期末各名校真题-压轴必刷题（50题）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

期末各名校真题-压轴必刷题（50题） 范围：九年级全册 一、单选题 1．如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 5．如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，二次函数的图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若为抛物线上的三个点，则；④对于图象上的两个不同的点，总有；⑤关于x的方程有两个不等实根．其中正确结论的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④若且，则，其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足． 则线段的最大值是（    ） A． B．3 C．6 D．4 10．如图，点C是半圆O的中点，是直径，弦于点E，交于点F，若，，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 11．如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 12．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 13．如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列结论：①平分；②点A，，在同一条直线上；③若，则；④若，则，其中一定正确的是 （填序号）． 14．如图，在平面直角坐标系中，是直线：上的一个动点，的半轻为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ． 15．如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    16．如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为 ． 17．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 18．如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连，若，则的最小值为 ． 19．如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为 ． 20．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点 ，依次进行下去，则点的坐标为 ． 21．已知的直径为，点C是上的动点，点D是的中点，延长线交于点E，则的最大值为 ． 22．如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 23．已知如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接，点是上一点，射线与以为圆心，为半径的相切于点，则线段的最小值是 ． 24．如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 25．如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图像上，则的值为 ． 26．我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有   （填序号） 27．如图，点P是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点B落在了位置．已知：，，则当点恰好落在了矩形的对称轴上时， ． 28．如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．若，，则的长为 ． 29．如图，矩形的长为，宽为，点在边上，，在上找一点，使为等腰三角形，则的长为 ． 30．如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为 ． 31．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ． 32．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围是 ． 33．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ． 34．如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标 ． 三、解答题 35．在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 37．如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 38．某水槽的截面是以为直径的半圆O，放置于桌面上，水槽中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线，已知液面截线宽，液体的最大深度为． (1)求直径的长； (2)如图1，在同一截面内，将水槽（半圆O）在桌面MN上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与相切，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，与半圆的切点为E，连接交于点D． ①在滚动中圆心O到桌面的距离 （填“改变”或“不变”）； ②求此时长及操作后水面高度下降了多少； ③求圆心O向右移动的距离． 39．（1）问题发现：在学习了全等三角形之后，同学们通过实验归纳发现了下面的数学模型： 如图1、2，当时，请就上面的发现任选一图说明理由． （2）问题思考：如图3，在中，分别以为直角边向外作等腰，等腰，连接，过作交于点，求证：是的中线． （3）解决问题：在（2）的条件下，如果，将等腰绕着点逆时针旋转，请画出点的运动轨迹并求出运动路径的长． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 41．如图，小明家购买了一个直径的圆形梳妆镜，其示意图如图1，点A，B是圆镜上两个挂绳固定点，点P是钉子悬挂点，挂绳长度为，，且，挂绳可调节的范围为：．    (1)小明通过调节挂绳长度，使得与相切于点A，求证：与相切； (2)小明需要把镜子挂起来，经过对家人身高的调查，决定把镜子的中心（圆心O）定在距离桌面高度处（点P，O，D三点共线，交于点C）如图2，且通过测量得到，求点P到桌面的距离的取值范围（结果保留根号）． 42．如图1，是的直径，点C是直径上方上一点，的角平分线交于点D．      (1)若，求的长． (2)如图2，过点C作的切线交DA的延长线于点G，当时，求证：． (3)如图3，在内取一点Q，使得，，当为直角三角形时，求的度数． 43．已知在中，，点M平分，平分，过点A、M、D的分别交、于点E、F． (1)求的度数； (2)求证：； (3)已知，求的半径． 44．如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接，已知，求的长． 45．【问题呈现】 (1)如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则________． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 46．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 47．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 48．如图，是的直径，弦垂直平分，交于点，点是弧上的一点，连结，，， (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求四边形的面积． 49．如图1，已知二次函数，与x轴相交于点，点为对称轴上的点，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，且点B在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象，当直线与新图象有3个交点时，求m的值． 50．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题-压轴必刷题（50题） 范围：九年级全册 一、单选题 1．如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 如图，连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， ∵， ∴当点在的延长线上时，的值最大， ∵是的直径，，弦， ∴， ∴是等边三角形， ， 取的中点，连接， 则，， 在中，， ， ， ∴的最大值为， 故选：A． 2．如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．作的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作的中点，连接、． 在直角中，， 是直角斜边上的中点， ． 是的中点，是的中点， ． 在中，， 即． 故选：B 3．如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可； 【详解】解：由图②得：当时，在减小， 当时，先变小后变大， ∴应从出发沿运动到，再运动到， 或应从出发沿运动到，再运动到， 设应从出发沿运动到，再运动到， 如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴当在处时，，即， ∴， 当在处时，，即， 当位于处时，，即， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键. 4．已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取点在上的对应点，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得的值，然后利用勾股定理求得的值，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如下图，    ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴的长为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到是解题的关键． 5．如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证出四边形是矩形，进而推得，求出，再证得，求出，，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：过点C作轴交于点N，过点B作交延长线于点M， 由题意可知，，， ∵轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，如图， ∴，，， 过点F作轴，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点恰好在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握位似的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6．如图，二次函数的图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若为抛物线上的三个点，则；④对于图象上的两个不同的点，总有；⑤关于x的方程有两个不等实根．其中正确结论的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向以及对称轴的位置、与y的交点位置即可判断①；由，可得，将代入可得，即可判断②；根据抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大即可判断③；根据函数的最小值可判断④；根据函数的最小值可得二次函数图象与直线一定有两个交点即可判断⑤． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误，不合题意； ∵， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵为抛物线上的三个点， 且点到对称轴直线的距离最大， 点到对称轴的距离最小， ∴，故③正确，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时的函数值最小， ∴对于图象上的两个不同的点，总有，故④正确，符合题意； ∵， ∴， ∵抛物线为， ∵， ∴函数的最小值为， ∵， ∴， ∵二次函数图象与直线一定有两个交点， ∴关于x的方程有两个不等实根．故⑤正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 7．如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，证明，求出与的比，再求出的份数，证明出与的比，表示出的份数，利用的面积求出x的值，即可求出k． 【详解】解：作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，如图， ， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点C、A在反比例函数上， ， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 即， 即， 或（舍去）， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质、全等三角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键． 8．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④若且，则，其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化，是解题的关键．由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ， ， 故①正确； ②对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ， 故②正确； ③对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是； 为任意实数，则， ， 故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， ，， ， 故④错误； 故正确的有2个， 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足． 