专题01 集合与常用逻辑用语（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

高一数学上学期·期末复习大串讲 专题01集合 常用逻辑用语 苏教版(2019) 必修第一册 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 19大常考点：知识梳理、思维导图 27个题型典例剖析+技巧点拨 精选18道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 考点1.元素与集合的相关概念 研究对象 元素 集 一样 确定性 考点透视 考点2.元素与集合的关系 属于 ∈ 不属于 ∉ [提醒]　符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，且二者必居其一，注意开口方向． 考点透视 考点3.常用的数集及其记法 N N*或N＋ Z Q R 考点透视 考点4.集合的表示方法 一 一列举 花括号“{ }” 考点透视 考点4.集合的表示方法 共同特征P(x) {x∈A|P(x)} 考点透视 考点4.Venn图 Venn 考点透视 考点5.子集与真子集 任意一个 都是 ⊆ ⊇ A包含于B B包含A ⊆ x∉A   A真包含于B B真包含A 考点透视 考点6.集合相等 任何一个 都是 任何一个 都是 考点透视 考点7.空集 不含任何元素 子集 子集  考点透视 考点8. 集合间关系的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 考点透视 考点9.并集 属于集合A或属于集合B A∪B {x|x∈A,或x∈B} 考点透视 考点10.交集 属于集合A且属于集合B A∩B {x|x∈A,且x∈B} 考点透视 考点11.并集与交集的运算性质 A A A ∅ 考点透视 考点12.全集 全集 U 考点透视 考点 13.补集 集合A 全集U ∁UA ∁UA 集合A 考点透视 考点14.命题的概念及结构 充分条件与必要条件 命题 真命题 假命题 p q 真命题 p⇒q 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件 考点透视 考点15.充要条件 p⇒q q⇒p p⇔q 充要条件 充要条件 充要条件 p⇔q 充要条件 题型剖析 题型16.全称量词与全称量词命题 所有的 任意一个 ∀ 全称量词 ∀x∈M， p(x) 题型剖析 题型17.存在量词与存在量词命题 存在一个 至少有一个 ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 考点透视 考点18.全称量词命题的否定 ∃x∈M，綈p(x) 存在量词 考点透视 考点19.存在量词命题的否定 考点透视 ∀x∈M，綈p(x) 全称量词 题型剖析 02 PART 题型剖析 题型1. 对集合的理解 【例题1】中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的有哪些？并说明你的理由． (1)2023～2024赛季，CBA的所有队伍； (2)CBA中比较著名的球员； (3)CBA中得分前五位的球员； (4)CBA中比较高的球员． 题型剖析 题型1. 对集合的理解 解　能构成一个集合的有(1)(3)． (1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合． (2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合． 解 题型剖析 题型2. 元素与集合的关系 【例题2】已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 解析：由题意得，当a＝2时，2∈A，6－2＝4∈A；当a＝4时，4∈A，6－4＝2∈A；当a＝6时，6∈A，6－6＝0∉A，所以a＝2或4.故选B. 答案 解析 题型剖析 题型3. 集合中元素的特性及应用 【例题3】已知集合A中含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值． 解 题型剖析 题型4. 用列举法表示集合 【例题4】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于－1且小于5的整数组成的集合A； (2)方程x2－16＝0的实数根组成的集合B； (3)小于10的素数组成的集合C； (4)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点组成的集合D. 题型剖析 题型4. 用列举法表示集合 解 题型剖析 题型5.用描述法表示集合 【例题5】用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 题型剖析 题型5.用描述法表示集合 解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但本题要求为正偶数，故限定n∈N＋， 所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}． (2)设被3除余2的数为x， 则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 解 题型剖析 题型6.集合表示方法的简单应用 【例题6】(2024·江苏镇江一中高一上月考)若－3∈{a－3，2a－1，a2－1}，则a的值为________． 解析：当a－3＝－3，即a＝0时，2a－1＝－1＝a2－1，不符合题意；当2a－1＝－3，即a＝－1时，a－3＝－4，a2－1＝0，符合题意；又a2－1≥－1，即a2－1≠－3，所以a的值为－1. －1 答案 解析 题型剖析 题型6.集合间关系的判断 【例题6】已知集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}，那么集合M＝{3，4，5}与Q的关系是(　　) A．MQ B.M，Q互不包含 C．QM D.Q＝M 解析：∵集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}＝{2，3，4，5}，又集合M＝{3，4，5}，∴MQ.故选A. 答案 解析 题型剖析 题型7.求子集、真子集(的个数) 【例题7】已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的子集的个数为 ________． 解析：方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M有2个元素，所以集合M有22＝4个子集． 4 答案 解析 题型剖析 题型8.由集合间的关系求参数 解析　因为A⊆B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B. 答案 解析 题型剖析 题型9.并集的概念及简单应用 解析　∵集合A＝{x|x2＝3x}＝{0，3}，B＝{－1，1，2，3}，∴A∪B＝{－1，0，1，2，3}．故选C. 【例题9】(2024·山东菏泽高一上期中)已知集合A＝{x|x2＝3x}，B＝{－1，1，2，3}，则A∪B＝(　　) A．{3} B.{－1，0，1，2} C．{－1，0，1，2，3} D.{－1，1，2，3} 答案 解析 题型剖析 题型10.交集的概念及简单应用 解析　在数轴上表示出集合A和B，如图所示．由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}． 【例题10】设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} 答案 解析 题型剖析 题型11.已知集合的交集、并集求参数 解　∵M∩N＝{3}，∴3∈M， ∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0， 解得a＝－1或4. 