特训03 图形的相似（十四大题型归纳）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训03 图形的相似（十四大题型归纳） 目录： 题型1：成比例线段、比例的基本性质 题型2：比例尺及其应用 题型3：比例中项 题型4：黄金分割 题型5：平行线分线段成比例 题型6：相似多边形 题型7：相似三角形的性质 题型8：相似三角形的判定 题型9：相似三角形的判定与性质 题型10：重心的性质 题型11：图形的位似 题型12：相似三角形的实际应用 题型13：相似三角形的综合应用 题型14：解答题 题型1：成比例线段、比例的基本性质 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．4，5，8，10 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．3，4，6，7 【答案】A 【分析】本题主要考查了成比例线段的判断，理解定义是解题的关键．即如果四条线段a，b，c，d满足，那么这四条线段称为比例线段． 【解析】解：A．由可知这一组线段成比例，所以A符合题意； B．由，可知这一组线段不成比例，所以B不符合题意； C．由，可知这一组线段不成比例，所以C不符合题意； D．由，可知这一组线段不成比例，所以D不符合题意． 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值． 【解析】解：∵ ∴=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形． 3．已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入即可求解． 【解析】解：设， , 故选：A． 4．已知，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型2：比例尺及其应用 5．已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查了地图上距离的比值等于实际距离的比值．根据地图上距离的比值等于实际距离的比值即可求解． 【解析】解：设、两地的实际距离为千米． 根据题意得到：， 解得：千米． 故答案为：． 6．在比例尺为 的地图上，量得线段 两地距离是 ，则两地实际距离为 ． 【答案】240 【分析】本题考查比例线段，比例尺的定义，设实际距离为，根据比例尺的定义列出方程，然后求解即可得出答案． 【解析】解：设实际距离为， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：240． 7．A城市的新区建设规划图上，新城区的南北长为120cm，而该新城区的实际南北长为6km，则新区建设规划图所采用的比例尺是 . 【答案】1:5000 【分析】根据比例尺是图上距离与实际距离的比值即可求解． 【解析】∵图上距离为120cm，实际距离为6km=600000cm， ∴新区建设规划图所采用的比例尺=120：600000=1：5000． 故答案为1：5000． 【点睛】本题考查了比例尺的定义，熟知比例尺是图上距离与实际距离的比值是解题的关键. 题型3：比例中项 8．已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于 ． 【答案】3 【分析】根据比例中项的定义，若是，的比例中项，即．即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 【解析】解：若是、的比例中项， 即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 9．已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝ cm． 【答案】3 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【解析】解：∵b是a、c的比例中项， ∴b2＝ac，即b2＝3×6， 解得b＝±3（线段是正数，负值舍去）， ∴a和c的比例中项b＝3cm． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了比例线段，理解比例中项的概念是本题的关键，注意线段不能是负数．如果b是a、c的比例中项，那么b2＝ac. 10．线段是线段、的比例中项，且，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键． 【解析】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 题型4：黄金分割 11．已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，即可得的长． 【解析】解：根据题意得：， ， ， 故答案为：． 12．线段，为的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段与较短线段的比等于整个线段与较长线段的比，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，再求出的长即可． 【解析】解：如图， 线段，为的黄金分割点且， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得，即可得出结论． 【解析】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， 故选项D符合题意， 故选：D． 题型5：平行线分线段成比例 14．如图，DE∥BC，那么= . 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理及推论分别得出等式求出即可． 【解析】 DE∥BC， ∴= 故答案为. 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理及推论，熟练掌握其推论是解题关键． 15．如图，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，得出，进而，即可求解． 【解析】解：∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 16．如图，已知，若，，则 .    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是关键． 17．如图，CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝ ． 【答案】1：5 【分析】作DH∥BE，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到AE＝EH，CH＝3EH，得到答案． 【解析】过点D作DH∥BE交AC于H， ∵DH∥BE， ∴，， ∴AE＝EH，CH＝3EH， ∴AE：AC＝1：5， 故答案为：1：5． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 18．如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则 ． 【答案】3 【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE． 【解析】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点， ∴AB=2CD=10， ∵BC=8， ∴AC==6， ∵DE⊥BC，AC⊥BC， ∴DE∥AC， ∴，即， ∴DE=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式． 题型6：相似多边形 19．