则线段的最大值是（    ） A． B．3 C．6 D．4 【答案】D 【分析】由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，作交于，连接，作于，证明，则，可求，则，证明，则，可求则，由勾股定理得，，根据三点不共线时，，当三点共线时，，可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，作交于，连接，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由勾股定理得，， 当三点不共线时，， 当三点共线时，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识．根据题意确定线段最大的情况是解题的关键． 10．如图，点C是半圆O的中点，是直径，弦于点E，交于点F，若，，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】连接过点B作交的延长线于点H，设交于点J，证明，则，证明，设，证明，则，证明，得到，解得，证明，则，证明，进一步得到，解得，则，即可求出的长． 【详解】解：连接过点B作交的延长线于点H，设交于点J， ∵ ∴，， ∵是直径， ∴， ∴， ∵弦于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， 故选：A 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接、、，，证明，连接构造，在，证明，求出的长度即可，过点作的延长线于，在中，由菱形的性质可知，由此即可求出的长度，在中即可求出的长，于是就可以求出的最小值． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接、、，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是中点，点是的中点， ，， ∴三角形是等边三角形，， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ， ∴，则， 在中，， 如下图所示，过点作的延长线于， 在中，，由菱形可知， ∴，则，且， ∴， 则， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小是转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 12．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键． 连接，取的中点O，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案． 【详解】解：连接，取的中点O，连接， ∵N为的中点， 为的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形中，， 的取值范围为， 即， 故答案为：． 13．如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列结论：①平分；②点A，，在同一条直线上；③若，则；④若，则，其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据圆周角、弦、弧之间的关系即可判断①；根据旋转的性质和圆内接四边形的性质即可判断②；先求出，由旋转可知，，进一步得到，，作于点H，则，则，进一步得到，则，即可判断③；在截取，连接，证明是等边三角形，得到，由四边形是的内接四边形即可得，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴平分， 故①正确； ∵将绕点旋转至， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴点A，，在同一条直线上； 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知，， ∴，， ∴，， 作于点H，则，    ∴， ∴， ∴， 故③错误； 在截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，是直线：上的一个动点，的半轻为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先确定点坐标，利用勾股定理解得的长度；连接，，切线的性质可得，所以在中，由勾股定理可得，当时，取最小值，也取最小值，然后利用面积法解得的值，进而确定长度的最小值即可． 【详解】解：对于直线：， 令，则，即， 令，则，解得，即， ∴，， ∵， ∴， 连接，，如下图， ∵为的切线，的半轻为1，即， ∴， ∴在中，， 当时，取最小值，也取最小值， 此时可有， 即，解得， ∴， ∴长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴交点问题、勾股定理、垂线段最短、切线的性质定理等知识，正确作出辅助线，结合切线的性质分析问题是解题关键． 15．如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确判断出点M的运动轨迹，属于中考常考题型． 如图，设的中点为O，连接，判断出点M的运动轨迹，利用勾股定理求出进而求解． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，作于H，    ， 是的中点， ， ， ， ∴点M的运动轨迹是以为直径的⊙T， 设⊙T交于点E，交于点F，连接，则是直径， ∴点M的运动轨迹在以为直径的上（即上），， ， ， 连接，与交于点M，    在中， ， ， 当时，此时最小， ， 故答案为：． 16．如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、垂线段最短、勾股定理，连接，，根据切线的性质和勾股定理推出，由于为半径是定值，则最小时，取最小值，由垂线段最短可知，当时，最小，利用三角形面积求得，即可求得线段长的最小值． 【详解】解：连接，，如图所示： 为的一条切线， ， ， 为半径是定值， 当最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， ，，． ， ， ，解得， ， 故答案为：． 17．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 【答案】4或8 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质． 分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作与，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作与，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在射线时与相切，如图， 过作于， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒； 当点在射线时与相切，如图， 过作与， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒． 故答案为4或8． 18．