当a＝－1时，集合N中的元素不满足互异性，舍去； 当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合题意． ∴a＝4. 【例题11】(2024·河北保定定州高一上期中)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，求实数a的值． 解 题型剖析 题型12.补集的简单运算 解析　因为U＝{x∈N＋|x<9}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5，6}，所以∁UA＝{1，2，7，8}．故选B. 【例题12】(2024·河北遵化高一上期中)设全集U＝{x∈N＋|x<9}，集合A＝{3，4，5，6}，则∁UA＝(　　) A．{1，2，3，8} B.{1，2，7，8} C．{0，1，2，7} D.{0，1，2，7，8} 答案 解析 题型剖析 题型13.补集的简单运算 【例题13】设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则∁UA＝__________． {0，1，3} 解析：由题意，知U＝{0，1，2，3，4}，又A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3}． 答案 解析 题型剖析 题型14.交集、并集、补集的混合运算 【例题14】设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. 解　把集合A，B在数轴上表示如下： 由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}． 因为∁RA＝{x|x<3，或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}． 解 题型剖析 题型15.与补集相关的参数的求解 　 解　由已知，得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}． 【例题15】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解 题型剖析 题型16.充分条件的判断 【例题16】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若x>1，则x2>1； (3)若A⊆B，则A∩B＝A； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC. 题型剖析 题型16.充分条件的判断 解 题型剖析 题型17.必要条件的判断 解 题型剖析 题型18.利用充分条件、必要条件求参数的取值范围 解 题型剖析 题型18.利用充分条件、必要条件求参数的取值范围 解 题型剖析 题型19. 充要条件的判断 解 【例题19】在下列各题中，试判断p是q的什么条件？ (1)p：M＝{2，4}，q：{2}M⊆{2，4，5}； (2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (3)a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0. 解 题型剖析 题型20.充要条件的证明 【例题20】设a，b，c为△ABC的三边，求证：关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明：①充分性： 因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2， 所以x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0. 即(x＋a)2－c2＝0，(x＋a＋c)(x＋a－c)＝0， 所以x1＝－a－c，x2＝－a＋c. 同理，x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c)2－a2＝0，(x＋a＋c)(x＋c－a)＝0， 所以x3＝－a－c，x4＝a－c. 所以两个方程有公共根－a－c. 证明 题型剖析 题型20.充要条件的证明 ②必要性： 设两个方程有公共根α， 则α2＋2aα＋b2＝0，α2＋2cα－b2＝0， 两式相加，得α2＋(a＋c)α＝0， 所以α＝0或α＝－a－c. 若α＝0，代入任一方程，得b＝0，这与已知a，b，c为△ABC的三边相矛盾， 所以α＝－a－c，代入题中的任何一个方程，均可得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°. 综上所述，关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明 题型剖析 题型21. 探求充要条件 　 【例题21】求关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件． 解 题型剖析 题型22.全称量词命题与存在量词命题的识别 【例题22】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)凸多边形的外角和等于360°； (3)有的一次函数的图象经过原点； (4)有一个实数x，x不能取倒数． 考点透视 考点23.全称量词命题与存在量词,命题的真假判断 考点透视 考点23.全称量词命题与存在量词,命题的真假判断 解 题型剖析 题型24.全称量词命题与存在量词,命题的真假判断) 【例题24】判断下列命题的真假： (1)任何实数都有平方根； (2)存在有理数x，使x2－2＝0； (3)∀x∈R，x2－x＋1>0； (4)∃x∈Z，3x＋4＝5. 题型剖析 题型24.全称量词命题与存在量词,命题的真假判断) 解 题型剖析 题型25. 含有量词的命题的应用 【例题25】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解 题型剖析 题型25. 含有量词的命题的应用 解 题型剖析 题型26. 全称量词命题的否定 解 题型剖析 题型1 题型二　存在量词命题的否定 解　(1)该命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”． (2)该命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”． (3)该命题的否定为“∀x∈R，|x＋1|>1”． 写出下列命题的否定． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，|x＋1|≤1. 解 题型剖析 题型27.含有量词命题的否定的应用 解　因为綈p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为{m|m>－4}． 【例题27】已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围． 解 押题预测 03 PART 题型剖析 1．(集合的概念)以下元素的全体不能构成集合的是(　　) A．中国古代四大发明 B．周长为10 cm的三角形 C．方程x2－3x＋2＝0的实数解 D．地球上的小河流 2．(元素与集合的关系)已知集合M由小于5的数构成，则有(　　) A．3∈M B．－3∉M C．0∉M D．7∈M 答案 题型剖析 2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　) A．{x|－3<x<11，x∈Z} B．{x|－3<x<11} C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} 解析：由题意可知，满足题设条件的只有D. 答案 解析 题型剖析 3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　) A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2} C．