期末复习（易错题60题31个考点）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

期末复习（易错题60题31个考点） 范围：九年级全册 一．一元二次方程的解（共1小题） 1．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 二．解一元二次方程-配方法（共1小题） 2．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 三．根的判别式（共2小题） 3．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣ 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 四．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 5．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 五．一元二次方程的应用（共5小题） 6．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 　 　队参赛． 7．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售． （1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？ （2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值． 8．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） ∴x2﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ， 解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 　 　； （2）分式不等式的解集为 　 　； （3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0． 9．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 10．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售． （1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 　 　千克、销售利润为 　 　元； （2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 　 　千克（用含x的代数式表示）； （3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？ 六．配方法的应用（共1小题） 11．先阅读下面的内容，再解答问题． 【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值． 解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4， ∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2+4≥4 ∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4． 【解答问题】 （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是　 　； （2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围； （3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值． 七．二次函数的图象（共1小题） 12．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A．B．C．D． 八．二次函数的性质（共1小题） 13．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为　 　s； 九．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 14．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 一十．抛物线与x轴的交点（共6小题） 15．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（　　） A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣1 16．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 　 　． 17．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　． 18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 　 　． 19．已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k． （1）若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式； （2）若该函数与x轴有两个交点，求k的取值范围； （3）若在k≤x≤2k﹣3范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k的值． 20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣ m 2 1 2 1 ﹣ ﹣2 … 其中，m＝　 　． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①方程﹣x2+2|x|+1＝0有　 　个实数根； ②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是　 　． 一十一．二次函数与不等式（组）（共1小题） 21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断： ①抛物线开口向下； ②当x＝﹣2时，y取最大值； ③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根； ④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0； 其中推断正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 一十二．二次函数的应用（共4小题） 22．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB＝4cm，CD＝8cm，液体高度12cm，将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动．如图2所示，此时液面宽度BE为　 　cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是 　 　cm． 23．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 40 50 60 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围． 24．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m． （1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式； （2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？ （3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 25．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2 （1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 一十三．二次函数综合题（共4小题） 26．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式； （3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），AB＝5． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限抛物线上的一个动点，当点D在运动过程中，求△CBD的面积的最大值，并写出此时点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得∠ACO＝∠CBM，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 29．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）． （1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 　 　． （3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式； （4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围． 一十四．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 30．