特训12 期末必刷解答题（五大模块，上海期末热点精选）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训12 期末必刷解答题（五大模块，上海期末热点精选） 目录： 模块1：期末热点—线段的垂直平分线、角平分线的判定 模块2：几何证明综合 模块3：正比例函数与反比例函数 模块4：二次根式 模块5：一元二次方程 模块1：期末热点—线段的垂直平分线、角平分线的判定 1．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．    2．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）如图，已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 3．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 4．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，BD＝CE，DM⊥AC，垂足为M，EN⊥AB，垂足为N，DM与EN交于点P，且BN＝CM． (1)求证：PD＝PE； (2)求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC． 5．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且 (1)求的度数． (2)求证：平分． 6．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 7．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 8．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在取点，使，分别连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 模块2：几何证明综合 9．（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，平分，，，，求． 10．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知如图，在中，，，，求证：． 11．（20-21八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，D是边的中点，交于点E． (1)求的度数； (2)过点C作垂直于，垂足为点F，如果．求的长． 12．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，，点在上． (1)求作：内部一点，使点到的两边、的距离相等，且；（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)若上题中的点到的距离是，则的长是____________． 13．（19-20八年级上·上海金山·期末）已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘， （1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹) （2）若BD=3，求BC的长. 14．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 15．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点C在上，点E在上，，，点G是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 16．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）已知：如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： (1)； (2)． 模块3：正比例函数与反比例函数 17．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当x=2时，y=5；当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 18．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A， （1）请你求出该正比例函数的解析式； （2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值； （3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？ 19．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）已知点O是坐标原点，反比例函数y=的图像经过A(,1)． （1）求此反比例函数的解析式； （2）将线段OA绕O逆时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图像上并说明理由． 20．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 21．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，是小王和小李在赛跑过程中时间和路程的关系图． (1)这是______米的赛跑比赛； (2)小王的平均速度是________； (3)小李跑步时路程（米）与时间（秒）的函数关系式及定义域是__________； (4)谁先到达终点：__________． 22．（22-23八年级上·上海宝山·期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要 ； (2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于的时间有多少？ 23．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上． 、 (1)求函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标． 24．（23-24八年级上·上海·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． (1)求的值； (2)若与的面积比为，求点的坐标； (3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标． 模块4：二次根式 25．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算：． 26．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）计算：． 27．（21-22八年级上·上海青浦·期末）计算： 28．（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）计算：      （2）计算： 29．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：（）． 30．（19-20八年级上·上海静安·期末）先化简：，再求当时的值. 31．（18-19八年级下·上海宝山·阶段练习）已知实数满足求代数式的值． 模块5：一元二次方程 32．