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【解析】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为. 故答案为：． 20．如图，四边形四边形．则y（即）的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边成比例得到，据此代值计算即可． 【解析】解：∵四边形四边形， ∴，即， 解得， 故答案为：． 21．如图，矩形中，，M、N分别是的中点，，若矩形与矩形相似，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形相似的性质，利用矩形相似的性质得到两个矩形长和宽的比例相同，然后求出的长，利用矩形长宽比例对应相等求解是关键． 【解析】解：矩形中，，M、N分别是的中点， ，， 矩形与矩形相似， ， 即， 解得， 所以的长为． 故答案为： 题型7：相似三角形的性质 22．如果两个相似三角形对应角平分线的比是∶5，那么它们对应高的比是 ． 【答案】∶5 【分析】根据相似三角形的性质结合已知条件分析解答即可. 【解析】∵两个相似三角形对应角平分线的比是∶5， ∴这两个相似三角形对应高之比为：∶5. 故答案为∶5. 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解答本题的关键. 23．如图，在中，，，，则与的面积之比为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先判定,然后求得相似比，最后根据相似三角形的性质即可解答；掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴, ∴． 故答案为． 24．若，与的相似比为，则为（ ） A．2:3 B．9:4 C．4:9 D．3:2 【答案】B 【分析】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，根据两个三角形的相似比即可求出面积比. 【解析】且与的相似比为， 则等于 9:4. 故选B 【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解决问题的关键. 25．如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 设的高为h， ， 设为，则为，为， ， ∴ ， 故选：B． 题型8：相似三角形的判定 26．下列语句叙述正确的是（    ） A．有一个角是的等腰三角形都相似 B．有一个角是的直角三角形都相似 C．有一个角是的锐角三角形都相似 D．有一个角是的钝角三角形都相似 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．可以通过举反例来证明． 本题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握举反例的解题方法，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用． 【解析】A、有一个角是的等腰三角形不一定相似，如、、的等腰三角形和、、的等腰三角形不相似，故本选项错误； B、有一个角是的直角三角形都相似，正确； C、有一个角是的锐角三角形不一定相似，如 、、的锐角三角形和、、的锐角三角形不相似，故本选项错误； D、有一个角是的钝角三角形不一定相似，如 、、的钝角三角形和、、的钝角三角形不相似，故本选项错误； 故选：B． 27．下列四组条件中，能识别与相似的是（    ） A．，；， B．，，，，， C．，，，，， D．，；， 【答案】C 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而确定最后答案． 【解析】解：A不正确： ∵，；，， ∴，， ∴不相似； B不正确： ∵与不是边，与，的夹角， ∴不相似； C相似： ∵，，，，，， ∴，， ∴相似； D不相似： ∵不是，的夹角，是边与的夹角， ∴不相似． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①若对应三边的比相等，则三角形相似；②若对应两边的比相等，及其夹角相等，则三角形相似；③若有两个角对应相等，则三角形相似． 28．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案． 【解析】解：A．若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意； B．若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意； C．若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意； D．若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法． 29．如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、不能推出，故符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故不符合题意； 故选：C． 题型9：相似三角形的判定与性质 30．△中，，，，点D、E分别在边、上，如果，，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出，即可求解． 【解析】解：如图，∵，，，， ∴，, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D．    【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 31．如图，中，为上一点，，，，则 ． 【答案】 【分析】题考查了相似三角形的判定与性质，由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长． 【解析】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） 故答案为： 32．如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先得到，然后根据对应边成比例解题即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 33．如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果． 【解析】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 34．如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，与边相交于点，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形是平行四边形，可得，即可证得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解析】解：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型10：重心的性质 35．，，，为重心，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点； 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为. 也考查了直角三角形斜边上的中线性质．根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可. 【解析】解：如图， ∵为的重心，    ∴是的中线，， ， ， ， 故答案为：. 