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 一十五．圆周角定理（共2小题） 31．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）判断△BDE的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长． 32．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF． （1）求证：BC＝DF． （2）若BC＝8，BE＝2，求⊙O的半径． 一十六．点与圆的位置关系（共1小题） 33．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 一十七．三角形的外接圆与外心（共1小题） 34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝105°，，连接OA、OB，则弧AB的长是（　　） A．2π B． C． D． 一十八．切线的性质（共2小题） 35．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 　 　． 36．已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为 　 　时，△POA是等腰三角形． 一十九．正多边形和圆（共2小题） 37．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　 　cm． 38．以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转 　 　°． 二十．扇形面积的计算（共1小题） 39．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 二十一．黄金分割（共1小题） 40．我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 二十二．平行线分线段成比例（共1小题） 41．如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 二十三．相似三角形的判定（共1小题） 42．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 二十四．相似三角形的判定与性质（共6小题） 43．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　） A．2 B． C． D． 44．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 45．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD． （1）求证：△ABE∽△DCE； （2）AE•CD＝BC•ED． 46．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC与BD相交于点E． （1）求证：△ABE∽△ACB； （2）若AD＝4，BC＝6，求线段DE的长度． 47．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F． （1）求证：∠A＝∠BOF； （2）若AB＝4，DF＝1，求AE的长． 48．如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC． （1）求证：AB2＝AC•AE； （2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若＝，求的值． 二十五．位似变换（共2小题） 49．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为（　　） A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 50．如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD，若CD＝2，则端点C的坐标为　 　． 二十六．解直角三角形（共1小题） 51．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（　　） A．+1 B．﹣1 C． D． 二十七．解直角三角形的应用（共3小题） 52．如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC＝，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为　 　cm2． 53．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保留小数点后一位） （1）连接CD，求证：DC⊥BC； （2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43） 54．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行，支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°． （1）求两轮轮轴A，B之间的距离； （2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732） 二十八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题） 55．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 56．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268） 二十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题） 57．如图，无人机在塔树上方Q处悬停，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为12米，无人机竖直高度PQ为60米，B、P、C在一条直线上，且P点到塔底B的距离比到树底C的距离多8米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 58．“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”，8D魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡CD底端C距离轻轨所穿楼栋AB底端A处30米远，斜坡CD长为42米，坡角为30°，DE⊥CE，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡角为45°的斜坡DN． （1）求观景平台MN的长；（结果保留根号） （2）小育在N处测得轻轨所穿楼栋AB顶端B的仰角为30°，点A、B、C、D、E在同一个平面内，点A、C、E在同一条直线上，且AB⊥AE，求轻轨所穿楼栋AB的高度．（结果精确到0.1米，，） 三十．频数与频率（共1小题） 59．青青的袋中有红、黄、蓝、白球若干个，晓晓又放入5个黑球，通过多次摸球试验，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球的频率依次为30%，15%，40%，10%，则青青的袋中大约有黄球（　　） A．5个 B．10个 C．15个 D．30个 三十一．几何概率（共1小题） 60．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（　　） A． B．π C．π D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题60题31个考点） 范围：九年级全册 一．一元二次方程的解（共1小题） 1．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根， ∴2a2＝6a﹣4， ∴2a2﹣6a＝﹣4， ∴a2﹣3a＝﹣2， ∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022， 故选：B． 二．解一元二次方程-配方法（共1小题） 2．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0， ∴3x2+6x＝1， x2+2x＝， 则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝， ∴a＝1，b＝， ∴a+b＝． 故选：B． 三．根的判别式（共2小题） 3．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣ 【答案】A 【解答】解：（1）当k＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝1； （2）当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）＝0有实根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4k×（k﹣1）≥0， 解得k≥﹣， 由（1）和（2）得，k的取值范围是k≥﹣． 故选：A． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±1． 四．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 5．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 五．一元二次方程的应用（共5小题） 6．