专题04 二次函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题04 二次函数 【考点01】二次函数的概念 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【考点07】二次函数的平移变换 【考点08】二次函数的交点个数问题 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 【考点10】二次函数应用-面积问题 【考点11】二次函数应用-利润问题 【考点12】二次函数与几何综合应用 知识点1： 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 知识点2： 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点3： 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 知识点6： 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 知识点7： 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点01】二次函数的概念 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于x的二次函数，则（    ） A．0 B． C．2 D． 3．已知函数，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 ． 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 4．抛物线的对称轴是（   ） A．y轴 B．x轴 C．直线 D．直线 5．对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 6．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 7．对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时，有最小值为 C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 8．二次函数的最小值是（　　） A．1 B． C． D． 9．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）． 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 11．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为 ． 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质、 13．将二次函数配方为的形式为（　　） A． B． C． D． 14．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 15．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 16．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 3 0 m 3 ⋯ 有以下结论： ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和m； ④当时，x的取值范围是或．其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 18．已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 19．若二次函数有最大值，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 20．已知二次函数，其中a为实数，对称轴为直线，将二次函数的图象向上平移6个单位，当时，函数有最小值为12，则m的值为 ． 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 21．二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；，正确的有几个（    ） A． B． C． D． 22．小明从如图的二次函数的图象中，观察得出了下面五个结论：；；；；，你认为其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 23．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论中， ①；②；③；④，正确的有 （填序号）． 【考点07】二次函数的平移变换 25．将函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 26．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得抛物线的表达式为（         ） A． B． C． D． 27．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式是 ． 【考点08】二次函数的交点个数问题 28．平行于轴的直线与抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 29．若抛物线与x轴的交点坐标为，则代数式的值为（　　） A．2019 B．2021 C．2020 D．2022 30．如图，抛物线（，，是常数且）的部分图象与轴交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 31．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 32．如图，直线与抛物线交于，两点，如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 33．当时，直线与抛物线只有1个交点，则的取值范围 ． 34．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ． 35．已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是 ． 36．一抛物线以为顶点，且经过x轴上一点，则该抛物线与y轴交点坐标为 ． 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 37．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为 ． 38．有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为，跨度为．把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1个单位表示）． (1)求这条的表抛物线表达式； (2)若要在隧道壁上P点处安装一个照明灯离地面的高度为，求照明灯与点B的距离． 39．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面（如图）． (1)直接在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)由于该河流上游暴雨，导致水位上升3m达到警戒线．一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为0.8m．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 40．如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点C为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点O和点C），求n的取值范围． 41．综合与实践 【问题情境】图1是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为． 【问题解决】 (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，已知喷水管降低后，喷水管喷出的水花抛物线形状不改变，且水柱在距原点的水平距离处达到最高，求喷水管要降低的高度． 42．如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地面竖直高度为．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． (1)求外边缘抛物线的函数表达式； (2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【考点10】二次函数应用-面积问题 43．在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边），设，则． (1)求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当多长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 44．如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，点在的延长线上，，设的长为米． (1)根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积为 平方米，若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时的值； (2)若使得改造后的面积最大，求此时的值． 45．