5.9弧长和扇形面积（分层提分练）（题型专练）数学鲁教版五四制九年级下册

5.9弧长和扇形面积（分层提分练） 一、单选题 1．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·二模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．36 C．12 D．6 3．（2024·广东深圳·三模）如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 4．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南·模拟预测）某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（    ） A． B． C． D． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）半径为，圆心角度数为的扇形的弧长为 ． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）一个扇形的圆心角为，弧长，则此扇形的半径是 ． 13．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）武术是中华民族传统文化之瑰宝，源远流长，博大精深，有一个招式为“白鹤亮翅”（如图），其中一个动作可简化为右手手臂绕肘关节在竖直平面内旋转，若某人小臂长，则右手小臂完成动作时扫过的面积为 ． 14．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，则的长为 ． 15．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 （结果保留π）． 三、解答题 16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个扇形的面积为． (1)若该扇形所在圆的半径为12．求该扇形的圆心角； (2)若该扇形的圆心角的度数为，求该扇形所在圆的面积． 17．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． (1)求的半径； (2)求阴影部分的面积． 18．（24-25九年级上·广西玉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长．（结果保留） 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 20．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图1所示，草坪上的喷水装置高米，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为米处，达到最高点，点距离地面米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； (2)这个喷水装置的喷头P能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取）． 21．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三个方案都是最佳方案 23．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径画圆弧围成如图所示的阴影部分，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为 ． 26．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，是半圆的直径，，是半圆弧的三等分点，于点，连接，若直径长为4，则阴影部分的面积为 ． 27．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，半径为6的沿弦折叠，弧恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为 ． 28．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则 ． 29．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（、分别与A、B对应）． (1)请你在图中画出； (2)求在旋转过程中，线段所扫过的图形面积．（结果保留） 30．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点． (1)求的长； (2)求点经过的路径长． 31．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的长为，求图中阴影部分的面积． 32．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； (2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与的位置关系并证明； ②点C到的距离为________（结果保留根号）； (3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.9弧长和扇形面积（分层提分练） 一、单选题 1．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：D． 2．（2024·浙江杭州·二模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了扇形的面积计算公式，将面积是，弧长是，代入计算即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：C. 3．（2024·广东深圳·三模）如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 4．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 的长为； 故选B． 5．（2024·湖南·模拟预测）某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轨迹、弧长公式等知识点，正确理解题意及熟练利用弧长公式是解题的关键． 根据鞋尖A在“向右转”的运动中路径是以O为圆心为半径，圆心角为的一段弧，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：依题意可知：鞋尖A在 “向右转”的运动中路径长是一段弧长，其半径是,弧的圆心角为， ∴ 鞋尖A在“向右转”的运动中路径长. 故选：A． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角，扇形面积和三角形面积，根据圆周角定理得​，再由“阴影部分的面积扇形的面积 的面积”即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积扇形的面积 的面积 ， 故选：． 7．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中角所对的扇形的面积减去小圆中角所对的面积来求得． 【详解】解：， ∴阴影部分面积是． 故选：A． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式．解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和． 首先求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：五边形的内角和是：， 则阴影部分面积之和是：， 故选：B． 9．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，证明，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角的性质求出，根据扇形面积公式计算． 【详解】解：，， ， 又为的中点， ， ， ， ， ， 扇形的面积， 故选：A． 二、填空题 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）半径为，圆心角度数为的扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的弧长为， 故答案为：． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）一个扇形的圆心角为，弧长，则此扇形的半径是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了扇形的弧长，正确理解扇形的弧长公式是解题的关键． 根据扇形的弧长弧长公式即可得到关于扇形半径的方程，即可求解． 【详解】解：设扇形的半径是R，则， 解得：． 故答案为：12． 13．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）武术是中华民族传统文化之瑰宝，源远流长，博大精深，有一个招式为“白鹤亮翅”（如图），其中一个动作可简化为右手手臂绕肘关节在竖直平面内旋转，若某人小臂长，则右手小臂完成动作时扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】根据题意可知． 所以小臂完成动作时扫过的面积是． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：的长为 ， 故答案为： 15．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 （结果保留π）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．由圆周角定理得，根据弧长公式分别计算出与的长度，相减即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 又的半径为1， 的长度=， 又， ∴的长度=， ∴与的长度之和=， 故答案为：． 三、解答题 16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个扇形的面积为． (1)若该扇形所在圆的半径为12．求该扇形的圆心角； (2)若该扇形的圆心角的度数为，求该扇形所在圆的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了扇形的面积公式：，解题的关键是∶ （1）根据扇形的面积公式求解即可； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：因为扇形的面积为，所在圆的半径为12， 扇形的圆心角， 所以该扇形的圆心角为． （2）解：由题意可知， 解得， 所以该扇形所在圆的面积为． 17．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． (1)求的半径； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题考查了圆周角定理、扇形面积公式以及勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． （1）连接，，由圆周角定理得，进而利用勾股定理即可得解； （2）利用求解即可． 【详解】（1）解：连接，，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的半径为； （2）解：由（）得，， ∴， ∴ ． 