第10讲 不等关系 不等式的基本性质、解集（3大知识点+10大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第10讲 不等关系 不等式的基本性质、解集 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解不等式的概念； 2．会根据实际问题或数学语言列不等式； 3. 掌握不等式的基本性质及应用； 4. 知道不等式的解及解集. 知识点1 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点2 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点3 不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 考点一:判断不等式 例1．在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】．在下列数学表达式中，属于不等式的是 ． ①；②；③；④． 【变式1-3】．有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 个． 考点二:实际问题中的不等式的含义 例2．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（　　） A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 【变式2-1】．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 考点三:列不等式 例3．x与y的差为负数，用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 【变式3-2】．a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ． 【变式3-3】．下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x不大于3，可表示成 C．m与4的差是负数，可表示成 D．x与2的和是非负数，可表示成 考点四:不等式的基本性质 例4．已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并说明理由． (1)a+3________b+3． (2)a-4________b-4． (3)a_______b． (4)-2a________-2b． (5)3a-1________3b-1． (6)1-a________1-b． 【变式4-1】．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．根据不等式的基本性质填空： （1）已知，则 ； （2）若，则 ．（填“”“”或“”） 【变式4-3】．按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式． (1)，两边同加上y． (2)，两边同乘． (3)，两边同除以． (4)，两边同加上，再同除以7． 考点五：不等式基本性质的应用—比较大小 例5．如果，则 （填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式5-1】．已知，试比较大小： （填“”或“”）． 【变式5-2】．已知x＞y． (1)比较9－x与9－y的大小，并说明理由； (2)若，求m的取值范围． 【变式5-3】．请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 考点六：不等式基本性质的其他应用 例6．如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是 ．（填“A”、“”或“”）．    【变式6-1】．若点在第一象限，则点在第 象限． 【变式6-2】．当时，将，，，按从小到大的顺序排列并用小于符号连接 【变式6-3】．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么a______b； ②如果，那么a______b； ③如果，那么a______b． (2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①比较与的大小； ②若，比较a，b的大小． 考点七：不等式的解 不等式的解集 例7．如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】．在四个数中，满足不等式的有（    ） A．－2 B．－3 C． D．1 【变式7-2】．下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 【变式7-3】．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 考点八：利用不等式的基本性质求解不等式 例8．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式8-1】．根据不等式的性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． （1）；（2）． 【变式8-2】．根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． （1）；（2）． 【变式8-3】．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式． (1)x－2＜3；　　　　　(2)6x＜5x－1； (3)x＞5；　          (4)－4x＞3； (5)－x＜；　    (6) x＞－x－6. 考点九：不等式的基本性质在不等式的解集中的应用 例9．如果关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【变式9-2】．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【变式9-3】．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 考点十：不等式的基本性质难点分析 例10．实数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．函数中，随的增大而减小 【变式10-1】．已知，若，则的取值范围为 . 【变式10-2】．设a，b，c，d都是整数，且，则a的最大值是 ． 【变式10-3】．已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 一、单选题 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列结论正确的有（ ） A．若 a>b，则ac2>bc2 B．若ac>bc，则 a>b C．若 a>b，且c=d，则ac>bd D．若ac2>bc2，则 a>b. 3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．如图，这是某城市道路旁边的限速标志牌，设行驶该路段的车速为，则以下不等式对此标志解释正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（    ） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0 8．