第五章 导数及其应用 知识归纳与题型突破（十二类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）

第五章 导数及其应用 知识归纳与题型突破（十二类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 Ⅰ、导数的概念及意义 1、 概念 平均变化率：对于一个函数，通常将 称为函数在区间上的平均变化率。 平均变化率反映了函数在区间上的平均变化情况。 瞬时变化率：对于一个函数，将称为函数在区间上的瞬时变化率。 瞬时变化率反映了函数在处的瞬时变化情况。 导数的概念 函数在处时的瞬时变化率就是函数在处的导数，记作f′(x0),即 2、导数的几何意义： 平均变化率的几何意义：割线PQ的斜率 就是函数y=f（x）在以区间上的平均变化率. 导数的几何意义：点Q沿曲线趋近于点P时，函数y=f（x）在处时的瞬时变化率 函数在处的导数就是函数在点处的切线斜率 （1） 函数在处的切线方程：y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0). （2） 对于函数，若，则为函数的驻点 Ⅱ、导数的运算 一、导数的加减运算法则 通过上面的练习，我们不难发现导数的数乘、加减运算法则： 1、 ，其中C是一个常数 2、 二、导数的乘法运算法则 3、 如果可导，那么它们的乘积求导可以这样计算: 简要证明： 用乘积求导法则计算下列导数： ① ② ③ ④ 三、求导保持不变的函数 以及 4、 有没有一个函数，它的导数还是自身？也就是满足：，答案就是。至于e是如何得来的是一个很长的话题，其中，导数等于自身也是发现e的途径之一，分析学的书籍中一般用这样的定义： 或者：，以及。e像π一样是个无理数。 我们现阶段只需要掌握即可。 四、复合函数求导 5、 先回忆一下复合函数，设，，则。 假如函数都是可导的，它们的复合函数求导，有如下法则： 注意上面的推导过程中，表示的正是两点直线的斜率，这样当时，得到的就是函数在点处的切线斜率。复合函数求导一般写成如下形式：，前者我们用“[]”括起来表示对的复合函数求导，后者’紧贴，表示先对求导、再与复合（即与复合）。 Ⅲ、导数的运用 1． 利用导数研究函数的单调性 1．用导数判断函数单调性的法则 在某个区间(a，b)内，如果，那么函数在这个区间内严格单调递增；如果，那么函数在这个区间内严格单调递减． 注意：⇒为增函数，⇒为减函数，但反之不成立；但有为增函数⇒，为减函数⇒.一个典型例子就是在R上为增函数，但. 2．用导数求函数单调区间的步骤 (1) 确定的定义域； (2) 求导数； (3) 由 (或)解出相应的x的范围．当时，在相应区间上是增函数； 当时，在相应区间上是减函数． 2． 利用导数研究函数的极值 1．函数的极值 （1）极值的定义：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于，此时，就说函数在处取得极大值，而点称为函数的极大值点. 类似的，在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不小于，此时，就说函数在处取得极小值，而点称为函数的极小值点. 如下图，函数有三个极大值点，还有三个极小值点. （2）定理：设点是函数的驻点. ① 若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极大值； ② 若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极小值； 2．求可导函数极值的方法 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）考查在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则 是极大值；如果由负变正，则是极小值． 注意： ①可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即点是可导函数的极值点是的充分但不必要条件，如函数，有，但不是极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧，的符号不同． ③在用导数求函数极值题目中一定要注意列表格、画函数简图． 3． 利用导数研究函数的最值 1．可导函数的最大值、最小值 可导函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 注意： ①函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部上对函数值的比较；函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较． ②函数在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个，而极大值或极小值可能多于一个，也可能没有．如常数函数既无极大值，也无极小值． 2．求可导函数在上的最值的步骤： （1）求在开区间内所有使的点； （2）计算函数在区间内使的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注意： ①求函数的最值与求函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可． ②可利用函数单调性求在闭区间上的最值．若在上单调递增，则的最大值为，最小值为；若在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值． 03 题型归纳 题型一　导数的有关概念 例题 1．函数在区间上的平均变化率为 . 巩固训练 2．已知是定义在上的可导函数，若，则 . 3．质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 4．若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 5．若函数在处的导数，则曲线在处的切线的倾斜角 ． 题型二 导数的几何意义 例题 6．函数在点处的切线方程为 . 巩固训练 7．直线与曲线相切，则 ． 8．如图，函数图像在点处的切线方程是，则 .    9．直线与曲线相切于点，则 ． 10．定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 题型三 导数的运算 例题 12．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 13．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 14．已知函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 15．已知函数的导函数为，若，为的导函数，则 . 16．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 17．若曲线存在垂直于轴的切线， 则实数的取值范围是 . 题型四　求函数的极值 例题 18．设，则函数的极大值点为 ． 巩固训练 19．函数的极值点的个数是 ． 20．已知函数，则（    ） A．函数的极大值点为 B．