专题05 相似三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题05 相似三角形 【考点01：比例的性质】 【考点02：比例线段】 【考点03：黄金分割】 【考点04：相似图形】 【考点05：平行线分线段成比例】 【考点06：相似三角形的性质】 【考点07：相似三角形的判定与性质】 【考点08：相似三角形的应用】 【考点09：作图-相似变换】 【考点10：位似变换】 优网 知识点1：比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 知识点2：黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 知识点3：相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点4：相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 知识点5：平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 知识点6：相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 知识点7： 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点8：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 知识点9：射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 知识点10：位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 知识点11：位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 知识点12：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的 知识点13：作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 图 知识点14：利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 知识点15：利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【考点01：比例的性质】 1．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．已知，则 ． 4．，则＝ ． 【考点02：比例线段】 5．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　） A．17km B．34km C．170km D．340km 6．如果线段a＝2cm，b＝10cm，那么的值为（　　） A． B．5 C．2 D． 7．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（   ） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm 8．已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段 ． 【考点03：黄金分割】 9．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为，上半身的长度为，她计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的身材显得更优美．你认为选择最佳跟高为（     ） A． B． C． D． 10．滕州一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）（    ） A． B． C． D． 11．如图1，在线段上找一点，点把线段分为和两段，其中是较小的一段，若，则点就叫做线段的黄金分割点．如图2是正五角星图案，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（   ）    A． B． C． D． 【考点04：相似图形】 13．下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 14．两个相似多边形周长的比是，其中较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（   ） A． B． C． D． 15．下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 16．如图，四边形四边形，则的度数为 ． 【考点05：平行线分线段成比例】 17．如图，，交于点，若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，已知直线，直线m，n分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 19．如图，，若，，，则的长度是（   ） A． B． C．3 D．2 20．如图所示，直线，下列比例式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【考点06：相似三角形的性质】 21．如图，在中，分别为的中点，则的面积与四边形的面积比为（   ）    A． B． C． D． 22．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，，与相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，若，，，则的长为 ． 【考点07：相似三角形的判定与性质】 25．如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 26．如图，在中，是上的一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 27．如图，为的直径，点D为上一点，点C在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 28．如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点08：相似三角形的应用】 29．风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段、、表示三片风叶，， ，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为4m的标杆影长为3m． (1)直接写出的度数及的长； (2)求风叶转动时点到地面的最小距离． 30．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 31．【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： (1)任务一：凸透镜的焦距为 ，蜡烛的高为 ，离透镜中心的距离是 时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； (2)任务二：某实验小组取焦距 为 的凸透镜，高度是 的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 32．【研究发现】 如图1，在中，，矩形的三个顶点D，E，F分别边，，上，若，，求矩形的面积． 小颖同学发现可以采用如下方法进行求解： 如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵，∴…… （1）填空：矩形的面积为______；     【问题解决】 《九章算术》卷九记载：今有邑方二百步，各中开门．出东门十五步有木．问出南门几何步而见木？大意为：如图3，正方形小城的边长为200步，各边中点处开一城门．从东门中点A向正东方向走出15步处有树B，问从南门D点向正南方向走出多少步恰能见到树B？ （2）请你求出的长． 【延伸探究】 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图4，要测量海岛上一座山峰A的高度，在地面M，N两处分别立有高30尺的标杆和，两杆之间的距离尺，B，M，N三点成一线；从M处退行738尺到F，A，G，F三点成一线；从N处退行762尺到C，A，E，C三点也成一线；若点D在上，D，G，E三点也成一线，如何求出山峰A的高度呢？ （3）试计算线段的长． 【考点09：作图-相似变换】 33．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； (3)在y轴上求作一点P，使周长最小，直接写出点P的坐标． 34．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ． (2)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与位似，且相似比为，点的坐标是 ． (3)的面积是 ． 