36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 ． 【答案】2 【分析】如图，连接AG并延长AG交BC于D，由重心的性质可知，可得，由GH⊥BC，∠ACB=90°可得GH//BC，根据平行线分线段成比例定理即可得答案． 【解析】如图，连接AG并延长AG交BC于D， ∵点G是△ABC的重心， ∴AG=2GD，即， ∴， ∵由GH⊥BC，∠ACB=90°， ∴GH//BC， ∴， ∵AC=6， ∴GH=AC·=6×=2， 故答案为：2 【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 37．在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积 ． 【答案】/6平方厘米 【分析】本题考查了三角形重心的性质及三角形中位线的性质，根据点是的中点，得到的面积为，再由是重心，求出，即可求解． 【解析】解：点是的中点，的面积为， 的面积为， 是重心， ， 的面积为：， 故答案为：． 38．如图，是的重心，，连接并延长交于，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查重心与三角形中线的关系，直角三角形斜边上的中线的性质，根据三角形重心的定义得为的中线，又，根据直角三角形斜边上中线的性质可知，再根据重心的性质得，即可得解．解题的关键是掌握：三角形的重心是三条中线的交点，三角形的重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的倍．‌ 【解析】解：∵是的重心， ∴为的中线， 又∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵是的重心，， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 39．如图，在平面直角坐标系中，点 A（-2，3），点 B 在 x 轴负半轴，AO=AB，点 M 为△OAB的重心，若将△OAB绕着点 O 顺时针旋转 90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ． 【答案】（1，2） 【分析】要求旋转后的M的坐标，首先求出原M点的坐标；先求出B点坐标，然后求出AB的中点C的坐标，利用待定系数法得出直线OM的解析式即可求出M 的坐标，进而解决问题． 【解析】如图，取AB点的中点坐标为C，故M为△AOB的重心 ∵AO=AB，A（-2，3） ∴B点坐标（-4，0） ∴C点坐标（-3，） 设OC的解析式为y=kx过点C 得=-3k ∴y= 当x=-2时，y=1 ∴M（-2，1） ∵△OAB顺时针旋转90° ∴点M绕点O顺时针旋转90° 如图，过作轴于 在△OME和△OM'F中 ∴ ∴， ∴旋转后的坐标为（1，2） 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变化，知道重心是三条中线的交点，学生要看清是顺时针还是逆时针旋转，然后画出图形，利用图形的旋转特点就可以解决问题． 题型11：图形的位似 40．如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 过点A作轴于点M，过点D作轴于点N．利用相似三角形的性质求出，即可解答． 【解析】解：过点A作轴于点M，过点D作轴于点N． ∵与是以点C为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵轴， 轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 41．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大，得到，若点A和点C的坐标分别为，，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．根据信息，找到与的比值，即求得相似比；然后根据与的面积比等于相似比的平方作出判断． 【解析】解：，， ，． 将以原点为位似中心放大，得到， 与的相似比是． 与的面积比是． 故选：C． 42．如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，需要分类进行讨论． 【解析】解：与的位似比是， 当点在第三象限时，， 当点在第一象限时，， 故点的坐标为或， 故选：C． 43．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的位似变换，相似三角形的判定以及性质，由正方性的性质和位似图形的性质可得出，，进而得出， 由相似三角形的性质可得出，进而可求出，进一步即可得出答案． 【解析】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，， ∴，， ∴， ，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型12：相似三角形的实际应用 44．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与应用，证得是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【解析】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 45．小福同学想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小福的眼睛距地面，，的长分别为，，则建筑物的高度为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．证，根据相似三角形的性质求出的长即可． 【解析】解：由题意可知，，，， ， ， ， ，，， ， 解得：， 答：建筑物的高度为． 故答案为：． 46．魏晋南北朝时期，中国数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下是数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．则山高 米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，根据已知条件可得，，代入求值即可． 【解析】∵、、为高， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴． 故答案为：． 题型13：相似三角形的综合应用 47．如图，在△ABC中，分别是边上的高，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及勾股定理，证明三角形相似是解题的关键；由题意知，则，，，，从而可得，由相似三角形的性质即可求解． 【解析】解：∵分别是边上的高， ∴， ∴，， 由勾股定理得：，； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 48．如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，矩形的性质 ，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点作轴于点，设，则点， 进而得，证明和 相似得，进而得，然后根据矩形的面积公式可得出答案． 【解析】过点作轴于点，如图所示： 设， 则点， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∵四边形为矩形， ， 轴， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 49．