第02讲 弧度制及其与角度制的换算（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第02讲 弧度制及其与角度制的换算 课程标准 学习目标 1.理解弧度制的概念及其在数学和物理中的应用； 2.掌握弧度与角度的换算关系； 3.能运用弧度制进行简单的计算和推理； 4.了解弧度制在解决实际问题中的应用。 1.了解弧度制的概念、表示方法及其优点； 2.掌握弧度与角度的换算公式； 3.会进行弧度制下的简单计算。 知识点01　角度制与弧度制 1．角度制 把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即1°＝60′，1′＝60″． 2．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad．如图所示，因为的长等于半径r，所以所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角．这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制． 3．弧度数 由弧度制的定义可知，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝．弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度． 【解读】角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用. 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制 【即学即练1】（24-25高一上学期课时作业）下列说法正确的是(　 ) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 【答案】A 【解析】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误． 知识点02　角度制与弧度制的互化 1．弧度制与角度制的换算公式 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝. 2．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 度数×＝弧度数 弧度数×＝角度数 360°＝2π_rad 2π rad＝360° 180°＝π_rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝度≈57.30° 【解读】角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad， 充分利用1°＝ rad,1 rad＝进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝；n°＝n· rad． 【即学即练2】（24-25高一上山东期中）下列转化结果正确的是(　 ) A．72°化成弧度是 B．－π化成角度是－660° C．－150°化成弧度是－π D．化成角度是15° 【答案】AD 【解析】因为72°＝72×＝，所以A正确．因为－π rad＝－600°，所以B不正确．因为－150°＝－ rad，所以C不正确．因为 rad＝15°，所以D正确． 知识点02 弧长公式与扇形面积公式 1．弧长公式 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α，则α＝，变形可得l＝αr，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． 2．扇形面积公式 圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，所以圆心角为α rad的扇形面积S＝αr2，又因为l＝αr，代入上式可得S＝αr2＝lr，此公式称为扇形面积公式． 【解读】(1)在应用公式l＝αr和S＝lr＝αr2时，要注意α的单位是弧度． (2)在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入．　　 (3)弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(h是三角形底边a上的高)有类似的形式． (4)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量． 【即学即练3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，扇形的半径为， 因此该扇形的面积为. 故选：A. 题型01 弧度制 【典例1】（24-25高一上·河北·月考）下面关于弧度的说法，错误的是(　 ) A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数 B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝ C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为 D．航海罗盘半径为10 cm，将圆周32等分，每一份的弧长为 cm 【答案】D 【解析】根据弧度数定义可知A正确；根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为120°，即弧度数为，故C正确；圆周长为2πr＝20π cm,32等分后，每一份弧长为 cm，故D错误． 【变式1】下列说法中正确的是(　　) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 【答案】D　 【解析】利用弧度的定义及角度的定义判断，长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，而不是长度的度量单位，故A、B、C错误，选D. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（    ） A．正角或者负角的弧度数都是正数 B．四分之一圆所对的圆心角是 C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于 D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 【答案】B 【分析】根据弧度制的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，A错误； 整圆的圆心角是，故四分之一圆所对的圆心角是，B正确； 角的终边顺时针旋转一周得到的角是，角的终边逆时针旋转一周得到的角是，C错误； 无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，D错误． 故选：B 【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【答案】B 【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A，根据弧度制定义可知A错误； 对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为，即，故B正确； 对于C，经过5分钟分针转了，故C错误； 对于D，由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误. 故选：B． 题型02 角度制与弧度制的互化 【典例2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）将化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角度制转化为弧度制的方法求得正确答案. 