35．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)将向右平移4个单位长度得到，画出． (3)以点为位似中心，将放大为原来的2倍．得到．画出． 36．按要求作图：如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的，写出点A的对应点的坐标； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的，写出点B的对应点的坐标； (3)若点是内任意一点，则它在内的对应点的坐标是　　　． 【考点10：位似变换】 37．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 38．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 39．如图， 与、位似，位似中心为点 O ，，的周长为18，则周长为（     ） A．54 B．24 C．32 D． 40．如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，把这个三角形的边长缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 一、单选题 1．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，已知，，，线段的长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 3．在相同的时刻，物高与影长成比例．如果一标杆高米，测得此标杆的影长为米，那么在同一时刻影长为米的旗杆的高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，点D、E分别是、的中点，若的面积为4，则的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 7．如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 8．如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 10．如图，在中，点在上，且，则 ． 11．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 ．    三、解答题 12．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 13．如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 14．如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求菱形的边长 15．如图，为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 16．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明与相等； 【问题解决】 （3）如图（3），在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形 【考点01：比例的性质】 【考点02：比例线段】 【考点03：黄金分割】 【考点04：相似图形】 【考点05：平行线分线段成比例】 【考点06：相似三角形的性质】 【考点07：相似三角形的判定与性质】 【考点08：相似三角形的应用】 【考点09：作图-相似变换】 【考点10：位似变换】 优网 知识点1：比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 知识点2：黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 知识点3：相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点4：相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 知识点5：平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 知识点6：相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 知识点7： 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点8：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 知识点9：射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 知识点10：位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 知识点11：位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 知识点12：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的 知识点13：作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 图 知识点14：利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 知识点15：利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【考点01：比例的性质】 1．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质得，将其代入计算，即得答案． 【详解】 ， ． 故选：C． 2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键，根据合比性质进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】设可得再代入求值即可得到答案． 【详解】解：设 故答案为： 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用设参数法解决比例问题是解题的关键． 4．，则＝ ． 【答案】 【分析】设k，进而解答即可． 【详解】设k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，把x＝3k，y＝4k，z＝5k代入． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例的性质，由比例的性质解答是解题的关键． 【考点02：比例线段】 5．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　） A．17km B．34km C．170km D．340km 【答案】C 【分析】要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可求解． 【详解】解：（厘米）， 17000000厘米＝170千米， 答：上海到杭州的实际距离是170千米， 故选：C． 【点睛】本题考查比例尺—比例线段，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6．如果线段a＝2cm，b＝10cm，那么的值为（　　） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据比例线段计算即可． 【详解】因为线段a=2cm，b=10cm， 所以的值=， 故选A． 【点睛】此题考查比例线段问题，关键是根据比例线段解答． 7．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（   ） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．根据比例线段的定义，对题目各选项中的四条线段逐个分析并判断是否成比例即可． 【详解】解：由于，故不成比例，故A选项错误； 由于，故不成比例，故B选项错误； 由于，故不成比例，故C选项错误； 由于，故成比例，故D选项正确． 故选：D． 8．已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段 ． 【答案】 【分析】根据线段的比例中项的概念列方程求解即可． 【详解】解：因为：线段是线段，的比例中项， 所以：， 因为：线段，线段， 所以：， （负根不合题意舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是成比例线段中的比例中项，掌握比例中项的概念是解题关键． 【考点03：黄金分割】 9．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为，上半身的长度为，她计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的身材显得更优美．