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边BC上留一个宽的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)如何围成一个面积最大的矩形羊圈，求此时AB为多少米？ 46．如图，用长为的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是(单位：)，面积是(单位：)．      (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大的花圃？ 47．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？ 【考点11】二次函数应用-利润问题 48．某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 49．杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于42元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为32元时，销售量为40件：当销售单价为36元时，销售量为32件． (1)请求出y与x的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元， ①写出w与x的函数关系式： ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 50．厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … (1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? (2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 51．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒x元，每小时的销售利润为w元． (1)求w关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润． 【考点12】二次函数与几何综合应用 52．如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 53．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 54．如图，在平面直角坐标系中，抛物线(其中)，交轴于、两点(点在点的左侧)，交轴负半轴于点． (1)若， ①分别求出、、三点的坐标； ②如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点，使得，求点的坐标； (2)如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 55．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 56．【问题背景】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式． 【构建联系】 （2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 1．关于二次函数 ，以下说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为 2．已知点在抛物线上，若点也在该抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标为（        ） A． B． C． D． 5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 6．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是（    ） 0 1 2 1 1 6 A． B． C． D． 7．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 8．将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知二次函数、、为常数，的图像与轴交于，两点．下列结论中错误的有（    ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 11．已知二次函数，当时，y随x的增大而 ． 12．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 13．已知二次函数中，当时，的最小值是 ． 14．飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为，则飞机着陆后滑行 秒才停下来． 15．如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 17．杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)试通过计算判断此球能否过网． 18．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 19．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数 【考点01】二次函数的概念 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【考点07】二次函数的平移变换 【考点08】二次函数的交点个数问题 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 【考点10】二次函数应用-面积问题 【考点11】二次函数应用-利润问题 【考点12】二次函数与几何综合应用 知识点1： 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 知识点2： 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点3： 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 知识点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 知识点6： 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 知识点7： 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点01】二次函数的概念 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义：形式（为常数，且）是二次函数，据此判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，是一次函数，不合题意； 、是二次函数，符合题意； 、，分母中含有字母，不是二次函数，不符合题意； 、，未知数的最高次数是次，不是二次函数，不符合题意； 故选：． 2．若是关于x的二次函数，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得出且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， 解得：， 故选：B． 3．已知函数，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，利用是二次函数得出关于a的不等式是解题关键．根据函数是二次函数，得求解即可． 【详解】已知函数， 若y是x的二次函数， 则， 解得， 故答案为：． 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 4．抛物线的对称轴是（   ） A．y轴 B．x轴 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，由解析式，直接代入对称轴公式“直线”，从而可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，，， ∴对称轴为直线． ∴对称轴为y轴． 故选：A． 5．对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：函数：开口向下，对称轴为：，顶点为：，经过， 函数：开口向下，对称轴为，顶点为：， 故选：B． 6．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 7．对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时，有最小值为 C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，故选项错误； ∵， ∴二次函数开口向上，当时，有最小值为，故选项正确； ∵，抛物线对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故选项错误； 故选：． 8．二次函数的最小值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值，关键是熟练掌握二次函数的性质．根据关系式可知抛物线开口向上，函数有最小值，根据顶点坐标可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，y有最小值． 故选：D． 9．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知函数图象开口向下，由的图象与性质可知对称轴是直线，当时，随的增大而减小，设点关于抛物线对称轴的对称点是，则由二次函数的对称性可得，由点，，都在对称轴的右侧且，即可得出答案． 