（23-24八年级上·上海长宁·期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 33．（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）用配方法解方程：         （2）解方程： 34．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及该方程的根． 35．（2024-2025八年级上·上海·专题练习））已知关于的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 36．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的元下降至元，求这种型号的优盘平均每次降价的百分率． 37．（22-23八年级上·上海静安·期末）某建筑工程队在靠墙处（可用墙长米），用米长的建筑材料围成一个面积为平方米的长方形仓库，在与墙平行的边上预留出长度为米的门，求这仓库的长和宽． 38．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价． 39．（23-24八年级上·上海普陀·期中）如图1，要建一个面积为140平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；在与墙垂直的一边，要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米．    (1)这个仓库设计的长和宽分别为多少米； (2)如图2，要在仓库外铺一圈宽为米、总面积为76平方米的地砖，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训12 期末必刷解答题（五大模块，上海期末热点精选） 目录： 模块1：期末热点—线段的垂直平分线、角平分线的判定 模块2：几何证明综合 模块3：正比例函数与反比例函数 模块4：二次根式 模块5：一元二次方程 模块1：期末热点—线段的垂直平分线、角平分线的判定 1．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．    【答案】见解析 【分析】由题意易得∠ABC＝∠ACB，则有∠OBC＝∠OCB，进而根据线段的垂直平分线的性质与判定可求证． 【解析】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， ∴点O在线段BC的垂直平分线上， ∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AD是线段BC的垂直平分线， 即AD⊥BC． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 2．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）如图，已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，证明得到，再由，，即可证明平分． 【解析】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 3．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可； （2）根据线段垂直平分线的判定证明即可． 【解析】（1）∵分别是上的中线， ∴BE=CD，∠EBC=∠DCB， ∵BC=CB， ∴△EBC≌△DCB， ∴∠ECB=∠DBC， ∴OB=OC； （2）设AO与DE的交点为F， ∵△EBC≌△DCB， ∴EC=DB， ∵OB=OC； ∴OD=OE， ∴点O在线段DE的垂直平分线上， ∵AE=AD， ∴点A在线段DE的垂直平分线上， ∴直线AO是线段DE的垂直平分线， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键． 4．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，BD＝CE，DM⊥AC，垂足为M，EN⊥AB，垂足为N，DM与EN交于点P，且BN＝CM． (1)求证：PD＝PE； (2)求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用等式的性质可知BE＝CD，再运用HL证明Rt△BNE≌Rt△CMD，得∠NED＝∠MDC，则有PD＝PE； （2）连接AP并延长交BC于点Q，由（1）知AB＝AC，再说明AP平分∠BAC，从而证明结论． 【解析】（1）证明：（1）∵DM⊥AC，EN⊥AB， ∴∠BNE＝∠CMD＝90°， ∵BD＝CE， ∴BD+DE＝CE+DE， ∴BE＝CD， 在Rt△BNE与Rt△CMD中， ， ∴Rt△BNE≌Rt△CMD（HL）， ∴∠NED＝∠MDC， ∴PD＝PE； （2）解：连接AP并延长交BC于点Q， ∵Rt△BNE≌Rt△CMD， ∴∠B＝∠C，NE＝MD， ∴AB＝AC， ∵NE＝MD，PD＝PE， ∴NE﹣PE＝MD﹣PD， ∴PN＝PM， 又∵PN⊥AB，PM⊥AC， ∴AP平分∠BAC， 即AQ平分∠BAC， ∴AQ⊥BC，BQ＝CQ， 即过点A、P的直线垂直平分线段BC． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的关键． 5．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且 (1)求的度数． (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】(1)先计算，再计算，根据计算即可． (2) 过点E作，垂足分为H，N．证明即可． 【解析】（1）因为， 所以． 因为，垂足为，且， 所以， 所以． （2）如图，过点E作，垂足分为H，N． 因为的平分线交于点，过点作， 所以； 因为， 所以； 所以， 所以平分． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角的平分线性质和判定，熟练掌握角的平分线性质和判定是解题的关键． 6．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，结合已知条件可证； （2）设l交于点Q，连接，过作于， 于，根据（1）结论可得，推出，可得为等腰直角三角形，推出，证，可得，得到，即得． 【解析】（1）∵，， ∴，与为直角三角形， ∵点A在边垂直平分线上， ∴， 在也中， ， ∴， 即； （2）设l交于点Q，连接，过作于，作于， ∴ 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键． 7．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可. 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，对顶角相等，解题关键是熟练掌握知识点的应用. 【解析】（1）证明：如图所示， 连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，， ， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 8．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在取点，使，分别连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一： （1）根据直角三角形斜边中线的性质求出，，可证； （2）证出，得出，证出，根据等腰三角形三线合一即可得出结论． 