你认为选择最佳跟高为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用；根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可． 【详解】解：根据题意，设她穿的高跟鞋的高度是，则 ， 解得：， ∴我认为选择鞋跟高为的高跟鞋最佳； 故选：D． 10．滕州一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割的概念以及近似数，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割的概念得到，代入数值进行计算即可． 【详解】解：∵为舞台的一个黄金分割点，且， ∴． 故选：D ． 11．如图1，在线段上找一点，点把线段分为和两段，其中是较小的一段，若，则点就叫做线段的黄金分割点．如图2是正五角星图案，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 利用黄金分割的定义列出比例式即可求出的长． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 或（舍去）， 故答案为：C． 12．如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相黄金分割，根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴ 故选：B． 【考点04：相似图形】 13．下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项B中的两个图形不相似； 故选：B． 14．两个相似多边形周长的比是，其中较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，掌握相似多边形的性质是解答本题的关键． 根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可． 【详解】解：两个相似多边形周长的比是， 两个相似多边形的相似比是， 两个相似多边形的面积比是， 较小多边形的面积为， 较大多边形的面积为， 故选：D． 15．下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 【答案】C 【分析】本题考查相似图形的判定，熟知相似图形的判定是解答的关键．根据相似图形的判定，结合相关知识的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本选项不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本选项符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项不符合题意； 故选：C． 16．如图，四边形四边形，则的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了相似多边形的性质．利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ∴，，， 故答案为：． 【考点05：平行线分线段成比例】 17．如图，，交于点，若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 结论正确，故选项不符合题意； ， ， ，， ， ， 结论正确，故选项不符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 结论错误，故选项符合题意； ， ， ，， ， ， 结论正确，故选项不符合题意； 故选：． 18．如图，已知直线，直线m，n分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 19．如图，，若，，，则的长度是（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得，． 故选：D． 20．如图所示，直线，下列比例式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵直线， ∴，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 【考点06：相似三角形的性质】 21．如图，在中，分别为的中点，则的面积与四边形的面积比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在中，分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于的面积与四边形的面积之和， ∴的面积与四边形的面积比为， 故选：C． 22．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，易证，，从而得出．根据反比例函数的几何意义，得出，从而可求出，进而即得出经过点B的反比例函数解析式． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴． ∵为直角三角形，且，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴经过点B的反比例函数解析式为． 故选C． 23．如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，，与相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形，相似三角形的知识，根据平行四边形的性质，得到，则，根据，得到，根据，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 24．如图，在中，若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 先证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为12． 【考点07：相似三角形的判定与性质】 25．如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件． （1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，先证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证； （2）①先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用即可求得的长度； ②通过平行线分线段成比例，，算得的长度，再通过，得到，从而算得的长度． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ． ，即； （2）解：①， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， 解得：（舍去负值）， ； ②， ， ， ， ， ， ，， ， ． 26．如图，在中，是上的一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型． （1）利用相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形对应边成比例进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴． 27．如图，为的直径，点D为上一点，点C在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理，相似三角形的性质是解题关键． （1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出，即即可得出结论； （2）利用相似三角形的判定与性质，求出并得出，进而求出直径，再由勾股定理求出即可得解． 【详解】（1）如图，连接， 是的直径， ， 即， ， ， 又, ， 即， 是的半径， 为的切线． （2）， ， ， ， ， ， 由， 可得， 即， ， ， ， 即， 解得， ． 28．如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． （1）由四边形是矩形，得到，，从而有，根据得，即可求证； （2）设，由得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； （2）解：∵， 设，则 在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形， ， ∵点为的中点， ， ， ， ， ，且， ， 解得， ． 【考点08：相似三角形的应用】 29．