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（　　）    A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q 9．点，，和原点在数轴上的位置如图所示，有理数，，各自对应着，，三个点中的某一点，且，，，那么表示数的点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．无法确定 10．下列命题: ①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．用不等式表示下列关系：x的3倍与8的和比y的2倍小： ． 12．不等式的两边都加上 得，依据是 ． 13．判断正误： （1）由，得；( ) （2）由，得；( ) （3）由，得；( ) （4）由，得；( ) （5）由，得；( ) （6）由，得．( ) 14．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 15．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 16．给出下列不等式：①；②；③；④．其中一定成立的是 ． 17．已知，，请将，，从小到大依次排列 ． 18．若，，，，，则、、之间的大小关系是 ． 三、解答题 19．用适当的符号表示下列关系： (1)x的3倍与5的差小于1； (2)x的一半不小于3； (3)x与1的差的绝对值是非负数； (4)a是大于－1且不大于2的数． 20．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 21．用等式或不等式表示下列问题中的数量关系： (1)某市身高不超过的儿童可免费乘坐公共汽车．记可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为． (2)某农户今年的收入比去年多1.5万元．记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元． 22．用“>”或“<”填空： (1)如果a－b<c－b，那么a________c； (2)如果3a>3b，那么a________b； (3)如果－a<－b，那么a________b； (4)如果2a＋1<2b＋1，那么a________b. 23．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的>”“<”或“=”． （1）______． （2）________0． （3）__________． （4）________． （5）________． （6）_______． （7）________． （8）_______． 24．根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 25．比较a+b与a-b的大小时,我们可以采用下列解法. 解:∵(a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2b, ∴当2b>0,即b>0时,a+b>a-b; 当2b<0,即b<0时,a+b<a-b; 当2b=0,即b=0时,a+b=a-b. 这种比较大小的方法叫“作差法”,请用“作差法”比较x2-x+1与x2+2x+1的大小. 26．设，且，若，，，试比较M、N、P的大小． 27．阅读下列材料： 数学问题：已知，且，，试确定的取值范围． 问题解法：，． 又，，． 又，．① 同理得．② 由②①得， 的取值范围是． 完成任务： （1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____． （2）已知，且，，试确定的取值范围； （3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 不等关系 不等式的基本性质、解集 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解不等式的概念； 2．会根据实际问题或数学语言列不等式； 3. 掌握不等式的基本性质及应用； 4. 知道不等式的解及解集. 知识点1 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点2 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点3 不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 考点一:判断不等式 例1．在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键，“由不等号（，，，，）连接的式子叫不等式”． 【解析】解：不等式有：①；②；④；⑤；所以共有4个． 故选：C． 【变式1-1】．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】略 【变式1-2】．在下列数学表达式中，属于不等式的是 ． ①；②；③；④． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了不等式的定义，由不等号连接的式子叫不等式，据此进行判断，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【解析】解：①是不等式； ②不是不等式； ③不是不等式； ④是不等式． 故答案为：①④． 【变式1-3】．有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 个． 【答案】3 【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可． 【解析】解：①是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意； ②是用“≤”连接的式子，是不等式，符合题意； ③是等式，不是不等式，不符合题意； ④没有不等号，不是不等式，不符合题意； ⑤是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意； ∴不等式有①②⑤共3个， 故答案为：3． 【点睛】此题考查不等式的定义，用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式． 考点二:实际问题中的不等式的含义 例2．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（　　） A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 【答案】B 【分析】根据不等号的含义，进行判断即可． 【解析】解：根据的含义，“每100克内含钙150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”， 故选：B． 【点睛】本题考查不等号的意义，熟练掌握不等号的意义，是解题的关键． 【变式2-1】．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义．根据题意列出不等式即可求解． 【解析】解：∵山岭主峰海拔超过1500米． ∴， 故选：B． 【变式2-2】．2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的定义，理解题干中“超1.5亿”即“大于1.5亿”是解题的关键．根据不等式的定义解答即可． 【解析】解：根据题意得：， 故选：B． 【变式2-3】．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【解析】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 考点三:列不等式 例3．