【详解】． 故选：A 【变式2】（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解 【详解】因为，所以. 故选：A 【变式3】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是18° C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】AB 【分析】掌握的弧度制与角度制的数量关系计算即得. 【详解】对于A项，因，故A项正确； 对于B项，因，故B项正确； 对于C项，因，故C项错误； 对于D项，因，故D项错误. 故选：AB. 【变式4】（23-24高一下·陕西渭南·期中）（多选）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD. 【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 对C，，则与终边相同，而与终边相同， 且化为角度制即为，则与的终边相同， 则是与的终边相同的角的表达式，故C正确； 对D，由C得与终边相同， 则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确． 故选：CD． 题型03 弧长公式及应用 【典例3】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）某日，分针长为的时钟从走到，分针转动的弧度为，分针的针尖走过的弧长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据任意角定义可得弧度的大小，再由弧长公式计算可得弧长. 【详解】因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，可得， 由分针长为可得，弧长 故选：AC 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知半径为的圆上，有一条弧的长是120mm，且该弧所对的圆心角的弧度数为2，则（    ） A．30 B．60 C．90 D．100 【答案】B 【分析】根据弧长公式列方程，从而求得正确答案. 【详解】由弧长公式可得，，解得． 故选：B 【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意直接利用弧长公式求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，则由题意得，解得. 故选：A 【变式3】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知某扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为 【答案】 【分析】利用扇形的弧长公式即可得解. 【详解】因为扇形的半径为4，弧长为， 所以该扇形的圆心角为. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·江苏·阶段练习）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若该折扇的伞骨长为，那么全部打开后的扇面弧长为多少 【答案】 【分析】利用弧长公式进行求解. 【详解】，由弧长公式得cm. 故答案为： 题型04 扇形面积公式 【典例4】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若一个扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式求解即可. 【详解】. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·天津河北·阶段练习）半径为，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式直接计算. 【详解】已知扇形的半径为，圆心角为， 则扇形弧长， 面积. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形的面积公式，即可求得此扇形的面积，得到答案. 【详解】由题意，某扇形的半径为，圆心角为， 根据扇形的面积公式，可得 所以此扇形的面积为. 故选：A 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知扇形的圆心角为8rad，周长为50cm，则这条弧所对的圆的半径为 cm；面积为 ． 【答案】 5 100 【分析】根据扇形的弧长、面积公式等知识来求得正确答案. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，由题得，， 解得，故面积为． 故答案为：； 题型05 扇形中的最值问题 【典例5】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长； （2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可. 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 【变式1】（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是 . 【答案】 【分析】根据扇形弧长和半径的关系，将扇形面积表示为关于的二次函数，求最值. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，， 则， 当时，扇形面积最大，最大值为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， . （2）由已知得，， 所以，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，所以. 【变式3】（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 【答案】（1）；（2）扇形半径，扇形圆心角为，扇形面积最大值. 【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧所对的圆心角，再求出扇形面积及三角形面积即得. （2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得. 【详解】（1）如图，在圆中，弦，则是正三角形，，边上的高为， 因此，而扇形面积为， 所以弦和劣弧所组成的弓形的面积是.    （2）设扇形的半径为，则扇形弧长， 扇形面积，当且仅当时取等号， 所以扇形半径，扇形的圆心角为时，扇形面积取得最大值. 题型06 根据坐标运算求参数 【典例6】（23-24高一下·河南·开学考试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（    ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积. 【详解】如图， 设小圆的圆心为，则， 设，每个扇环形小拼盘对应的圆心角为， 则的长为，解得， 所以每个扇环形小拼盘的面积为 . 故选：C 【变式1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    【答案】 【分析】如图所示，过作于，的延长线交于，利用锐角三角函数求出、，即可求出，再由弧田面积公式计算可得. 【详解】如图所示，过作于，的延长线交于.    则，，所以，， 所以，， 所以矢为， 则弧田面积是. 故答案为：；. 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形的周长为，则该勒洛三角形的面积为 . 