函数的极小值为2 C．过点作曲线的切线有两条 D．直线是曲线的一条切线 21．已知函数，则函数（    ） A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值 C．有极小值无极大值 D．既无极大值也无极小值 22．已知函数及其导函数的定义域均为，且，则（    ） A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点 C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点 题型五 求函数的驻点 例题 23．函数 的驻点为 ． 巩固训练 24．函数的驻点为 ． 25．函数的驻点为 . 26．在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则 . 题型六 根据极值点或驻点求参数 例题 27．设.若是函数的极大值点，则 . 巩固训练 28．已知函数，若是函数的驻点，则实数 29．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 . 30．设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 31．若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 题型七 判断函数的单调性、求函数的（严格）单调区间 例题 32．已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 巩固训练 33．若函数，其中，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 34．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ①有2个极值点 ②在处取得极小值 ③有极大值，没有极小值 ④在上单调递增 35．定义在上的奇函数的导函数是，若函数最小值点为，则函数的严格单调递减区间为 . 36．已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（    ） A．存在无穷多个，满足 B．对任意有理数，均有 C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 题型八 根据导数解不等式 例题 37．函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 巩固训练 38．已知函数，则不等式的解集为 . 39．已知，则的解集为 . 40．定义在上的奇函数 ，满足 ，则不等式 的解集为 ． 题型九 根据导数求最值、取值范围问题 例题 41．已知函数在处取得极值为，且有极大值28，则在上的最小值为 ． 巩固训练 42．设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为 . 43．若正数x，y满足，则的最小值是 . 44．已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 题型十 根据导数解零点、比较大小等其他问题 例题 45．设.若函数的图像都在轴下方（不含轴），则的取值范围是 . 巩固训练 46．若、、，则、、的大小是 ． 47．已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 题型十一 利用导数解决实际问题 例题 48．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则该圆柱形水桶的底面半径为 ． 巩固训练 49．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．    50．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为 ．    题型十二 解答题 例题 51．设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 巩固训练 52．已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 53．为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件： ①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案. (1)已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款； (2)判断使用参数是否满足条件，并说明理由； (3)求同时满足条件①、②的参数的取值范围. 54．已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 55．对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 导数及其应用 知识归纳与题型突破（十二类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 Ⅰ、导数的概念及意义 1、 概念 平均变化率：对于一个函数，通常将 称为函数在区间上的平均变化率。 平均变化率反映了函数在区间上的平均变化情况。 瞬时变化率：对于一个函数，将称为函数在区间上的瞬时变化率。 瞬时变化率反映了函数在处的瞬时变化情况。 导数的概念 函数在处时的瞬时变化率就是函数在处的导数，记作f′(x0),即 2、导数的几何意义： 平均变化率的几何意义：割线PQ的斜率 就是函数y=f（x）在以区间上的平均变化率 导数的几何意义：点Q沿曲线趋近于点P时，函数y=f（x）在处时的瞬时变化率 函数在处的导数就是函数在点处的切线斜率 （1） 函数在处的切线方程：y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0). （2） 对于函数，若，则为函数的驻点 Ⅱ、导数的运算 一、导数的加减运算法则 通过上面的练习，我们不难发现导数的数乘、加减运算法则： 1、 ，其中C是一个常数 2、 二、导数的乘法运算法则 3、 如果可导，那么它们的乘积求导可以这样计算: 简要证明： 用乘积求导法则计算下列导数： ① ② ③ ④ 三、求导保持不变的函数 以及 4、 有没有一个函数，它的导数还是自身？也就是满足：，答案就是。至于e是如何得来的是一个很长的话题，其中，导数等于自身也是发现e的途径之一，分析学的书籍中一般用这样的定义： 或者：，以及。e像π一样是个无理数。 我们现阶段只需要掌握即可。 四、复合函数求导 5、 先回忆一下复合函数，设，，则。 假如函数都是可导的，它们的复合函数求导，有如下法则： 注意上面的推导过程中，表示的正是两点直线的斜率，这样当时，得到的就是函数在点处的切线斜率。复合函数求导一般写成如下形式：，前者我们用“[]”括起来表示对的复合函数求导，后者’紧贴，表示先对求导、再与复合（即与复合）。 Ⅲ、导数的运用 1． 利用导数研究函数的单调性 1．用导数判断函数单调性的法则 在某个区间(a，b)内，如果，那么函数在这个区间内严格单调递增；如果，那么函数在这个区间内严格单调递减． 