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 　8　队参赛． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴共7×4＝28场比赛． 设比赛组织者应邀请x队参赛， 则由题意可列方程为：＝28． 解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去）， 所以比赛组织者应邀请8队参赛． 故答案为：8． 7．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售． （1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？ （2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%， 由题意得：≥10%， x≥8.8， 答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%； （2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000， 5（1+）（50﹣m+m﹣40）＝49， m2﹣5m﹣6＝0， m1＝6，m2＝﹣1（舍）． 8．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） ∴x2﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ， 解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 　x＞4或x＜﹣4　； （2）分式不等式的解集为 　x＞3或x＜1　； （3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x2﹣16＝（x+4）（x﹣4） ∴x2﹣16＞0可化为 （x+4）（x﹣4）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 解不等式组①，得x＞4， 解不等式组②，得x＜﹣4， ∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4， 即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4． （2）∵ ∴或 解得：x＞3或x＜1 （3）∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3） ∴2x2﹣3x＜0可化为 x（2x﹣3）＜0 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 或 解不等式组①，得0＜x＜， 解不等式组②，无解， ∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜． 9．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解这个方程得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12． （60﹣x+2）x＝480， x2﹣62x+960＝0， 解这个方程得：x1＝32，x2＝30， ∵墙EF最长可利用28米， 而28＜30＜32， ∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去， 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园． 10．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售． （1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 　260　千克、销售利润为 　312　元； （2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 　（100+200x）　千克（用含x的代数式表示）； （3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）销售量：100+20×＝100+160＝260， 利润：（100+160）（6﹣4﹣0.8）＝312， 则每天的销售量为260千克、销售利润为312元； 故答案为：260，312； （2）将这种水果每千克降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（千克）； 故答案为：（100+200x）； （3）设这种水果每千克降价x元， 根据题意得：（6﹣4﹣x）（100+200x）＝300， 2x2﹣3x+1＝0， 解得：x＝0.5或x＝1， 当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜240； 当x＝1时，销售量是100+200＝300＞240． ∵每天至少售出240千克， ∴x＝1． 6﹣1＝5， 答：张阿姨应将每千克的销售价降至5元． 六．配方法的应用（共1小题） 11．先阅读下面的内容，再解答问题． 【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值． 解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4， ∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2+4≥4 ∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4． 【解答问题】 （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是　完全平方公式　； （2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围； （3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式， 故答案为：完全平方公式； （2）a2+b2＝10a+8b﹣41， a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0， （a﹣5）2+（b﹣4）2＝0． ∵（a﹣5）2≥0，（b﹣4）2≥0， ∴a﹣5＝0，b﹣4＝0， ∴a＝5，b＝4， ∴5﹣4＜c＜5+4，即1＜c＜9； （3）原式＝﹣2x2+4xy﹣2y2﹣y2﹣6y﹣9+16 ＝﹣2（x﹣y）2﹣（y+3）2+16， ∵﹣2（x﹣y）2≤0，﹣（y+3）2≤0， ∴多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值是16． 七．二次函数的图象（共1小题） 12．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由方程组得ax2＝﹣a， ∵a≠0 ∴x2＝﹣1，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除B． A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错； C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选：C． 八．二次函数的性质（共1小题） 13．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为　4　s； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得焰火引爆处为抛物线的顶点处，顶点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间， 则t＝﹣20×＝4s， 故答案为4s． 九．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 14．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，且过点（3，0）， ∴b＝﹣2a＞0，抛物线过点（﹣1.0）． ∴abc＜0，a﹣b+c＝0． ∴①错误，②正确． ∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1， ∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝a﹣2a+（﹣3a）＝﹣4a， 其值与a有关， ∴③错误． ∵方程ax2+bx+c+1＝0的根即是y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的交点， 由图象知，y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的图象有两个交点． ∴④正确． ∵抛物线过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴a+2a+c＝0， ∴3a+c＝0， ∴4a+c＝a＜0， ∴⑤正确． 故选：C． 一十．抛物线与x轴的交点（共6小题） 15．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（　　） A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣1 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点， ∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点， 当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时， （﹣2）2﹣4×1×c＝0，得c＝1； 当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴有两个公共点，其中一个为原点时， 则c＝0，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），与x轴两个交点，坐标分别为（0，0），（2，0）； 由上可得，c的值是1或0， 故选：C． 