【答案】 【分析】,运用弧度之下的扇形面积公式，弧长公式求解即可. 【详解】因为勒洛三角形的周长为，所以每段圆弧长为，解得， 即正三角形的边长为1.由题意可得 . 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·辽宁本溪·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为 .    【答案】 【分析】利用扇形弧长公式结合题设条件列出方程，求出小扇型的半径，利用扇形面积公式计算大小扇形面积，作差即得扇环面积. 【详解】设，依题意可得，，解得， 故该扇环的面积为. 故答案为：. 【变式4】（23-24高一下·河北保定·开学考试）一扇环形砖雕如图所示，该扇环形砖雕可视为扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧长为分米，弧长为分米，则 分米，此扇环形砖雕的面积为 平方分米. 【答案】 6 【分析】根据弧长公式计算得，然后利用扇形面积公式求解砖雕面积即可. 【详解】设圆心角，则，解得分米，所以分米， 则此扇环形砖雕的面积为平方分米. 故答案为：6， 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断. 【详解】A,B弧度角度混用，错误. 与角终边相同的角可以表示，则C错误． 弧度制下表示为，则D正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧度制定义计算即可得. 【详解】， 故时针转过的弧度数为. 故选：D. 3．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度和角度的换算得到，然后利用弧长公式和扇形面积公式计算. 【详解】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为． 故选：B． 4．（23-24高一下·江苏常州·期中）若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】直接根据扇形弧长公式求解即可． 【详解】由扇形弧长公式，解得， 故选：D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由弧度与角度的关系即可得解. 【详解】根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为，即弧度数为． 故选：D． 6．（23-24高一上·天津河西·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（    ） ①；        ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①不正确； 由，且，可得为等边三角形，所以，所以②不正确； 由扇形的弧长公式，可得的长度为， 所以扇形的周长为，所以③正确； 由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④不正确. 故选：A. 7．（23-24高一下·北京·阶段练习）是圆心为的单位圆上两个动点，当面积最大时，则下列判断错误的是（    ） A． B．弧的长为 C．扇形的面积为 D．等边三角形 【答案】D 【分析】求出面积取最大值时，再逐项分析判断即得. 【详解】面积，当且仅当， 对于A，，A正确； 对于B，弧的长为，B正确； 对于C，扇形的面积为，C正确； 对于D，是等腰三角形，不是等边三角形，D错误. 故选：D 8．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高一上·全国·课后作业）下列各说法，正确的是（　　） A．半圆所对的圆心角是π rad B．圆周角的大小等于2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 【答案】ABC 【分析】根据弧度制的定义即可判断． 【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误， 根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确． 故选：ABC 10．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（    ） A．当扇形的面积最大时，扇形的半径为 B．扇形面积的最大值为 C．当扇形的面积最大时，扇形的半径为 D．扇形面积的最大值为 【答案】BC 【分析】由题意可知由扇形面积公式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】设扇形的半径和弧长分别为，由题意知： 则，当且仅当时，即时等号成立， 故BC正确，AD错误， 故选：BC． 11．（23-24高一下·安徽淮南·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1甲）图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和12，且，则该圆台的（    ） A．高为 B．上底面积和下底面积之比为1:4 C．表面积为 D．体积为 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得圆台的上、下底面半径和母线长、以及圆台的高，结合圆台的几何结构特征以及侧面积和体积公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，设圆台的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为， 则且，解得， 由圆台的母线长为，所以圆台的高为，故A正确； 对于B中，圆台的上、下底面面积比为，故B不正确； 对于C中，圆台的上、下底面面积为， 圆台的侧面积为， 圆台的表面积为，故C正确； 对于D中，圆台的体积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角，角，角，则角，角，角间的大小关系为 ． 【答案】 【分析】将弧度转化为角度，由此确定大小关系. 【详解】因为， 所以． 故答案为： 13．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，其周长是 ，则该扇形的面积是 【答案】 【分析】根据弧长公式以及面积公式即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，圆心角为，则， 根据周长可得，故， 所以扇形面积为， 故答案为： 14．（24-25高一上·全国·课后作业）中国古代数学著作《五曹算经》是算经十书之一．“田曹”卷中有这样一个问题：“今有环田，外周三十步，内周一十二步，径三步，一人绕内圆行二步，问其围田几何？”意思是：有一个环形的田地，外圆周长30步，内圆周长12步，圆环宽3步，一个人绕着内圆走了2步，已知圆心与此人的起点和终点形成的射线分别与内外圆相交，问此人在内圆行走的曲线和外圆围成的田地面积为 平方步（圆周率取3）． 【答案】 【分析】先设外圆，内圆的半径分别为，步，根据题意得， ，然后利用扇形面积公式计算即可. 【详解】设外圆的半径为步，内圆的半径为步， 则， 解得 因为圆环宽3步，所以， ， 又由题意得该人所走过的弧长对应的圆心角， 所以围成的面积为: 平方步． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿． (1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数； (2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据已知条件列方程，求得大轮转动的周数，从而求得大轮转动的弧度数. （2）先求得大轮的转速，根据大轮上每1s转过的弧长列方程，从而求得大轮的半径. 