x与y的差为负数，用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】与的差是；差是负数，那么所得结果小于0． 【解析】解：与的差是； 差是负数， ． 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式． 【变式3-1】．用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 【答案】 【分析】根据列代数式的规则，即可求解． 【解析】（1）先表示与的差：，再表示与的差为非负数：； （2）先表示a与b的的和：再表示a与b的的和不超过2： 故答案为：， 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是读懂题意，正确列式． 【变式3-2】．a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意，选择正确的不等号，列出不等式即可，本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的应用是解题的关键． 【解析】根据题意，得， 故答案为：． 【变式3-3】．下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x不大于3，可表示成 C．m与4的差是负数，可表示成 D．x与2的和是非负数，可表示成 【答案】C 【分析】根据各选项的表述列出不等式，逐一判断，即可解答． 【解析】解：a不是负数，可表示成，故A错误； x不大于3，可表示成，故B错误； 与4的差是负数，可表示成，故C正确； x与2的和是非负数，可表示成，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的定义，注意“”，“”的运用是解题的关键． 考点四:不等式的基本性质 例4．已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并说明理由． (1)a+3________b+3． (2)a-4________b-4． (3)a_______b． (4)-2a________-2b． (5)3a-1________3b-1． (6)1-a________1-b． 【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＞ (4)＜ (5)＞ (6)＜ 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【解析】（1）解：不等式的两边都加上了3，依据不等式的性质1，故答案是＞． （2）解：不等式的两边都减去了4，依据不等式的性质1，故答案是＞． （3）解：不等式的两边都乘以了，由于＞0，依据不等式的性质2，故答案是＞． （4）解：不等式的两边都乘以了-2，由于-2＜0，依据不等式的性质3，故答案是＜． （5）解：依据不等式的性质2，3a＞3b，不等式的两边都减去1，不等号的方向仍然不变，故答案是＞． （6）解：依据不等式的性质3，-a＜-b，不等式的两边都加上1，得1-a与1-b，依据不等式的性质1，故答案是＜． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，1.不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;2.不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;3.不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【变式4-1】．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除同一个负数，不等号的方向改变，由此逐项判断即可． 【解析】解： ， 不等式两边同时加上5，不等号方向不变，一定成立，选项A正确； 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，，选项B错误； 不等式两边同时除以5，不等号方向不变，，选项C错误； 不等式两边同时减去5，不等号方向不变，，选项D错误； 故选A． 【变式4-2】．根据不等式的基本性质填空： （1）已知，则 ； （2）若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】略 【变式4-3】．按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式． (1)，两边同加上y． (2)，两边同乘． (3)，两边同除以． (4)，两边同加上，再同除以7． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可得到答案； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案； （3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案； （4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案． 【解析】（1）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得：； （2）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘，可得； （3）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以，可得：； （4）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得，再同时除以7，可得：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 考点五：不等式基本性质的应用—比较大小 例5．如果，则 （填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】用作差法比较即可． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小．作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果，，那么． 【变式5-1】．已知，试比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式两边同乘一个正数不等号不变求解即可． 【解析】∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】．已知x＞y． (1)比较9－x与9－y的大小，并说明理由； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2)m＜0 【分析】（1）由x＞y，两边都乘以可得：－x＜－y，再两边都加上9可得结论； （2）由可得，再结合x＞y，可得m的取值范围． 【解析】（1）解：∵x＞y， ∴－x＜－y， ∴． （2）解：∵， ∴． 又∵x＞y， ∴m＜0． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟记“（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．”是解本题的关键． 【变式5-3】．请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）当时，，即； 当时，，即． （2）因为，所以当时，； 当时，． 