第7讲 长方体和正方体（3）-2024-2025学年五年级数学寒假自学课（人教版）

第7讲 长方体和正方体（3） 课前导入 【思考】同学们，你们知道乌鸦是怎么喝到水的吗？ 知识点精讲 知识点一 体积和体积单位 内容 体积的认识 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 体积单位的认识 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，分别写成cm3，dm3， m3。 【注意】相邻体积单位之间的进率为1000。 物体所占（    ）的大小，叫物体的体积。例1 A．空间 B．位置 C．面积 D．表面 用数量相同的一元硬币垒成下边的形状，比较他们的体积，（    ）。例2 A．甲比较大 B．乙比较大 C．一样大 D．无法确定大小 在实际生活中，下列物体的体积最接近1立方分米的是（    ）。练1 A．一个书包 B．一个苹果 C．一块橡皮 D．一粒花生 8立方米＝( )立方分米      2800立方厘米＝( )立方分米练2 知识点精讲 知识点二 长方体和正方体的体积 内容 长方体的体积 长方体的体积 = 长 × 宽 × 高。 正方体的体积 正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长。 【注意】 用字母表示为： 长方体的体积：V = abh； 正方体的体积：V = a·a·a。 如图所示，一个长方体前面的面积是32cm2，高是4cm，宽是3cm，要计算这个长方体的体积，正确的算式是（    ）。例1 A．3×4 B．32×3 C．32×4 D．32×3×4 一个长方体的体积是48立方厘米，它的长是6厘米，宽是2厘米，高是（    ）。例2 A．4厘米 B．2厘米 C．6厘米 D．8厘米 一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的（    ），体积扩大到原来的（    ）。练1 A．2倍，4倍 B．4倍，8倍 C．8倍，16倍 D．4倍，16倍 如图，皮皮的身高是1.5m，在他的身旁有一个正方体集装箱，该集装箱的体积大约是（    ）。练2 A．8m3 B．18m3 C．27m3 D．54m3 一、选择题 1．一个长方体的体积是54立方厘米，它的底面积是9平方厘米，那么它的高是（    ）。 A．6厘米 B．45厘米 C．0.6米 D．8厘米 2．一个正方体的底面周长是12厘米，它的体积是（    ）立方厘米。 A．9 B．27 C．36 D．72 3．下面物品中，体积比1dm3大的是（    ）。 A．一个鹅蛋 B．一块橡皮 C．一个鼠标 D．一台打印机 二、填空题 4．长方体中，相交于一个顶点的三条棱的长度分别是3分米、4分米、5分米。这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 5．一种面包的形状是近似的长方体，长20厘米，宽和高都是8厘米，妈妈从面包上切下一部分当早餐，剩下的正好是一个最大的正方体，剩下的正方体面包的体积是( )立方厘米。 6．3立方米＝( )立方分米     1800立方厘米＝( )立方分米 三、判断题 7．在立方米、立方分米和立方厘米中，相邻两个单位间的进率是1000。( ) 8．底面积相等的长方体和正方体，体积也一定相等。( ) 9．蜡像厂把一个实心工艺品“千里马”熔化后，又在无损耗的情况下塑成了另一个实心工艺品“拓荒牛”，这两件工艺品中，“千里马”的体积等于“拓荒牛”的体积。( ) 四、计算题 10．计算长方体体积和正方体表面积。（单位：米）      五、解答题 11．下图是用棱长为1厘米的小正方体拼成的，说出它的体积是多少？ 12．有一个棱长为6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为7.5千克，这个铁块重多少千克？ 13．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米，那么正方体的棱长是多少厘米？正方体的体积是多少立方厘米？ 14．我国是建造船闸最早的国家。当大坝两旁的水位落差大时，人们建造船闸帮助轮船顺利通过大坝。为了探究船闸工作原理，同学们制作了两级船闸的模型（闸门厚度不计）。 （1）如图所示，B闸室现在水的体积是多少立方厘米？ （2）打开中间闸门后，水面高度是多少厘米？ 15．国家游泳中心又名“水立方”，在2022年北京冬奥会变身为“冰立方”，成为国际首个泳池上架设冰壶赛道的“双奥场馆”。 （1）在“水立方”游泳池的四壁和底面贴瓷片，贴瓷片的面积至少是多少平方米？ （2）“冰立方”内有4条冰壶赛道，一共需要用冰大约多少立方米？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： A例1 【分析】物体所占空间的大小，叫做物体的体积。如：求一台饮水机所占空间的大小就是求饮水机的体积。 【详解】物体所占空间的大小，叫做物体的体积。 