如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为斜边作等腰直角三角形，连接、，圆周角定理，易得 ，为等腰直角三角形，得到，进而得到点D在点为圆心，为半径的上运动，根据圆外一点到圆上一点的最值的确定方法进行求解即可． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接、， ∵以为直径的，A为弧中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点为圆心，为半径的上运动， 在等腰直角中，， 在中，， ∴， ∵ ∴当C、D、三点共线时，CD取的最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是确定动点的运动轨迹，利用一箭穿心，进行求解． 19．如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】解：当时，如图，有，连接， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴； 当时，如图，有， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，余角性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 20．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点 ，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，先求出直线的解析式，再求出点的坐标，再求出直线的解析式，从而求出点、的坐标，以此类推可得点、的坐标，根据点的坐标之间的变化规律求出点的坐标． 【详解】解：设直线的解析式为， 点的坐标为， 则有， 直线的解析式为， 轴，且交抛物线于点， 点的纵坐标为， ， 解得：， 点的坐标为， 点的坐标为， 交抛物线于点， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 解方程得：，， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标为， 可得：直线的解析式为， 解方程， 可得：，， 的坐标是， ， 依此规律可得：的坐标为，的坐标为，的坐标为 故答案为： ． 21．已知的直径为，点C是上的动点，点D是的中点，延长线交于点E，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，以为直径作，当直线切于D时，的值最大． 【详解】解：如图，连接， 因为，所以， 所以． 所以点D在以为直径的圆上运动． 以为直径作，作于F， ,, 是直径， ， , ， ∴， ∴， ∴， ∵， , ， 当直线切于D时，即、两点重合，的值最大． 是的切线， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查动点问题，圆周角定理，平行线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22．如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 【答案】A 【分析】通过证明≌推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断④；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤． 【详解】解：四边形是正方形， ，． ∵， ≌ ， ，故①正确； 由①得， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 四边形是正方形， ，即是的角平分线， 点G到边与边的距离相等， 即中边的高与中边的高相等， 又 ， ，故③正确； 设正方形的边长为， 当E是的中点时，，， 由勾股定理得：，， ，， ∽， ， ． ，， ∽， ， 即， ， ， ， ， ， 当E是的中点时，，故④正确； 当时，， ， ， ∽， ， 中边的高与中边的高相等，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤错误． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形． 23．已知如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接，点是上一点，射线与以为圆心，为半径的相切于点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、求抛物线与坐标轴的交点，掌握以上知识点是解答本题的关键．先根据题意求出、、三点的坐标，过点作于点，连接，在中，由勾股定理得：，要使最小，则最小，当时，最小，求出，进而可得． 【详解】解：二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点， 令，得，令，得， ，，， ， 过点作于点，连接，如下图所示： 射线与以为圆心，为半径的相切于点， ， 在中，由勾股定理得：， 为定值， 要使最小，则最小， 当时，最小，则最小， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：． 24．如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1，设运动时间为秒，则，由，，证明，可求，如图1，记的中点为，则在以为直径的上运动，由题意知，、均为的切线，如图1，作的切线，交于，切点为，由题意知，的最小值为，由切线长定理可知，，，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图1， ∵矩形， ∴，，， 设运动时间为秒，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图1，记的中点为， ∴在以为直径的上运动， 由题意知，、均为的切线， 如图1，作的切线，交于，切点为， 由题意知，的最小值为， 由切线长定理可知，，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦为直径，切线长定理，勾股定理等知识．明确线段最小值的情况是解题的关键． 25．如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图像上，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，则利用三角形的面积公式可得，，利用垂线的性质可得，利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，于是可证得，利用相似三角形的性质可得，因而可得，然后根据即可求得的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定与性质，求一个数的算术平方根，分母有理化，求角的正切值等知识点，添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 26．我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有   （填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的，分两种情况求出函数解析式，进而判断①②③，图象法，求出临近点，判断④． 