考点六：不等式基本性质的其他应用 例6．如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是 ．（填“A”、“”或“”）．    【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较以及不等式的性质，掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据题意可得，，再根据不等式的性质可得答案． 【解析】解：由题意得，，， ， 、、三人中体重最小的是， 故答案为：B 【变式6-1】．若点在第一象限，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了判断点所在的象限，不等式的性质，根据点所在的象限求参数，先根据第一象限内的点横纵坐标都为正得到，进而得到，据此可得答案． 【解析】解：∵点在第一象限， ∴， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 【变式6-2】．当时，将，，，按从小到大的顺序排列并用小于符号连接 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，进行判断即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式6-3】．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么a______b； ②如果，那么a______b； ③如果，那么a______b． (2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①比较与的大小； ②若，比较a，b的大小． 【答案】(1)①＜；②＝；③＞； (2)①；②． 【分析】（1）①根据不等式性质即可解答；根据等式的性质即可解答；③根据不等式性质即可解答； （2）①直接运用作差法进行比较即可；②先根据作差法列出不等式，然后根据不等式的性质确定a、b的大小即可． 【解析】（1）解：①如果，，那么； 故答案为＜； ②如果，，那么； 故答案为=； ③如果，，那么； 故答案为＞． （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】本题主要等式的性质、不等式的性质、代数式大小比较等知识点，掌握运用作差法比较大小成为解答本题的关键． 考点七：不等式的解 不等式的解集 例7．如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得出是不等式的解，即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴是不等式的解，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式解的意义． 【变式7-1】．在四个数中，满足不等式的有（    ） A．－2 B．－3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据各数的大小即可做出判断． 【解析】在四个数中，， 故满足不等式的有， 故选：B 【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题的关键． 【变式7-2】．下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【解析】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； C选项，的解集是，解不等式得，故正确； D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式7-3】．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 【解析】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 考点八：利用不等式的基本性质求解不等式 例8．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】（1）利用在不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （2）利用在不等式的两边都减去同一个式子，不等号的方向不变，从而可得答案； （3）利用在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （4）利用在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向改变，从而可得答案； 【解析】解：（1） 两边都加上，得： 合并同类项可得： （2） 两边都减去得： 合并同类项得： （3） 两边都乘以得： （4） 两边都除以得： 故答案为：（1）（2）（3）（4） 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键. 【变式8-1】．根据不等式的性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将不等式两边同时减去，再两边同时乘2即可解答； （2）将不等式两边同时除以，即可解答. 【解析】解：（1）原不等式的两边同时减去， 得， 不等式的两边同时乘2， 得． （2）在原不等式的两边同时除以，不等号的方向改变， 即． 【点睛】本题考查了不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 灵活运用不等式的性质进行变形是关键. 【变式8-2】．根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． （1）；（2）． 【答案】（1），（2）． 【分析】（1）根据不等式的性质1进行分析．将不等式两边都加上17； （2）根据不等式的性质1进行分析．将不等式两边都加上-2，两边再减去. 【解析】解：（1）将不等式两边都加上17， 得， 即． （2）将不等式两边都加上， 得． 将不等式两边都减去， 得． 【点睛】本题考查了不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．灵活运用不等式的性质1进行变形是关键. 【变式8-3】．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式． (1)x－2＜3；　　　　　(2)6x＜5x－1； (3)x＞5；　          (4)－4x＞3； (5)－x＜；　    (6) x＞－x－6. 【答案】见解析. 【分析】根据不等式的基本性质1，2进行判断即可. 【解析】（1）由不等式的基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x＜5； （2）由不等式的基本性质1，不等式的两边都减去5x，不等号的方向不变，所以x＜－1； （3）由不等式的基本性质2，不等式的两边都乘2，不等号的方向不变，所以x＞10； （4）由不等式的基本性质2，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x＜－. （5）由不等式的基本性质2，不等式的两边都乘－10，不等号的方向改变，所以x>－1. （6）由不等式的基本性质1，不等式的两边都加上x，不等号的方向不变，所以x>－6. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质1与基本性质2. 考点九：不等式的基本性质在不等式的解集中的应用 例9．