{(－2，1)} D．{(1，－2)} 答案 解析 题型剖析 解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．故选B. 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 6．在①1⊆{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}⊆{0，1，2}；④∅{0}四个关系中，错误的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析： 1∈{0，1，2}，所以①错误；{1}⊆{0，1，2}，所以②错误；③④正确． 答案 解析 题型剖析 7．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝(　　) A．M B．N C．I D．∅ 解析：如图，因为N∩(∁IM)＝∅，且M，N不相等，所以N M，所以M∪N＝M. 答案 解析 题型剖析 8．(2024·天津高考)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{1} 解析：因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}．故选B. 答案 解析 题型剖析 9．(2024·重庆八中高一上期中)已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，记集合P＝A∪B，Q＝A∩B，则(　　) A．1∈P B．4∉P C．5∈Q D．3∉Q 解析：由题意，P＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，Q＝A∩B＝{2，3}，故1∈P，4∈P，5∉Q，3∈Q.故选A. 答案 解析 题型剖析 10．已知p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案 解析 题型剖析 11．(2024·安徽凤阳县第二中学高一上期中)下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A．a>1 B．a>0 C．a<－1 D．a<1 答案 解析 题型剖析 12．(2024·重庆育才中学高一上期中)设p：|x|≤3，q：－4<x<5，则p是q的 (　　) A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由题设，p：－3≤x≤3，q：－4<x<5，所以p是q的充分不必要条件．故选A. 答案 解析 题型剖析 13．已知集合A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则∁Z(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝4k，k∈Z} B．{x|x＝4k＋2，k∈Z} C．{x|x＝2k，k∈Z} D．{x|x＝2k＋1，k∈Z} 解析：因为A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，所以A∪B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，所以∁Z (A∪B)＝{x|x＝2k，k∈Z}．故选C. 答案 解析 题型剖析 14．下列存在量词命题中，是假命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．有的三角形没有外接圆 D．有些三角形中三条边相等 解析：A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C是假命题，因为所有的三角形都有外接圆；D是真命题，因为等边三角形的三条边都相等．故选C. 答案 解析 15．命题“∀x∈R，n∈N＋，使得n≥x2”的否定是(　　) A．∀x∉R，n∉N＋，使得n<x2 B．∀x∈R，n∈N＋，使得n<x2 C．∃x∉R，n∉N＋，使得n<x2 D．∃x∈R，n∈N＋，使得n<x2 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀x∈R，n∈N＋，使得n≥x2”的否定为“∃x∈R，n∈N＋，使得n<x2”． 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 答案 解析 (1)元素：一般地，把_________统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些______组成的总体叫做集合，简称为eq \x(\s\up1(03))____，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：构成两个集合的元素是_______的． (4)集合中元素的特性： ________、互异性和无序性． 如果a是集合A的元素，就说a______集合A，记作a____A；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作a____A. 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ____ _________ ____ ____ ____ 对于常用数集之外的集合，我们除了用自然语言(用文字叙述的形式描述集合的方法)描述，还有以下方法： 方法 含义 优点 缺点 列举法 把集合的所有元素________出来，并用_______________括起来表示集合的方法叫做列举法 方便，快捷，集合中的元素一目了然，适用于表示元素个数较少的集合 不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如2x－3>0的解集 描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有______________的元素x所组成的集合表示为____________，这种表示集合的方法称为描述法 语言简洁、抽象，元素的规律与性质能清楚地表示出来，适用于表示无限集或元素个数较多的集合 不易看出集合中的具体元素 [提醒]　(1)使用列举法表示集合时，对于元素之间的排列顺序不作要求． (2)描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略，如果竖线左侧元素的所 属范围为实数集时，可以省略x∈R. 为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为______图． 定义 符号表示 图形表示 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________元素_____集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A__B(或B__A)，读作____________或____________ 真子集 如果集合A___B，但存在元素x∈B，且_____，就称集合A是集合B的真子集 A____B(或B___A)，读作____________或_____________ 自然 语言 一般地，如果集合A的_________元素_____集合B的元素，同时集合B的__________元素_____集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B 符号语言 若A⊆B，且B⊆A，则A＝B 图形语言 定义 ________________的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的______，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个______，即它的本身，∅⊆∅； (2)若A≠∅，则∅____A 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝____ A∩A＝____ A∪∅＝_____ A∩∅＝____ (1)概念：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为_______． (2)记法：通常记作_____． pq (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做_____．