【详解】由题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的， 由图象可知：过点，或，， 当过点，时： 设函数解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 此时， ∴， 同理，当过点，时：， 此时， ∴， 故①错误，②正确； ∵图象过，对称轴为，故③正确； 如图， 当直线过时，，， 当直线过时，，， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 当与只有一个交点时： 令，整理，得： ，解得：， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 综上：当直线与 的图象有2个公共点，则或；故④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及待定系数法求解析式，对称性求对称轴，图象法求不等式的解集，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 27．如图，点P是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点B落在了位置．已知：，，则当点恰好落在了矩形的对称轴上时， ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当点恰好落在了矩形的对称轴上时，设与交于H，则E，F分别为的中点，，，设，由折叠可知：，，而，则，由平行线分线段成比例可证明，再由中位线可得，再根据勾股定理列方程即可求出x，进而求出比值；当点恰好落在了矩形的对称轴上时，设，则，由勾股定理可得，证明，根据相似三角形的性质，列比例关系，求出x，进而求出比值． 【详解】解：当点恰好落在了矩形的对称轴上时， 设与交于H，则E，F分别为的中点，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， 设， 由折叠可知：，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ； 当点恰好落在了矩形的对称轴上时， 则M，N为的中点，， ， ， 设，则， 由折叠可知：，， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 综上所述， 或， 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的中位线，轴对称的性质等知识，解题的关键是分类讨论，并正确作图． 28．如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形的内心，圆周角定理推论，相似三角形的判定与性质，涉及了等腰三角形的判定，三角形的外角定理，关键是正确理解三角形的内心定义． 根据三角形的内心，先证出，再借助圆周角定理证明，然后进行计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵E是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：4． 29．如图，矩形的长为，宽为，点在边上，，在上找一点，使为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】分为三种情况讨论：当时，为等腰三角形，过点作交于点，根据矩形的性质得出，，，根据当两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等时，这两个三角形全等可得，根据全等三角形的性质得出，求得，根据矩形的判定和性质得出；当时，为等腰三角形，根据矩形的性质得出，，，根据勾股定理得出，即可求得；当时，为等腰三角形，过点作交于点，根据等腰三角形的三线合一的性质和等边对等角得出，，根据矩形的性质和勾股定理得出，求得，根据平行线的性质得出，根据相似三角形的判定和性质求出，求得． 【详解】解：当时，为等腰三角形， 过点作交于点，如图： ∵四边形是矩形，且矩形的长为，宽为， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴； 当时，为等腰三角形， 如图： ∵四边形是矩形，且矩形的长为，宽为， ∴，，， 在中，， ∴， 故； 当时，为等腰三角形， 过点作交于点，如图： ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形，且矩形的长为，宽为， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 故； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 30．如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，反比例函数系数的几何意义，利用条件构造三角形相似是解题的关键．过作轴于点，过作轴于点，由条件证得，从而得出，即可得到，解方程求得的值． 【详解】解：， ， ， 可设， ， ， 过作轴于点，过作轴于点， ；， ， ， ，且， ， ， ， 解得， 故答案为：． 31．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小，利用解析式求得、点的坐标，根据抛物线的对称性求得的坐标，进一步求得的坐标，再求解即可． 【详解】解：作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小， 可得 四边形是平行四边形， ， ， 在中，令，则， 点， 令，则， 解得或， 点， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 32．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程得，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时b的值和当直线与抛物线有唯一公共点时b的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，b的取值范围． 【详解】解：当时，， 解得，则， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 则方程整理为：， 则 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围为． 故答案为： 33．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ． 【答案】/ 【分析】如图，取的中点，连接，，，由，推出，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，勾股定理求出，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∴， ∵四边形是矩形 ∴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 34．如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标 ． 【答案】 【分析】，令，可求，当时，，即，如图，作于，过作轴于，过作于，设，证明，则，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，联立，求解作答即可． 【详解】解：， 令， 解得，， ∴， 当时，，即， 如图，作于，过作轴于，过作于，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识．