风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段、、表示三片风叶，， ，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为4m的标杆影长为3m． (1)直接写出的度数及的长； (2)求风叶转动时点到地面的最小距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过，即可求得，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理即可求解的度数； （2）过点作于点H，过点E作于点I，由，求得，则，根据直角三角形的性质得到，故当时，风叶转动时点到地面的最小距离为； 【详解】（1）解：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作于点H，过点E作于点I， 在中，由勾股定理得； 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， 由题意得，，而， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当时，风叶转动时点到地面的最小距离为， 答：风叶转动时点到地面的最小距离为． 【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 30．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 【答案】大雁塔的高度为64米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 设米，证明，推出，可得，再证明，推出，构建方程求解即可． 【详解】解：设米． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 答：大雁塔的高度为64米． 31．【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： (1)任务一：凸透镜的焦距为 ，蜡烛的高为 ，离透镜中心的距离是 时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； (2)任务二：某实验小组取焦距 为 的凸透镜，高度是 的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 【答案】(1)，，； (2)①；②减小 【分析】本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质 （1）任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解， （2）任务二：①由，整理得到，根据描点法，画出函数图象， ②根据反比例函数的增减性，即可求解， 【详解】（1）解：任务一：①根据题意得：矩形， ∴， 根据题意得：与平行， 则， ∴，即：， 设，则，， 由题意得， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， 故答案为：，，；． （2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，， ， 由任务一可知：， ， 即， 解得：； ②用描点法可得该函数的图象，如下图所示： 当当 时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 32．【研究发现】 如图1，在中，，矩形的三个顶点D，E，F分别边，，上，若，，求矩形的面积． 小颖同学发现可以采用如下方法进行求解： 如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵，∴…… （1）填空：矩形的面积为______；     【问题解决】 《九章算术》卷九记载：今有邑方二百步，各中开门．出东门十五步有木．问出南门几何步而见木？大意为：如图3，正方形小城的边长为200步，各边中点处开一城门．从东门中点A向正东方向走出15步处有树B，问从南门D点向正南方向走出多少步恰能见到树B？ （2）请你求出的长． 【延伸探究】 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图4，要测量海岛上一座山峰A的高度，在地面M，N两处分别立有高30尺的标杆和，两杆之间的距离尺，B，M，N三点成一线；从M处退行738尺到F，A，G，F三点成一线；从N处退行762尺到C，A，E，C三点也成一线；若点D在上，D，G，E三点也成一线，如何求出山峰A的高度呢？ （3）试计算线段的长． 【答案】（1）3750；（2）步；（3）步. 【分析】本题考查了相似三角形的应用/矩形的性质和判定，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． （1）由矩形性质可得，，由此即可求出，即得答案； （2）证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质可求出的长． （3）由，可得，，进而可得，，根据数据列方程求解即可． 【详解】（1）如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， ∴四边形，，是矩形， ∴， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵， ∴， 故答案为； （2）解：，，步，步，， ， ， ， ， ，即， ， （3）解：由题意得，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， 解并检验得：， 答：山峰的高度的长为步． 【考点09：作图-相似变换】 33．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； (3)在y轴上求作一点P，使周长最小，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】（1）描出点，连接，则即为所作； （2）描出，连接，则即为所作； （3）描出，连接，交y轴P，连接，则的周长最小，求得直线的解析式，进一步得出结果． 【详解】（1）如图1，即为所作； （2）如图2，即为所作； （3）如图3，根据轴对称的性质描出点，连接，交y轴P，连接， 则点P则即为所作． 设的解析式为， 则，解得：， ∴的解析式为． 当时，， ∴． 【点睛】本题考查作图—旋转，作图—位似，作图—轴对称，坐标与图形的变化—旋转，坐标与图形的变化—位似，坐标与图形的变化—轴对称，一次函数的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 34．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ． (2)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与位似，且相似比为，点的坐标是 ． (3)的面积是 ． 【答案】(1)作图见解析，； (2)作图见解析， ； (3)． 【分析】本题考查作图平移变换、位似变换、三角形的面积，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作出、、，顺次连接即可得出答案； （2）根据位似的性质作出、、，顺次连接即可得出答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，向下平移个单位长度得到的， ∴是所求作三角形， ∴由图可知， 故答案为：． （2）∵与位似，且相似比为， ∴延长，，使得，，如图所示， ， ∴是所求作三角形， ∴由图可知， 故答案为：． （3）的面积， 故答案为：10． 35．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)将向右平移4个单位长度得到，画出． (3)以点为位似中心，将放大为原来的2倍．得到．画出． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质． （1）根据坐标系直接写出坐标即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （3）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． 【详解】（1）解：根据坐标系可得：； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：如图所示，为所求． 36．按要求作图：如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的，写出点A的对应点的坐标； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的，写出点B的对应点的坐标； (3)若点是内任意一点，则它在内的对应点的坐标是　　　． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析，； (3) 【分析】此题考查了位似和平移的作图，坐标与图形、点的坐标等知识． （1）找到点向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的对应点，顺次连接即可得到，再写出点A的对应点的坐标即可； （2）找到点经过位似变换后的对应点，顺次连接即可得到，再写出点B的对应点的坐标即可； （3）根据位似图形坐标的变化规律写出答案即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点A的对应点的坐标为； （2）如图，即为所求，点B的对应点的坐标为； （3）若点是内任意一点，则它在内的对应点的坐标是， 【考点10：位似变换】 37．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算，可得答案． 【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为 或，即或， 故选：C． 38．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 【详解】解：分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图所示： ∵，，，， ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 39．如图， 与、位似，位似中心为点 O ，，的周长为18，则周长为（     ） A．54 B．24 C．32 D． 【答案】B 【分析】本题考查位似的性质、相似三角形的性质．由得到，从而得到与的相似比为，，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴，且与的相似比为， ∴， ∵的周长为18， ∴的周长为． 故选：B． 40．如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，把这个三角形的边长缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，根据位似变换的性质进行计算即可． 【详解】解：点的坐标为，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，且点的坐标是， ∴位似图形对应点的坐标的比等于， 点的坐标是，即， 故答案为：． 一、单选题 1．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例． 按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； B. ，条线段成比例，故选项符合题意； C. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； D. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； 故选：． 2．如图，已知，，，线段的长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到即可求解． 【详解】解：∵, ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：A． 3．在相同的时刻，物高与影长成比例．如果一标杆高米，测得此标杆的影长为米，那么在同一时刻影长为米的旗杆的高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，结合相似三角形的对应边之比相等，列出方程，解方程即可求出旗杆的高． 【详解】解：设影长为米的旗杆的高为米， 根据题意可得：， 解得：． 即影长为米的旗杆的高为米． 故选：C． 4．如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，两组对应角相等或者夹角相等，两边成比例的三角形是相似三角形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意； B、因为，，所以，故该选项不符合题意； C、因为，且夹角都不是，即夹角不相等，所以不相似，故该选项符合题意； D、因为，且，即夹角相等两边成比例，所以，故该选项不符合题意； 故选：C 5．如图，在中，点D、E分别是、的中点，若的面积为4，则的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，再证明，据此根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为16， 故选：C． 6．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形性质，理解相似三角形的性质是解答关键． 设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知与相似， ， ． 故选：C． 7．如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质和中点定义得出，证明，根据相似三角形的面积等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴的面积的面积为， ∴的面积的面积， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选． 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 【答案】/0.4 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为． 10．如图，在中，点在上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，由平行四边形的性质得，，进而证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 ．    【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 设与的交点为，设，由题意可得，，则，则，求解即可． 【详解】解：设与的交点为，如下图：    设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即 解得，即 故答案为：． 三、解答题 12．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 13．如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2或4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）一线三等角模型，通过外角的性质得到，推出，即可得证； （2）直接根据第一问的相似三角形得到，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ． （2）解：， ， 由（1）知，， ， 即， 或4，经检验，符合题意； 答：或4． 14．如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求菱形的边长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． （1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可； （2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 为边长， （负值舍去） 15．如图，为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理． （1）先证，得，进而得，再由，得，计算可得答案； （2）作的平分线交于点G，得，进而得，，再由平行线的性质得，设，则，再由，得，再由勾股定理得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， ∴， 解得， ， ∴， ∴，即， ； （2）解：作的平分线交于点G，连接， ∴， 又∵， ∴， ，， ， 设，则， 又 ， ， 即， 在中，， 在中，， ， 解得：， ． 16．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明与相等； 【问题解决】 （3）如图（3），在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．    【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由得到，则，即可证明结论； （3）连接，证明，得到，求出，设，则，在中，，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：． （2）在等腰中，， ． 在等腰中，， ． ， ． ． ． ， ． ． ． （3）如图③，连接， 四边形是正方形， ． 点是正方形的对称中心， ． ． ． ， ． ． ， ． 设，则， 在中，，即， 解得． ， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$