如果关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集为，可得方程，再解方程即可． 【解析】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，解一元一次方程，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式9-1】．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【解析】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【解析】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 【变式9-3】．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 【答案】C 【分析】根据不等式的性质化简求值即可. 【解析】关于的不等式化为， 当时，解集为， 此时点在原点左侧， 故A，B，D选项错误， C选项正确， 故选C． 【点睛】此题考查了不等式性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质. 考点十：不等式的基本性质难点分析 例10．实数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．函数中，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断代数式符号及大小，涉及不等式性质、绝对值意义、一次函数图象与性质等知识，先由实数在数轴上对应的点的位置得到，再逐项判断代数式符号，结合不等式性质、绝对值意义、一次函数图象与性质判断即可得到答案，熟练掌握利用数轴判断代数式符号及大小、绝对值意义、一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【解析】解：实数在数轴上对应的点，如图所示，   ， A、， 由不等式性质可知，选项正确，不符合题意； B、， 由不等式性质可知，选项正确，不符合题意； C、， ，由绝对值意义可知，选项错误，符合题意； D、， ， 由一次函数图象与性质可知，函数中，随的增大而减小，选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】．已知，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，再根据不等式的性质一步步求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】．设a，b，c，d都是整数，且，则a的最大值是 ． 【答案】447 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 本题欲求a的最大值，只要取b的最大值，进而取c的最大值，也就是取d的最大值． 【解析】解：因为a，b，c，d都是整数，且， 所以d的最大值是19， 所以， 所以c的最大值是75， 所以， 所以b的最大值是224， 所以， 所以a的最大值是447． 故答案为：447． 【变式10-3】．已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由题意知，，，，，则，可求，则的最大值为，同理可求，则的最大值为，的最大值为，然后求的最大值即可． 【解析】解：∵，，，，为正整数，且， ∴，，，， ∵， ∴， 解得，， ∴的最大值为， ∴， ∴， 解得，， ∴的最大值为， 同理，的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 一、单选题 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答． 【解析】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个， 故选：B． 2．下列结论正确的有（ ） A．若 a>b，则ac2>bc2 B．若ac>bc，则 a>b C．若 a>b，且c=d，则ac>bd D．若ac2>bc2，则 a>b. 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，即可依次判断. 【解析】A. 若 a>b，ac2>bc2，当c=0，不成立，故错误； B. 若ac>bc，则 a>b，当c≤0时，不成立，故错误； C. 若 a>b，且c=d，则ac>bd，当c=d≤0时，不成立，故错误； D. 若ac2>bc2，依题意得c≠0，又c2＞0，则a>b，正确. 故选D. 【点睛】此题主要考查不等式，解题的关键是熟知不等式的性质. 3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．如图，这是某城市道路旁边的限速标志牌，设行驶该路段的车速为，则以下不等式对此标志解释正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的意义；根据限速牌的实际意义：速度不超过，即可得到不等式． 【解析】解：限速牌的实际意义：速度不超过， 由题意得：； 故选：D． 4．已知，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，可得答案． 【解析】解：∵，m2≥0， ∴m2＞0， ∴a＞b， 故选D． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【解析】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 6．下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案． 【解析】①不等式的解集为：， ∴不是不等式的解，正确； ②不等式的解集是，正确； ③不等式的负数解有无限多个，正确； ④不等式的负数解有无限多个，正确． 综上分析可知，此题正确的说法有4个． 故选：D． 7．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（    ） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0 【答案】A 【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可． 【解析】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键． 8．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（　　）    A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q 【答案】D 【分析】本题要求掌握不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想． 【解析】观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q． 故选D． 【点睛】考点：一元一次不等式的应用，利用数形结合的思想解题是关键． 9．点，，和原点在数轴上的位置如图所示，有理数，，各自对应着，，三个点中的某一点，且，，，那么表示数的点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据乘积小于0，可得a，b异号，再根据和大于0，得正数的绝对值较大，从图上点的位置关系可得a，b对应着点M与点P；根据ac＞bc，变形可得a＞b，从而可得答案． 