16．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 　（﹣5，﹣4）或（0，1）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得： m+1＝﹣m2﹣6m﹣5， 解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6， ∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5）， 当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0， ∴x＝﹣1或﹣5， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）， 当x＝0时，y＝﹣5， ∴OC＝OA＝5， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠OAC＝45°， ①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'， ∵点D与D'关于直线AC对称， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°， ∴∠OAD'＝90°， ∴D'（﹣5，﹣4）； ②如图2，D（﹣6，﹣5）， ∵点D（m，m+1）， ∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B， ∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上， ∵A（﹣5，0），C（0，﹣5）， 则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5， ∵﹣x﹣5＝x+1， ∴x＝﹣3， ∴E（﹣3，﹣2）， ∵点D与D'关于直线AC对称， ∴E是DD'的中点， ∴D'（0，1）， 综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）． 故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）． 17．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＝0或m＞4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根， 即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根； 从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个， 当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根． |x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根， 综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根． 故答案为m＝0或m＞4． 18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 　x＝﹣2　． 【答案】x＝﹣2． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1，即b＝﹣2a， 根据根与系数的关系得4+x＝﹣＝﹣＝2， 解得x＝﹣2， 即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根为x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 19．已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k． （1）若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式； （2）若该函数与x轴有两个交点，求k的取值范围； （3）若在k≤x≤2k﹣3范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k的值． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+1； （2）k＞0； （3）5． 【解答】解：（1）∵该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2， ∴该函数图象的对称轴是直线x＝1． 又∵y＝﹣（x﹣k）2+k的对称轴是直线x＝k， ∴k＝1即函数的表达式是y＝﹣（x﹣1）2+1． （2）y＝﹣（x﹣k）2+k ＝﹣x2+2kx﹣k2+k． ∵该函数与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4•（﹣1）•（k﹣k2） ＝4k＞0． 即：k＞0． （3）∵在k≤x≤2k﹣3范围内， ∴2k﹣3≥k． 解得：k≥3． ∵函数图象开口向下且对称轴是直线x＝k， ∴x＝k时，y有最大值，y最大值＝k， x＝2k﹣3时，y有最小值，y最小值＝﹣k2+7k﹣9． ∵该函数的最大值与最小值的差为4， ∴k﹣（﹣k2+7k﹣9）＝4，即k2﹣6k+5＝0． 解得：k1＝1（舍去），k2＝5． ∴k的值是5． 20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣ m 2 1 2 1 ﹣ ﹣2 … 其中，m＝　1　． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①方程﹣x2+2|x|+1＝0有　2　个实数根； ②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是　1＜a＜2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴， ∴m＝1， 故答案为：1； （2）如图所示； （3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值； ②当x＞1时，y随x的增大而减小； （4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点 ∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根； 故答案为：2； ②由图象可知：﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时， 即y＝a时，与图象有4个交点， 所以a的取值范围是：1＜a＜2． 故答案为：1＜a＜2． 一十一．二次函数与不等式（组）（共1小题） 21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断： ①抛物线开口向下； ②当x＝﹣2时，y取最大值； ③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根； ④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0； 其中推断正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确； ②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点C到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点C纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D； 剩下的选项中都有③，所以③是正确的； 易知直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞0，从而④错误． 故选：B． 一十二．二次函数的应用（共4小题） 22．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB＝4cm，CD＝8cm，液体高度12cm，将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动．如图2所示，此时液面宽度BE为　5　cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是 　7　cm． 【答案】5；7． 【解答】解：如图1，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（4，﹣12），D（﹣4，﹣12）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2+b， 将B（2，0），C（4，﹣12），代入得：， 解得：， ∴y＝﹣x2+4； 根据题意可知，∠ABE＝45°，设BE与y轴的交点坐标P， ∴△OBP是等腰直角三角形， ∴OB＝OP＝2， ∴P（0，﹣2）， ∴直线BP的解析式为：y＝x﹣2， 令﹣x2+4＝x﹣2，解得x＝2（舍）或x＝﹣3， ∴E（﹣3，﹣5）． ∴BE＝＝5，DE＝7， 水面BE到平面的距离实际就是点C到直线BE的距离，如图1，过点C作BP的垂线交BP于点M，过点C作y轴的平行线，交直线BP于点N， ∴△MNC是等腰直角三角形， ∵C（4，﹣12）， ∴N（4，2）． ∴CN＝14． 