如图，在纸板中，，，，点P在上，过点P沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，若有3种不同的剪法，则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质等知识点，分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【解析】如图所示，过作交于D或交于E，则或△， 此时； 如图所示，过P作交于F，则， 此时； 如图所示，过P作交于G，则， 当点G与点B重合时，，即， ∴，， ∴当时，此种情况成立， ∵只有3种不同的剪法， ∴当时，不能剪出此种情况， 综上所述，长的取值范围是， 故答案为：． 50．如图，在正方形中，E、F分别为、边中点，连接、、，、与交点分别为G、H，已知，则 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，根据正方形的性质得到，得到，即可得到，根据勾股定理求出，，根据等积法求出，根据平行线得到，结合性质即可得到答案 【解析】解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形，E、F分别为、边中点， ∴，，，， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验：是方程的解， ∴， 故答案为：． 51．已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足为交于此时垂线段最短，最小值为求出当与B重合时，的延长线与交于点 最大值． 本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定等知识，关键是确定的最小值与最大值的位置． 【解析】解： 中，， 设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足，交于连接，延长与相交于点F，过F作于点G，如图1， 此时垂线段最短，最小值为，则四边形为矩形，平分 ． 设则 由勾股定理得， 解得： 即 如图2，当与B重合时，连接，延长与交于点 此时为最大值， ， ∴的最大值与最小值的和为： ， 故答案为：． 题型14：解答题 52．（1）已知：，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）54． 【分析】（1）设，，，代入，即可求解， （2）设，，，代入，求出值，代入，即可求解， 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键． 【解析】解：（1）设， 则，，， 则； （2）由可设，，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 53．如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法与性质． （1）根据，，可得，即可证明； （2）由，得到，即可求解． 【解析】（1）证明：于点，， ， ， ； （2）解：， ， ，，， ， ． 54．如图，点在边长为正方形中边上一点，． (1)请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹、不写作法）； (2)根据图中点的位置，证明（1）中结论成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的中点即可求出； （2）根据题意分别表示出各边长度，再根据三边成比例即可求出； 本题主要考查尺规作图，三角形相似的判定，熟练掌握尺规作图技巧和三角形相似的判定方法是解题的关键． 【解析】（1）如下图：作的垂直平分线，交于点，为中点，为所求； （2）由题意得：， 55．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形(直接写结果)，若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)是， 【分析】本题主要考查平移和位似的概念和性质，熟练掌握平移和位似的概念与性质是解题的关键． （1）根据题目要求作图即可； （2）根据题目要求作图即可； （3）根据位似的概念即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，和是位似图形，点M即为位似中心， 56．如图，是的直径，是的中点， (1)判断与的关系，并说明理由； (2)若，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）可证明是的中位线，得到，则可证明； （2）由三角形中位线定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵D是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键． 57．如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由矩形的性质可得，由垂线的定义和平行线的性质可证得，由可证得，于是有； （2）由可得，由矩形的性质可证得四边形是矩形，于是有，由即可得出与的函数关系式；将与的函数关系式化成顶点式并求其最值，即可得出的最大值． 【解析】（1）解：四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， 四边形是矩形， ， 又， 四边形是矩形， ， ； ， ， 当时，有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，用关系式表示变量间的关系，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值等知识点，构建二次函数解决最值问题是解题的关键． 58．在正方形中，点，分别在边，上，连接，交于点，已知． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，以为直径的圆交于H，交于点P，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若求正方形的边长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证△≌△，可得，由等腰三角形的性质可得结论； （2）由平行线分线段成比例可得，通过证明△△，可得，即可求解； （3）根据角平分线的判定得出，进而得出设列方程即可求解． 【解析】（1）解：四边形是正方形， ，，， ， ∴△≌△， ， ∵， ， 又， ， ∴，， ∴； 故答案为： （2）证明：如图2，过点作于， ， ， ∵，， ， 由（1）可知， ， 又， △△， ， ； （3）解：∵， ， ∵， ∴ 由（1）可知，， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设 则即 解得， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 图形的相似（十四大题型归纳） 目录： 题型1：成比例线段、比例的基本性质 题型2：比例尺及其应用 题型3：比例中项 题型4：黄金分割 题型5：平行线分线段成比例 题型6：相似多边形 题型7：相似三角形的性质 题型8：相似三角形的判定 题型9：相似三角形的判定与性质 题型10：重心的性质 题型11：图形的位似 题型12：相似三角形的实际应用 题型13：相似三角形的综合应用 题型14：解答题 题型1：成比例线段、比例的基本性质 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．4，5，8，10 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．