【解析】∵，， ∴异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值， ∴对应着点M与点P， ∵， ∴， ∴数b对应的点为点M， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数与数轴上的点的对应关系，数形结合、明确不等式的性质，是解题的关键． 10．下列命题: ①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，逐个判断结果正确与否． 【解析】①错误，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；②正确，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号；③ 错误，因为乘以c2=0时；④ 错误，因为不知道a的值；⑤ 错误，则因此有一个正确．故选A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号． 二、填空题 11．用不等式表示下列关系：x的3倍与8的和比y的2倍小： ． 【答案】3x+8＜2y 【解析】先将x的3倍与8的和表示为3x+8，y的2倍表示为2y，再用“＜”将它们表示出来； 解：∵x的3倍与8的和为3x+8，y的2倍是2y， ∴x的3倍与8的和比y的2倍小可表示为：3x+8＜2y； 故答案为3x+8＜2y． 12．不等式的两边都加上 得，依据是 ． 【答案】 不等式两边同时加上一个数不等号不变 【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加上一个数不等号不变，填空． 【解析】解：要变成，需要两边同时加上，依据是：不等式两边同时加上一个数不等号不变． 故答案是：；不等式两边同时加上一个数不等号不变． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质． 13．判断正误： （1）由，得；( ) （2）由，得；( ) （3）由，得；( ) （4）由，得；( ) （5）由，得；( ) （6）由，得．( ) 【答案】 正确 正确 正确 正确 错误 错误 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【解析】解：∵2a＞3， ∴不等式的两边都除以2得：a＞， ∴（1）正确； ∵2-a＜0， ∴-a＜-2， ∴a＞2， ∴（2）正确； ∵， ∴不等式的两边都乘以2得：， ∴（3）正确； ∵， ∴不等式的两边都加上m得：， ∴（4）正确； ∵， ∴不等式的两边都乘以-3得：， ∴（5）错误； ∵， ∴不等式的两边都乘以a不能得到：， ∵a的正负不能确定， ∴（6）错误； 【点睛】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意：不等式的基本性质有①不等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，不等式的符号不改变，②不等式的两边都乘以或都除以同一个正数，不等式的符号不改变，③不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等式的符号要改变． 14．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】（1）利用在不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （2）利用在不等式的两边都减去同一个式子，不等号的方向不变，从而可得答案； （3）利用在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （4）利用在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向改变，从而可得答案； 【解析】解：（1） 两边都加上，得： 合并同类项可得： （2） 两边都减去得： 合并同类项得： （3） 两边都乘以得： （4） 两边都除以得： 故答案为：（1）（2）（3）（4） 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键. 15．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解的定义去判定即可． 【解析】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误； ②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误； ③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确； ④不等式的解集是，故说法正确． 综上所述：正确的有③④ 故答案为：③④． 16．给出下列不等式：①；②；③；④．其中一定成立的是 ． 【答案】②③④ 【解析】“”的意义是“>”或“”，有选择功能，二者之一成立即可，事实上也只能两者取一，“>”“=”不能同时成立，所以对“”的理解应是取8大于6．对“”的理解应是当时，；当时，． 【易错点分析】导致本题错误的原因是对符号“”理解不透切．“”的含义是“”或“”，且二者不能同时成立． 17．已知，，请将，，从小到大依次排列 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质和乘法法则进行判断即可． 【解析】解：∵a＜0， b＜0， ∴ab＞0， ∵﹣1＜b＜0， ∴0＜b2＜1； 两边同时乘a， 0＞ab2＞a， ∴a＜ab2＜ab． 【点睛】本题考查了不等式的性质，明确（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题关键． 18．若，，，，，则、、之间的大小关系是 ． 【答案】 【分析】由可得，所以，同理，然后比较a、b、c的大小即可． 【解析】， , , 同理可得, 又, , , 即． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系． 三、解答题 19．用适当的符号表示下列关系： (1)x的3倍与5的差小于1； (2)x的一半不小于3； (3)x与1的差的绝对值是非负数； (4)a是大于－1且不大于2的数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． （1）x的3倍即为，即可列出不等式； （2）x的一半即为，不小于即为大于或等于，即可列出不等式； （3）x与1的差即为，非负数即为大于等于零的数，即可列出不等式； （4）不大于是小于或等于，即可列出不等式； 【解析】（1）根据题意，得； （2）根据题意，得； （3）根据题意，得； （4）根据题意，得； 20．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【解析】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 21．用等式或不等式表示下列问题中的数量关系： (1)某市身高不超过的儿童可免费乘坐公共汽车．记可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为． (2)某农户今年的收入比去年多1.5万元．记去年的收入为p万元，今年的收入为q万元． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等量关系，直接列出不等式即可； （2）根据等量关系直接列出等式即可． 