【详解】解：函数解析式为， ， 函数图象开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而减小， 设点关于抛物线对称轴的对称点是， 由二次函数的对称性可知：， 根据轴对称的性质可得：， 解得：， ， 点，，都在对称轴的右侧，且， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较．将，代入，求出和，比较即可； 【详解】解：当时，； 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 11．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：， 如图，若抛物线与线段恰有一个公共点， 则的取值范围是， 故选：D． 12．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：当，则， 解得：， 设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， ∵， 当时，C有最大值8． 故答案为：8． 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质、 13．将二次函数配方为的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，把一般式转化为顶点式即可． 本题考查了二次函数的一般式，顶点式，正确利用配方法是解答本题的关键，配方法方法是，先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式． 【详解】解：将二次函数配方为的形式为， 故选：B． 14．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解∶A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意； B、由抛物线可知， ，， ，则，由直线可知， ，，故本选项符合题意； C由抛物线可知，， ，，则，由直线可知，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，， ，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意． 故选∶B． 15．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 16．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 3 0 m 3 ⋯ 有以下结论： ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和m； ④当时，x的取值范围是或．其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②错误； 抛物线的顶点坐标是，有最小值，故抛物线的开口向上，故①正确； 由抛物线关于直线对称知，当时，或，故方程的根为0和2，故③错误； 当时，x的取值范围是或，故④正确， 故选C． 17．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键；将二次函数解析式化为顶点式，得出二次函数的对称轴为直线，由抛物线开口向上可知，离对称轴越远，函数值越大，即可得出的大小关系． 【详解】解：二次函数， 二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， ， ， 故答案为：． 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 18．已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴，顶点坐标中最值的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，可得对称轴在轴左边，即，由此得到二次函数图象的大致图形，当时，，当时，函数的最小值为，由此求出的值，即可求解． 【详解】解：已知二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，， ∴对称轴在轴左边，即， ∴， 如图所示， ∴当时，， ∴当时，函数的最小值为， 解得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D ． 19．若二次函数有最大值，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．因为二次函数有最大值，所以它所对应的抛物线一定开口向下，所以可得，四个选项中只有，所以应选D． 【详解】解：二次函数有最大值， 二次函数对应的抛物线开口向下， ， 的值可能是． 故选：D． 20．已知二次函数，其中a为实数，对称轴为直线，将二次函数的图象向上平移6个单位，当时，函数有最小值为12，则m的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象的平移，先根据对称轴方程求得该二次函数的解析式，再根据函数图象平移规则“上加下减”得到平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 将二次函数的图象向上平移6个单位，得， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，，此时y有最小值3， 当时，由解得，， ∵当时，函数有最小值为12， ∴或， 解得或． 故答案为：7或． 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 21．二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；，正确的有几个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与轴交点的个数、与轴交点的位置判断、、的正负性．根据抛物线开口向下、与轴的交点在轴的正半轴、对称轴在轴的右侧，可得：，，，所以；根据当时，抛物线上对应的点在第一象限，可知；从图象可以看出当时，对应的抛物线上的点在第三象限，所以可知；根据抛物线与轴有两个交点，可知方程有两个不相等的实数根，可知；根据对称轴的位置可知，所以． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，与轴的交点在轴的正半轴， ，， 又对称轴在轴的右侧， ， ， 、异号， ， ， 故错误； 当时，抛物线上对应的点在第一象限， ， 故错误； 由图象可知抛物线与轴有两个交点，对应的抛物线上的点在抛物线与轴左边的交点的左侧， 当时，， 故正确； 由图象可知抛物线与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ， ， 故正确； 由图象可知抛物线的对称轴，且 ， ， 故正确． 正确的有个． 故选：B． 1 22．小明从如图的二次函数的图象中，观察得出了下面五个结论：；；；；，你认为其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】由抛物线开口向上可得，由抛物线交轴于负半轴可得，由抛物线对称轴及可得，据此即可判断结论；由抛物线与轴有两个交点可知，一元二次方程有两个不相等的实数根，因而可得，据此即可判断结论；由抛物线图象可知，当时，，据此即可判断结论；由抛物线图象可知，抛物线对称轴为，即，据此即可判断结论；由，可得，由可得，两式相加即可判断结论；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线交轴于负半轴， ， ， ， ， 故结论正确； 抛物线与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故结论正确； 由抛物线图象可知，当时，， 当时，， 故结论正确； 抛物线的对称轴为， ， ， ， 故结论错误； ，， ， 即：， ， ， ， 即：， 故结论正确； 综上，正确的结论有，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与各项系数符号，根据二次函数的图象判断式子符号，一元二次方程根的判别式，的图象与性质，求函数值，等式的性质，等式的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 23．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键． 根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得：，解得， ∴，故②正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 即（其中），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，故④错误， 故选：B． 24．如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论中， ①；②；③；④，正确的有 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向以及与轴的交点可知， ，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由时，，得出，由得出即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线（，，为常数）关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵时，，对称轴为直线， ∴时，， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，即，故④错误； 故答案为：①②． 【考点07】二次函数的平移变换 25．将函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，的图象与性质，坐标与图形变化——平移等知识点，熟练掌握“左减右加，上加下减”的平移规律是解题的关键． 