4.2.1等差数列的概念（第3课时）综合练习（人教A版选必二）-2024-2025学年寒假高二数学同步练习

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后，关闭 Word 文档返回原板块。 课时作业(五) 1．在等差数列－5，－3，－2，－，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列{an}，则新数列的通项公式为(　　) A．an＝n－ B．an＝－5－(n－1) C．an＝－5－(n－1) D．an＝n2－3n 2．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个数是(　　) A．0　　　　　　 　 　 B．1 C．2 D．1或2 3．等差数列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，则其公差d的值为(　　) A. B. C. D. 4．在两个实数a，b(a≠b)之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为(　　) A. B. C. D. 5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2n(n∈N*)，则a4＝(　　) A．64 B．56 C．32 D．24 6．【多选题】数列{an}中，a1＝15，3an＋1＝3an－2，那么该数列中相邻两项的乘积为正数的是(　　) A．a21和a22 B．a22和a23 C．a23和a24 D．a24和a25 7．已知等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，a7－3a3≤8，则a4的取值范围为________． 8．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求{bn}的通项公式； (3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 9．在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数． 10．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”本题中甲应该分得白米(　　) A．96石 B．78石 C．60石 D．42石 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，b＝2，则a＋c的取值范围是(　　) A．(2，3] B．(2，4] C．(0，4] D．(2，2] 12．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝________． 13．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a13＝________． 14．若数列{an}不是递增数列，但数列{|an|}是递增数列，则称{an}是T数列．下列数列不是T数列的是(　　) A．{2－2n} B．{(－4)n} C. D. 15．【多选题】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列，现将{an}中的各项除以4，并把所得余数按原顺序排列构成的数列记为{bn}，则(　　) A．b2 002＝1 B．b1＋b2＋b3＋…＋b2 022＝2 696 C．a1＋a2＋a3＋…＋a2 002＝a2 004－1 D．a12＋a22＋a32＋…＋a2 0022＝a2 002a2 003 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业(五) 1．答案　A 解析　由题可得新数列的首项为－5， 公差为＝， ∴an＝－5＋(n－1)·＝n－. 2．答案　D 解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c. ∴Δ＝(2b)2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0. 3．答案　B 解析　由题意可得am＋n－am－n＝a1＋(m＋n－1)d－a1－(m－n－1)d＝2nd＝α－β. ∴d＝.故选B. 4．答案　C 5．答案　C 解析　方法一：由a1＝1，an＋1＝2an＋2n(n∈N*)得a2＝4，a3＝12，a4＝32. 方法二：等式an＋1＝2an＋2n(n∈N*)两边同时除以2n可得＝＋1，即－＝1， 所以数列是等差数列，且其首项为＝1，公差为1， 所以＝1＋(4－1)×1＝4，故a4＝4×23＝32. 方法三：等式an＋1＝2an＋2n(n∈N*)两边同时除以2n＋1，得数列是等差数列，且其首项为＝，公差为， 所以＝＋(4－1)×＝2，故a4＝2×24＝32. 6．答案　ABD 解析　由3an＋1＝3an－2可知{an}为等差数列，且d＝－，又a1＝15，∴an＝15＋(n－1)·＝，由an>0且n∈N*，得n≤23.故A、B、D正确． 7．答案　(－4，11] 解析　∵等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，∴a2≤1，公差d>0. 又∵a7－3a3≤8，∴a1＋6d－3(a1＋2d)＝－2a1≤8，∴a1≥－4，则0<d＝a2－a1≤5，∴a4＝a1＋3d>－4，a4＝a2＋2d≤1＋10＝11，即a4的取值范围为(－4，11]． 8．解析　(1)因为a1＝3，d＝－5， 所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n. 