判断为真的语句是___________，判断为假的语句是__________． (2)当命题表示为“若p，则q”时， ____是命题的条件， ___是命题的结论． 一般地，“若p，则q”为_______，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作_____，并且说，p是q的__________，q是p的__________． 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作_____．此时，我们就说p不是q的__________，q不是p的________． (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有_____，就记作______．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为________． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的____________，那么q也是p的_________． (3)概括：如果______，那么p与q互为_________． (1)全称量词：短语“________”“ ___________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示． (2)全称量词命题：含有___________的命题，叫做全称量词命题． (3)符号表示 ①将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示． ②全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为： _________ ________． (1)存在量词：短语“__________”“ _____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“_____”表示． (2)存在量词命题：含有__________的命题，叫做存在量词命题． (3)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为： ________________． 全称量词命题p 綈p 结论 ∀x∈M，p(x) ________________ 全称量词命题的否定是___________命题 存在量词命题p 非p 结论 ∃x∈M，p(x) eq \x(\s\up1(01))_______________ 存在量词命题的否定是eq \x(\s\up1(02))__________命题 解：因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3， 所以a＝－1或a＝－eq \f(3,2). 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，集合A不满足元素的互异性，所以a＝－1舍去； 当a＝－eq \f(3,2)时，经检验，符合题意．所以a＝－eq \f(3,2). 解：(1)大于－1且小于5的整数包括0，1，2，3，4， 所以A＝{0，1，2，3，4}． (2)方程x2－16＝0的实数根为－4，4， 所以B＝{－4，4}． (3)小于10的素数有2，3，5，7， 所以C＝{2，3，5，7}． (4)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,x＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，)) 所以一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点为(0，1)，所以D＝{(0，1)}． 【例题8】(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C.eq \f(2,3) D．－1 解　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由x>1可以推出x2>1. 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)由A⊆B可以推出A∩B＝A. 因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知， 若∠A>∠B， 则BC>AC. 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． 【例题17】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (2)若x＝1，则x－1＝eq \r(x－1)； (3)若a是自然数，则a是正整数． 解　(1)直角三角形不一定是等腰三角形， 因此pq，所以q不是p的必要条件． (2)当x＝1时，x－1＝eq \r(x－1)＝0， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为0是自然数，但不是正整数， 所以pq，所以q不是p的必要条件． 【例题18】已知p：关于x的不等式eq \f(3－m,2)<x<eq \f(3＋m,2)，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 解　记A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)<x<\f(3＋m,2)))))，B＝{x|0<x<3}， 若p是q的充分条件，则A⊆B. 注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论： ①若A＝∅，则eq \f(3－m,2)≥eq \f(3＋m,2)，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意； ②若A≠∅，则eq \f(3－m,2)<eq \f(3＋m,2)，解得m>0， 要使A⊆B，应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)≥0，,\f(3＋m,2)≤3，解得0<m≤3.,m>0，)) 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}． 解：(1)因为{2}M⊆{2，4，5}，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5至少有一个，则集合M可能为{2，4}，{2，5}，{2，4，5}三种情况，所以p是q的充分不必要条件． (2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． 解　设关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根为x1，x2. 依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1>2，,x2>2.))