5.6直线和圆的位置关系（1）（分层提分练）（题型专练）数学鲁教版五四制九年级下册

5.6直线和圆的位置关系（1）（分层提分练） 一、单选题 1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断 2．（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 3．（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图所示，A是上一点，且，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相割 4．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 5．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 6．（21-22九年级上·北京海淀·期末）在中，，为中点，以点为圆心，长为半径作，则与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 7．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 9．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，中，以点A为圆心，r为半径作，当时，与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 10．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 二、填空题 11．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知的半径为3，线段，若与线段AB有两个交点，则点O到直线AB的距离d的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 . 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，的的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 14．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个． 15．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 三、解答题 17．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定与直线的位置关系． (1)6； (2)8； (3)12． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 19．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．    (1)点M的坐标是 ； (2)判断与y轴的位置关系，并说明理由． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 21．（2023九年级下·全国·专题练习）在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·北京西城·期中）在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 23．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 24．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）在平面直角坐标系中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接，当时，则称点P为线段关于y轴的“半直点”；例：如图点，；则点就是线段关于y轴的一个“半直点”；若点，点，则线段关于y轴的“半直点”个数有（        ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 25．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（2023·江苏盐城·一模）如图，点A的坐标是，点B是以为直径的上一动点，点A关于点B的对称点为C．当点B在上运动时，所有这样的点C组成的图形与直线有且只有一个公共点，则a的值等于 ． 27．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是 ． 28．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是 ． 29．（24-25九年级上·北京·期中）已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 30．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，，，当的半径r为何值时，与直线相离？相切？相交？    31．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的交轴负半轴于，交轴正半轴于，交轴于、． (1)若点坐标为，求点坐标． (2)在（1）的条件下，上是否存在点，使，若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)过作的切线，过作于，交于，当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 32．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 33．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在 中， ，点O是的中点，以O为圆心，r为半径作．    (1)当r满足什么条件时，与 的边有2个公共点？ (2)当r满足什么条件时，与 的边有3个公共点？ (3)当r满足什么条件时，与 的边有4个公共点？ 34．（24-25九年级上·福建福州·期中）在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于． (1)依题意补全图形； (2)求直线与图形的公共点的个数． 35．（23-24九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式：，例如，求点到直线的距离． 解：由直线知：，，，所以到直线的距离为， 根据以上材料，解决下列问题： (1)求点到直线的距离； (2)在（1）基础上，若以点为圆心，半径为2作圆，请直接写出直线与圆的位置关系． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.6直线和圆的位置关系（1）（分层提分练） 一、单选题 1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系的判断方法是解题的关键：如果的半径为，圆心到直线的距离为，那么：（1）直线和相交（如图）；（2）直线和相切（如图）；（3）直线和相离（如图）． 根据直线和圆的位置关系的判断方法直接判断即可得出答案． 【详解】解：圆心到直线的距离的半径， 直线与的位置关系是：相离， 故选：． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 【答案】D 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 【详解】解：若、是方程的两个根， ∴， 解得，， 当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离； 故选：D ． 3．（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图所示，A是上一点，且，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相割 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理逆定理的应用，熟练掌握切线的判定，是解题的关键．先证明为直角三角形，，得出，即可证明与相切． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵A是上一点， ∴与相切． 故选：B． 4．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行判断是解此题的关键，首先画出图形，根据点的坐标得，到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系，即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ∴圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 6．（21-22九年级上·北京海淀·期末）在中，，为中点，以点为圆心，长为半径作，则与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆的切线的判定．先由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据切线的判定即可得出位置关系． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形 为中点 是等腰的高 为的半径 是的切线 与直线的位置关系是相切． 故选：B． 7．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点时有两个交点，再结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是， 故选：A． 8．