第5讲 长方体和正方体（1）-2024-2025学年五年级数学寒假自学课（人教版）

第5讲 长方体和正方体（1） 课前导入 【思考】同学们，你们知道长方体和正方体的特征吗？ 知识点精讲 知识点一 长方体的认识 内容 特征 1. 一般由6个长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形）围成的立体图形； 2. 长方体的棱：面和面相交的线段；顶点：棱和棱的交点； 3. 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。 【注意】 1. 长方体相对的面形状相同，大小相等； 2. 长方体的棱可分为3组，每组中的4条棱长度相等； 3. 棱长总和 = （长 + 宽 + 高）× 4 有3个袋子，每袋里面都有15根小棒，分别有3种长度。袋一：8厘米6根、6厘米5根、4厘米4根；袋二：8厘米5根、6厘米8根、4厘米2根；袋三：8厘米2根、6厘米3根、4厘米10根。关于袋子中的小棒能否拼成长方体，下面的哪个说法是正确的？（    ）例1 A．只有“袋一”能 B．只有“袋三”不能 C．“袋二”也不能 D．都能 一个物体的长、宽、高分别是26cm、18cm、1cm。这个物体可能是（    ）。例2 A．橡皮 B．铅笔盒 C．数学书 D．书柜 长方体有( )个顶点，( )个面，( )条棱；相对的面( )，相对的棱( )相等且互相平行。练1 要焊接一个长7cm，宽5cm，高3cm的长方体框架，可以准备7cm，5cm、3cm的铁丝各( )根。练2 知识点精讲 知识点二 正方体的认识 内容 特点 由6个完全相同的正方形围成的立体图形 【注意】 1. 正方体的所有面形状相同，大小相等； 2. 正方体的所有棱长相等； 3. 棱长总和 = 棱长 × 12. 用一根长12米的钢丝做一个正方体的框架，这个正方体框架的棱长是（  ）例1 A．12米 B．3米 C．1米 D．2米 正方体和长方体的不同点是（    ）。例2 A．对面相等 B．6个面相等 C．有8个顶点 D．有12条棱 亮亮用接头和小棒制作一个正方体框架，他已经完成部分(如图)。还需要( )个接头和( )根小棒。练1 正方体有( )个面且所有的面完全相同，它有( )条棱，所有棱的长度都相等。练2 一、选择题 1．在围长方体的操作活动中，老师为每位同学准备了如下图所示的五种纸板各若干张。（单位：cm） 要围成一个长方体，淘气先选择了1块①号纸板做底面，他还需要再选择（    ）。 A．①号2块，②号3块 B．①号1块，②号2块，③号2块 C．①号1块，③号2块，④号2块 D．①号1块，③号2块，⑤号2块 2．关于长方体和正方体的关系，表示正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．一个长15cm、宽7cm、高0.6cm的物体，最有可能是（    ）。 A．衣柜 B．数学书 C．橡皮 D．手机 二、填空题 4．数一数下面的图形各由几个小正方体组成。 ( )个   ( )个   ( )个 5．正方体是( )的长方体，长方体相对的两个面的大小( )。 6．一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、2厘米，它的棱长总和是( )厘米。 三、判断题 7．一个长方体有6个面、12条棱、8个顶点。( ) 8．特殊情况下长方体有4个面面积相等，8条棱长度相等。( ) 9．交于一个顶点的三条棱相等，这样的长方体一定是正方体。( ) 四、解答题 10．小红买了一个棱长6分米的储物箱，她要在每条棱上粘胶带，若每米胶带2.5元，至少需要买多少元的胶带？ 11．妈妈给奶奶买了一件母亲节礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要45厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 12．（1）这个纸巾盒的前面是什么形状？长和宽各是多少？和它相同的面是哪个？ （2）这个纸巾盒的右面是什么形状？长和宽各是多少？和它相同的面是哪个？ （3）哪几个面的长是24厘米，宽是12厘米？ 13．陈师傅将宣纸裁成了如图A的形状。艺术创作后，准备加上木条制作成长方体的灯罩（如图B所示）。要做出这样一个灯罩，至少需要木条多少厘米？ 14．某健身馆建了一个长80米、宽40米、深2米的游泳池，为确保游泳者的人身安全，工人师傅沿游泳池的内壁高1.5米处用红漆划了一条水位线，水位一般不得超过此线。 （1）这条线的长度是多少米？ （2）游泳池占地多少平方米？ 15．一个正方体骰子的棱长是20厘米，它的棱长总和是多少厘米？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： B例1 【分析】根据长方体的特征可知：长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，即长、宽、高各有4条。