不等式组等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2m）2－4（m2－m＋3）≥0，,（x1－2）＋（x2－2）>0，,（x1－2）（x2－2）>0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4m－12≥0，,2m>4，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(5,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4)>0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥3，,m>2，,m∈R，))所以m≥3. 即关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件是m≥3. 【例题23】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有xeq \o\al(2,1)<xeq \o\al(2,2)； (4)存在一个实数x，使得eq \f(1,x2＋1)>1. 解　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题． (1)在平面直角坐标系中，有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数0，它的绝对值不是正数， 所以该命题是真命题． (3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1<x2， 但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题． (4)易知eq \f(1,x2＋1)≤1，所以该命题是假命题． 解：(1)因为负数没有平方根，所以该命题为假命题． (2)因为方程x2－2＝0没有有理根， 所以该命题为假命题． (3)因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0恒成立， 所以该命题为真命题． (4)因为3x＋4＝5不存在整数解，所以该命题为假命题． 解　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A， 又B≠∅，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，)) 解得2≤m≤3， 所以m的取值范围为{m|2≤m≤3}． (2)q为真，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m＋1≤2m－1，即m≥2， 所以m＋1≥3， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤5，,m≥2，)) 解得2≤m≤4， 所以m的取值范围为{m|2≤m≤4}． 【例题26】(1)对所有正数x，eq \r(x)>x＋1； (2)所有被5整除的整数都是奇数； (3)每一个平行四边形都是中心对称图形． 解　(1)该命题的否定为：存在正数x，eq \r(x)≤x＋1. (2)该命题的否定为：存在一个被5整除的整数不是奇数． (3)该命题的否定为：存在一个平行四边形，它不是中心对称图形． 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－3，,y＝－2x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))所以两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}． 4．(2024·天津八中高一上第一次月考)设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝(　　) A．{－1，－3} B．{1，3} C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(3,5))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))) 解析：因为集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，x∈N))))，当x＝0时，y＝±eq \r(3)，当x＝1时，y＝±eq \f(3,2)，当x＝2时，y＝0，则集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（0，\r(3)），（0，－\r(3)），\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，（2，0）))，所以集合中元素的个数为5.故选A. 5．(2024·江苏徐州第七中学高一上学情调研)集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，x∈N))))中元素的个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：因为(a＋b)(a－b)＝0a＝b，所以pq.又因为a＝b⇒(a＋b)(a－b)＝0，即q⇒p，所以p是q的必要条件． 解析：因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1x2<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－4a>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0.选项中只有a<－1⇒a<0.故选C. 解析：因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|eq \r(x)∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D. 16．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|eq \r(x)∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 解析：∵A＝B，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x2，,y＝2y))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2y，,y＝x2.))根据集合元素的互异性，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(1,4).))∴x－y＝eq \f(1,4).　 17．已知A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则x－y＝(　　) A．2 B．1 C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,2) 18．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x2－3x＋4>0 B．∀x∈{1，－1，0}，5x＋4>0 C．∃x∈N，eq \r(x)≤x D．∃x∈N＋，使x为29的约数 解析：对于A，因为2x2－3x＋4＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,2)x＋\f(9,16)))－eq \f(9,8)＋4＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4))) eq \s\up12(2)＋eq \f(23,8)>0，故A是真命题；对于B，因为当x＝－1时，5x＋4<0，故B是假命题；对于C，令x＝4，则eq \r(4)＝2≤4，故C是真命题；对于D，因为1和29都是29的约数，故D是真命题．故选ACD. $$