注意：⇒为增函数，⇒为减函数，但反之不成立；但有为增函数⇒，为减函数⇒.一个典型例子就是在R上为增函数，但. 2．用导数求函数单调区间的步骤 (1) 确定的定义域； (2) 求导数； (3) 由 (或)解出相应的x的范围．当时，在相应区间上是增函数； 当时，在相应区间上是减函数． 2． 利用导数研究函数的极值 1．函数的极值 （1）极值的定义：在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于，此时，就说函数在处取得极大值，而点称为函数的极大值点. 类似的，在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不小于，此时，就说函数在处取得极小值，而点称为函数的极小值点. 如下图，函数有三个极大值点，还有三个极小值点. （2）定理：设点是函数的驻点. ① 若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极大值； ② 若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极小值； 2．求可导函数极值的方法 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）考查在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则 是极大值；如果由负变正，则是极小值． 注意： ①可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即点是可导函数的极值点是的充分但不必要条件，如函数，有，但不是极值点． ②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧，的符号不同． ③在用导数求函数极值题目中一定要注意列表格、画函数简图． 3． 利用导数研究函数的最值 1．可导函数的最大值、最小值 可导函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 注意： ①函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部上对函数值的比较；函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较． ②函数在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个，而极大值或极小值可能多于一个，也可能没有．如常数函数既无极大值，也无极小值． 2．求可导函数在上的最值的步骤： （1）求在开区间内所有使的点； （2）计算函数在区间内使的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注意： ①求函数的最值与求函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可． ②可利用函数单调性求在闭区间上的最值．若在上单调递增，则的最大值为，最小值为；若在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值． 03 题型归纳 题型一　导数的有关概念 例题 1．函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可. 【解析】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 巩固训练 2．已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【解析】由导数定义知：. 故答案为：1 3．质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可． 【解析】解：函数的导数， 当时，， 即质点在时的速度为， 故答案为：． 4．若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义即可直接求解. 【解析】 , 故选：D. 5．若函数在处的导数，则曲线在处的切线的倾斜角 ． 【答案】 【分析】由条件，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系求倾斜角. 【解析】 因为函数在处的导数， 所以函数在点处的切线斜率， 所以，又， 所以倾斜角． 故答案为：. 题型二 导数的几何意义 例题 6．函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到结果. 【解析】由题意可知，，则切点为，因为，则， 所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即 故答案为： 巩固训练 7．直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【解析】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 8．如图，函数图像在点处的切线方程是，则 .    【答案】 【分析】结合导数的定义求解即可. 【解析】因为函数图像在点处的切线方程是， 则函数图像在点处的切线的斜率为 故答案为：. 9．直线与曲线相切于点，则 ． 【答案】 【分析】根据点在直线上求出的值，对函数求导，根据切点斜率可求出值，代入点解方程，即得解 【解析】因为直线与曲线相切于点， 将代入可得，解， 因为，所以 由，解得，可得， 因为点在曲线上， 所以，解得． 故答案为： 10．定义在上的函数的导函数为，如图是的图像，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系得到，可看作过和的割线的斜率，根据图像得到答案. 【解析】图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正， 故， ， 可看作过和的割线的斜率， 由图象可知，故， 故选：B． 11．已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【解析】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 题型三 导数的运算 例题 12．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用倍角公式，基本函数的导数公式和导数的四则运算法则求解； （2）（3）（4）利用基本函数的导数公式和导数的四则运算法则求解． 【解析】（1）. （2）. （3）. （4） . 巩固训练 13．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】结合导数的四则运算，利用复合函数求导法则求解各个函数即可. 【解析】（1）令，则. . （2）令，则， . （3） ,. （4）令，则， 则. （5），. （6）. 14．已知函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】借助导数公式计算即可得. 【解析】，则，解得. 故选：D. 15．已知函数的导函数为，若，为的导函数，则 . 