第6讲 长方体和正方体（2）-2024-2025学年五年级数学寒假自学课（人教版）

第6讲 长方体和正方体（2） 课前导入 【思考】同学们，你们知道长方体或正方体展开后是什么形状吗？ 知识点精讲 知识点一 长方体和正方体的展开图 内容 长方体的展开图 长方体展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 正方体的展开图 口诀：首找同层隔一面，再找异层隔两面。 【注意】 正方体的展开图共有11种。 下列不是长方体侧面展开图的是（    ）。例1 A． B． C． D． 轩轩拿来一个正方体形状的包装盒，将它沿着棱剪开后的图形可能是（    ）。例2 A． B． C． D． 下列展开图中，能折成正方体的画“√”，能折成长方体的画“○”。练1 如图是正方体表面展开图，每两个相对面数字之和是10，请在这个正方体每个表面上填入适当的数。练2 知识点精讲 知识点二 长方体和正方体的表面积 内容 长方体的表面积 1. 长方体6个面的面积之和，叫作它的表面积； 2. 公式：（长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高）× 2。 正方体的表面积 1. 正方体6个面的面积之和，叫作它的表面积； 2. 公式： 棱长 × 棱长 ×6。 【注意】 1. 刷房子类问题中，只需要求5个面的面积； 2. 通风管问题中，只需要求4个面的面积。 计算下面长方体的表面积。例1 计算下面图形的表面积。（单位：分米）例2 一个长方体纸箱，长是5分米，宽是4分米，高是2分米，做这样一个纸箱至少需要( )平方分米的纸板。练1 一个正方体的棱长总和是72cm，它的棱长是( )cm，表面积是( )cm2。练2 一、选择题 1．如图是一个长方体的展开图，这个长方体的棱长之和是（    ）厘米。 A．160 B．90 C．60 D．40 2．如下图，长方体的底面积是（    ）cm2。 A．20 B．24 C．36 D．46 3．正方体的棱长扩大为原来的2倍，则表面积扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．6倍 二、填空题 4．端午节是中国四大传统节日之一，幸福小学举办“正方体礼盒”设计比赛。下图是丽丽设计的一款礼盒展开图，其中“端”字的对面是“( )”字。 5．如图是一个长方体纸盒的后面和左面。这个纸盒上面的面积是( )平方分米。 6．中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 三、判断题 7．一个正方体玻璃鱼缸的棱长是6分米，求制作这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃，就是求这个鱼缸的表面积是多少。( ) 8．求制作一个长方体通风管至少要用多少铁皮，就是求这个长方体5个面的面积。( ) 9．观察一个长方体，一次最多可以看到它的2个面。( ) 四、解答题 10．计算下面长方体和正方体的表面积。           11．已知一间卧室的长是5米，宽4米，高2.8米，门窗的面积是5平方米。如果在房间的四壁贴墙纸，每平方米的墙纸需要25元，装修这间卧室需要花费多少钱？ 12．一节长方体通风管（如图），长2米，宽和高都是2分米。做10节这样的通风管需要多少平方米铁皮？ 13．做一个棱长为0.6米的无底正方体玻璃罩，至少需要多少平方米的玻璃？ 14．把一个棱长46厘米的正方体纸箱各面都贴上红纸，作为捐款箱。 （1）至少需要多少平方厘米的红纸？（开口处忽略不计。） （2）如果只在棱上粘贴一圈胶带纸，一卷4.5米长的胶带纸够用吗？ 15．“垃圾分类扔，节约环保又卫生”。手工课上魏梓辰设计了一个小型的无盖干湿垃圾分类箱（如图所示）。他做这个干湿垃圾分类箱至少要用多少平方分米的材料？（材料厚度忽略不计） 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： B例1 【分析】把一个长方体的盒子沿棱剪开，可以归纳为以下几种常见情况： 1、“1－4－1”型 2、“2－3－1”型 3、“2－3－1”型 【详解】 A．，1－4－1型长方体展开图； B．，不是长方体展开图； C． ，1－4－1型长方体展开图； D．，2－3－1型长方体展开图。 不是长方体侧面展开图的是。 故答案为：B A例2 【分析】正方体展开图主要有以下几种类型：“141” 型：中间四个正方形，上下各一个正方形，共三行，231” 型：上面两个正方形，中间三个正方形，下面一个正方形，共三行， “222” 型：每行两个正方形，共三行，“33” 型：两行，每行三个正方形。 