精品解析：江西省南昌市第十中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

南昌十中2024-2025学年上学期第二次月考考试 高一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【分析】命题“，”是全称题词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是“，”. 故选：C 2. 若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的性质利用中间量法，即可求解. 【详解】解：因为，所以， 故选：A. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数定义域化简集合；根据指数函数值域化简集合，再求交集即可. 【详解】因为，， 所以； 故选：B 4. 若x，y为实数，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. 27 C. 54 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案． 【详解】由题意可得， 当且仅当时，即等号成立. 故选：C． 5. 某中学选派270名学生参加南昌市广播体操比赛，其中高一108人，高二、高三各81人，现要在比赛前抽取10人参加检验训练熟练度，考虑选用简单随机抽样、分层抽样两种方案，将学生按高一、高二、高三依次统一编号为1，2，…，270．如果抽到的号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 则不可能为分层抽样的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】设在高一，高二，高三分别抽取人，分层抽样即等比例抽样，要求各层的抽样比相同，即，解得，再按照编号从各层中抽取即可. 【详解】设在高一，高二，高三分别抽取人， 则由分层抽样可知，解得， 由题意可知，需要从高一编号1到108里抽取4个，从高二编号109到189里抽取3个， 从高三编号190到270里抽取3个，所以④中的111不符合题意. 故选：D 6. 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ） A. 4，0.7 B. 5，0.7 C. 4，0.65 D. 5，0.65 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C 7. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇函数的性质解抽象函数不等式即可； 【详解】函数的定义域为R， 又，所以为奇函数. 又，在定义域R上单调递增，所以在R上单调递增， 所以， 即，解得， 故选：A. 8. 设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作函数的图象，令，由条件可得有两个不相等零点，且，结合二次函数的图象性质列出不等式组，求解即得参数范围. 【详解】画出的图象如下： 令，则函数至多两个零点， 而至多三个根，同理至多三个根， 要想有六个不同的零点， 需有两个不相等零点，不妨设， 且和均有三个根，且根各不相同， 所以，又时，的值为， 所以，解得：， 故. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列正确的有（ ） A. 为调查全市人口寿命，随机抽查了500名居民，则样本是500名居民 B. 的零点是 C. 函数恒过定点 D. 若的定义域为，则的定义域为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据随机抽样、零点、对数型函数的定点、函数的定义域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，样本是名居民的寿命，所以A选项错误. B选项，是增函数，且， 所以的零点是，所以B选项错误. C选项，由解得， 所以函数恒过定点，C选项正确. D选项，的定义域为，则对于， 有，解得，所以D选项正确. 故选：CD 10. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于y轴对称 C. 的图象关于原点对称 D. 在定义域上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】计算判断A；由函数的奇偶性判断BC；结合复合函数的单调性判断方法判断D. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，C，因为，其定义域为， 显然定义域关于原点对称，且， 即为奇函数，所以的图象关于原点对称，故B错误，C正确； 设，则， 因为在和上单调递减， 又在定义域上单调递增， 所以在和上单调递减，故D错误； 故选：AC. 11. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；令可得奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中，令得，因此， 再令得，则，故A错误； 对于B，令得，所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则等价于， 又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在新冠病毒防疫期间，市场监管局为监管某工厂的口罩生产质量，随机调取这个工厂生产的600个口罩，利用随机数表进行抽样测试，先将600个口罩进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本．以下是随机数表的其中三行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 54 36 34 8 53 59 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 2 若从表中这三行中的第3行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号为______． 【答案】348 【解析】 【分析】按照题中规则在随机数表中依次取数，不大于600且不重复的数据留下，其他去掉，即得结果. 【详解】根据题意，依次获取的样本编号为： 436，535，348，…故第3个样本编号是348. 故答案为：348. 13. 的定义域为，则的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域可求出，的值，再利用复合函数的单调性即可求出的单调递增区间. 【详解】要使有意义，则，即， 又因为的定义域为，所以， 所以，所以， 令，其单调递减区间为， 又在上单调递减， 所以由复合函数的单调性知，的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得的图象关于直线对称，且在上单调递增，结合函数性质化简不等式，求其解集. 【详解】为偶函数，其图象关于轴对称， 的图象关于直线对称. 又当时，， 在上单调递增， 故不等式可等价为， 即， 当时，不等式可化为，即，无解， 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）； （2）已知，用表示. 