5.8正多边形和圆（分层提分练）（题型专练）数学鲁教版五四制九年级下册

5.8正多边形和圆（分层提分练） 一、单选题 1．（2024·河南安阳·一模）每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 6．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（   ） A．3 B． C． D． 7．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，六边形为的内接正六边形，直线l与，分别交于点G，H，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，正六角形螺帽的边长为，则扳手的开口的长为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，是的直径，弦分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下列结论中错误的是（    ） A．的直径为2 B．连接，则 C． D．连接，则 二、填空题 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长等于 ． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将的圆周12等份，圆内接矩形的面积为20，则圆内接正六边形面积为 ． 13．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，正六边形螺帽的边长为，则这个螺帽的面积是 ． 14．（2024·湖南·模拟预测）如图，有一个亭子地基是半径为8米的正六边形，则地基的面积为 平方米． 15．（2024·广东·模拟预测）《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为4，，则正方形的周长为 ．    三、解答题 16．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 18．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标．    19．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 20．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 21．（24-25九年级上·全国·期末）如图，的半径为r，六边形是圆的内接正六边形，四边形是正方形．    (1)求正六边形与正方形的面积比； (2)连接，求度数． 22．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图是一个模型，为内接正多边形的一条边，若点P是优弧上一点，且，的半径为6．关于结论①、②，下列判断正确的是（   ）    ①的度数为；②以为边的圆内接正多边形的周长为18 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 23．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）溱潼古镇历史悠久，具有丰富的文化底蕴，古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（    ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，则（   ） A． B． C． D．2 25．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 26．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则的长为 ； ． 27．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，正六边形内接于，连接，则 ． 28．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 29．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，如图将“雪花”图案（边长为的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 30．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 31．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正六边形的半径为5． (1)求对角线的长； (2)求这个正六边形的周长与面积． 32．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正六边形为的内接正六边形． (1) 度； (2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？ (3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）． 33．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.8正多边形和圆（分层提分练） 一、单选题 1．（2024·河南安阳·一模）每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆，求出正六边形的中心角度数，即可得出结果． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为， ∴绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转； 故选D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】解：∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 3．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 4．（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵是圆内接五边形， ∴， ∴， 故选B． 5．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 【答案】A 【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的度数为； 故选A． 6．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 7．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，六边形为的内接正六边形，直线l与，分别交于点G，H，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接正多边形，先求出中心角的度数，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】∵正六边形内接于， ∴， 在中，． ∵， ∴． 故选：C． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质．熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的所有边都相等，所有内角都相等，结合等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：五边形为正五边形， ，， ， ， 故选C． 9．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，正六角形螺帽的边长为，则扳手的开口的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键． 根据正六边形的内角度数可得出，再通过含的直角三角形性质即可得出的值，进而可求出的值，此题得解． 【详解】解：如图，过点A作平行于线段b的直线，分别交上下两条射线于C、D两点， 由题意可得，，由图形的对称性可知：， 正六边形的内角和为， 正六边形的任一内角为， ∴， ， 又边长为，   ∴，， ． 故选：A． 10．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，是的直径，弦分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下列结论中错误的是（    ） A．的直径为2 B．连接，则 C． D．连接，则 【答案】D 【分析】题目主要考查正多边形的性质及圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据正多边形的性质及圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， A、∵弦是的内接正六边形的一边， ， ∵， ， ∵是的直径， ， ∵，， ∴，即的直径为2，选项正确，不符合题意； B、∵是的内接正方形的一边， ∴，即，选项正确，不符合题意； C、∵，， ，， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； D、如图，作的角平分线交于点E，连接， ， ， ， ∴，故选项错误，符合题意； 故选：D 二、填空题 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长等于 ． 【答案】 【分析】连接，根据正六边形的性质可得，从而得到，再由锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形是圆的内接多边形， ∴， ∵， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、锐角三角函数；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将的圆周12等份，圆内接矩形的面积为20，则圆内接正六边形面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，交于，根据矩形的性质得到，求得，推出是等边三角形，得到边即为圆内接正六边形的边，即可求解． 【详解】解：连接，交于，如图所示： 四边形是矩形， ， ，是的直径， 将的圆周等份， ， 是等边三角形， 边即为圆内接正六边形的边， 圆内接矩形的面积为， ， 圆内接正六边形面积为， 故答案为：30． 13．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，正六边形螺帽的边长为，则这个螺帽的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的计算问题，解直角三角形，根据题意画出图形，由正六边形的特点求出的度数及的长，再由的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，设为正六边形的中心，于点， 此多边形为正六边形， ； ， 是等边三角形，， ， ， ， ． 故答案为． 14．（2024·湖南·模拟预测）如图，有一个亭子地基是半径为8米的正六边形，则地基的面积为 平方米． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】解：如图所示， 由题意可得：，米， ∴是等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， ∴（米）， 正六边形的面积为（平方米）． 故答案为：． 15．（2024·广东·模拟预测）《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为4，，则正方形的周长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了位似图形的性质，正多边形和圆的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．设位似中心为O，连接，，首先得到，然后利用勾股定理求出，然后根据位似图形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设位似中心为O，连接，    ∵正方形的外接圆半径为4， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴． ∴正方形的周长为． 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 【答案】证明见详解 【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 18．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标．    【答案】，，，，， 【分析】根据正六边形的性质得到，连接，过作于，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：的半径， ， ，， 多边形是正六边形， ， 连接，过作于，   ，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ，， 同理，，，，，． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 20．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质与判定； （1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． （3）根据网格，先计算，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 如图①，正六边形即为所求； （2）如图所示， 如图②，正八边形即为所求． （3）解：如图所示，过点作， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴图②中正八边形的面积为， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·全国·期末）如图，的半径为r，六边形是圆的内接正六边形，四边形是正方形．    (1)求正六边形与正方形的面积比； (2)连接，求度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定与性质． （1）根据正多边形的性质证明是边长为r的等边三角形，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可； （2）根据，可得出三角形是等腰三角形，结合，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为r的等边三角形， ∴． 正方形的面积为，正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为； （2）解：∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图是一个模型，为内接正多边形的一条边，若点P是优弧上一点，且，的半径为6．关于结论①、②，下列判断正确的是（   ）    ①的度数为；②以为边的圆内接正多边形的周长为18 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】如图，连接，，过作于，可得，求解多边形为等边三角形，求解，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，过作于，    ∵， ∴， ∴正多边形的中心角为， ∴多边形的边数为，即多边形为等边三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴以为边的圆内接正多边形的周长为． ∴①正确，②错误， 故选：A 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）溱潼古镇历史悠久，具有丰富的文化底蕴，古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形和正八边形的性质、相似三角形的判定和性质．设，得到，，即可得到． 【详解】解：如图，设， 由正方形和正八边形的性质得到，， ∴，， ∴， 故选：B 24．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，解题的关键是正确作出辅助线．连接，过点A作于点M，求出的长即可求解． 【详解】解：连接，过点A作于点M， 在正八边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故选A． 25．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，掌握正多边形各边相等，各角相等的性质，熟练掌握旋转的性质，找出规律是解题的关键．根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点的坐标即可． 【详解】解：连接，，如图，    在正六边形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ， 在中，，， ， ， ， 点的坐标为， 将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转， 次一个循环， ， 经过2025次旋转后，顶点的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， 过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴ ， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 经过2025次旋转后，顶点的坐标为， 故选：A． 26．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则的长为 ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查正多边形与圆，勾股定理，弧长公式，熟练掌握正多边形与圆的综合性质是解题关键． 先根据正八边形的性质得出，再根据弧长公式求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是正八边形的外接圆， ∴， ∴， ∵的半径是1， ； 在中，根据勾股定理得：， ∴． 故答案为：；． 27．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，正六边形内接于，连接，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案． 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即． 故答案为： 28．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和定理，三角形内角和及内心，正多边形与圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得，多边形内角和定理得到，根据三角形内角和定理得到，因为点为三角形的内心，所以，所以． 【详解】解：根据题意得， 正五边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 29．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，如图将“雪花”图案（边长为的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接交于点，根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可：首先根据点坐标及正六边形的边长求出点坐标，然后通过解直角三角形即可求出顶点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ，， ，即， 在中，， ， ， ， ， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 顶点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的综合，坐标与图形综合，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握正六边形的性质以及坐标与图形的性质是解题的关键． 30．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 31．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正六边形的半径为5． (1)求对角线的长； (2)求这个正六边形的周长与面积． 【答案】(1)； (2)这个正六边形的周长与面积分别为和． 【分析】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径． （1）连接，，根据正六边形的性质推出，，再利用直角三角形的性质即可得到结论； （2）由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积． 【详解】（1）解：连接，， 正六边形的半径等于边长， ，， ， ， ， ， ，； （2）解：如图，连接，，作于点， 由题意得； ∴正六边形的周长； ∴， 正六边形的面积． 32．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正六边形为的内接正六边形． (1) 度； (2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？ (3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)劣弧比正六边形最长对角线的长． (3) 【分析】本题考查圆与正多边形的基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键． （1）根据正多边形性质求解即可； （2）连接，，为正六边形最长对角线，通过弧长公式算出劣弧的长度与比较即可； （3）如图，过点作于点，先求出的长度，再分别用r表示出和的面积，再相加计算即可． 【详解】（1）解：∵正六边形为的内接正六边形． ∴， 故答案为：60． （2）如图，连接，，为正六边形最长对角线， 设的半径为，则，， ∴， ∴劣弧的长度为：， ∴劣弧比正六边形最长对角线的长． （3）如图，过点作于点， ∴， ∵正六边形的内角和为：， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵正六边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 33．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 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