判断一个图形是否是按照棱剪开的正方体展开图，可从以下几点判断：首先，图形必须由六个正方形组成；其次，要判断相对面在展开图中不相邻；最后，观察各个正方形的拼接方式是否符合正方体结构特点，同一面上的四边在折叠后应能构成正方形的四条边，且不存在无法合理拼接成正方体的部分，据此解答。 【详解】 A．属于正方体展开图的1－4－1图形。 B．不属于正方体展开图。 C．不属于正方体展开图。 D．不属于正方体展开图。 故答案为：A 见详解练1 【分析】图①中展开图是1－4－1形式，且六个面都是一样的正方形，可以折成一个正方体； 图②中展开图是1－1－4形式，无法折成正方体或长方体； 图③中展开是1－4－1形式，且六个面中有两两相同的三组长方形，相对应位置的棱长也相等，可以折成长方体； 图④中展开图是2－4形式，无法折成正方体或长方体； 图⑤中展开是1－4－1形式，且六个面中有两两相同的三组长方形，相对应位置的棱长也相等，可以折成长方体。 【详解】图①能折成正方体，画“√”；图②都不行；图③能折成长方体，画“○”；图④都不行；图⑤能折成长方体，画“○”。 5；练2 3；8 【分析】题干中所给图片为“3－3”型的正方体平面展开图，每两个相对面用同一颜色标示出，再计算出正方体每个表面上的数。 【详解】正方体的相对面如图所示： 10－7＝3 10－5＝5 10－2＝8 将数字填在对应面上，如图所示： 【点睛】掌握正方体平面展开图的特征是解题关键。 知识点二： 4536cm2例1 【分析】根据，代入数据计算即可。 【详解】 （cm2） 长方体的表面积是4536cm2。 150平方分米例2 【分析】从图中可知，正方体的棱长是5分米，根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算，求出它的表面积。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 正方体的表面积是150平方分米。 76练1 【分析】这道题是求长方体的表面积，根据长方体的表面积S＝（长×宽＋宽×高＋高×长）×2即可解答。 【详解】（5×4＋5×2＋4×2）×2 ＝（20＋10＋8）×2 ＝38×2 ＝76（平方分米） 所以，做这样一个纸箱至少需要 76平方分米的纸板。 6 216练2 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12，所得结果即为这个正方体的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入相应数值计算即可解答。 【详解】这个正方体的棱长：72÷12＝6（cm） 表面积：6×6×6＝216（cm2） 因此它的棱长是6cm，表面积是216cm2。 1．A 【分析】通过观察图形可知，这个长方体的长是20厘米，两条宽与两条高的和是40厘米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式解答。 【详解】20×4＋40×2 ＝80＋80 ＝160（厘米） 这个长方体的棱长总和是160厘米。 故答案为：A 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的棱长总和公式及应用，关键是熟记公式。 2．C 【分析】长方体的底面是一个长是6cm，宽是6cm的长方形，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】6×6＝36（cm2） 长方体的底面积是36cm2。 故答案为：C 3．B 【分析】正方体表面积公式是，根据题意计算和时的两个长方体的表面积，再求表面积扩大到原来的几倍，据此解答。 【详解】当时， 当时， ，表面积扩大到原来的4倍。 故答案为：B 4．龙 【分析】2－2－2型正方体展开图，假如“午”在上面，则“端”在后面，“迎”在左面，“赛”在右面，“龙”在前面，“舟”在上面，正方体上面和下面相对，左面和右面相对，前面和后面相对，据此填空。 【详解】由分析可得：丽丽设计的一款礼盒展开图，其中“端”字的对面是“龙”字。 5．45 【分析】观察可知，这个长方体的长是9分米，宽是5分米，高是6分米，纸盒上面的长方形相邻的两条边是9分米和5分米，这两条边分别就是这个长方形的长和宽，根据长方形的面积＝长×宽，据此解答。 【详解】（平方分米） 这个纸盒上面的面积是45平方分米。 6． 2 16 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体灯笼的棱长；求四周围上灯笼布的面积，就是求正方体的侧面积，根据正方体侧面积公式：侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，即可解答。 