熟练掌握二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 三、解答题 35．在中，，，为平面内的一点． (1)如图1，当点在边上时，，且，求的长； (2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：； (3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将沿折叠，得到，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可； （2）过作，且，连接，利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可； （3）连接交于G，证明出，得到，然后证明出为直角三角形，点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，当时，点P到直线的距离最大，然后利用三角形中位线和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，将沿折叠，得到，连接，    ∵， ∴， 将沿折叠，得到， ∴ ∴，，， ∴， ∴为等边三角形，为等腰直角三角形 ∴， ∴； （2）如图，过作，且，连接，    ∵ ∴， 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴，，即 ，， ∴ ∴； （3）如图3，连接交于G点 ∵绕A点旋转 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴为直角三角形 ∴点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N， 当时，点P到直线的距离最大， ∵ ∴A、P、B、C四点共圆 ∵， ∴N是的中点 ∵M是的中点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P到所在直线的距离的最大值为 ． ∴的面积最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，四点共圆性质，勾股定理等知识，作出辅助线是解本题的关键． 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）过点P作轴于点E，设点P的坐标为，则，根据，得到关于m的方程，即可； （3）设点D的坐标为，点Q的坐标为，分三种情况：若以为对角线时，若以为对角线时，若以为对角线时，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，    设点P的坐标为，则， 对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∵，的面积等于10， ∴， 解得：（舍去）， ∴点P的坐标为； （3）解：设点D的坐标为，点Q的坐标为， 若以为对角线时， ，解得：， ∴点Q的坐标为；此时，共线，经检验不符合题意； 若以为对角线时， ，解得：，经检验符合题意； ∴点Q的坐标为； 若以为对角线时， ，解得：，经检验符合题意； ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，中点坐标公式的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 37．如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，则； （3）作于点，则，由勾股定理得，则，可求得，所以，即可由，求得． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）证明：， ， ， ， ． （3）解：作于点， ，平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 38．某水槽的截面是以为直径的半圆O，放置于桌面上，水槽中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线，已知液面截线宽，液体的最大深度为． (1)求直径的长； (2)如图1，在同一截面内，将水槽（半圆O）在桌面MN上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与相切，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，与半圆的切点为E，连接交于点D． ①在滚动中圆心O到桌面的距离 （填“改变”或“不变”）； ②求此时长及操作后水面高度下降了多少； ③求圆心O向右移动的距离． 【答案】(1) (2)①不变；②， ；③ 【分析】（1）设半圆O与桌面相切于点F，连接交于P，连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； (2)①由切线的性质证明圆的半径，可得在滚动中圆心O到桌面的距离不变；②连接，利用圆周角定理得∠，利用弧长公式即可求解；根据含角的直角三角形的性质求出，可得，即可得操作后水面高度下降了多少；③画出图形，可得圆心O向右移动的距离为，证明，求出的长即可． 【详解】（1）解；设半圆O与桌面相切于点F，连接交于，连接， ∴， ∵， ∵， ∴， 设半圆O的半径为r， 由题意得． ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴半圆O的直径的长为； （2）解：①∵与半圆的切点为E， ∴， ∴圆心O到桌面的距离为半圆O的半径， ∴在滚动中圆心O到桌面的距离不变， 故答案为：不变； ②如图所示，连接， ∵， ∴， ∴得到长为， ∵与半圆的切点为E， ∴， ∵， ∴于点D， ∵， ∴， ∴， ∴操作后水面高度下降了； ③如图，可得圆心O向右移动的距离为， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵于点D，， ∴， ∵半圆的中点为Q， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴圆心O向右移动的距离为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，直角三角形的性质，圆的切线的性质，弧长公式和解直角三角形的知识，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 39．（1）问题发现：在学习了全等三角形之后，同学们通过实验归纳发现了下面的数学模型： 如图1、2，当时，请就上面的发现任选一图说明理由． （2）问题思考：如图3，在中，分别以为直角边向外作等腰，等腰，连接，过作交于点，求证：是的中线． （3）解决问题：在（2）的条件下，如果，将等腰绕着点逆时针旋转，请画出点的运动轨迹并求出运动路径的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了三角形全等及求动点运动路径长，确定动点的运动路径是解题关键． （1）利用等角的余角相等证出即可． （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，由（1）结论可证，再证即可； （3）取的中点，连接，可证，即可确定点的运动轨迹，求路径长即可． 【详解】解：（1）证明图1： ， ， ， ， ， 在与中 ； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点． 由（1）可得∶ ，， ， ， 又，， ， ， 是的中线； （3）取的中点，由（2）可知是的中点，连接． 