4.2.1等差数列（第2课时）等差数列的判定及性质（人教A版选必二）-2024-2025学年寒假高二数学同步练习

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后，关闭 Word 文档返回原板块。 课时作业(四) 1．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　) A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 2．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝(　　) A．15　　　　　　　　　 B．30 C．31 D．64 3．在等差数列{an}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则(　　) A．an＝10n＋45 B．an＝6n－24 C．an＝10n－45 D．an＝6n＋24 4．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线的斜率为(　　) A．4 B. C．－4 D．－ 5．在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，则公差d等于(　　) A．4 B．2 C．－2 D．2或－2 6．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为(　　) A．3 B．－1 C．2 D．3或－1 7．【多选题】已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列结论中，正确的有(　　) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝0 8．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________． 9．数列{an}满足an＋12＝an2＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________． 10．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个数列． 11．设公差为－2的等差数列{an}满足a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(　　) A．－182 B．－78 C．－148 D．－82 12．【多选题】若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(　　) A．{|an|} B．{an＋1－an} C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n} 13．已知等差数列{an}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b，则a59＋a60＝________． 14．已知数列{an}是等差数列．若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________． 15．已知数列{an}满足递推关系an＋1·an＝an－an＋1，a1＝，则a2 024＝(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 16．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业(四) 1．答案　C 解析　由等差数列定义知a1＋a3＝2a1＋2d，a2＋a4＝2a1＋4d，a3＋a5＝2a1＋6d，所以新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．故选C. 2．答案　A 解析　a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15. 3．答案　C 解析　∵a6＋a7＋a8＝3a7＝75，∴a7＝25. 又a3＋a12＝a7＋a8＝60，∴a8＝60－25＝35. ∴公差d＝a8－a7＝10.∴an＝a7＋(n－7)d＝25＋(n－7)×10＝10n－45. 4．答案　A 解析　由数列{an}是等差数列可知，过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线的斜率即为过点(4，15)，(7，27)的直线的斜率，所以直线的斜率为＝4. 5．答案　B 解析　因为递增的等差数列{an}中， a3＋a6＝a4＋a5＝－6，又a4a5＝8， 所以a4＝－4，a5＝－2， 则公差d＝a5－a4＝2. 故选B. 6．答案　D 解析　∵x2－2x－3<0，∴－1<x<3，∴a1＝0，a2＝1，a3＝2，则a4＝3或a1＝2，a2＝1，a3＝0，则a4＝－1. 7．答案　CD 解析　等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0， 则a51＋50×2a51＝0， 故a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝2a51＝0. 8．答案　24 解析　由等差数列的性质可知a15，a30，a45，a60，a75成等差数列， 其公差d＝＝4，∴a75＝8＋(5－1)×4＝24. 9．答案　 解析　由已知得数列{an2}为等差数列，首项为a12＝1，公差为4，∴an2＝1＋(n－1)·4＝4n－3，又an＞0，∴an＝. 10．解析　设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意， 得 解得或 故这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2. 11．答案　D 解析　由题意可得两个式子均有33项， 故a3＋a6＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝a1＋a4＋…＋a97＋2d×33＝50－132＝－82.故选D. 12．答案　BCD 解析　数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后1，1，3不是等差数列，A不成立；若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立；若{an}的公差为d，则pan＋1＋q－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立；2an＋1＋n＋1－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，D成立． 13．答案　5b－4a 解析　∵a19＋a20＝a9＋10d＋a10＋10d＝a9＋a10＋20d， ∴20d＝b－a，∴d＝， ∴a59＋a60＝a9＋50d＋a10＋50d ＝a9＋a10＋100d＝a＋5(b－a)＝5b－4a. 14．答案　18 解析　设数列{an}的公差为d.∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.∵a4＋a5＋a6＋…＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7，d＝，∴ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×，解得k＝18. 15．答案　D 解析　因为an＋1·an＝an－an＋1，a1＝，所以－＝1，＝2，即数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋2 023×1＝2 025，所以a2 024＝.故选D. 16．解析　在等式nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n两边同时除以n(n＋1)，可得－＝2， 所以数列为等差数列，且其首项为＝1，公差为2， 因此＝1＋2(n－1)＝2n－1，故an＝2n2－n(n∈N*)． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$