【答案】/ 【分析】求出复合函数的导函数，代入求值. 【解析】， 所以. 故答案为： 16．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】 【分析】先利用导数的几何意义求出切线方程，然后求出切线与坐标轴的交点，从而可求出切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【解析】由，得， 切线的斜率为， 因为， 所以切线方程为， 当时，，当时，， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为 . 故答案为： 17．若曲线存在垂直于轴的切线， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导后，将问题转换为函数方程有解问题、参变分离即可得解. 【解析】， 由题意曲线存在垂直于轴的切线， 所以在上有解，即在上有解， 而在上的值域为， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 题型四　求函数的极值 例题 18．设，则函数的极大值点为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，对函数求导，利用导函数研究函数的单调性，即可求解. 【解析】由，可得， 令，解得：，， 令，解得：或，所以在，上单调递增； 令，解得：，所以在上单调递减； 故函数的极大值点为； 故答案为： 巩固训练 19．函数的极值点的个数是 ． 【答案】0 【分析】利用导数求函数单调区间，判断极值点的个数. 【解析】函数定义域为， 由，函数在和都单调递增，没有极值点， 函数的极值点的个数为0. 故答案为：0. 20．已知函数，则（    ） A．函数的极大值点为 B．函数的极小值为2 C．过点作曲线的切线有两条 D．直线是曲线的一条切线 【答案】D 【分析】利用求导分析函数的单调性，即可求出极大值点和极小值，判断AB选项正误；设过的切线为，切点为，利用点斜式整理比较k值列方程，方程的解的个数即为切点个数和切线条数，判断C选项正误；利用切线斜率求出切点，即可得到切线方程，判断D选项正误. 【解析】，令，解得或， 因为，；，；，； 所以在递增，递减，递增， 故的极大值点为，故A错误； 极小值为，故B错误； 设过的切线为，切点为， 所以， 则， 从而， 解得或，有三条切线，故C错误； 令，即，解得， 从而，即切线方程为，故D正确． 故选：D. 21．已知函数，则函数（    ） A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值 C．有极小值无极大值 D．既无极大值也无极小值 【答案】B 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值点，即可判断. 【解析】函数的定义域为， 且， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. 故选：B 22．已知函数及其导函数的定义域均为，且，则（    ） A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点 C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点 【答案】C 【分析】设，求导后，构造，求导，得到其单调性和极值情况，结合极小值为0，故当时，至多有1个变号零点，且在上无变号零点；分在区间上没有变号零点和1个变号零点两种情况，得到极值情况. 【解析】令，则， 故． 令， 所以， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的极小值为， 的极大值为， 所以当时，至多有1个变号零点，且在上无变号零点； 当在区间上没有变号零点时， 则，，单调递增，无极值点， 当在区间上有1个变号零点时， 可设为，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有且只有一个极小值点，无极大值点． 综上，最多有一个极小值点，无极大值点． 故选：C 【点睛】隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 题型五 求函数的驻点 例题 23．函数 的驻点为 ． 【答案】1 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即可. 【解析】函数，求导得， 由，得或（舍去），所以函数的驻点为1. 故答案为：1. 巩固训练 24．函数的驻点为 ． 【答案】0 【分析】求出函数的导数，令，求得，则函数的驻点为0. 【解析】因为， ， 令，得，而， 所以函数的驻点为0. 故答案为：0. 25．函数的驻点为 . 【答案】1 【分析】求出导函数，由解确定结果． 【解析】 由得， 时，，时，，因此是函数的驻点． 故答案为：1． 26．在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则 . 【答案】 【分析】根据函数驻点的性质与等比数列的性质求解即可. 【解析】函数，则 ，分别是函数的两个驻点，所以，是方程的两根， 所以，所以 在等比数列中，且等比数列奇数项同号，则，所以. 故答案为：. 题型六 根据极值点或驻点求参数 例题 27．设.若是函数的极大值点，则 . 【答案】 【分析】先对函数求导，再结合函数极大值点导数值为0建立关于a的关系式，最后结合极大值的定义，讨论最终a的取值. 【解析】由题意得，， 因为是函数的极大值点， 所以有， 解得或. 又当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极小值点，不符题意； 而当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极大值点. 故答案为：. 巩固训练 28．已知函数，若是函数的驻点，则实数 【答案】5 【分析】求出函数的导数，再利用驻点的意义列式计算即可. 【解析】函数，求导得， 由是函数的驻点，得， 所以. 故答案为：5 29．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导函数，确定函数的单调性和极值点，利用函数在区间上有极值点，即可求实数的取值范围． 【解析】函数的定义域为R，且． 当时，恒成立，故在R上单调递增，从而没有极大值，也没有极小值． 当时，令，得， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 从而时有极小值，函数没有极大值． 依题意有，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 30．设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【解析】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 31．