第五章 数列 章末测试-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第五章 数列章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（    ） A． B．4 C．8 D．或4 3．（24-25高二上·福建·期中）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 6．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 7．（湖南省九校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4049 B．4047 C．2025 D．2024 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）设数列的前项和为，若，且存在正整数，使得，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．的通项公式为 B．若，则 C．当时，取得最小值 D．数列的前10项和为58 10．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前10项和为 11．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，若一只蜜蜂从蜂房A出发，想爬到第号蜂房，只允许自左向右（不允许往回走），记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）在等差数列中，若，则的值为 . 13．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 14．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知. (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式. 16．（15分）（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 17．（15分）（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）若数列的前项和为，且，等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（17分）（24-25高三上·天津·阶段练习）已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 19．（17分）（23-24高三下·江苏无锡·阶段练习）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”. (1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由； (2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”， ①求证：数列为递增数列； ②求数列的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 数列章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 【答案】C 【分析】首先得出数列的通项公式，然后解方程即可求解. 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（    ） A． B．4 C．8 D．或4 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由成等比数列求出可得答案. 【详解】等差数列的公差为， 若成等比数列，则， 即，解得，， 当时，， 当时，，此时不能构成等比数列，故舍去， 所以, 故选：B. 3．（24-25高二上·福建·期中）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解. 【详解】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为， 由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列， 则第n次着地后经过的路程为， 即，结合选项，检验时，，时，成立， 故选：A 4．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】根据数列的单调性求解. 【详解】. 当时，函数单调递减， 则当时，数列单调递减， 所以中的项最大为. 故选：D. 5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【详解】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以. 故选：B. 6．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据前项和公式得到通项公式，再根据裂项相消法求得最终结果. 【详解】当时，，则， 当时，， 则，所以， 又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 根据等比数列的通项公式可得，即， 因为，所以， 根据裂项相消法， 则， 故选：A. 7．（湖南省九校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4049 B．4047 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据计算化简得出数列是首项为2，公差为1的等差数列，进而得出通项公式即可求解. 【详解】当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 即，则， 当时，； 所以. 故选：A. 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）设数列的前项和为，若，且存在正整数，使得，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组求和求得，不妨令，解得，所以，因为，所以或17，分情况讨论可得答案. 【详解】因为，所以 不妨令，可得，解得或（舍去），所以. 又因为，所以或17， 因为，所以，所以 当时，由 所以 当时，由 又由 所以 所以的取值集合为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．的通项公式为 B．若，则 C．当时，取得最小值 D．数列的前10项和为58 【答案】ABD 【分析】利用，可求得数列的通项公式，进而逐项计算可判断正误. 【详解】由，令，可得. 当时，，两式相减得， 当时，也满足，所以的通项公式为，故A正确. 因为的公差为2，所以，则，故B正确. 由，得，所以时，取得最小值，故C错误. 当时，；当时，. 故，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前10项和为 【答案】BD 【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D. 【详解】当时，由，得，解得， 当时，， 即， 即数列为以为首项，以为公比的等比数列， 则，，，所以A、C错误，B正确； 又， 数列的前10项和为： ，D正确. 故选：BD. 11．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，若一只蜜蜂从蜂房A出发，想爬到第号蜂房，只允许自左向右（不允许往回走），记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据递推关系可得，即可代入求解ACD，结合，相减即可判断B. 【详解】依题意可知，该蜜蜂爬到第1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8，…，第号蜂房的路线数为，即， 所以，，，，，故A正确； 由于，则， 两式相减可得，所以，故B错误； 由于，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，进而变形计算可解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）在等差数列中，若，则的值为 . 【答案】40 【分析】由等差数列下标和的性质求得，进而可得目标式的值. 【详解】由题设， 所以. 故答案为：40 13．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列定义以及等比中项性质列方程组计算可得，求出数列的通项公式，再利用分组求和计算可得. 【详解】设等差数列的公差为， 由，成等比数列可得，即， 整理可得，又，解得， 所以，因此； 易知， 因此可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出数列的通项公式之后结合的性质利用分组求和即可得出结果. 14．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意整理可得，换元，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据函数单调性求最值结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】若数列为上的“凹数列”，则，即， 可得， 整理可得，即， 因为，令，可得， 当时，，可得， 原题意等价于对任意恒成立， 因为在上单调递增， 则在上单调递减，且当时，， 可知的最大值为， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：解决数列与函数综合问题的注意点 （1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点． （2）转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题． （3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知. (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出，然后当时，由题意可得，代入中化简可得，从而可得是以为首项，以为公差的等差数列， （2）由题意可得，由（1）可得，从而可求出，再由可求出，检验是否满足，从而可求出数列的通项公式 【详解】（1）当时，，易得, 当时，代入消去， 得， 化简得， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列； （2）易得，由（1）可得， 当时，可得， ， 显然不满足该式， 所以 . 16．（15分）（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可得，由此可得，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可得出的值，计算出的值，根据可得出关于的方程，即可解出的值； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. （2）由（1）可得， 所以，， 因此， . 17．（15分）（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）若数列的前项和为，且，等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由条件根据关系可得，证明数列是等比数列，由此可求，由条件求数列的公差，再求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）因为①， 所以②，， ①②得，又 所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列， ， ， 等差数列的公差为. （2）由（1）可得， ， 两式相减得， 18．（17分）（24-25高三上·天津·阶段练习）已知是公比大于0的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若，在与之间插入个，得到一个新数列. 是否存在正整数，使得数列的前项之和? 若存在，求出的值; 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据题意可得出关于的方程，解出的值，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得； （3）对在新数列中的位置分析，求得在新数列中为第项，然后对分组求和，得, 利用单调性解出不等式，当时的情况即可求得的值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 整理可得，因为，解得，故. （2）因为， 所以， . （3）由题意可知，设在数列中的项为， 则由题意可知，， 所以当时，， 设，解得， 当时，，， 因为且， 所以当时，. 19．（17分）（23-24高三下·江苏无锡·阶段练习）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”. (1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由； (2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”， ①求证：数列为递增数列； ②求数列的通项公式. 【答案】(1)数列不是“型数列”，理由见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用“型数列”定义判断即可； （2）①由已知可得，可得结论； ②因为数列不是“型数列”，可得，进而，可得趋近于，即可得，可求，可求数列的通项公式. 【详解】（1） 不满足“型数列”定义，数列不是“型数列”； （2）①∵正项数列为“型数列”， ∴数列为递增数列 ②设数列的公比为，， 又因为数列不是“型数列”，可得 可得，即得； 又数列为“型数列”，可得； 由①知为递增数列，因此当趋近于正无穷大时，趋近于，即可得； 综上可得， 即，可得； 所以数列是以为首项，公比为的等比数列； 即可得，可得； 所以数列的通项公式为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$