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）根据对数恒等式，对数的换底公式的推论及对数运算法则化简求值； （2）由条件，结合指数与对数的关系可得，再结合换底公式由表示. 【详解】（1） ； （2）因为，故， 故. 16. 已知函数 （1）求的值； （2）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间； （3）若；求的取值范围. 【答案】（1） （2） 单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）结合分段函数解析式先求，再求的值， （2）结合一次函数图象和指数函数特点作函数的图象，观察图象写出单调区间； （3）讨论，化简不等式，求其解集. 【小问1详解】 由已知可得，， 所以，， 【小问2详解】 如图，作出函数的图象 由图象可知，函数的单调减区间为，单调增区间为， 【小问3详解】 当时，由可得，，解得，所以； 当时，由可得，，根据指数函数的性质解得，所以 综上所得，的取值范围. 17. 已知函数是偶函数，其中为实数． （1）求的值； （2）若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数性质列方程求参数； （2）根据题设有，换元法有在上的最小值为0，结合二次函数性质讨论参数求对应值，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，则， 所以，可得恒成立， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，则， 由，令，则的最小值为0， 显然开口向上且图象对称轴为， 当，则，与前提矛盾； 当，则（负值舍）； 当，则，与前提矛盾； 综上，. 18. 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】（1）； （2）且定义域为； （3）441 【解析】 【分析】（1）根据题设有，即可求参数； （2）根据数据的增长趋势确定模型，再由求参数，即可得解析式和定义域； （3）根据（1）（2）得，结合相关函数的单调性求最小值. 【小问1详解】 由题意，，可得； 【小问2详解】 由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①②不符合， 所以，选③， 则，可得，即， 综上，且定义域为； 【小问3详解】 由题意， 所以， 当，， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元； 当，在上单调递减， 此时最小值为元； 综上，的最小值是441. 19. 设，对一般的函数，定义集合所含元素个数为的“等值点数”，记为．现已知函数，常数． （1）对函数，当时，，求的取值范围； （2）求的最大值； （3）设函数若的最大值为3，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）参变分离结合对勾函数图像即可求解； （2）通过和两类情况讨论，借助一元二次方程根的分布即可求解； （3）通过，，，，五种情况讨论即可. 【小问1详解】 ，即当时，有个解，参变分离得： ，由函数的图像， 可得：. 【小问2详解】 当时，单调递增，此时； 当时，，设，则， 在时，单调递减， 在时，单调递增， 故当时，单调递增，， 当时，单调递减，， 因此关于的根的分布如下： ①当时，恰有一个根； ②当，恰有两根，，； ③当，恰有3个根，，， ④当时，恰有2个根； ⑤当时，恰有1个根. 故当时，取到最大值3. 【小问3详解】 设，则，其中的根的分布同（1）， 接下来解方程注意， ①当时，在上单调递增，且，故，不符合题意； ②当时，在上单调递减，且，故，不符合题意； ③当时，，在上单调递减，上单调递增， ，故，不符合题意； ④当时，在时单调递减，在上单调递增，且，， 此时取，则的三个根恰一一对应的三个根，且没有其他根， 故此时，而对的其它取值，，故的最大值为3； ⑤当时，在上单调递增，，， 故只需保证当时，的三个根落在的值域中，即，解得：，符合题意； 综上所述，当且仅当时，的最大值为3. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十中2024-2025学年上学期第二次月考考试 高一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若x，y为实数，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. 27 C. 54 D. 90 5. 某中学选派270名学生参加南昌市广播体操比赛，其中高一108人，高二、高三各81人，现要在比赛前抽取10人参加检验训练熟练度，考虑选用简单随机抽样、分层抽样两种方案，将学生按高一、高二、高三依次统一编号为1，2，…，270．如果抽到的号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 则不可能为分层抽样的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ） A. 4，0.7 B. 5，0.7 C. 4，0.65 D. 5，0.65 7. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列正确的有（ ） A. 为调查全市人口寿命，随机抽查了500名居民，则样本是500名居民 B. 的零点是 C. 函数恒过定点 D. 若的定义域为，则的定义域为 10. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于y轴对称 C. 的图象关于原点对称 D. 在定义域上单调递减 11. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在新冠病毒防疫期间，市场监管局为监管某工厂的口罩生产质量，随机调取这个工厂生产的600个口罩，利用随机数表进行抽样测试，先将600个口罩进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本．以下是随机数表的其中三行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 54 36 34 8 53 59 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 2 若从表中这三行中的第3行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号为______． 13. 的定义域为，则的单调递增区间为______． 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）； （2）已知，用表示. 16. 已知函数 （1）求的值； （2）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间； （3）若；求的取值范围. 17. 已知函数是偶函数，其中为实数． （1）求的值； （2）若函数的最小值为0，求实数的值． 18. 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 19. 设，对一般的函数，定义集合所含元素个数为的“等值点数”，记为．现已知函数，常数． （1）对函数，当时，，求的取值范围； （2）求的最大值； （3）设函数若的最大值为3，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $