5.7切线长定理（分层提分练）（题型专练）数学鲁教版五四制九年级下册

5.7切线长定理（分层提分练） 一、单选题 1．（2024·西藏日喀则·二模）如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 3．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（21-22九年级下·广东深圳·周测）如图，，切于，两点，切于点，交，于，．若的半径为1，的周长等于，则线段的长是（    ）    A． B．3 C． D． 5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 7．（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 9．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）如图，、 切圆O 于A，B两点，切圆O 于E， 交，于C、D，若圆O的半径为r，的周长等于，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·云南昆明·期中）如图，，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 12．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）如图，是的两条切线，A、B是切点，若，则等于 ． 13．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知是的内切圆，切点分别是D、E、F，若，则CE的长为 ． 14．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为 ． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，、是的切线，切于点E，的周长为12，则 ． 16．（24-25九年级上·四川广元·期中）如图，内切于，，，分别为，，上的切点．若的周长为60，且，则长是 ．    三、解答题 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 19．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 20．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 21．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，是的切线，为切点，．    (1)求的度数； (2)当时，求的半径． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 24．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 25．（24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·北京·期中）如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线交，于点，，则周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（    ） A．12 B．24 C．8 D．6 29．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，、、、都是的切线，，，则 ． 30．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，点是线段上的一个动点，点为圆心，为半径作圆．当与边相切时，则半径 ． 31．（24-25九年级上·北京·期中）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 32．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2023次滚动后的坐标是 ． 33．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，⊙O是的内切圆，点D，E，F为切点．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 34．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，为的直径，过圆外一点E作的两条切线，切点分别为点D，B，交的延长线于点C，连接． (1)与有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，求的半径． 35．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 36．（24-25九年级上·四川广元·期中） 如图所示，的半径是4，、分别与相切于点A、点B，若与之间的夹角． (1)若点C是圆周上的一动点，的大小为定值吗？若是定值，请求出它的度数． (2)求的周长． 37．（2024九年级上·全国·专题练习）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是， ， ；若，，则半径长为 ； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．求证：是的切线． ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.7切线长定理（分层提分练） 一、单选题 1．（2024·西藏日喀则·二模）如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，直接根据切线长定理，即可得出结果． 【详解】∵为外一点，，分别切于，两点， ∴， 故选B． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 故选：A． 3．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理；由切线长定理得，，即可求解． 【详解】解： 、、是的切线， 切点分别是、、， ，， ， ， 故选：B． 4．（21-22九年级下·广东深圳·周测）如图，，切于，两点，切于点，交，于，．若的半径为1，的周长等于，则线段的长是（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线长定理得出，，结合的周长等于，得出，计算，，的值，得出，最后得出为等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，切于，两点，切于点， ∴，， ∵的周长等于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A．    【点睛】本题主要考查切线长定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握过圆外一点可以作圆的两条切线，这点到两个切点的距离相等． 5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 首先根据切线长定理，可得，再由可求得的长，最后再次利用切线长定理，即可求得的长． 【详解】解：，是的切线， ， ， ， ，是的切线， ， 故选：． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，可知：，进而推出，即：，求解即可． 【详解】解：∵与它的内切圆分别相切于点D、E、F， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选D． 7．（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，切线长定理的应用，切线的性质，根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵是的切线， ∴， ∴，故C不符合题意； 如图，∵， ∴， 而， ∴， ∴不能推出，故D符合题意； 故选D 8．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解： 的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长： 故选：B． 9．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理、圆周角定理、圆的切线性质等知识点，连接，可得，，；据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：，，， ∵， ∴ ∴； 的周长 故选：D 10．（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）如图，、 切圆O 于A，B两点，切圆O 于E， 交，于C、D，若圆O的半径为r，的周长等于，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系． 