先得到二次函数的顶点坐标，然后按照“左减右加，上加下减”的平移规律求出其先向左平移个单位，再向上平移个单位后的顶点坐标，然后根据的图象与性质即可得出答案． 【详解】解：， 其顶点坐标为， 先向左平移个单位，再向上平移个单位后的顶点坐标为，即， 得到的抛物线解析式为： ， 故选：． 26．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得抛物线的表达式为（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移规律：左加右减，上加下减．据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，把抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位， 所得抛物线的表达式为， 故选：A． 27．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据二次函数的平移“上加下减，左加右减”的规律，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，则抛物线的解析式是， 再向下平移1个单位长度后，则抛物线的解析式是． 故答案为：． 【考点08】二次函数的交点个数问题 28．平行于轴的直线与抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的对称性，解题的关键是求出对称轴为直线． 先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线可知对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 另一个交点坐标是， 故选：A． 29．若抛物线与x轴的交点坐标为，则代数式的值为（　　） A．2019 B．2021 C．2020 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、代数式求值，根据抛物线与x轴的交点坐标为，可以求得的值，然后代入所求式子即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 30．如图，抛物线（，，是常数且）的部分图象与轴交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与一元二次方程的关系，掌握抛物线与轴的交点是对应一元二次方程的解是关键．根据抛物线与轴的两个交点到对称轴的距离相等，则可得另一个交点的坐标，关于的方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是，图象与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 方程的解为， 故选：C． 31．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴图象与轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：时，x的取值范围是或； 故选D． 32．如图，直线与抛物线交于，两点，如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．把代入求出m，再把代入求出n，然后利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：把代入得， ， ∴， 把代入，得 ， ∴． ∵直线与抛物线交于，两点， ∴关于x的不等式的解集是：或． 故选：D． 33．当时，直线与抛物线只有1个交点，则的取值范围 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用二次函数性质进行解答即可．根据直线与抛物线有交点，根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：． ∵和时，，时，，顶点坐标为， 当时，与抛物线有1个交点， 则或， 故答案为：或． 34．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与与x轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与x轴交点和判别式的三种对应关系，是解答的关键．抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴没有交点． 依据二次函数的图象与x轴有两个交点，可知判别式，列出不等式，并解之，即可求出k的取值范围． 【详解】∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴， 解得 ． 故答案为：． 35．已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛物线与轴的另一个交点的坐标是解题的关键． 根据抛物线的对称轴为，一个交点为，可推出另一交点为，结合图象求出时，的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为，一个交点为， 根据对称性，则另一交点为， 所以，的取值范围是， 故答案为：． 36．一抛物线以为顶点，且经过x轴上一点，则该抛物线与y轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与坐标轴的坐标等知识点，利用顶点式求二次函数解析式成为解题的关键． 设抛物线解析式为，然后将代入求得a的值即可确定函数解析式，然后令求得y的值即可解答． 【详解】解：设抛物线解析式为， 将代入可得：，解得， ∴抛物线解析式为， 令，则， ∴抛物线与y轴交点为． 故答案为． 【考点09】二次函数应用-类抛物线问题 37．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为 ． 【答案】10米/ 【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时，， ∴， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故答案为：米． 38．有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为，跨度为．把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1个单位表示）． (1)求这条的表抛物线表达式； (2)若要在隧道壁上P点处安装一个照明灯离地面的高度为，求照明灯与点B的距离． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法是解题的关键． （1）由题意可得点或在抛物线上，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出P的纵坐标是，在中，令，解得或，得到或，利用两点间的距离公式即可求出答案． 【详解】（1）解：由图象可知抛物线的顶点是，设抛物线所对应的函数关系为， ∵点或在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系式为； （2）∵要在隧道壁上点P处安装一盖照明灯离地面的高度为， ∴P的纵坐标是， 在中，令得： ， 解得或， ∴或， ∴或， ∴照明灯与点B的距离是或． 39．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面（如图）． (1)直接在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)由于该河流上游暴雨，导致水位上升3m达到警戒线．一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为0.8m．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是把一个实际问题通过数学建模，转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决． （1）先设抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出桥顶到警戒线的距离为，时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：建立如图示平面直角坐标系 设所求抛物线的解析式为：， 由题意得 把的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：能通过，理由如下： 由题意得：当时，， ∴， ∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过． 40．如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点O处）正前方的A处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点C为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点O和点C），求n的取值范围． 【答案】(1) (2)该球不能射进球门，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法求解即可； （2）当时，求出y的值再与比较，即可判断球能不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动m米，则可用含m的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 把点代入，得．解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，． 