过点M作MQ⊥CN于点Q， ∴Q是CN的中点，且MQ＝NQ＝CQ， ∴Q（4，﹣5）， ∴M（﹣3，﹣5）． ∴CM＝＝7． 故答案为：5；7． 23．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 40 50 60 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 把x＝40，y＝10000和x＝50，y＝9500代入得， ， 解得，， ∴y＝﹣50x+12000； （2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得， ， 解得，30≤x≤120， 设利润为w元，根据题意得， w＝（x﹣30）y ＝（x﹣30）（﹣50x+12000） ＝﹣50x2+13500x﹣360000 ＝﹣50（x﹣135）2+551250， ∵﹣50＜0， ∴当x＜135时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤120，且x为正整数， ∴当x＝120时，w取最大值为：﹣50×（120﹣135）2+551250＝540000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元； （3）根据题意得，w＝（x﹣30﹣m）（﹣50x+12000） ＝﹣50x2+（13500+50m）x﹣360000﹣12000m， ∴对称轴为直线x＝135+0.5m， ∵﹣50＜0， ∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大， ∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大． 对称轴x＝135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于149，由于x取整数， 实际上x是二次函数的离散整数点，x取30，31，...149时利润一直增大， 只需保证x＝150时利润大于x＝149时即可满足要求，所以对称轴要大于149就可以了， ∴135+0.5m＞149.5，解得m＞29， ∵29＜m≤60， ∴29＜m≤60． 24．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m． （1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式； （2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？ （3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3． （2）水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外． （3）调整后水管的最大长度米． 【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3）， ∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3， 将（0，2.25）代入得，a（0﹣1）2+3＝2.25， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3． （2）令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+3， 解得x＝﹣1（舍）或x＝3， ∵2×3＝6（米）， ∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外． （3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0）， 设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+h， 将（2.5，0）代入得，﹣（2.5﹣1）2+h＝0， 解得h＝， 当x＝0时，y＝﹣（0﹣1）2+＝． ∴调整后水管的最大长度米． 25．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2 （1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设AE＝a，由题意得： AE•AD＝2BE•BC ∵AD＝BC ∴BE＝a，AB＝ 由题意可得：2x+3a+2×a＝160 ∴a＝40﹣x ∴y＝AB•BC＝ax＝（40﹣x）x ∴y＝﹣x2+60x （0＜x＜80） 令y＝1500得：﹣x2+60x＝1500 化简得：x2﹣80x+2000＝0 ∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0 ∴方程无解 答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2 （2）∵y＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣40）2+1200 ∴当x＝40时，y有最大值，最大值是1200m2． 一十三．二次函数综合题（共4小题） 26．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式； （3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）S＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）； （3）点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）． 【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：， 解得：， ∴y＝x2+2x﹣3； （2）如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M， ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3）， 设直线AC的解析式为：y＝kx+n， ∴， ∴， ∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3， ∵P点的横坐标为m， ∴P的坐标是（m，m2+2m﹣3），则M的坐标是（m，﹣m﹣3）， ∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m， ∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点， ∴﹣3＜m＜0， ∴S＝•PM•OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）； （3）分两种情况： ①如图2，四边形CDEB是菱形， 设D（t，﹣t﹣3），则E（t+1，﹣t）， ∵四边形CDEB是菱形， ∴CD＝BC， ∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32， ∴t＝±， ∵t＜0， ∴t＝﹣， ∴E（﹣+1，）； ②如图3，四边形CBDE是菱形， 设D（t，﹣t﹣3），则E（t﹣1，﹣t﹣6）， ∵四边形CBDE是菱形， ∴CE＝BC， ∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32， ∴t＝0（舍）或﹣2， ∴E（﹣3，﹣4）； 综上所述，点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1）， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3． （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； 令y＝0，则x＝1或x＝3， ∴A（1，0），B（3，0）． ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h， 令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0， ∵该抛物线与直线BC始终有交点， ∴Δ＝9﹣4h≥0， ∴h≤． ∴h的最大值为． （3）存在，理由如下： 由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2， ∴E（2，﹣1）， ∴DE＝2， 设点M（m，﹣m2+4m﹣3）， 若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况： ①当DE为边时，DE∥MN， 则N（m，m﹣3）， ∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|， ∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝． ∴N（1，﹣2）或（，）或（，）． ②当DE为对角线时， 设点N的横坐标为t， 则N（t，t﹣3）， ∴， 解得m或（舍）， ∴N（3，0）． 综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）． 28．如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），AB＝5． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限抛物线上的一个动点，当点D在运动过程中，求△CBD的面积的最大值，并写出此时点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得∠ACO＝∠CBM，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当t＝2时，△CDB的面积最大，最大值为4，此时D（2，3）； （3）存在，． 【解答】解：∵A（﹣1，0），AB＝5，A在B的左侧， ∴B（4，0）， 将A（﹣1，0），B（4，0）代入， ∴，解得， ∴； （2）令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴， 如图1，过点D作DE∥y轴交BC于点E， 设，则E（t，﹣t+2）， ∴， ∴S△CDB＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， ∴当t＝2时，△CDB的面积最大，最大值为4，此时D（2，3）； （3）存在，如图2，延长AC和BM交于点N，过N作NE垂直y轴并交y轴于点E， ∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）， ∴，， ∵AB＝5， ∵， ∴∠BCA＝∠BCN＝90°， ∵∠CED＝90°， ∴∠ENC+∠ECN＝90°，∠BCO+∠ECN＝90°， ∴∠BCO＝∠ENC， ∴△BCO∽△CNE， ∵∠ACO＝∠CBM，∠ACO＝∠ECN， ∴∠CBM＝∠NCE， ∴△BCO∽△CNE∽△BNC， ∴＝＝＝2，即＝＝＝2， ∵， ∴CN＝，EC＝2，NE＝1， ∴N（1，4）， ∴直线BN的解析式为， 联立得：， 3x2﹣17x+20＝0， 解得x1＝4，， 由题意知， ∴． 29．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）． （1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 　（1，0）　． （3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式； （4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）直线x＝﹣7，（﹣7，8）； （2）（1，0）； （3）y＝x2﹣4x+3； （4）a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0． 【解答】解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+ ∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7， 把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8， ∴顶点坐标为（﹣7，8）； （2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）． ∴对称轴为直线x＝﹣＝1+， ∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]， ∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）； 故答案为：（1，0）； （3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+， 分两种情况： ①当a＜0时，1+＜1， 在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小， ∴当x＝1时，y＝0， 而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8， 所以此种情况不成立； ②当a＞0时，1+＞1， i）当1＜1+≤3时，即a≥， 当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8， ∴a＝1， 此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3； ii）当1+＞3时， 在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值， 所以此种情况不成立； 综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3； （4）分三种情况： ①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点， 即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3， ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0， Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0， ∴a＝， 当a＝时，x2﹣x+＝0， 解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1）， ②当a＞0时，如图2， 当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3， ∴， 解得：﹣5＜a＜， ∴0＜a＜； ③当a＜0时，如图3， 当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3， ∴， 解得：﹣5＜a＜， ∴﹣5＜a＜0； 综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0． 一十四．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 30．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：连接OF，如图： ∵DE⊥AB，AB过圆心O， ∴DE＝EF，＝， ∵D为弧AC的中点， ∴＝， ∴＝， ∴AC＝DF， ∵⊙O的直径为10， ∴OF＝OA＝5， ∵AE＝2， ∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3， 在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝4， ∴DE＝EF＝4， ∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8， 故选：D． 一十五．圆周角定理（共2小题） 31．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）判断△BDE的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长． 【答案】（1）△BDE为等腰直角三角形．证明过程见解答部分； （2）BC＝8． 【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形． 证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC． ∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE． ∴BD＝ED． ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形． 另解：计算∠AEB＝135°也可以得证． （2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD． ∴BD＝DC． ∵OB＝OC． ∴OD垂直平分BC． ∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2， ∴BD＝2． ∵AB＝10， ∴OB＝OD＝5． 设OF＝t，则DF＝5﹣t． 在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2， 解得t＝3， ∴BF＝4． ∴BC＝8． 另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC． 32．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF． （1）求证：BC＝DF． （2）若BC＝8，BE＝2，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵D是的中点， ∴＝， ∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB， ∴＝， ∴＝＝， ∴BF＝CD＝BD，∠DCB＝∠BDF＝∠CBD＝∠F， ∴△CDB≌△DBF（AAS）， ∴BC＝DF； （2）解：如图，连接OD交BC于点M， ∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB， ∴DE＝EF， ∵BC＝DF＝8， ∴DE＝4， 设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2， 在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2＝OE2+DE2， ∴r2＝（r﹣2）2+42， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 一十六．点与圆的位置关系（共1小题） 33．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 【答案】B 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝2+1， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+； 故选：B． 