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况． 【详解】解：依题意，， 根据勾股定理求得． 当圆与相切时，此时半径最小，即； 当点在圆上，此时半径最大，即， 综上：即． 故选：D． 9．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，中，以点A为圆心，r为半径作，当时，与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了由三角函数解直角三角形，直线和圆的位置关系等知识，根据中，， ，求出的值，比较与半径的大小，即可得出与的位置关系．利用勾三角函数解求出是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ， ∴ ∵， ∴， 当时，与的位置关系是：相切， 故选：B． 10．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 二、填空题 11．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知的半径为3，线段，若与线段AB有两个交点，则点O到直线AB的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当线段的两个端点、在上，连接，作于点，由，，得，则，因为与线段有两个交点，所以，于是得到问题的答案．此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地求出线段的两个端点、在上时，点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：如图，线段的两个端点、在上，连接，作于点，     的半径为3，， ，， ， ， 与线段有两个交点，点到直线的距离， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 . 【答案】4 【分析】本题主要考查了切线的性质，一元二次方程根的判别式．根据切线的性质可得，再由一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根，且直线与相切， ∴， ∴方程有两个相等的实根， ∴， 解得，． 故答案为：4． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，的的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【答案】相切 【解析】略 14．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，时，圆和直线相离；时，圆和直线相切；时，圆和直线相交． 【详解】解：∵圆心到直线的距离是圆的半径4， ∴直线和圆相交，即有2个公共点． 故答案为：2． 15．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：根据题意为的直径，， ∴的半径为3． 又∵，， ∴则直线 与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 三、解答题 17．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定与直线的位置关系． (1)6； (2)8； (3)12． 【答案】(1)相离 (2)相切 (3)相交 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直线与圆的位置关系．解题的关键是掌握等腰三角形三线合一，以及直线与圆的位置关系． （1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质得出， 再根据勾股定理求出，最后比较半径和，即可解答； （2）比较半径和，即可解答； （3）比较半径和，即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点D， ∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴与直线相离； （2）解：∵， ∴与直线相切； （3）解：∵， ∴与直线相交． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，坐标与图形和勾股定理，根据题意求出恰好与y轴相切时，当恰好与x轴相切时，当恰好经过原点时的半径长，结合题意画图图形，进行求解即可． （1）求出当恰好与y轴相切时的半径长即可得到答案； （2）求出当恰好与x轴相切时的半径长，结合图形即可得到答案； （3）求出当恰好经过原点时的半径长，结合图形可知，当恰好与x轴相切时，恰好经过原点时，此时与坐标轴有3个交点； （4）当半径大于与x轴相切时的半径长时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，出去经过原点时的半径长，此时与坐标轴有4个交点，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，当恰好与y轴相切时，设切点为C，连接， ∴轴， ∵， ∴， 当时，必定与y轴有两个交点，当时，与x轴和y轴都无交点， ∴当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：； （2）解：如图所示，当恰好与x轴相切时，设切点为D，连接， ∴轴， ∵， ∴， ∴当时，与y轴有两个交点，与x轴无交点， 当时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时与坐标轴最少有3个交点， ∴当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：；    （3）解：由（2）可知，当时，与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是原点， ∴当时，与坐标轴有3个交点； 如图所示，当恰好经过原点时，此时与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但是其中有一个交点是原点，即此时与坐标轴有三个交点， ∴此时； 综上所述，当或时，与坐标轴有三个交点， 故答案为：或；    （4）解：如图所示，当或时，与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，且不经过原点，即此时与坐标轴有4个交点， 故答案为：或．    19．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．    (1)点M的坐标是 ； (2)判断与y轴的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)相交，理由见解析 【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心； （2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系． 【详解】（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示：    根据网格的特征可得：点M的坐标为， 故答案为：． （2）相交． 根据网格特征可得： 的半径 圆心M到y轴的距离 ∴ ∴与y轴相交． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 21．（2023九年级下·全国·专题练习）在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆与直线的位置关系，过C作于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据圆与直线相离得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过C作于D， ∵， ∴， ∵与相离， ∴半径r满足， 故选：C． 22．（24-25九年级上·北京西城·期中）在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得与的位置关系． 【详解】如图： ，平分， ， 为的半径， 是的切线， 与的位置关系是相切． 故选：B． 23．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 24．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）在平面直角坐标系中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接，当时，则称点P为线段关于y轴的“半直点”；例：如图点，；则点就是线段关于y轴的一个“半直点”；若点，点，则线段关于y轴的“半直点”个数有（        ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，圆与直线的位置关系，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，设，由，可得E坐标，以E为圆心，的长为半径作，判断与y轴交点个数即可求解． 【详解】以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，如图： 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， 解得， ∴， ∴， 以E为圆心，的长为半径作，过E作轴于H，如图： ∵，， ∴与y轴有两个交点M、N 此时， ∴线段关于y轴的“半直点”个数有2个，为M、N， 故选：C． 25．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 26．（2023·江苏盐城·一模）如图，点A的坐标是，点B是以为直径的上一动点，点A关于点B的对称点为C．