【详解】24÷12＝2（dm） 2×2×4 ＝4×4 ＝16（dm2） 中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是2dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要16dm2的灯笼布。 7．√ 【分析】表面积是指物体所有面的面积总和。正方体玻璃鱼缸没有盖，所以鱼缸的只有5个面，制作这5个面至少需要多少平方分米玻璃，就是求这个鱼缸的表面积是多少。这个鱼缸的表面积＝棱长×棱长×5，代入数据计算，即可解答。 【详解】由分析得： 6×6×5＝180（平方分米） 制作这个鱼缸至少需要180平方分米玻璃。 一个正方体玻璃鱼缸的棱长是6分米，求制作这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃，就是求这个鱼缸的表面积是多少，该说法是正确的。 故答案为：√ 8．× 【分析】如下图，长方体通风管只有上下、前后4个面，所以求制作一个长方体通风管至少要用多少铁皮，是求这个长方体4个面的面积。 【详解】求制作一个长方体通风管至少要用多少铁皮，就是求这个长方体4个面的面积。 原题说法错误。 故答案为：× 9．× 【分析】长方体中共有6个面，其中3个面两两相对，能看到最多三个面。 【详解】长方体中有6个面，其中有3个面两两相对，即相同的面在相对面，只能看到一面，故一次最多能看到3个面。因此本题错误。 【点睛】本题主要考查的是长方体的表面积，解题的关键是合理运用长方体表面6个面的特征，进而判断本题正误。 10．正方体的表面积是150dm2；长方体的表面积是3.92m2 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式即可解答。 【详解】正方体的表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 长方体的表面积：（0.8×0.5＋0.8×1.2＋0.5×1.2）×2 ＝（0.4＋0.96＋0.6）×2 ＝1.96×2 ＝3.92（m2） 11．1135元 【分析】根据题意，贴壁纸的面积＝长方体卧室的侧面积－门窗的面积，根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出贴壁纸的面积，再乘25，即可求出需要花费的钱数。 【详解】（5×2.8＋4×2.8）×2－5 ＝（14＋11.2）×2－5 ＝25.2×2－5 ＝50.4－5 ＝45.4（平方米） 45.4×25＝1135（元） 答：装修这间教室需要花费1135元。 12．16平方米 【分析】一节长方体通风管，长2米，宽和高都是2分米，求做10节这样的管需要多少平方米铁皮，首先清楚这道题是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由四个长方形组成，缺少左右两个面；只求它的前后、上下4个面的面积之和；再乘10就得到做10节这样的管需要多少平方米铁皮。由此列式解答。 【详解】2分米＝0.2米 0.2×4×2×10 ＝1.6×10 ＝16（平方米） 答：做10节这样的通风管需要16平方米铁皮。 13．1.8平方米 【分析】至少需要多少平方米的玻璃就是求这个正方体的表面积，这个正方体是无底的玻璃罩是求五个面的面积和，即无底正方体的表面积＝棱长×棱长×5 【详解】0.6×0.6×5＝1.8（平方米） 答：需要1.8平方米的玻璃。 14．（1）12696平方厘米；（2）不够 【分析】（1）根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可； （2）正方体棱长和＝棱长×12，根据公式计算出需要胶带纸的长度，换算单位后与4.5米比较后判断够不够用即可。 【详解】（1）46×46×6 ＝2116×6 ＝12696（平方厘米） 答：至少需要12696平方厘米的红纸。 （2）46×12＝552（厘米） 552厘米＝5.52米 5.52＞4.5 答：一卷4.5米长的胶带纸不够用。 15．3600平方分米 【分析】观察示意图，长方体中间隔离处多了1个侧面，材料面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×3，据此列式解答。 【详解】40×20＋40×20×2＋20×20×3 ＝800＋1600＋1200 ＝3600（平方分米） 答：他做这个干湿垃圾分类箱至少要用3600平方分米的材料。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$