一十七．三角形的外接圆与外心（共1小题） 34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝105°，，连接OA、OB，则弧AB的长是（　　） A．2π B． C． D． 【答案】C 【解答】解：延长AO交⊙O于D，连接BD，过点O作OE⊥AB，垂足为E，作∠BOF＝∠ABO，交AB于点F， ∴BF＝OF， ∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝75°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝150°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝15°， ∴∠BOF＝∠ABO＝15°， ∴∠AFO＝∠BOF+∠ABO＝30°， 设OE＝x， ∴BF＝OF＝2OE＝2x，EF＝OE＝x， ∴BE＝BF+EF＝2x+x＝（2+）x， ∵OE⊥AB， ∴BE＝AB＝， ∴（2+）x＝， 解得：x＝， ∴OE＝， ∴OB＝＝＝＝2， ∴弧AB的长＝＝， 故选：C． 一十八．切线的性质（共2小题） 35．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 　4﹣2　． 【答案】4﹣2． 【解答】解：过点A、M作⊙O与CD相切于点P'，记PM 与⊙O交于点Q，连接AP′，MP′，OM，OP′，AQ， 则∠AP'M＝∠AQM＞∠APM，∠OP′D＝90°， ∴当点P运动到点P'时，∠AP'M最大， 作ON⊥AD于点N， 则MN＝AN＝， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°， ∴四边形OP'DN是矩形， ∵AB＝4，M是AD的中点， ∴AM＝DM＝2，MN＝1， ∴OM＝OP'＝DN＝DM+MN＝3， 在Rt△MON中， ON＝＝＝2， ∴DP'＝ON＝2， ∴CP'＝DC﹣DP'＝4﹣2， ∴当∠APM的度数最大时，CP的长为4﹣2． 故答案为：4﹣2． 36．已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为 　（1，0），（3，0）（，）　时，△POA是等腰三角形． 【答案】（1，0），（3，0），（，）． 【解答】解：如图，当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形．理由如下： 连接AM， ∵M（2.0），⊙M的半径为1， ∴OM＝2，AM＝PM＝1， ∴OP＝1， ∵OA切⊙M于点A， ∴∠MAO＝90°， ∴∠AOM＝30°， ∴∠AMO＝60°， ∴PA＝AM＝PM＝1， ∴OP＝PA＝1， ∴P（1，0）； 当OA＝OP′时，连接AP′交x轴于点H， ∵OA切⊙M于点A， ∴OP′切⊙M于点P′， ∴∠P′OM＝∠AOM＝30°， ∴∠AOP′＝60°， ∴△AOP′是等边三角形， ∴AP′＝OA＝＝＝， ∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝， ∴P′（，）； ∵MA＝MP″，∠AMO＝60°， ∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°， ∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°， ∴OA＝OP″， ∴P″（3，0）． 综上所述：当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形． 故答案为：（1，0），（3，0），（，）． 一十九．正多边形和圆（共2小题） 37．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D， 由正六边形，得 ∠ABC＝120°，AB＝BC＝a， ∠BCD＝∠BAC＝30°． 由AC＝3，得CD＝1.5． cos∠BCD＝＝，即＝， 解得a＝， 故答案为：． 38．以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转 　60　°． 【答案】60°． 【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BCD＝120°， 要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上， 则∠DCD'至少为60°，则正六边形ABCDEF至少旋转60°． 故答案为：60°． 二十．扇形面积的计算（共1小题） 39．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AD，OD，BD， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°，又CD⊥AB， ∴△ACD∽△CDB， ∴＝，即＝， ∴CD＝，又OC＝1， ∴∠COD＝60°， ∴S扇形OAD＝＝π， S△CDO＝×CO×CD＝， ∴S扇形OAD﹣S△CDO＝π﹣，S扇形CDE＝＝π， ∴阴影部分的面积＝S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE）＝π+． 故选：A． 二十一．黄金分割（共1小题） 40．我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴BC＝BD， ∴△BDC是“黄金三角形”， ∴＝， ∵BC＝2， ∴DC＝﹣1， 故选：A． 二十二．平行线分线段成比例（共1小题） 41．如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴，故A错误， ，故B错误； ，即，故C正确； ，即，故D错误． 故选：C． 二十三．相似三角形的判定（共1小题） 42．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米， ∵∠PBQ＝∠ABC， ∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）； 当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）； 即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似． 二十四．相似三角形的判定与性质（共6小题） 43．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H， ∴∠H＝90°， 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°，∠H＝∠BCD， ∵DE⊥DG， ∴∠EDG＝90°， ∴∠2+∠1＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴△DEH∽△DGC， ∴＝， ∵， ∴设GC＝x，则BG＝2x，DC＝BC＝3x， ∴＝， ∴DH＝3EH， ∵AC是正方形ABCD对角线， ∴∠DAC＝45°， ∵∠EAH＝∠DAC＝45°， ∴∠HEA＝45°， ∴EH＝HA， ∴EH2+HA2＝9， ∴EH＝HA＝， ∴DH＝， ∴AD＝3， ∴GC＝， ∴DG＝＝2， ∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴＝＝， ∴DF＝3GF， ∴DF＝； 故选：D． 44．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴＝， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 45．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD． （1）求证：△ABE∽△DCE； （2）AE•CD＝BC•ED． 【答案】证明过程见解答部分． 【解答】证明：（1）∵AB2＝BE•BD， ∴AB：BE＝BD：AB， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴∠BAC＝∠BDC， ∵BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC， ∴△ABE∽△DCE； （2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE， ∵∠BEC＝∠AED， ∴△ADE∽△BCE， ∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE， ∴△BCD∽△AED， ∴BC：AE＝CD：ED， AE•CD＝BC•ED． 46．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC与BD相交于点E． （1）求证：△ABE∽△ACB； （2）若AD＝4，BC＝6，求线段DE的长度． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）线段DE的长度为． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴＝， ∵AB＝CD， ∴＝， ∴＝， ∴∠ACB＝∠ABD， ∵∠BAE＝∠BAC， ∴△ABE∽△ACB； （2）解：∵＝， ∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC， ∴△ADE∽△CBE， ∴＝＝＝， ∴设AE＝2a，CE＝3a， ∴AC＝AE+CE＝5a， ∵△ABE∽△ACB， ∴＝， ∴AB2＝AC•AE， ∴16＝2a•5a， ∴a＝或a＝﹣（舍去）， ∴AE＝2a＝， ∵＝， ∴∠ADE＝∠DAE， ∴AE＝DE＝， ∴线段DE的长度为． 47．