【详解】（1）设小轮转动一周时大轮转动周，则， 故大轮转动的弧度数为． （2）设大轮的半径为，易知大轮的转速为， 所以大轮上每1s转过的弧长为，故． 16．（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 【答案】(1) (2)弧度 【分析】（1）由扇形的弧长公式即可求解； （2）由扇形的周长和面积公式即可求解. 【详解】（1）因为弧度， 所以； （2）由题意得， 解得（舍去）或， 故扇形圆心角为弧度． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，一长为，宽为1的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．（圆心角为正） 【答案】 【分析】由已知，分别计算木块翻滚四次点A走过的路程，即三个弧长，及走过的弧所在的扇形的总面积即可． 【详解】由已知，在扇形中，圆心角恰为， 弧长， 面积． 在扇形中，圆心角也为， 弧长， 面积． 在扇形中，圆心角为， 弧长， 面积， 所以点A走过的路程长， 点A走过的弧所在的扇形的总面积． 18．（24-25高一上·吉林·期中）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若，求： (1)莱洛三角形的周长； (2)莱洛三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出一个扇形的弧长，进一步求出勒洛三角形的周长即可； （2）分别求出一个扇形的面积及正三角形的面积，进一步求出勒洛三角形的面积； 【详解】（1）因为，由于三角形为正三角形， 所以以为圆心的扇形的弧长是， 莱洛三角形的周长为； （2）因为，由于三角形为正三角形， 所以以为圆心的扇形的面积是， 又的面积是， 所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即． 19．（24-25高一上·全国·课后作业）某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 【答案】(1) (2)，当时，y取得最大值，最大值为 【分析】（1）通过表示出扇环形花坛的周长即可得出θ关于x的函数关系式； （2）列出y关于x的函数关系式，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由题意得，故． （2）花坛的面积为． 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用的比为． 令，则，则， 当且仅当，即时， y取得最大值，最大值为，此时，． 故当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 弧度制及其与角度制的换算 课程标准 学习目标 1.理解弧度制的概念及其在数学和物理中的应用； 2.掌握弧度与角度的换算关系； 3.能运用弧度制进行简单的计算和推理； 4.了解弧度制在解决实际问题中的应用。 1.了解弧度制的概念、表示方法及其优点； 2.掌握弧度与角度的换算公式； 3.会进行弧度制下的简单计算。 知识点01　角度制与弧度制 1．角度制 把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即1°＝60′，1′＝60″． 2．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad．如图所示，因为的长等于半径r，所以所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角．这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制． 3．弧度数 由弧度制的定义可知，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝．弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度． 【解读】角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用. 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制 【即学即练1】（24-25高一上学期课时作业）下列说法正确的是(　 ) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 知识点02　角度制与弧度制的互化 1．弧度制与角度制的换算公式 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝. 2．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 度数×＝弧度数 弧度数×＝角度数 360°＝2π_rad 2π rad＝360° 180°＝π_rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝度≈57.30° 【解读】角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad， 充分利用1°＝ rad,1 rad＝进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝；n°＝n· rad． 【即学即练2】（24-25高一上山东期中）下列转化结果正确的是(　 ) A．72°化成弧度是 B．－π化成角度是－660° C．－150°化成弧度是－π D．化成角度是15° 知识点02 弧长公式与扇形面积公式 1．弧长公式 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α，则α＝，变形可得l＝αr，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． 2．扇形面积公式 圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，所以圆心角为α rad的扇形面积S＝αr2，又因为l＝αr，代入上式可得S＝αr2＝lr，此公式称为扇形面积公式． 【解读】(1)在应用公式l＝αr和S＝lr＝αr2时，要注意α的单位是弧度． (2)在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入．　　 (3)弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(h是三角形底边a上的高)有类似的形式． (4)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量． 【即学即练3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（   ） A． B． C． D． 题型01 弧度制 【典例1】（24-25高一上·河北·月考）下面关于弧度的说法，错误的是(　 ) A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数 B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝ C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为 D．