据此解答。 【详解】袋一：8厘米、6厘米、4厘米小棒的根数大于或等于4，所以袋一中的小棒能拼成长方体； 袋二：4厘米2根，小于4根，排除；可以用8厘米4根、6厘米8根拼成长方体，所以袋二中的小棒能拼成长方体； 袋三：8厘米2根，小于4根，排除；6厘米3根，小于4根，排除；只剩下4厘米10根，所以袋三中的小棒不能拼成长方体。 综上所述，只有“袋三”不能拼成长方体。 故答案为：B C例2 【分析】联系生活实际可知，橡皮的长不可能是26cm，铅笔盒的宽不可能是18cm，书柜的高不可能是1cm，用排除法找出正确的选项，据此解答。 【详解】分析可知，这个物体的长、宽、高分别是26cm、18cm、1cm，这个物体可能是数学书。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查对生活中长方体的认识，注意联系生活实际是解答题目的关键。 8 6 12 相等 长度练1 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同；长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫作长方体的长，宽，高；长方体相邻的两条棱互相垂直。 【详解】长方体有8个顶点，6个面，12条棱；相对的面相等，相对的棱长度相等且互相平行。 4练2 【分析】根据长方体的特征可知：长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；据此解答。 【详解】要焊接一个长7cm，宽5cm，高3cm的长方体框架，可以准备7cm，5cm、3cm的铁丝各4根。 知识点二： C例1 【详解】12÷12＝1（米）， 答：这个正方体框架的棱长是1米． B例2 【分析】长方体和正方体的特征可知：长方体和正方体都由6个面组成，都有8个顶点、12条棱； 不同点：长方体是相对的面完全相同，相对的4条棱相等；而正方体的6个面都相等，并且12条棱都相等；解答即可。 【详解】根据分析可知，正方体和长方体的不同点是6个面相等。 故答案为：B 4 7练1 【分析】根据正方体的特征，正方体有8个顶点，12条棱，每条棱长度相等。从题意可知：接头即顶点，小棒即棱，用8－4＝4（个）即还需4个接头；用12－5＝7（根）即还需7根小棒。据此解答。 【详解】根据分析可得： 8－4＝4（个） 12－5＝7（根） 亮亮用接头和小棒制作一个正方体框架，他已经完成部分有4个接头和5根小棒，还需要4个接头和7根小棒。 6 12练2 【分析】根据正方体的特征，正方体有6个面，每个面都是正方形，且面积相等，正方体有8个顶点，12条棱，每条棱长度相等，据此解答即可。 【详解】正方体有6个面且所有的面完全相同，它有12条棱，所有棱的长度都相等。 1．C 【分析】根据长方体的特征，长方体有6个面，上、下两个面相同，左、右两个面相同，前、后两个面相同，前后两个面长方形的长和宽分别为长方体的长和高，左右两个面长方形的长和宽分别为长方体的宽和高，上下两个面长方形的长和宽分别为长方体的长和宽，据此选择。 【详解】由分析可知： A．再选择①号2块，②号3块，这是①号两块和②号两块是相对的面，还有一块②号和一块③号不相同，不是一组对面，所以不能围成一个长方体； B．再选择①号1块，②号2块，③号2块，虽然每两块相对的面都相同，但是如果把①号两块看成上下底面，③号两块看成左右面，那么前后两个面长方形的长和宽分别为9和5，但是③号不是，所以不能围成一个长方体； C．再选择①号1块，③号2块，④号2块，每两块相对的面都相同，把①号两块看成上下底面，③号两块看成左右面，那么前后两个面长方形的长和宽分别为9和5，即④号，所以能围成一个长方体； D．再选择①号1块，③号2块，⑤号2块，虽然每两块相对的面都相同，但是如果把①号两块看成上下底面，③号两块看成左右面，那么前后两个面长方形的长和宽分别为9和5，但是⑤号不是，所以不能围成一个长方体。 故答案为：C 2．B 【分析】长方体是由六个长方形围成的立体图形，两两相对的面是两个相等的长方形；而正方体是特殊的长方体，即围成正方体的六个面都是相等的正方形。则正方体是特殊的长方体，长方体包含正方体。据此可得出答案。 【详解】正方体是一种特殊的长方体，则长方体包含正方体。 故答案为：B 3．D 【分析】根据生活实际，衣柜和数学书不可能只有0.6cm高，橡皮不可能有15cm长，只有手机最符合题中描述的尺寸。 【详解】一个长15cm、宽7cm、高0.6cm的物体，最有可能是手机。 故答案为：D 【点睛】本题考查了生活中的长方体，有一定生活常识是解题的关键。 4． 8 12 16 【分析】在数立体图形中的小正方体时，我们要注意不要忘记数“看不见”的小正方体了，再根据一层一层的数，做到不重复不遗漏，最后再把每一层的小正方体加起来即可，据此解答。 