连接、、，延长交的延长线于点F．利用切线求得，，再得出，利用得出，在中，利用勾股定理求出，再求的值即可． 【详解】解：连接、、，延长交的延长线于点F． ∵、 切圆O 于A，B两点，切圆O 于E， ∴，，，， ∵的周长， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．（22-23九年级上·云南昆明·期中）如图，，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查切线长定理，由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长． 【详解】解：∵、分别切于A、B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 12．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）如图，是的两条切线，A、B是切点，若，则等于 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，熟记切线长定理的含义是解本题的关键；由切线长定理可得． 【详解】解：∵是的两条切线，， ∴． 故答案为： 13．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知是的内切圆，切点分别是D、E、F，若，则CE的长为 ． 【答案】5 【分析】直接利用切线长定理即可求解． 【详解】解：由题意得都是切线，D、E是切点， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了切线长定理，牢记“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”是解题的关键． 14．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据切线长定理得到，．即可求出的周长 ．熟练掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵分别切于A、B． ∴ ∵过点C的切线分别交于点E、F． ∴． ∴的周长 ． 故答案为： 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，、是的切线，切于点E，的周长为12，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 首先根据切线长定理得到，，，然后根据的周长为12得到，然后等量代换得到，进而求解即可． 【详解】解：∵、是的切线，切于点E， ∴，， ∵的周长为12， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：6． 16．（24-25九年级上·四川广元·期中）如图，内切于，，，分别为，，上的切点．若的周长为60，且，则长是 ．    【答案】10 【分析】此题主要是考查了切线长定理．由切线长定理可求出的长，再根据切线长定理列出方程组，解出方程组即可求出结论． 【详解】设，则，． 由， 解得． ，，， 设，，， ，，分别为的切线， ，，， 则 ，得 ．④   ，得，则， ． 故答案为：10． 三、解答题 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 【答案】(1)12里 (2)里 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里）， （2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， （里）， （里）， （里）， 则大树到城堡南门的距离里； （2）解：设城堡的半径为里， ∴里，（里）， ∵， ∴在中， ， （里）． 城堡的半径为里． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 19．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 【答案】 【分析】 本题考查了切线长定理．设，根据切线长定理得到，则，然后解方程求出x，从而得到的长． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别和切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 20．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由（1）知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 21．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理； （1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解； （2）设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴ （2）设， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴，解得， ∴ 22．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，是的切线，为切点，．    (1)求的度数； (2)当时，求的半径． 【答案】(1)； (2)的半径为． 【分析】本题考查了切线长定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质． （1）根据等腰三角形等边对等角可得，根据圆切线的性质可得，从而得到，求得是等边三角形，据此求解即可； （2）根据切线长定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：连接，    ∵是的切线， ∴平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径为． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)2秒或4秒 (2) (3)①0或或；② 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）①先判断不与，相切，然后分与相切；与相切，根据半径等于构建方程求解即可． ②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴， 解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解∶①由题意知不与，相切， 当与相切时，设切点为E，连接， 则，， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得或； 当与相切时， 则， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切； ②解：（Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 得方程， 解得： （舍），， ∴当，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 24．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理、正方形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．根据切线长定理得：，，，先证明四边形是正方形，再利用勾股定理列方程可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，设在内切圆圆心为点，连接， 的内切圆分别与、、相切于点、、， ，，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去， ， 圆的半径为3， 故选：D． 25．（24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 26．（24-25九年级上·北京·期中）如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过D作交于F，由切线的性质可证四边形是矩形，，根据切线长定理得到，，则，在中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，再判断其函数图象即可． 【详解】解：过D作交于F， 与切于点A、B， ， 又， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 切于E，与切于点A、B， ，则， 在中， 由勾股定理得：， 整理为， ∴y与x的函数关系式是， y是x的反比例函数， 故选：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质以及勾股定理，求反比例函数的解析式，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识． 27．