故答案为：A C例2 【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积；根据生活实际，每枚一元硬币的体积是一定的，甲乙两个形状的体积都是硬币数量×每个硬币体积，据此分析。 【详解】由分析可知： 用数量相同的一元硬币垒成下边的形状，甲乙两个形状的体积是一样大的。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握体积的意义及应用。 B练1 【分析】棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，据此分析。 【详解】A．一个书包比1立方分米大得多； B．一般一个苹果比1立方分米小，有些特大型号的苹果体积可能接近1立方分米； C．一块橡皮一块橡皮比1立方分米小得多； D．一粒花生比1立方分米小得多。 体积最接近1立方分米的是一个苹果。 故答案为：B 8000 2.8练2 【分析】①1立方米＝1000立方分米，高级单位换算成低级单位，乘进率； ②1立方分米＝1000立方厘米，低级单位换算成高级单位，除以进率。 【详解】①8×1000＝8000（立方分米） ②2800÷1000＝2.8（立方分米） 【点睛】本题主要考查单位之间的换算，低级单位变高级单位除以进率，高级单位变低级单位乘进率。 知识点二： B例1 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，因为长方体前面的面积＝长×高，所以用前面的面积乘宽等于长方体的体积。 【详解】长方体的体积：32×3＝96（cm3） 要计算这个长方体的体积，正确的算式是32×3。 故答案为：B A例2 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，已知长方体的体积是48立方厘米，它的长是6厘米，宽是2厘米，代入到公式中，即可求出长方体的高。 【详解】48÷6÷2＝4（厘米） 即高是4厘米。 故答案为：A 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积公式求解。 B练1 【分析】设原来正方体棱长为1米，则扩大后的正方体棱长为2米；根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出扩大后正方体的表面积、体积，原来正方体的表面积、体积，再用扩大后正方体的表面积÷原来正方体的表面积；扩大后正方体的体积÷原来正方体的体积，即可解答。 【详解】设原来正方体的棱长为1米，则扩大后正方体的棱长为1×2＝2（米） （2×2×6）÷（1×1×6） ＝（4×6）÷（1×6） ＝24÷6 ＝4 （2×2×2）÷（1×1×1） ＝（4×2）÷（1×1） ＝8÷1 ＝8 一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 故答案为：B C练2 【分析】看图可知，集装箱的高度大约是2个皮皮的身高，皮皮的身高×2＝正方体集装箱棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出集装箱的体积即可。 【详解】1.5×2＝3（m） 3×3×3＝27（m3） 该集装箱的体积大约是27m3。 故答案为：C 1．A 【分析】根据长方体的高＝体积÷底面积，代入数据计算即可。 【详解】长方体的高： 54÷9＝6（厘米） 故答案为：A 【点睛】灵活运用长方体体积计算公式是解题的关键。 2．B 【分析】根据正方体的棱长相等，底面周长就是4条棱长的和，用12÷4即可求出正方体的棱长，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出正方体的体积。 【详解】12÷4＝3（厘米） 3×3×3＝27（立方厘米） 体积是27立方厘米。 故答案为：B 3．D 【分析】棱长为1dm的正方体，体积是1dm3，一个魔方的体积大约是1dm3，根据对体积单位的认识以及生活经验进行解答。 【详解】A．一个鹅蛋的体积大约是60cm3，比1dm3小； B．一块橡皮的体积大约是10cm3，比ldm3小； C．一个鼠标的体积大约是50cm3，比1dm3小； D．一台打印机的体积大约是20dm3，比1dm3大。 所以体积比1dm3大的是打印机。 故答案为：D 4． 94 60 【分析】长方体中，相交于一个顶点的三条棱的长度即是长方体的长、宽、高。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据计算。 【详解】表面积：（3×4＋3×5＋4×5）×2 ＝（12＋15＋20）×2 ＝47×2 ＝94（平方分米） 体积：3×4×5＝60（立方分米） 则这个长方体的表面积是94平方分米，体积是60立方分米。 5．512 【分析】根据题意可知，剩下的正好是一个最大的正方体，说明剩下的是一个以8厘米为棱长的正方体，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出剩下的正方体面包的体积即可。 【详解】体积： （立方厘米） 所以剩下的正方体面包的体积是512立方厘米。 6． 