数列中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， 所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. (2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项， 即bn＝am， 则m＝3＋4(n－1)＝4n－1， 所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n， 即{bn}的通项公式为bn＝13－20n. (3)b503＝13－20×503＝－10 047， 设它是{an}中的第p项，则－10 047＝8－5p， 解得p＝2 011， 即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项． 9．解析　方法一：由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等差数列，记为{an}，则其通项公式为an＝3n－1； 第二个数列是首项为2，公差为5的等差数列，记为{bm}，则其通项公式为bm＝5m－3. 若数列{an}的第n项与数列{bm}的第m项相同，即an＝bm， 则3n－1＝5m－3，∴n＝＝m＋. 又m，n∈N*，∴必有m－1＝3k，即m＝3k＋1(k为非负整数)， 又2≤5m－3≤197，∴1≤m≤40，∴m＝1，4，7，…，40. ∴两数列的公共项为2，17，32，…，197. 设公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则其通项公式为cp＝15p－13，公共项有＋1＝14(个)． 方法二：设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则c1＝2. ∵两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3，5，∴数列{cp}仍为等差数列，且公差d＝15.∴cp＝c1＋(p－1)d＝2＋(p－1)×15＝15p－13. 令2≤15p－13≤197，知1≤p≤14.∴两数列共有14个公共项． 10．答案　B 解析　依题意，设甲、乙、丙分得的米分别为a1石，a2石，a3石，则a1＋a2＋a3＝3a2＝180，且a1－a3＝－2d＝36，解得a2＝60，d＝－18，所以a1＝a2－d＝60＋18＝78.故选B. 11．答案　B 解析　在△ABC中，由A，B，C成等差数列，可得2B＝A＋C.由A＋B＋C＝π，得3B＝π，B＝.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，可得4＝a2＋c2－2ac·cos ，即4＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，则(a＋c)2－4＝3ac≤(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号，解得0<a＋c≤4.又a＋c>b＝2，所以a＋c的取值范围是(2，4]．故选B. 12．答案　1 解析　由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以＋＝＝＝＝1. 13．答案　168 解析　由an＋1＝an＋2＋1，得an＋1＋1＝(＋1)2，∴－＝1.又a1＝0，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，则＝n，∴an＝n2－1，∴a13＝132－1＝168. 14．答案　D 解析　当an＝2－2n时，{an}是递减数列，|an|＝因为|a1|－|a2|＝4－6<0，且当n≥2时，{2n－2}为递增数列，所以{|an|}是递增数列，所以{2－2n}是T数列，故A错误； 当an＝(－4)n时，易知{(－4)n}不是递增数列，因为|(－4)n|＝4n，所以{|an|}是递增数列，所以{(－4)n}是T数列，故B错误； 因为＝，所以是递减数列，因为＝≥0，且{|an|}是递增数列，所以是T数列，故C错误； 当an＝时，an>0，|a1|＝1>|a2|＝，所以{|an|}不是递增数列，则不是T数列，故D正确． 故选D. 15．答案　BCD 解析　斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…， 则b1＝1，b2＝1，b3＝2，b4＝3，b5＝1，b6＝0，b7＝1，b8＝1，b9＝2，b10＝3，b11＝1，b12＝0，…， 即数列{bn}是以6为周期的周期数列， b2 002＝b6×333＋4＝b4＝3，故A错误； ∵b1＋b2＋b3＋…＋b2 022＝337×(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6)＝337×8＝2 696，故B正确； ∵a2 004－a2 003＝a2 002，a2 003－a2 002＝a2 001，…，a3－a2＝a1， ∴a2 004－a2＝a2 004－1＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 002，故C正确； ∵an＋2an＋1＝(an＋1＋an)an＋1＝an＋12＋an＋1an(n∈N*)， ∴an＋2an＋1－an＋1an＝an＋12， ∴a2 003a2 002－a2 002a2 001＝a2 0022， a2 002a2 001－a2 001a2 000＝a2 0012，…，a3a2－a2a1＝a22， ∴a2 003a2 002－a2a1＝a2 003a2 002－1＝a22＋a32＋…＋a2 0022， 又a12＝1，∴a2 003a2 002＝a12＋a22＋a32＋…＋a2 0022，故D正确． 故选BCD. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$