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线交，于点，，则周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案． 【详解】解：连接，，设切于G， ∵，分别是的切线， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴周长， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，l最小，当最大时，l最大； 根据垂线段最短可得，当时，最小， ∵是边长为3的等边三角形，， ∴， 由勾股定理得：， 当点D与点B（或C）重合时，最长，此时， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，垂线段最短．根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，以及当时，最小，点D与点B（或C）重合时，最长是解题的关键． 28．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（    ） A．12 B．24 C．8 D．6 【答案】D 【分析】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：与圆切于点， 显然根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 故选：D 29．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，、、、都是的切线，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线长定理，设、、、与的切点分别为E、F、M、N，根据切线长定理可得出，，，，由此即可解决问题． 【详解】解∶设、、、与的切点分别为E、F、M、N， ∵、、、都是的切线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 30．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，点是线段上的一个动点，点为圆心，为半径作圆．当与边相切时，则半径 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，当与相切时，则，由切线长定理可得，由勾股定理得，设半径为，则，再由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当与相切时， ∴， ∴， ∴与相切， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·北京·期中）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，则有，，由几何图形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，切线长定理，特殊四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 32．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2023次滚动后的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律及三角形内切圆与内心，依次求出前三次滚动后圆的内心的对应点的坐标，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：如图，设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ，， ，， ∴在中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，点坐标为， ∵，即点P到三边距离都相等， ∴每次滚动后点纵坐标都为， 第1次滚动后点的横坐标为：，即点的坐标为； 第2次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 第3次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加，且， 第2023次滚动后点的横坐标为：， 则点的坐标为， 故答案为：． 33．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，⊙O是的内切圆，点D，E，F为切点．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线长定理可得，进而可得,，据此即可求解； （2）由切线长定理即可求解． 【详解】（1）解：由切线长定理可得： ∴, ∵ ∴ ∴ （2）解：解：由切线长定理可得： ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．熟记相关结论即可． 34．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，为的直径，过圆外一点E作的两条切线，切点分别为点D，B，交的延长线于点C，连接． (1)与有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据切线的定义可得，再证明，再由等腰三角形性质可得，最后由平行线的判定证明即可； （2）根据切线长定理先求得长，再根据勾股定理求得长，再设，则，利用勾股定理解求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， 是的切线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的切线， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即半径的长为3． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定等：掌握切线的性质，切线长定理是解题的关键． 35．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可得，进而可知，则问题可求证； （2）由切线长定理可得，则可知，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴直线是的切线； （2）解：连接，如图所示， ∵直线、都与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 即的半径为． 36．（24-25九年级上·四川广元·期中） 如图所示，的半径是4，、分别与相切于点A、点B，若与之间的夹角． (1)若点C是圆周上的一动点，的大小为定值吗？若是定值，请求出它的度数． (2)求的周长． 【答案】(1)的大小为定值，定值为或； (2)． 【分析】（1）根据切线性质得出，求出，根据圆周角定理求出即可； （2）连接，求出是等边三角形，，求出和，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵、分别与相切于点A、点B， ∴， ∵， ∴， 当C在优弧上时，， 当C在劣弧上时，； （2）解：连接， ∵、分别与相切于点A、点B，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，由勾股定理得：， ∴的周长是． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 37．（2024九年级上·全国·专题练习）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是， ， ；若，，则半径长为 ； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．求证：是的切线． 【答案】(1)；；1 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，，由切线长定理可知，，，再推得四边形是正方形，设，根据，可得，计算即可； （2）过O作于H，连接，，，先证得，再证明四边形是矩形，即可得，即是的半径，即可证明． 【详解】（1）解：连接，，如图： 由切线长定理可知，，， ∵，是的内切圆， ∴，， ∴四边形是正方形， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，即半径长为1； 故答案为：；；1． （2）证明：过O作于H，连接，，，如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 同（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即是的半径， ∵， ∴是的切线． 【点睛】本题考查三角形内切圆，圆的切线判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握切线长定理和切线的判定定理． ( 39 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$