【解析】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查列不等式和等式，准确找到等量关系和不等量关系是关键． 22．用“>”或“<”填空： (1)如果a－b<c－b，那么a________c； (2)如果3a>3b，那么a________b； (3)如果－a<－b，那么a________b； (4)如果2a＋1<2b＋1，那么a________b. 【答案】(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＜ 【分析】（1）不等式两边加ｂ得，ａ＜ｃ； （2）不等式的两边都除以3即可得解； （3）不等式的两边都除以-1即可得解； （4）由2a＋1＜2b＋1，两边减１，得2a＜2b，两边除以２，得a＜b. 故答案为(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＜ 【解析】解：（1）由a－b<c－b得， a<c； （2）由3a＞3b，得a＞b； （3）由－a<－b，得a＞b； （4）由2a＋1＜2b＋1，得2a＜2b，∴a＜b. 故答案为(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＜. 【点睛】本题考查不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 23．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的>”“<”或“=”． （1）______． （2）________0． （3）__________． （4）________． （5）________． （6）_______． （7）________． （8）_______． 【答案】（1）>；（2）>；（3）>；（4）<；（5）<；（6）>；（7）>；（8）． 【分析】（1）根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得； （2）根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得； （3）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （4）根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得； （5）先根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向，再根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得； （6）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （7）根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得； （8）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得． 【解析】由数轴的定义得：， （1）不等式的两边同加上3，不改变不等号的方向，则； （2）不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则，即； （3）不等式的两边同乘以，不改变不等号的方向，则； （4）不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则； （5）不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则；不等式的两边同加上1，不改变不等号的方向，则； （6）不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则； （7）不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则； （8）不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则． 【点睛】本题考查了不等式的性质、数轴的定义，熟记不等式的性质是解题关键． 24．根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质变形即可． （2）根据不等式的性质变形即可． （3）根据不等式的性质变形即可． （4）根据不等式的性质变形即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）∵， ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ （4）∵ ∴， ∴， ∴． 25．比较a+b与a-b的大小时,我们可以采用下列解法. 解:∵(a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2b, ∴当2b>0,即b>0时,a+b>a-b; 当2b<0,即b<0时,a+b<a-b; 当2b=0,即b=0时,a+b=a-b. 这种比较大小的方法叫“作差法”,请用“作差法”比较x2-x+1与x2+2x+1的大小. 【答案】当x>0时,x2-x+1<x2+2x+1;当x=0时,x2-x+1=x2+2x+1;当x<0时,x2-x+1>x2+2x+1. 【分析】根据题意利用作差法比较两式子的大小即可． 【解析】(x2-x+1)-(x2+2x+1)= x2-x+1-x2-2x-1=-3x, ∴当-3x>0，即x<0时,x2-x+1>x2+2x+1; 当-3x=0，即x=0时,x2-x+1=x2+2x+1; 当-3x<0，即x>0时,x2-x+1<x2+2x+1. 【点睛】本题考查的是不等式的性质，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解． 26．设，且，若，，，试比较M、N、P的大小． 【答案】 【分析】由a＋b＋c＝−1可得b＋c＝−1−a，所以，同理，，然后根据a、b、c的大小比较，，即可解决问题． 【解析】解：， ， ， 同理可得，， 又， ， ，即． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系． 27．阅读下列材料： 数学问题：已知，且，，试确定的取值范围． 问题解法：，． 又，，． 又，．① 同理得．② 由②①得， 的取值范围是． 完成任务： （1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____． （2）已知，且，，试确定的取值范围； （3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）． 【答案】（1）；（2）的取值范围是；（3）的取值范围是． 【分析】（1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解； （2）仿照例子，注意由0＜y＜1到-1＜-y＜0的转化，再由不等式同号可加性进行求解； （3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当a＜-2时，关于x、y的不等式存在解集． 【解析】（1）， ． ， ， ． 故答案为． （2）， ． 又， ， ． 又， ， ． 同理得， ， 的取值范围是． （3）， ． 又， ， ． 又， ， ． 当时，． 同理得， ， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查不等式的性质；能够根据例子，仿照例子结合不等式的基本性质解题，注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$