18．（24-25九年级上·广西玉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长．（结果保留） 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了旋转作图，弧长公式，勾股定理，画出图形是解答关键． （1）根据旋转的性质画出图形即可； （2）根据题意是以点为圆心，长为半径的圆上的弧，用勾股定理求出半径，再用弧长公式求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点的坐标为． （2）解：如图，是以点为圆心，长为半径的圆上的弧， 由勾股定理，得， 点经过的路径的长为． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键； （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论； (2)根据三角形的内角和定理得到，求得，得到，求得，根据三角形和形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积的面积扇形的面积． 20．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图1所示，草坪上的喷水装置高米，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为米处，达到最高点，点距离地面米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； (2)这个喷水装置的喷头P能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取）． 【答案】(1)； (2)这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求扇形的面积． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）令，求出图象与轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出的值； 【详解】（1）解：以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线顶点， 设抛物线对应的函数解析式为， 由抛物线经过点，可得， 解得， ； （2）解：令，则 解得，， ， 喷灌面积， 答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 21．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故选：A． 22．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三个方案都是最佳方案 【答案】C 【分析】本题考查了圆的面积、二次函数的应用，熟练掌握图形（三角形、矩形、半圆形）的面积公式，学会利用二次函数求图形面积的最值是解题的关键．由题意得，分别计算矩形、三角形、半圆形面积的最大值进行比较即可． 【详解】解：方案1：设矩形的宽为米，则长为米， 此时菜园面积， 当时，菜园面积有最大值8平方米； 方案2：设等腰三角形为，其中米， 作交于，由垂线段最短得：，即米， 的面积， 当米时，此时菜园的面积最大值为平方米； 方案3：半圆的半径为米，此时菜园的面积为平方米； ， 最佳方案是方案3． 故选：C． 23．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径画圆弧围成如图所示的阴影部分，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，作辅助线构造成等边三角形是解题的关键，难点在于熟练掌握图形的对称性． 连接、，根据圆的定义判断出是等边三角形，根据正方形和等边三角形的性质求出，同理可得弧的圆心角是然后求出弧的圆心角是，再根据弧长公式求出弧的长，然后根据对称性，图中阴影部分的四条弧都相等列式计算即可得解． 【详解】解：连接，， 由圆的定义， ∴是等边三角形， ， ， 同理，弧的圆心角是 ∴弧的圆心角是， ∴弧的长 ， 由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，所以图中阴影部分的周长为， 故选： D． 24．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，根据“”求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 25．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，是半圆的直径，，是半圆弧的三等分点，于点，连接，若直径长为4，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】设圆心为，连接，得到，易得，易得为等边三角形，结合，得到，，然后用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，进而求出的面积，最后利用来求解． 【详解】解：设半圆的圆心为，连接，连接，如下图 是半圆的直径，，是半圆弧的三等分点， ， ， 为等边三角形． 于点， ，． 半圆的直径长为4， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点晴】本题考查了扇形面积公式，三角形面积公式，圆心角、弧、弦的关系，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构建三角形是解答关键． 27．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，半径为6的沿弦折叠，弧恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，，过点作于交于．解直角三角形求出，勾股定理求出，然后求出，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】解：连接，，过点作于交于．    由题意垂直平分线段，， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 28．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：72 29．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（、分别与A、B对应）． (1)请你在图中画出； (2)求在旋转过程中，线段所扫过的图形面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转作图，扇形面积计算，熟练掌握扇形面积的计算公式，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，先作出点A、B的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据扇形面积计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：． 答：线段所扫过的图形面积为． 30．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点． (1)求的长； (2)求点经过的路径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是旋转的性质以及轨迹，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）先根据题意判断出是等腰直角三角形，由勾股定理解得的长，进而可得出的长； （2）根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：连接，如下图， 根据题意，可知，， ∵， ∴， ∴，， 即是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）根据题意，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆， 则有， 答：点经过的路径长为． 31．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)阴影部分的面积为． 【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明； （2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积 的面积扇形的面积，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接OD， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的切线． （2）的长为，， ， ， ， ， ， ，， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键． 32．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； (2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与的位置关系并证明； ②点C到的距离为________（结果保留根号）； (3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题意得当时，三点在一条直线上，则，得出，最后根据即可解答； （2）①根据半圆与相切于点，得出，再根据半圆的中点为点，得出，从而得出，根据为等边三角形，得出，证明，即可证出． ②过点作于点于点，则，根据勾股定理求出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答； （3）从滚动到滚动过程中始终与桌面相切，得出圆心到桌面的距离总等于圆的半径，则从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍，结合，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：当时，三点在一条直线上， ∵直径， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①． ∵半圆与相切于点， ， ∵半圆的中点为点， ， ∵， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ． ②过点作于点于点，如图， ， ， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∴点到桌面的距离为， 故答案为：． （3）解：从滚动到（图2-图3）过程中，圆心移动的距离为． ∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动， ∴滚动过程中始终与桌面相切， ∴圆心到桌面的距离总等于圆的半径， ∴从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍， 由（2）①知：， ∴圆心移动的距离． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． ( 27 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$