当点B在上运动时，所有这样的点C组成的图形与直线有且只有一个公共点，则a的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，轨迹等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接，首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆，当与直线相切时，点P组成的图形与直线有且只有一个公共点，设切点为G，连接．求出即可． 【详解】解：如图，连接，直线交x轴于点，交y轴于点F， ∵， ∴， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心−a为半径的圆，当与直线相切时，点P组成的图形与直线有且只有一个公共点，设切点为G，连接． 在中， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题关键是掌握若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．分两种情况讨论：①当与相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；②当和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，圆的半径大于． 【详解】解：①如图，当与相切时，与射线有1个公共点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即圆的半径是4； ②如图，当和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，与射线有1个公共点， 点在内， 半径， 综上可知，与射线有1个公共点，则r的取值范围是或， 故答案为：或． 28．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解答本题的关键要画出图形，利用数形结合可轻松解答． 根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答.若，则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：作由图可知，的取值范围在和之间． 在直角三角形中， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 则的取值范围是， 故答案为：． 29．（24-25九年级上·北京·期中）已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理， （1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论； 正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， ∵，的半径是，， ∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大， 最大值为：， 故答案为：； （2）如图2， ∵，是直线与的公共点，线段的长度最大， ∴线段是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 30．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，，，当的半径r为何值时，与直线相离？相切？相交？    【答案】见解析 【分析】作于，根据含角的直角三角形的性质得出，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法即可得出结论． 【详解】解：作于，如图所示： ， ， 当时，和直线相离； 当时，和直线相切； 当时，和直线相交．    【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系、含角的直角三角形的性质；设的半径为，圆心到直线的距离为．若直线和相交；直线和相切；直线和相离． 31．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的交轴负半轴于，交轴正半轴于，交轴于、． (1)若点坐标为，求点坐标． (2)在（1）的条件下，上是否存在点，使，若存在，求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)过作的切线，过作于，交于，当的半径大小发生变化时，的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值． 【答案】(1) (2)存在，，； (3)的长不变，且为12． 【分析】（1）连接，根据点和点的坐标可得出的半径，即的长，利用的坐标即可得出的坐标； （2）假设存在这样的点，根据题意，可知为等腰直角三角形，且．根据圆的方程和两点的距离公式列出方程组，解之即可得出点的坐标； （3）作于，则，易证，故．从而可证为一定值． 【详解】（1）解：连接， ，， ，， 故， 即的半径为10； ， ， 即得； （2）解：假设存在这样的点，过程如下： ∵点在上，且， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形，且， 故； 结合题意有， 解之得：或， 即存在两个这样的点，即，； （3）解：的长不变，且为12．过程如下： 如图2，连接，作于， 则， 切， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 即． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查的是垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质，方程组的解法，综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键． 32．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)2 (2)相离．理由见解析 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，如果圆心到直线的距离为，圆的半径为，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． （1）作于，连接，根据垂径定理和勾股定理求出的长，根据直线与圆的位置关系得到答案； （2）求出的长，根据直线与圆的位置关系进行判定． 【详解】（1）作于，连接， 则， 则， 答：以为圆心，作一个与直线相切的圆，所作的圆的半径是2； （2）作于， 则， ， ， 所作的圆与直线相离． 33．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在 中， ，点O是的中点，以O为圆心，r为半径作．    (1)当r满足什么条件时，与 的边有2个公共点？ (2)当r满足什么条件时，与 的边有3个公共点？ (3)当r满足什么条件时，与 的边有4个公共点？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是： （1）根据勾股定理逆定理判断出，取中点E，取中点F，连接，，根据三角形中位线定理可求出，，然后数形结合即可解答； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，然后数形结合即可解答； （3）结合（1）中结论，数形结合即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 取中点E，取中点F，连接，，    则，，，， ∴，， ∵点O是的中点， ∴， ∴当时，与的边有2个公共点； （2）解：由（1）知：当时，与相切，    ∴当时，与的边有3个公共点， ∵，点O是的中点， ∴， ∴当时，与的边有3个公共点， 综上，当或时，与的边有3个公共点； （3）解：由（1）知：当时，与相切，    此时与的边有5个公共点， ∴当时，与 的边有4个公共点． 34．（24-25九年级上·福建福州·期中）在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于． (1)依题意补全图形； (2)求直线与图形的公共点的个数． 【答案】(1)见解析； (2)直线与图形的公共点的个数为个，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，垂直平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，证明为的切线，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点到点，的距离都等于， ∴点为的中垂线与的交点， ∵到点的距离等于的所有点组成图形W， ∴图形是以点为圆心，为半径的圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上，即点在图形， 根据题意补全图形如图所示， （2）解：直线与图形的公共点的个数为个； 连接，如图： ∵， ∵点到点的距离也等于， ∴为的切线， ∴直线与图形的公共点的个数为个． 35．（23-24九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式：，例如，求点到直线的距离． 解：由直线知：，，，所以到直线的距离为， 根据以上材料，解决下列问题： (1)求点到直线的距离； (2)在（1）基础上，若以点为圆心，半径为2作圆，请直接写出直线与圆的位置关系． 【答案】(1)1 (2)直线与圆的位置关系是相交 【分析】（1）根据题中给出的点到直线的距离公式求解即可； （2）根据圆心到直线的距离小于半径即可判断出直线与圆相交． 【详解】（1）解：点到直线的距离． （2）解：∵点到直线的距离为1， 的半径为2， ∴直线与圆的位置关系是相交． 【点睛】本题考查了新定义问题，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到直线的距离的求法． ( 33 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$