3，4，6，7 2．若，则 ． 3．已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．已知，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型2：比例尺及其应用 5．已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为 千米． 6．在比例尺为 的地图上，量得线段 两地距离是 ，则两地实际距离为 ． 7．A城市的新区建设规划图上，新城区的南北长为120cm，而该新城区的实际南北长为6km，则新区建设规划图所采用的比例尺是 . 题型3：比例中项 8．已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于 ． 9．已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝ cm． 10．线段是线段、的比例中项，且，，则长为 ． 题型4：黄金分割 11．已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 12．线段，为的黄金分割点，且，则 ． 13．已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5：平行线分线段成比例 14．如图，DE∥BC，那么= . 15．如图，，则的长为 ．    16．如图，已知，若，，则 .    17．如图，CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝ ． 18．如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则 ． 题型6：相似多边形 19．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为 20．如图，四边形四边形．则y（即）的长为 ． 21．如图，矩形中，，M、N分别是的中点，，若矩形与矩形相似，则的长为 ． 题型7：相似三角形的性质 22．如果两个相似三角形对应角平分线的比是∶5，那么它们对应高的比是 ． 23．如图，在中，，，，则与的面积之比为 ．    24．若，与的相似比为，则为（ ） A．2:3 B．9:4 C．4:9 D．3:2 25．如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 题型8：相似三角形的判定 26．下列语句叙述正确的是（    ） A．有一个角是的等腰三角形都相似 B．有一个角是的直角三角形都相似 C．有一个角是的锐角三角形都相似 D．有一个角是的钝角三角形都相似 27．下列四组条件中，能识别与相似的是（    ） A．，；， B．，，，，， C．，，，，， D．，；， 28．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 29．如图，不能使得成立的条件是（   ）    A．B． C． D． 题型9：相似三角形的判定与性质 30．△中，，，，点D、E分别在边、上，如果，，那么的长是（   ） A． B． C． D． 31．如图，中，为上一点，，，，则 ． 32．如图，已知，，，，则 ． 33．如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 34．如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，与边相交于点，如果，那么 ． 题型10：重心的性质 35．，，，为重心，则 ． 36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 ． 37．在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积 ． 38．如图，是的重心，，连接并延长交于，，则的长为 ． 39．如图，在平面直角坐标系中，点 A（-2，3），点 B 在 x 轴负半轴，AO=AB，点 M 为△OAB的重心，若将△OAB绕着点 O 顺时针旋转 90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ． 题型11：图形的位似 40．如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 41．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大，得到，若点A和点C的坐标分别为，，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 42．如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 43．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为 ． 题型12：相似三角形的实际应用 44．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 45．小福同学想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小福的眼睛距地面，，的长分别为，，则建筑物的高度为 ． 46．魏晋南北朝时期，中国数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，其著作《海岛算经》，就是测量海岛的高度和距离．受此题启发，小明同学依照此法测量学校后山的高度和距离，录得以下是数据（单位：米）：表目距，，表目高，表距．则山高 米． 题型13：相似三角形的综合应用 47．如图，在△ABC中，分别是边上的高，连接，若，则的长为 ． 48．如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为 ． 49．如图，在纸板中，，，，点P在上，过点P沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，若有3种不同的剪法，则长的取值范围是 ． 50．如图，在正方形中，E、F分别为、边中点，连接、、，、与交点分别为G、H，已知，则 ． 51．已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 题型14：解答题 52．（1）已知：，求的值． （2）已知，，求的值． 53．如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 54．如图，点在边长为正方形中边上一点，． (1)请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹、不写作法）； (2)根据图中点的位置，证明（1）中结论成立． 55．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形(直接写结果)，若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 56．如图，是的直径，是的中点， (1)判断与的关系，并说明理由； (2)若，求的值． 57．如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 58．在正方形中，点，分别在边，上，连接，交于点，已知． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，以为直径的圆交于H，交于点P，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若求正方形的边长． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$