【解析】（1）证明： ，，点是的中点， ，， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ， 是的角平分线， 又， ，平分， 垂直平分． 模块2：几何证明综合 9．（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，平分，，，，求． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D 作，垂足分别为E、F，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线的性质得到，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【解析】解：如图所示，过点D 作，垂足分别为E、F， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴． 10．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知如图，在中，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的小侄子，先根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理得到，由垂直的定义得到，则，进一步证明，得到，则． 【解析】证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（20-21八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，D是边的中点，交于点E． (1)求的度数； (2)过点C作垂直于，垂足为点F，如果．求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由中， D是斜边的中点，可得，从而，由外角的，再由得到，从而； （2）根据D是斜边的中点可得，在中，，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”，得到，进而根据勾股定理得到，因此． 【解析】（1）∵在中，， D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 12．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，，点在上． (1)求作：内部一点，使点到的两边、的距离相等，且；（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)若上题中的点到的距离是，则的长是____________． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查角平分线的性质及作法、线段垂直平分线的性质及作法、含30度角的直角三角形的性质： （1）作的角平分线，线段的垂直平分线，两者的交点即为点P； （2）如图，根据角平分线的性质可得，再根据含30角的直角三角形的性质得出，即可得出． 【解析】（1）解：如图，点P即为所求； （2）解：如图，线段的垂直平分线交于点E， 点到的距离是， ， ，由作图知是的角平分线， ， 又， ， ， 故答案为：8． 13．（19-20八年级上·上海金山·期末）已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘， （1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹) （2）若BD=3，求BC的长. 【答案】（1）见解析；（2）9 【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作出DE垂直平分AB； （2）连接AD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DAB=∠B=30°，接着计算出∠CAD=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=2AD，从而得到结论． 【解析】（1）如图，DE为所作； （2）连接AD，如图， ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵BD=3， ∴AD=3， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴∠CAD=120°−30°=90°， ∴CD=2AD=6， ∴BC=BD+CD=3+6=9. 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 14．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）解：过点A作，垂足为E，，    ∵平分，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为． 15．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点C在上，点E在上，，，点G是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质． （1）连接，得到，根据三线合一，即可得证； （2）三线合一，得到，根据，得到，即可得证； 掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 【解析】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点G是的中点， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵点G是的中点， ∴． 16．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）已知：如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则； （2）如图所示，连接，根据直角三角形的性质得到，则，再由角平分线的定义证明，推出，即可证明垂直平分，则． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，相等垂直平分线的性质与判定等等，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 模块3：正比例函数与反比例函数 17．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当x=2时，y=5；当时， (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正比例关系、反比例关系可设，再将两组的值代入求解即可得； （2）将代入函数解析式即可得． 【解析】（1）解：由题意可设， 则，解得， 则，即． （2）解：当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 18．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）已知：如图，正比例函数y=kx的图象经过点A， （1）请你求出该正比例函数的解析式； （2）若这个函数的图象还经过点B（m，m+3），请你求出m的值； （3）请你判断点P（﹣，1）是否在这个函数的图象上，为什么？ 【答案】（1）正比例函数解析式为y=﹣2x；（2）m=﹣1；（3）点P不在这个函数图象上，理由见解析． 