3000 1.8 【分析】1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率。 【详解】3×1000＝3000（立方分米） 1800÷1000＝1.8（立方分米） 所以3立方米＝3000立方分米，1800立方厘米＝1.8立方分米。 7．√ 【详解】在立方米、立方分米和立方厘米中，相邻两个单位间的进率是1000。 比如：1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米。 所以原题说法正确。 故答案为：√ 8．× 【分析】根据V＝Sh可知，长方体、正方体的体积是由底面积与高的乘积决定的，据此判断。 【详解】根据体积＝底面积×高，可知底面积相等的长方体和正方体，如果它们的高相等，则它们的体积相等；如果它们的高不相等，那么它们的体积就不相等。 原题说法错误。 故答案为：× 9．√ 【分析】根据体积的意义：物体所占空间的大小是物体的体积；把“千里马”熔化塑成了“拓荒牛”，可知只是两件工艺品的形状的变化，而体积没有变化。据此解答。 【详解】由分析可知： 蜡像厂把一个实心工艺品“千里马”熔化后，又在无损耗的情况下塑成了另一个实心工艺品“拓荒牛”，这两件工艺品中，“千里马”的体积等于“拓荒牛”的体积。原说法正确。 故答案为：√ 10．120立方米；486平方米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。 【详解】8×3×5 ＝24×5 ＝120（立方米） 9×9×6 ＝81×6 ＝486（平方米） 11．3立方厘米 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出一个小正方体的体积，再将其乘3，求出3个小正方体的体积之和。 【详解】1×1×1×3 ＝1×3 ＝3（立方厘米） 答：它的体积是3立方厘米。 【点睛】本题考查了正方体的体积，解题关键是熟记体积公式。 12．1620千克 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用6×6×6即可求出正方体铁块的体积，然后乘7.5即可求出这个铁块的重量。据此解答。 【详解】6×6×6×7.5 ＝216×7.5 ＝1620（千克） 答：这个铁块重1620千克。 【点睛】本题考查了正方体体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 13．棱长：8厘米；体积：512立方厘米 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入相应数值计算出长方体的棱长总和；因为长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和，正方体的棱长总和＝棱长×12，用计算出来的长方体棱长总和除以12，所得结果即为这个正方体的棱长；最后利用正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算即可解答。 【详解】（10＋8＋6）×4÷12 ＝24×4÷12 ＝96÷12 ＝8（厘米） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 答：正方体的棱长是8厘米，正方体的体积是512立方厘米。 14．（1）12000立方厘米 （2）30厘米 【分析】（1）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可； （2）根据长方体体积公式，求出A闸室现在谁的体积，加上B闸室现在水的体积，求出AB两个闸室水的体积和，AB两个闸室水的体积和÷AB两个闸室底面积和＝水面高度，据此列式解答。 【详解】（1）40×30×10＝12000（立方厘米） 答：B闸室现在水的体积是12000立方厘米。 （2）40×30×50＝60000（立方厘米） （60000＋12000）÷（40×30×2） ＝72000÷2400 ＝30（厘米） 答：打开中间闸门后，水面高度是30厘米。 15．（1）1700平方米 （2）56.96立方米 【分析】（1）由题可知，要在“水立方”游泳池四壁和底面贴瓷片，则贴瓷片的面积等于游泳池五个面的面积之和（除去上面），根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，进行计算即可； （2）根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，据此求出一条赛道需要用的冰的体积，再乘4即可，注意单位名数的统一。 【详解】（1）50×25＋（50×3＋25×3）×2 ＝1250＋（150＋75）×2 ＝1250＋225×2 ＝1250＋450 ＝1700（平方米） 答：贴瓷片的面积至少是1700平方米。 （2）8厘米＝0.08米 44.5×4×0.08×4 ＝178×0.08×4 ＝14.24×4 ＝56.96（立方米） 答：一共需要用冰大约56.96立方米。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$