若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【解析】，则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，，当时，， 则函数得图象如下图所示： 所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 题型七 判断函数的单调性、求函数的（严格）单调区间 例题 32．已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】求导，利用导数求原函数的单调区间. 【解析】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. 巩固训练 33．若函数，其中，在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在上恒成立，从而可求出的取值范围 【解析】由，得， 因为在上是严格增函数， 所以在上恒成立，即恒成立， 因为在上单调递增， 所以， 所以， 即的取值范围为. 故答案为： 34．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ①有2个极值点 ②在处取得极小值 ③有极大值，没有极小值 ④在上单调递增 【答案】③④ 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调区间，进而确定极值情况即可得解. 【解析】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值， 因此①②错误；③④正确. 故答案为：③④ 35．定义在上的奇函数的导函数是，若函数最小值点为，则函数的严格单调递减区间为 . 【答案】. 【分析】由题意可得是R上偶函数，令，则有，结合对数函数的性质可知当时，，当时，，从而可得的解集，即得答案. 【解析】因为是定义在上的可导奇函数，所以， 求导得，，即，所以是R上偶函数， 令， 又因为的最小值点为，所以， 又因为当时，，所以此时， 当时，，所以此时，所以， 又因为是R上偶函数，所以当时，， 当时，， 所以当时，， 即函数的严格单调递减区间为：. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是由及的性质，得出的解集. 36．已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（    ） A．存在无穷多个，满足 B．对任意有理数，均有 C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 【答案】B 【分析】举例说明判断ACD；利用极小值的意义推理判断A. 【解析】对于A，函数的图象如图， 显然函数满足题设条件，而1是的极小值点，A错误； 对于B，在附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于，因此1一定不是极小值点，B正确； 对于C，函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，1是的极小值点，C错误； 对于D，函数图象如图， 函数在上为严格增函数，在上为严格减函数，1是的极小值点，D错误. 故选：B 题型八 根据导数解不等式 例题 37．函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据图像判断出函数的单调区间，从而求得的解集. 【解析】根据图象可知，当时，；当时，； 同时当或时，；当时，； 所以的解集为. 故答案为： 巩固训练 38．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式. 【解析】由得， 所以函数是R上的增函数， 又由得函数是奇函数， 则由得， 所以， 解得. 故答案为：. 39．已知，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质，分情况整理不等式，当时，整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性，当时，利用中间值法，可得答案. 【解析】当时，可得，整理可得， 令，令，求导可得， 所以函数在单调递减，令，解得，则， 此时不等式的解集为； 当时，可得，由，则， 易知，此时不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 40．定义在上的奇函数 ，满足 ，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】首先利用奇函数性质将不等式进行转化，再构造函数，通过求导判断函数单调性，最后根据单调性求解不等式. 【解析】因为是定义在上的奇函数，则. 两边求导，得到.已知，可得. 令，. 由于，又，所以，这表明在上单调递增. 不等式可化为. 不等式即，即. 因为单调递增，所以，解得. 故不等式的解集为. 故答案为：. 题型九 根据导数求最值、取值范围问题 例题 41．已知函数在处取得极值为，且有极大值28，则在上的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意建立关于d的方程组，即可求解函数的解析式，再根据函数的单调性，求函数的最小值. 【解析】由题意可知，，且，， 即，得，， 则，故， ，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以函数的极大值是，得， 由单调性可知，函数在区间的最小值可能为或， ，，所以函数在区间的最小值为. 故答案为： 巩固训练 42．设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为 . 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解极值点与端点值，比较即可求解. 【解析】由题意可得，令，则 令,则 令,则 故在单调递增，在单调递减 故 故答案：. 43．若正数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】利用消元法，可得，利用函数的导函数与单调性的关系求最小值. 【解析】因为正数x，y满足， 所以，则， ， 设函数， ， 令解得，，令解得，， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以， 即的最小值是9， 故答案为：9. 44．已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求定义域，求导，依题得到在区间上有两个不相等的实根，由根的判别式和韦达定理得到不等式组，求得，化简并计算得到，构造，，求导得到函数单调性，即可推得所求式的范围. 【解析】由，可得 由题意得方程在区间上有两个不相等的实根， 故解得， 又 . 设，则， 故在上单调递增，则， 即的取值范围是. 故答案为：. 题型十 根据导数解零点、比较大小等其他问题 例题 45．设.若函数的图像都在轴下方（不含轴），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数的图像都在轴下方（不含轴）等价于的最大值小于0恒成立，通过对求导，分析含参函数的单调性，分类讨论得到最值从而计算出结果. 