为等腰直角三角形， ， 为的中位线， ， 为定点，为定长, 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 点的运动路径长为． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)3 (3)点的坐标为或． 【分析】（1）解方程或方程组即可得到结论； （2）根据中心对称的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）求得中点的坐标为，，设点，点，①当为菱形的对角线时，，，②当为菱形的对角线时，③当为菱形的对角线时，，根据菱形的性质列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 解得，， ； （2）直线交反比例函数的图象于另一点， 点与点关于原点对称， ， ，； 过作轴，过作于，过作于， ，， 的面积四边形的面积的面积； （3），； 中点的坐标为，， 设点，点， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，，， ， ， 解得， ； ②当为菱形的对角线时，，， ， 解得或（此时，点在直线上，不合题意舍去） ； ③当为菱形的对角线时，， ， 此方程组无实数根，这种情况不存在， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 41．如图，小明家购买了一个直径的圆形梳妆镜，其示意图如图1，点A，B是圆镜上两个挂绳固定点，点P是钉子悬挂点，挂绳长度为，，且，挂绳可调节的范围为：．    (1)小明通过调节挂绳长度，使得与相切于点A，求证：与相切； (2)小明需要把镜子挂起来，经过对家人身高的调查，决定把镜子的中心（圆心O）定在距离桌面高度处（点P，O，D三点共线，交于点C）如图2，且通过测量得到，求点P到桌面的距离的取值范围（结果保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接,由切线的性质可得，再证可得，然后根据切线的判定定理即可证明结论； （2）如图，连接，先说明是的垂直平分线，则；运用勾股定理可求得、；再结合x的取值范围可得，然后分、两种情况解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接,    是切线， 在和中 ， ，即． 又 为半径， 为切线． （2）解：如图，连接，    ， 是的垂直平分线． ． 在中,． 在中,． 又， ，即． 当时，． 当时，． ． ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握圆的切线的判定与性质是解题的关键． 42．如图1，是的直径，点C是直径上方上一点，的角平分线交于点D．      (1)若，求的长． (2)如图2，过点C作的切线交DA的延长线于点G，当时，求证：． (3)如图3，在内取一点Q，使得，，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）如图1，连接，则，，由是的直径，可得，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）由切线的性质可知，，则，，，，证明是等边三角形，，则，，进而可证； （3）由（1）可知，，则，由题意知，当为直角三角形时，分，，，三种情况求解；①当时，此时重合，不符合要求，舍去；②当时，由勾股定理得，，则，即，由，可得，计算求出满足要求的解为，可得，由，可得；③当时，同理②计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，    ∵的角平分线交于点D， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为； （2）证明：由切线的性质可知，， 由（1）可知，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知，， ∴， 由题意知，当为直角三角形时，分，，，三种情况求解； ①当时， ∵，， ∴重合，不符合要求，舍去； ②当时， 由勾股定理得，， ∴，即， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴； ③当时， 同理②，可得， 解得，或（舍去）， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，角平分线，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，等腰三角形的判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，角平分线，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，等腰三角形的判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键． 43．已知在中，，点M平分，平分，过点A、M、D的分别交、于点E、F． (1)求的度数； (2)求证：； (3)已知，求的半径． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和定理得到，由（1）知，推出是等边三角形，得到，根据证明为等边三角形即可； （3）连接，根据圆周角定理得到是的直径，根据等边三角形的性质得到，求得°，得到，求得，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，点M平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：连接，在中，， ∴， 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； （3）连接， ∵， ∴是的直径， ∴， 由（2）是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵AC=2， ∴AB=2， 设， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 44．如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，得，根据C是中点得，得，得 ，根据，得，即得是的切线； （2）设交于点F，根据垂径定理推论得，得，四边形是矩形，得，根据为直径，得，得，根据，得，得，得，即得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设交于点F， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆综合，熟练掌握圆切线的判定和性质，圆周角定理推论，垂径定理推论，勾股定理，相似三角形判定和性质，矩形的判定与性质，是解题的关键． 45．【问题呈现】 (1)如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则________． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】(1)证明，从而得出结论； (2)证明，进而得出结果； (3)①先证明，再证得，进而得出结果；②根据题意求出，利用勾股定理求出，，，进而求出，在①的基础上得出，进而，证明，推出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵，设， ∴． ∴， ， ∴， ∴， ∴； ②由①得：，，，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 46．