该球不能射进球门． （3）解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为． 把点代入，得，解得（舍去）或． 把点代入，得．解得（舍去）或． 的取值范围是． 41．综合与实践 【问题情境】图1是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为． 【问题解决】 (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，已知喷水管降低后，喷水管喷出的水花抛物线形状不改变，且水柱在距原点的水平距离处达到最高，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. （1）依据题意，由抛物线为再令 则，从而可以判断得解； （2）依据题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为结合抛物线过，从而可得新抛物线为 再令 ，进而可以判断得解. 【详解】（1）解：∵抛物线为 ， ∴令则， ∴喷水管的高度为； （2）解：由题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为， 又∵抛物线过， ， ， ∴新抛物线为， 又令， ， 由（1）得 ， ∴喷水管要降低的高度为： ． 42．如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地面竖直高度为．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． (1)求外边缘抛物线的函数表达式； (2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的取值范围是 【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合的思想是解题的关键． （1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式； （2）根据对称轴为直线可得点的对称点为，则是由向左平移得到的，即可求出点B的坐标； （3）如图：当时，可得点的纵坐标为；令则结合可得；由当时，则随的增大而减小，然后分、、三种情况确定x的取值范围，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设． 又 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数表达式为． （2）解：的对称轴为直线， 点的对称点为， 是由向左平移得到的， ． 令，即，解得或（舍去）， 点的坐标为， 点的坐标为． （3）解：， 点的纵坐标为， 令，即，解得：． ， ． 当时，随的增大而减小， 当时，要使，则． 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，则． ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为． 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 【考点10】二次函数应用-面积问题 43．在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边），设，则． (1)求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当多长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练应用二次函数关系式解决实际问题是解题的关键； （1）根据题意，表示出矩形的长和宽，结合矩形的面积公式即可求解； （2）根据题意，利用配方法求函数的最值，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 与x的关系式为； （2）由（1）得， ∵， 当时，有最大值，最大值为196， 即当时，矩形的面积最大，最大面积是． 44．如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，点在的延长线上，，设的长为米． (1)根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积为 平方米，若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时的值； (2)若使得改造后的面积最大，求此时的值． 【答案】(1)，2 (2)1 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． （1）根据    ，表示出和，然后利用面积公式求解，再若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等列出方程求解． （2）由改造后的矩形苗圃的面积来求解． 【详解】（1）解：设的长度为米， 根据题意得（米），（米）， 改造后的矩形苗圃的面积为. 若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等， ， 整理得， 解得，（不符合题意合去） 答：此时的值为2． 故答案为：． （2）解：改造后的矩形苗圃的面积， 当时，使得改造后的面积最大， 即此时的值为1． 45．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边BC上留一个宽的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)如何围成一个面积最大的矩形羊圈，求此时AB为多少米？ 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈 (2)当矩形的边时，羊圈能达到的最大面积是． 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用． （1）设矩形的边，则．根据矩形的面积为列出一元二次方程，解方程并进行检验后即可得到答案； （2）设羊圈的面积为y，则矩形的边，根据根据矩形的面积得到二次函数，根据二次函数的性质求出答案即可． 【详解】（1）解：设矩形的边，则． 根据题意，得， 化简，得． 解得，， 当时，，不合题意，舍去． 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）设羊圈的面积为，则矩形的边， 根据题意，得， ∵     ∴当时，y有最大值，最大值为648． ∴当矩形的边时，羊圈能达到的最大面积是． 46．如图，用长为的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是(单位：)，面积是(单位：)．      (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大的花圃？ 【答案】(1)； (2)当为时，面积最大为． 【分析】（）根据面积关系列函数表达式即可； （）利用（）中的函数关系式，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）根据题目数量关系得， 根据题意，解得：， ∴； （2）由（）得：， ∴， ， ∵当时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，理解题意，确定相等关系建立函数关系式与方程是解题的关键． 47．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？ 【答案】(1)道路的宽为6米 (2)每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大 【分析】考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）由题意知，道路的宽为x米，根据铺花砖的面积列出方程并解答； （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，，根据“月租金=每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式，进而求解． 【详解】（1）根据道路的宽为米，根据题意得， ， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为6米； （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 当时，月租金收入最大为12500元， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大． 【考点11】二次函数应用-利润问题 48．某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合； （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得 ，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得： ， ， 该函数图象开口向下，且其对称轴为， 又， 在此范围内，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 49．杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于42元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为32元时，销售量为40件：当销售单价为36元时，销售量为32件． (1)请求出y与x的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元， ①写出w与x的函数关系式： ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②销售单价定为41元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大，最大利润是242元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法等知识，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）①根据总利润=每件产品利润×数量，列出二次函数表达式；②利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得， 解得， 所以，y与x的函数关系式为 （2）解：① ② 当在范围内，w取到最大，最大值为242 答：销售单价定为41元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大，最大利润是242元． 50．厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … (1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? (2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，最值问题，分段函数等知识，正确理解题意，弄清各量间的关系，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. （1）根据日销售量与时间t（天）的关系表，设，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量； （2）根据题意列出日销售利润，此二次函数的对称轴为直线，要使W随t的增大而增大，，即可得出n的取值范围． 【详解】（1）依题意，设，将，代入中， 得：， 解得：， ∴日销售量与时间t（天）的关系． 当时，． 答：在第30天的日销售量为60千克． （2）解：依题意，得： ， 该函数图象的开口向下，对称轴为直线，要使在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 由二次函数的性质知：，解得． 又∵， ∴． 51．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒x元，每小时的销售利润为w元． (1)求w关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)销售价应定为每件130元； (3)销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元． 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握“建模”思想是解题关键． （1）根据销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒，得到销售量为，即，用销售量量乘以每盒的利润即可求解； （2）解方程即可求解； （3）求出每天的销售利润w与定价的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，该礼盒售价为每盒x元，则销售量为，即， ∴ 即； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得，， ∵要让利顾客， ∴， 答：销售价应定为每件130元； （3）解： ∵， ∴当时，w有最大值，， 答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元． 【考点12】二次函数与几何综合应用 52．如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为：； (2)； (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况点为直角顶点；点为直角顶点；点为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，， ，， ， ，                                       把和代入二次函数中得： ， 解得：，                                   二次函数的解析式为：； （2）解：如图1， 直线经过点和， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：，                    二次函数， 设点，则， ，       当时，的最大值为， 点的坐标为， ； （3）解：存在， ， 对称轴为直线，       设，分三种情况： 点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                  点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                            点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：或， 或， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、解二元一次方程、解一元二次方程等知识，熟练掌握待定系数法和分类讨论的思想是解答本题的关键． 53．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了线段的最值，要注意分类讨论；还要注意求最大值可以借助于二次函数． （1）运用待定系数法求解即可； （2）求出直线的函数表达式为，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分点位于轴上方和点位于轴下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，把，代入抛物线， 得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的函数表达式为． 把，代入，得 解得 ∴直线的函数表达式为． 设． ∵轴， ∴， ∴． ∵， ∴当时，有最大值． （3）解：①当点位于轴上方时． 如图1，过点作垂直对称轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点， 则． ∵为等腰直角三角形，且， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 设点的坐标为，此时，则， ∴． ∵点在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； ②当点位于轴下方时． 如图2，设点的坐标为，此时， 同理得，则有， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 54．如图，在平面直角坐标系中，抛物线(其中)，交轴于、两点(点在点的左侧)，交轴负半轴于点． (1)若， ①分别求出、、三点的坐标； ②如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点，使得，求点的坐标； (2)如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①，，；②； (2)与的积是定值． 【分析】（1）①当时，，分别令，解方程即可求解； ②过点作，过点作轴，得到，再根据得到抛物线解析式，证明，得到的坐标为，再设直线的解析式为，根据坐标和建立方程求解，得到直线的解析式，即可解题； （2）设直线的解析式为，记，，联立，得到，，作轴，作轴，证明 ，利用相似的性质得到，，即可解题． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 当时，， 解得：或， ∴，，； ②如图1，过作交于点，作轴于点， ， ，即， ， ， ， ，， ， ，， 的坐标为， 设直线的解析式为：， 将和代入解析式有， ，解得， 直线的解析式为， 当 时，解得（不合题意舍去）或， 当时，， 点D的坐标为； （2）解：与的积是定值，为2，理由： 抛物线（其中），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ，解得，， 即，， 过点作任意一条直线交抛物线于P、Q两点， 设直线的解析式为，记，， 有点在图象上， ，即， 直线的解析式为， 联立， 整理得， ，， 作轴，作轴，如图所示 ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，为定值． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判断，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，一元二次方程根与系数的关系，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 55．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)当时，△BMN的面积最大，最大面积是 (3)存在，Q的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）过点M作轴于点E，设面积为S，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，最大面积是； （3）由得直线解析式为，设，分三种情况：①当是对角线，有，解得；②当为对角线，有，解得；③当为对角线，有，解得或． 