航海罗盘半径为10 cm，将圆周32等分，每一份的弧长为 cm 【变式1】下列说法中正确的是(　　) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（    ） A．正角或者负角的弧度数都是正数 B．四分之一圆所对的圆心角是 C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于 D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 题型02 角度制与弧度制的互化 【典例2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）将化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是18° C．化成弧度是 D．化成角度是 【变式4】（23-24高一下·陕西渭南·期中）（多选）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 弧长公式及应用 【典例3】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）某日，分针长为的时钟从走到，分针转动的弧度为，分针的针尖走过的弧长为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知半径为的圆上，有一条弧的长是120mm，且该弧所对的圆心角的弧度数为2，则（    ） A．30 B．60 C．90 D．100 【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知某扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为 【变式4】（24-25高一上·江苏·阶段练习）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若该折扇的伞骨长为，那么全部打开后的扇面弧长为多少 题型04 扇形面积公式 【典例4】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若一个扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·天津河北·阶段练习）半径为，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知扇形的圆心角为8rad，周长为50cm，则这条弧所对的圆的半径为 cm；面积为 ． 题型05 扇形中的最值问题 【典例5】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【变式1】（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是 . 【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【变式3】（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 题型06 根据坐标运算求参数 【典例6】（23-24高一下·河南·开学考试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（    ） A． B． C． D．. 【变式1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形的周长为，则该勒洛三角形的面积为 . 【变式3】（23-24高一下·辽宁本溪·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为 .    【变式4】（23-24高一下·河北保定·开学考试）一扇环形砖雕如图所示，该扇环形砖雕可视为扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧长为分米，弧长为分米，则 分米，此扇环形砖雕的面积为 平方分米. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏常州·期中）若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26高一上·全国·课后作业）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·天津河西·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（    ） ①；        ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24高一下·北京·阶段练习）是圆心为的单位圆上两个动点，当面积最大时，则下列判断错误的是（    ） A． B．弧的长为 C．扇形的面积为 D．等边三角形 8．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·全国·课后作业）下列各说法，正确的是（　　） A．半圆所对的圆心角是π rad B．圆周角的大小等于2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 10．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（    ） A．当扇形的面积最大时，扇形的半径为 B．扇形面积的最大值为 C．当扇形的面积最大时，扇形的半径为 D．扇形面积的最大值为 11．（23-24高一下·安徽淮南·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1甲）图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和12，且，则该圆台的（    ） A．高为 B．上底面积和下底面积之比为1:4 C．表面积为 D．体积为 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角，角，角，则角，角，角间的大小关系为 ． 13．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，其周长是 ，则该扇形的面积是 14．（24-25高一上·全国·课后作业）中国古代数学著作《五曹算经》是算经十书之一．“田曹”卷中有这样一个问题：“今有环田，外周三十步，内周一十二步，径三步，一人绕内圆行二步，问其围田几何？”意思是：有一个环形的田地，外圆周长30步，内圆周长12步，圆环宽3步，一个人绕着内圆走了2步，已知圆心与此人的起点和终点形成的射线分别与内外圆相交，问此人在内圆行走的曲线和外圆围成的田地面积为 平方步（圆周率取3）． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿． (1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数； (2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径． 16．（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，一长为，宽为1的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．（圆心角为正） 18．（24-25高一上·吉林·期中）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若，求： (1)莱洛三角形的周长； (2)莱洛三角形的面积． 19．（24-25高一上·全国·课后作业）某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$