【分析】（1）将点A的坐标代入正比例函数解析式中求出k的值，即可确定出正比例解析式；（2）将点B（m，m+3）代入所求的解析式，即可求得m的值；（3）把x=- 代入所求的解析式，求得y的值，比较即可. 【解析】（1）由图可知点A（﹣1，2），代入y=kx得： ﹣k=2，k=﹣2， 则正比例函数解析式为y=﹣2x； （2）将点B（m，m+3）代入y=﹣2x，得：﹣2m=m+3， 解得：m=﹣1； （3）当x=﹣时，y=﹣2×（﹣）=3≠1， 所以点P不在这个函数图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，把点的坐标代入函数解析式计算即可． 19．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）已知点O是坐标原点，反比例函数y=的图像经过A(,1)． （1）求此反比例函数的解析式； （2）将线段OA绕O逆时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图像上并说明理由． 【答案】（1）；（2）点在此反比例函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）将点A坐标代入求解即可； （2）由旋转的性质求出点B坐标，再判断点B是否在反比例函数图像上. 【解析】（1）将点A(,1)代入y=得，解得，所以此反比例函数的解析式为； （2）点在反比例函数图象上． 理由：如图，过点作垂直于轴于点C，过点作垂直于轴于点D 由点A(,1)知， 在中，根据勾股定理得， ∴ 由旋转得 在中,，根据勾股定理得 ∴点坐标为，满足反比例函数的解析式 ∴点在此反比例函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式及其图像，同时涉及到旋转变换、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，灵活的运用旋转的性质是解题的关键. 20．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【解析】（1）解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 21．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，是小王和小李在赛跑过程中时间和路程的关系图． (1)这是______米的赛跑比赛； (2)小王的平均速度是________； (3)小李跑步时路程（米）与时间（秒）的函数关系式及定义域是__________； (4)谁先到达终点：__________． 【答案】(1)100 (2)米/秒 (3) (4)小李 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，从中获取信息的能力，以及路程、速度与时间的关系． （1）观察函数图象易得到甲乙都跑了100米； （2）由速度路程时间即可得到结论； （3）先根据图象得出小李跑100米用了10秒，再根据速度路程时间，计算出小李的速度，即可得到结论； （4）这次赛跑中先到达终点的是用时较少的． 【解析】（1）解：根据图象可以得到路程s的最大值是100米， ∴这次赛跑的赛程为100米； （2）解：从图象可知，小王跑完全程用时12秒， 所以小王的速度为：(米/秒) （3）解：∵小李跑100米用了10秒， ∴小李的速度(米/秒)； ∴； （4）解：从图象可知，小李跑完全程用时10秒，小王跑完全程用时12秒， 所以先到达终点的是小李． 22．（22-23八年级上·上海宝山·期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要 ； (2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于的时间有多少？ 【答案】(1)4 (2) (3)2分钟 【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升即可求出水温从加热到所需时间； （2）根据反比例函数过点可求出解析式； （3）分别计算出水温达到前和达到后再降到所需时间即可． 【解析】（1）解：开机加热时水温每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：4； （2）由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ， 当时，， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）当时，设，将代入函数解析式，可得： ，解得：， ∴当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 水温不低于的时间为（分钟）， 答：不低于的时间有2分钟． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 23．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上． 、 (1)求函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，勾股定理： （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，则，可得；当时，设，则，，，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【解析】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，则， ∵， ∴； 当时，设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 24．（23-24八年级上·上海·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． (1)求的值； (2)若与的面积比为，求点的坐标； (3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，可求出的值； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，由与的面积比为可推出，由点的坐标可求出，从而求出点的纵坐标，根据题意求出直线的解析式，由于点在直线上，进而求出点坐标； 过点作轴于，设，则，将其坐标代入到得到关于的方程内解方程即可求出结果． 【解析】（1）在函数的图象上， ， （2）如图1，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 设直线的解析式为， 点在直线上， 直线的解析式为， 把代入中，， ， （3）如图2，过点作轴于， 直线的解析式为， 设， 点落在函数的图象上， ， 或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质等，能够熟练运用一次函数和反比例函数的性质是解本题的关键． 模块4：二次根式 25．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【解析】解：原式 ． 26．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【解析】解： ． 27．（21-22八年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用二次根式的性质是解题的关键．