【详解】（1）解：将点代入中， 得， 解这个方程组得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：过点M作轴于点E，如图：    设面积为S， 根据题意得：，． ∵， ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是； （3）解：存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设直线解析式为， 把代入，得： ， 解得，， ∴直线解析式为， 设， 又， ①当是对角线，则的中点重合， ∴， 解得（与C重合，舍去）或， ∴； ②当为对角线，则的中点重合， ∴， 解得（舍去）或， ∴； ③当为对角线，则的中点重合， ∴， 解得或， ∴或， 综上所述，Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． 56．【问题背景】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式． 【构建联系】 （2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）（2）点N的坐标为，有最大值，最大值为（3）或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、待定系数法、二次函数的最值等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． （1）由得，，再运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，求出，根据二次函数的性质可得结论； （3）根据勾股定理求出，再分为腰和底两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴，， 把，代入，得， ， 解得，， ∴此抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 把把，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 设点的坐标为，则点， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为； （3）∵ ∴ 如图， 当为底边时，点的坐标为； 当为腰时，点的坐标为或或； 综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或或． 1．关于二次函数 ，以下说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，函数值最小为，当时，， ∴抛物线与y轴交点为； 故只有选项B错误； 故选B． 2．已知点在抛物线上，若点也在该抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求出对称轴，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：点在抛物线上 抛物线的对称轴为直线 时，有最大值 故选：A． 3．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 4．抛物线的顶点坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A 5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负相比较看是否一致即可判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项正确； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误． 故选：B． 6．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是（    ） 0 1 2 1 1 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：设，将点、、代入得： ，解得， ， 抛物线的顶点为，开口向上， 当时，， 当时，， 当时，； 故选：C． 7．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x轴有两个交点，则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求出k的取值范围，再结合二次项系数不为0即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴且， 故选：C． 8．将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向上平移2个单位长度，得到， 再向右平移3个单位长度，得到， 故选：B． 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键 先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ． 故选：． 10．如图，已知二次函数、、为常数，的图像与轴交于，两点．下列结论中错误的有（    ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，对于①，先确定a，b，c的值，进而判断；先求出对称轴，再根据点离对称轴的距离，及抛物线的增减性判断②；根据对称轴求出，再将点代入函数关系式，求出，即可判断③；根据，可判断④． 【详解】由图象开口向下，可知，图象交y轴正半轴，可知，再根据“左同右异”，可知，则，故①正确； 二次函数（为常数，）的图象与轴交于点， 该函数的对称轴为直线， 和对应的函数值相等，当时，随的增大而增大， 若点和均在抛物线上，则，故②正确； 对称轴是直线， ， ， 点在该函数图象上， ， ， 即， ，故③正确； ， ， ， 即，故④错误； 故选：A． 11．已知二次函数，当时，y随x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，找到对称轴；在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性即可． 【详解】解：在中，， ， 开口向上， 由于函数的对称轴为直线， 当时，的值随着的值增大而减小； 当时，的值随着的值增大而增大． 故答案为：减小 12．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 13．已知二次函数中，当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，明确题意，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数， ∵， ∴当时，随的增大而减小， 则当时，时，有最小值，为， 故答案为：． 14．飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为，则飞机着陆后滑行 秒才停下来． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值，根据顶点坐标的实际意义可得答案． 【详解】∵， ∴当时，s取得最大值， ∴飞机着陆后滑行秒才停下来． 故答案为：． 15．如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于、两点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式． (2)P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时的坐标为 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式，再过点作轴的垂线，交于点，设点的坐标为，则，然后利用三角形的面积公式可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 则， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则和的边上的高之和等于， 设点的坐标为，则， 所以， 则的面积， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 此时， 所以的最大值为，此时的坐标为． 17．杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)试通过计算判断此球能否过网． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入可得出的值，继而得出抛物线解析式； （2）令，求出的值与比较即可． 本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般． 【详解】（1）解：根据题意设抛物线解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：此球能过网，理由： 当时，， ， 此球能过网． 18．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 19．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，则，即可求解； （3）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （4）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， 故点； ①过作于点，过点作轴交于点，如图： ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设，，则， ， ， 当时，的最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大； 面积的最大值； （3）设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴的交于点， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （4）存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$