【解析】，， ①当时，恒成立， 在上单调递增，且，，显然不符合题意； ②当时，当时，；当时，； 在上单调递增，上单调递减， ，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 巩固训练 46．若、、，则、、的大小是 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求出其单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可. 【解析】令，则， 由，得，由，得， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以， 所以，即. 故答案为： 47．已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据零点个数和极小值点的个数可得关于的不等式，故可求其取值范围. 【解析】当时，， 因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以，故， 故答案为： 题型十一 利用导数解决实际问题 例题 48．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则该圆柱形水桶的底面半径为 ． 【答案】 【分析】设底面半径为，由体积，用表示出高，进而用表示出表面积，通过求导得到取最小值时的值即可. 【解析】设圆柱的底面半径为，由体积得高为， 则圆柱的表面积为， ， 令，得，单调递减，令得，单调递增． 所以在时取得最小值，要使得用料最省，底面半径为. 故答案为：. 巩固训练 49．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．    【答案】 【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解. 【解析】结合图形，可知圆锥的体积为， 又因为，即， 所以，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以炸药包要埋在深处. 故答案为：. 50．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为 ．    【答案】/ 【分析】根据题意可知，利用导数判断单调性和最值，进而可得结果. 【解析】设圆的直径为， 则，即， 由题意可得：，则， 令时， 解得；令时， 解得； 可知在单调递增， 在单调递减，则时，取最大值． 此时． 所以 故答案为：. 题型十二 解答题 例题 51．设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)严格单调增区间为 和 ,严格单调减区间为 和 . (2) 【分析】（1）直接求导，令导函数大于0和小于0即可； （2）转化为，解出即可. 【解析】（1）， 令，解得或者， 令，解得或， 所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和. （2），即， ，即，利用穿根法解得. 所以解集为. 巩固训练 52．已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【解析】（1）因为 ， 由，则， 令，解得， 所以函数在上的单调递减区间为； （2）由，则， 因为函数在区间上有且只有两个极大值点， 所以，解得， 即实数的取值范围. 53．为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件： ①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案. (1)已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款； (2)判断使用参数是否满足条件，并说明理由； (3)求同时满足条件①、②的参数的取值范围. 【答案】(1) (2)不满足条件②，理由见解析 (3) 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）代入，与条件②矛盾，即可求解， （3）根据在[3,6]上单调递增，转化为在恒成立，分离参数求解最值即可求解，根据条件②可知，，即可利用二次函数的性质求解. 【解析】（1）由于，故， （2）因为当时，, ，所以当时不满足条件②. （3）由条件①可知,在上单调递增， 在恒成立， 在恒成立，所以 由条件②可知，，即不等式在上恒成立， 等价于， 当时，取最小值，所以 综上，参数的取值范围是. 54．已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)1 (3)存在，3. 【分析】（1）把代入，利用导数求出的严格增区间. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可. （3）由（2）可得不等式，再赋值并利用不等式性质，结合放缩法求出的范围即可得的最小值. 【解析】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得， 所以的严格增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不符合题意； 当时，由，得，，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以. （3）由（2）知当时，，即， 则恒成立，当且仅当时取等号， 当，时，， 因此， 则，即， 当时，， 即当时，， 所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立， 则的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：用对数切线不等式将放缩成等比数列的和是这题的关键. 55．对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“T点”的性质可求的值； （2）根据“T点”的性质可得在上有三个不同的解，利用换元法可求参数的值； （3）若存在一个包含“和谐T点”的区间，则在上有解，利用导数可证该结论错误. 【解析】（1），由可得，而 因为为函数在区间上的“T点”，故. （2）， 因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解， 设，则， 则在上有两个不同的根， 且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为， 此时有一根，在上有两个不同的解， 故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为， 同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍； 综上，. （3）， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 【点睛】思路点睛：对于导数背景下的多变量的存在性问题，注意根据方程组的形式合理消元，从而构建较为简单的函数，而后者可以利用导数来处理. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$