先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，最后进行加减运算，即可解题． 【解析】解：原式          ． 28．（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）计算：      （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，按照二次根式的性质，化简计算即可． (1)按照二次根式的混合运算法则，依次化简计算即可，分母有理化时要特别小心． (2)按照二次根式的混合运算法则，依次化简计算即可． 【解析】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 29．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式乘除法和性质，先根据二次根式的乘除法运算法则计算，再利用性质化简即可求解．掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 【解析】解： ． 30．（19-20八年级上·上海静安·期末）先化简：，再求当时的值. 【答案】xy；1 【分析】分子中先提出公因式进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可. 【解析】 = = =， 当时，原式==1. 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键. 31．（18-19八年级下·上海宝山·阶段练习）已知实数满足求代数式的值． 【答案】 【分析】首先化简已知条件的等式，得出，代入所求代数式中即可得解. 【解析】解：由已知条件，等式可化为 ，即为 解得 ，（舍去） 将其代入，即得 原式=， 故答案为. 【点睛】此题主要考查二次根式的化简求值，熟练运用即可解题. 模块5：一元二次方程 32．（23-24八年级上·上海长宁·期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是关键． 【解析】解：（1）∵； ∴， 则， ∴， ∴或， ∴， （2）∵ ∴整理得， 则， ∴， ∴，． 33．（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）用配方法解方程：         （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【解析】解：（1）移项得：， 配方得： ，即：， 开方得：， 解得：，． （2）移项得：， 因式分解得：， 即：或， 解得：，． 34．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及该方程的根． 【答案】， 【分析】根据根的判别式的值为1，求出的值，再利用求根公式进行求解即可． 【解析】解：由题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）或； ∴一元二次方程化为：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根的判别式，公式法解一元二次方程．解题的关键是掌握根的判断式为． 35．（2024-2025八年级上·上海·专题练习）已知关于的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等， （1）运用根的判别式、平方数的非负性进行判断求证即可； （2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，①当时，即方程两根相等；②当或者时，即是原方程的一个根；分析计算求出的三边长，计算得出的周长即可； 熟练掌握解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 【解析】（1）解：在关于的一元二次方程中，，，， ∴ ， ∵ ∴无论取何值，这个方程总有两个实数根； （2）解：∵等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根， ①当时，即方程两根相等， ∴， 解得：， ∴方程可化为：， 解得：， ∴， ∴三边为长分别为，，， ∵， ∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； ②当或者时，即是原方程的一个根， 把代入得：， 解得：， ∴原方程可化为：， 解得：或， 即的两腰长为，底边长为， ∴的周长． 36．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的元下降至元，求这种型号的优盘平均每次降价的百分率． 【答案】这种型号的优盘平均每次降价的百分率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为，根据题意列方程即可求解． 【解析】解：设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为， 根据题意得： ，（不合题意，舍去）， 答：这种型号的优盘平均每次降价的百分率为． 37．（22-23八年级上·上海静安·期末）某建筑工程队在靠墙处（可用墙长米），用米长的建筑材料围成一个面积为平方米的长方形仓库，在与墙平行的边上预留出长度为米的门，求这仓库的长和宽． 【答案】这仓库的长为米，宽为米 【分析】设仓库的宽米，则仓库的长为米，根据题意建立一元二次方程，根据可用墙长米，得出，继而即可求解． 【解析】解：设仓库的宽米，则仓库的长为米，根据题意得， ， 解得： ∵可用墙长米， ∴， 解得：， ∴， ∴米， ∴这仓库的长为米，宽为米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 38．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价． 【答案】40元 【分析】设每盒茶叶的进价为元，等量关系为：总售价总进价，据此列出方程求解． 【解析】解：设每盒茶叶的进价为元． ． 解得：或， 经检验：或都是原方程的解，但不合题意，应舍去． 答：每盒茶叶的进价为40元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，难点是得到余下茶叶的数量． 39．（23-24八年级上·上海普陀·期中）如图1，要建一个面积为140平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；在与墙垂直的一边，要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米．    (1)这个仓库设计的长和宽分别为多少米； (2)如图2，要在仓库外铺一圈宽为米、总面积为76平方米的地砖，求的值． 【答案】(1)长和宽分别为14米、10米 (2)2 【分析】（1）首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可．； （2）根据大长方形的面积等于仓库的面积加上地砖的面积，列出方程，即可求解． 【解析】（1）解：设这个仓库的长为x米，则宽表示为，由题意得： ， 解得：， ∵这堵墙的长为16米， ∴不合题意舍去， ∴，宽为：（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． （2）解：根据题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 即a的值为2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$