【详解】第一个立体图形有2层，第一层有6个，第二层有2个，一共6＋2＝8个小正方体； 第二个立体图形有3层，第一层有6个，第2层有4个，第3层有2个，一共6＋4＋2＝12个小正方体； 第三个立体图形有4层，第1层有6个，第2层有5个。第3层有4个，第4层有1个，一共6＋5＋4＋1＝16个小正方体。 5． 特殊 相等 【详解】长方体有6个面，每个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面面积相等。根据正方体的特征，长、宽、高都相等的长方体叫做正方体，正方体是特殊的长方体。 例如： 是一个正方体，棱长都相等； 是一个长方体，相对的面面积相等。 6．52 【分析】根据公式：长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】（6＋5＋2）×4 ＝13×4 ＝52（厘米） 即它的棱长总和是52厘米。 7．√ 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 长方体有12条棱，，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。 长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长宽高。据此解答。 【详解】根据分析可知，一个长方体有6个面、12条棱、8个顶点。原题干说法正确。 故答案为：√ 8．× 【分析】根据长方体的特征进行解答，长方体每个面都是长方形，特殊情况有两个面是正方形，8条棱长度相等。 【详解】由分析可得：特殊情况下长方体有2个面面积相等，8条棱长度相等；原题说法错误。 故答案为：× 9．√ 【分析】根据正方体的意义，如果相交于一个顶点的三条棱相等也就是长、宽、高相等。长、宽、高都相等的长方体叫做正方体。据此解答即可。 【详解】相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。此说法正确。 故答案为：√ 10．18元 【分析】根据正方体的特征可知，正方体有12条棱长，用棱长×12求出所有棱长的总和，把棱长总和的长度换算单位后，再乘每米胶带的价钱2.5元，即可求出需要买多少元的胶带。 【详解】12×6＝72（分米） 72分米＝7.2米 7.2×2.5＝18（元） 答：至少需要买18元的胶带。 【点睛】此题的解题关键是理解掌握正方体的特征以及棱长的应用。 11．245厘米 【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于8条棱长的长度＋打结处用的45厘米，由此列式解答。 【详解】8×25＋45 ＝200＋45 ＝245（厘米） 答：捆扎这个礼物一共需要245厘米丝带。 【点睛】此题属于正方体的棱长总和的实际应用，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答。 12．（1）长方形；长：24厘米；宽：9厘米；后面 （2）长方形；长：12厘米；宽：9厘米；左面 （3）上、下两个面 【分析】长方体的特征是有12条棱，8个顶点，6个面，互相平行的四条棱长度相等，相对的面是上面和下面，前面和后面，左面和右面，相对的面完全相同； 【详解】（1）这个纸巾和的前面是长方形，长是24厘米，宽是9厘米，和它相同的面是后面； （2）这个纸巾和的右面是长方形，长是12厘米，宽是9厘米，和它相同的面积是左面； （3）上、下两个面的长是24厘米，宽是12厘米。 13．280厘米 【分析】根据题意可知，灯罩的长36厘米、宽12厘米、高22厘米，根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答，即可求出至少需要多少厘米的木条。 【详解】 （厘米） 答：要做出这样一个灯罩，至少需要木条280厘米。 14．（1）240米 （2）3200平方米 【分析】（1）把这个游泳池看作是一个长方体，求这条线的长度也就是长方体两条长和两条宽的长度之和； （2）游泳池占地多少平方米，也就是求这个长方体的底面面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】（1）（80＋40）×2 ＝120×2 ＝240（米） 答：这条线的长度是240米。 （2）80×40＝3200（平方米） 答：游泳池占地3200平方米。 15．240厘米 【分析】根据正方体的特征：一共有12条棱且每条棱长都相等，因此正方体的棱长总和＝棱长×12，代入相应数值计算即可解答。 【详解】20×12＝240（厘米） 答：它的棱长总和是240厘米。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$