1≤x<1，,1，1≤x<2.)) (|x|－x,2)【例题14】已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq \f(x－x,2)＝1； 当－2<x<0时，f(x)＝1＋eq \f(－x－x,2)＝1－x. 所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.)) (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)． 解　由题意知，当0<x≤5时，y＝1.2x； 当5<x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6； 当6<x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4. 所以应交的水费 y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.2x，x∈（0，5]，,2.4x－6，x∈（5，6]，,4.8x－20.4，x∈（6，7].)) (1,x2－1)【例题16】已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． (2)函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 理由如下： ∀x1，x2∈(1，＋∞)， 且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝2,1)eq \f(1,x－1) －2,2)eq \f(1,x－1) ＝2,2)eq \f(（x－1）－（xeq \o\al(2,1)－1）,（xeq \o\al(2,1)－1）（xeq \o\al(2,2)－1）) ＝2,1)eq \f(（x2－x1）（x2＋x1）,（x－1）（xeq \o\al(2,2)－1）) . 因为xeq \o\al(2,1)－1>0，xeq \o\al(2,2)－1>0，x2＋x1>0，x2－x1>0， 所以f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减． \lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3，－4≤x<0，,－x＋3，x≥0，))【例题17】设函数f(x)＝画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间． 【例题19】若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式． 解　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)＝x(x＋2)． 故f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x＋2），x>0，,0，x＝0，,x（2－x），x<0.)) 【例题20】 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)， ∴f(x)－g(x)＝eq \f(1,－x－1)，② (①＋②)÷2，得f(x)＝eq \f(1,x2－1)； (①－②)÷2，得g(x)＝eq \f(x,x2－1). 解　因为f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)． 又f(x)在区间[0，2]上单调递减， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|1－m|>|m|，,－2≤m≤2，,－2≤1－m≤2，)) 解得－1≤m<eq \f(1,2)， 即实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). 【例题23】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)； (3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)； (4)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0.)) (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)． 综上可知，∀x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数． eq \f(1,3) 解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3)，所以f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋1＋b.根据偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，即eq \f(1,3)(－x)2＋b(－x)＋1＋b＝eq \f(1,3)x2＋bx＋1＋b，所以2bx＝0.由x的任意性知b＝0. 解法二：由已知条件，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＝（－2）5＋a（－2）3＋b（－2）－8，　①,f（2）＝25＋a·23＋b·2－8， ②)) ①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16. 又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26. 【例27】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))求f(x)的最大值、最小值． 解　(1)函数f(x)在[3，5]上为增函数． 证明如下： 任取x1，x2∈[3，5]，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1－1,x1＋2)－eq \f(x2－1,x2＋2)＝eq \f(（x1－1）（x2＋2）－（x2－1）（x1＋2）,（x1＋2）（x2＋2）) ＝eq \f(x1x2＋2x1－x2－2－x1x2－2x2＋x1＋2,（x1＋2）（x2＋2）)＝eq \f(3（x1－x2）,（x1＋2）（x2＋2）)， 【例28】已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3，5]． (1)判断函数f(x)的单调性并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值． 因为x1，x2∈[3，5]，且x1<x2， 所以x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝eq \f(2,5)；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝eq \f(4,7). 综上所述，f(x)min＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a，a≥1，,2－a2，－1<a<1，,3＋2a，a≤－1.)) 综上可得，g(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2＋1，t<0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t>1.)) 解　(1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x. 故y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，x∈N＋，,160－x，x>20，x∈N＋.)) (2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，y取得最大值，为156.而当x>20时，160－x<140，故当x＝16时年利润最大，最大年利润为156万元． 即当该工厂年产量为16件时，所得年利润最大，为156万元． 3．(2024·山东济南一中高一上月考)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,x＋1)))＝x2－1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝(　　) A．－eq \f(8,9) B．－eq \f(3,4) C．8 D．－8 解析：令eq \f(2x,x＋1)＝eq \f(1,2)，得x＝eq \f(1,3)，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(8,9).故选A. 4．(2024·山东邹城市第二中学高一上月考)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是(　　) A．(0，4] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4)) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) 解析：当x＝0或x＝3时，y＝－4；当x＝eq \f(3,2)时，y＝－eq \f(25,4).所以m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).故选C. 5．(2024·湖北襄阳五中高一上月考)已知函数f(x)的定义域是[－1，3]，则函数g(x)＝eq \f(f（2x－1）,\r(1－x))的定义域是(　　) A．[－3，1) B．(0，1) C．[0，1) D．[－3，1] 解析：由函数f(x)的定义域是[－1，3]，结合函数g(x)＝eq \f(f（2x－1）,\r(1－x))的特征可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤2x－1≤3，,1－x≥0，,\r(1－x)≠0，))解得0≤x<1，故函数g(x)＝eq \f(f（2x－1）,\r(1－x))的定义域为[0，1)．故选C. 8．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y(单位：cm)表示成x的函数为(　　) A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0) C．y＝eq \f(50,x)(x>0) D．y＝eq \f(100,x)(x>0) 解析：由eq \f(x＋3x,2)·y＝100，得2xy＝100，所以y＝eq \f(50,x)(x>0)． 解析：函数f(x)＝|x|sgnx＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,0，x＝0，,x，x<0，))即f(x)＝x，故函数f(x)＝|x|sgnx的图象为y＝x所在的直线．故选C. 9．(2024·辽宁沈阳第120中学高一上期中)设x∈R，定义符号函数sgnx＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则函数f(x)＝|x|sgnx的图象大致是(　　) 10．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的值域是(　　) A．R B．[0，2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0，3] 11．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝eq \f(1,f（x）)在R上是减函数 C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 12．(2024·福建南安侨光中学高一上月考)函数f(x)＝eq \r(3＋2x－x2)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[1，3] D．[－1，1] 解析：设y＝eq \r(t)，t＝－x2＋2x＋3≥0，得－1≤x≤3.y＝eq \r(t)在[0，＋∞)上单调递增，t＝－x2＋2x＋3在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，根据复合函数单调性判断法则“同增异减”可知，f(x)的单调递减区间为[1，3]．故选C. 解析因为函数f(x)是定义在[2－2a，a]上的偶函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2a＋a＝0，,2b－a＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))所以a－b＝2－1＝1.故选A. 18．(多选)(2024·广东汕头一中高一上质检)已知狄利克雷函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x是有理数，,0，x是无理数，))则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的值域为[0，1] B．f(x)的定义域为R C．f(x＋1)＝f(x) D．f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) 解析：对于A，f(x)的值域为{0，1}，故A错误；对于B，f(x)的定义域为R，故B正确；对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f(x＋1)＝f(x)成立，故C正确；对于D，因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，所以f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故D错误．故选BC. 解析：设这两种理财产品的投入资金分别为x，5－x，总利润为f(x)，故f(x)＝eq \f(x,10)＋eq \f(\r(5－x),5)(0≤x≤5)，令eq \r(5－x)＝t(0≤t≤eq \r(5))，则x＝5－t2，故总利润为y＝eq \f(5－t2,10)＋eq \f(t,5)(0≤t≤eq \r(5))，即y＝eq \f(5－t2＋2t,10)＝eq \f(－（t－1）2＋6,10)，所以当t＝1时，ymax＝eq \f(3,5). 19．(2024·浙江台州路桥中学高一上期中)现有两种理财产品，已知投资这两种理财产品所获得的年利润分别是S和T万元，它们与投入资金x(万元)的关系如下：S＝eq \f(x,10)，T＝eq \f(\r(x),5)，某人有5万元准备投入这两种理财，则他可以获得的最大利润是_____万元． eq \f(3,5) $$