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】(1)； (2)将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； (3)捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决本题的关键是根据二次函数的性质求出二次函数的最值，从而解决利润最大的问题． 根据销售单价每上涨元，每天销量减少个，列出与之间的函数关系式，根据规定销售单价不低于元，且不高于元可得自变量的取值范围； 根据利润销量单件利润可以得到，利用二次函数的性质求出最大利润； 根据捐款后每天剩余利润不低于元，可以得到，求出方程的解，再根据自变量的取值范围确定销售单价的范围． 【详解】（1）解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为；         （2）解：根据题意得： 整理得：， 配方得：， ，抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； （3）解：根据题意可得：剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， ， 解方程， 可得：，， 又，， 要使捐款后每天剩余利润不低于元，则， 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 47．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝ (2) (3)存在，P点的坐标为：，，，, 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求出直线解析式为，设，则，根据转化成顶点式即可得到结果． （3）分两种情况进行讨论①为等腰三角形，且以为底边，②为等腰三角形，且以为底边，③为等腰三角形，且以为底边，得到点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵二次函数交x轴于点，交y轴于点， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：y＝； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图1，作轴于点G，交于点F，    设，则，， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ①为等腰三角形，且以为底边，    ∴， ∴ ∴， 解得，， ∴或． ②为等腰三角形，且以为底边， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴或． ③为等腰三角形，且以为底边， ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，P点的坐标为，，，,． 48．如图，是的直径，弦垂直平分，交于点，点是弧上的一点，连结，，， (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3)四边形的面积 【分析】（1）连接，，利用等腰三角形的三线合一的性质，特殊三角函数值和圆周角定理解答即可； （2）在上截取，连接，利用（1）的结论得到为等边三角形，利用圆周角定理，垂径定理得到为等边三角形，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论得证； （3）过点C作于点M，，交的延长线于点N，利用直角三角形的边角关系定理求得，，再利用四边形的面积和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：连接，，如图， ，， ． ∵，． ，即， ， ， ， ； （2）证明：在上截取，连接，如图， 由（1）知：， ∴为等边三角形， ， ． ∵是的直径，弦， ， ， ， ∴为等边三角形， ，． ∵四边形为圆的内接四边形， ， ， ． 在和中， ， ∴， ． ， ； （3）解：过点C作于点M，，交的延长线于点N，如图， 由（2）知：为等边三角形， ， ． ， ． ， ． ∴四边形的面积 ． 由（2）知：， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 49．如图1，已知二次函数，与x轴相交于点，点为对称轴上的点，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，且点B在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象，当直线与新图象有3个交点时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令对称轴与x轴交于点D，过点B作对称轴的垂线，构造，根据对应线段相等求出点B的坐标，再利用待定系数法求解析式； （2）翻折后新函数为分段函数，先求出新函数的解析式，当直线过与x轴左侧的交点时，或直线与新函数翻折后的部分相切时，有3个交点，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】（1）解：如图，令对称轴与x轴交于点D，过点B作对称轴的垂线，H为垂足，    ，， ，， 将线段绕点P逆时针旋转，得到线段， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 点为对称轴上的点， 对称轴为直线， ， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为E， 令，则， 解得，， ， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象， 新函数的解析式为 当直线过点时，与新图象有3个交点， ， 解得； 当直线与相切时，直线与新图象有3个交点， 即此时一元二次方程有两个相等的实数根， 整理，得：， ， 解得； 综上可知，m的值为或．    【点睛】本题属于二次函数综合题，考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的折叠问题，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系等，综合利用上述知识点，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 50．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为： (2)的最大值为，此时 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质．掌握二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将点、坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）利用，得，则， 设，，，用含的代数式表示出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ，解得：． 该抛物线的函数表达式为：． （2） ，， ，， 由勾股定理可得， ， ， ， ， ，， ， ，， 直线的解析为：， 设，，， ， ， 开口向下，， 当时，的最大值为，此时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$