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F． （1）求证：∠A＝∠BOF； （2）若AB＝4，DF＝1，求AE的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）AE的长为． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90° ∵AB＝AC， ∴∠CAB＝2∠DAB， ∵∠DOB＝2∠DAB， ∴∠CAB＝∠BOF； （2）解：连接BE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90° ∵AB＝4， ∴OB＝OD＝AB＝2， ∵DF＝1， ∴OF＝OD+DF＝3， ∵BF与⊙O相切于点B， ∴∠OBF＝90°， ∴∠AEB＝∠OBF＝90°， ∵∠CAB＝∠BOF， ∴△EAB∽△BOF， ∴＝， ∴＝， ∴AE＝， ∴AE的长为． 48．如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC． （1）求证：AB2＝AC•AE； （2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若＝，求的值． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）的值为． 【解答】（1）证明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AEB， ∴＝， ∴AB2＝AC•AE； （2）解：过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H， ∵△ABC∽△AEB， ∴＝＝＝， ∴设AC＝2a，AB＝3a， ∴＝， ∴AE＝a， ∴＝＝， ∵BD＝3CD， ∴设CD＝m，则BD＝3m， ∴BC＝CD+BD＝4m， ∴＝， ∴EB＝6m， ∵EH∥CD， ∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE， ∴△ACD∽△AEH， ∴＝＝， ∴EH＝m， ∵EH∥BD， ∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH， ∴△BDF∽△EHF， ∴＝＝＝， ∴EF＝BE＝m， ∴＝＝， ∴的值为． 二十五．位似变换（共2小题） 49．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为（　　） A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4） 【答案】D 【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（﹣4，2）， ∴点E的对应点E'的坐标为（﹣4×2，2×2）或（4×2，﹣2×2），即（﹣8，4）或（8，﹣4）， 故选：D． 50．如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD，若CD＝2，则端点C的坐标为　（2，2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1）， ∴AB＝1， ∵以原点O为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD，CD＝2， ∴两图形位似比为：1：2， ∴点C的坐标为：（2，2）． 故答案为：（2，2）． 二十六．解直角三角形（共1小题） 51．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（　　） A．+1 B．﹣1 C． D． 【答案】B 【解答】解：如图： 在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD， ∴∠BAD＝∠D＝22.5°， 设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝AC＝， ∴CD＝BC+BD＝1+， 在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1， 故选：B． 二十七．解直角三角形的应用（共3小题） 52．如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC＝，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为　1944　cm2． 【答案】1944． 【解答】解：如图，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H， 交PQ于点G，如图，设矩形PQMN， ∵tanB＝tanC＝， ∴∠B＝∠C， ∴EB＝EC， ∵BC＝108cm，且EH⊥BC， ∴BH＝CH＝BC＝54cm， ∵tanB＝＝， ∴EH＝BH＝×54＝72cm， ∴EG＝EH﹣GH＝72﹣QM， ∵PQ∥BC， ∴△EQP∽△EBC， ∴＝，即＝， ∴PQ＝（72﹣QM）， 设QM＝x， 则S矩形PQMN＝PQ•QM＝x（72﹣x）＝﹣（x﹣36）2+1944， ∴当x＝36时，S矩形PQMN最大值为1944， 所以当QM＝36时，矩形PQMN的最大面积为1944cm2， 答：该矩形的面积为1944cm2． 故答案为：1944． 53．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保留小数点后一位） （1）连接CD，求证：DC⊥BC； （2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43） 【答案】（1）证明过程见解答； （2）雕塑的高约为4.2m． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°， ∴2∠ACB+2∠ACD＝180°， ∴∠ACB+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∴DC⊥BC； （2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F， 在Rt△DCB中，∠B＝55°，BC＝1.8m， ∴BD＝≈＝（m）， ∵DE＝2m， ∴BE＝BD+DE＝（m）， 在Rt△BEF中，EF＝BE•sin55°≈×0.82≈4.2（m）， ∴雕塑的高约为4.2m． 54．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行，支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°． （1）求两轮轮轴A，B之间的距离； （2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732） 【答案】（1）100cm； （2）100.0cm． 【解答】解：（1）∵支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°， ∴AB＝＝＝100（cm）， 即两轮轮轴A，B之间的距离为100cm； （2）过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG+CH， ∵OF的长度为60cm，∠FOD＝120°， ∴∠FOG＝180°﹣120°＝60°， ∵∠G＝90°， ∴∠F＝30°， ∴OG＝OF＝30， ∴FG＝30， 由（1）知AB＝100，AC＝80，BC＝60， ∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CH， 即×100×CH＝×60×80， 解得CH＝48， ∴FG+CH＝48+30≈48+30×1.732≈100.0cm， 即扶手F到AB所在直线的距离为100.0cm． 二十八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题） 55．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 【答案】斜坡AB的长约为10.3米． 【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E， 由题意得：AF⊥BC，DE＝AF， ∵斜面AB的坡度i＝3：4， ∴＝， ∴设AF＝3x米，则BF＝4x米， 在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x（米）， 在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米， ∴DE＝CD•sin18°≈20×0.31＝6.2（米）， ∴AF＝DE＝6.2米， ∴3x＝6.2， 解得：x＝， ∴AB＝5x≈10.3（米）， ∴斜坡AB的长约为10.3米． 56．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268） 【答案】垂直高度PC约为204米． 【解答】解：过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E， 由题意得：CD＝BE， 在Rt△ABE中，∠A＝15°，AB＝400米， ∴BE＝AB•sin15°≈400×0.259＝103.6（米）， ∴CD＝BE＝103.6米， 在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，BP＝200米， ∴DP＝BP＝100（米）， ∴PC＝PD+DC≈204（米）， ∴垂直高度PC约为204米． 二十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题） 57．如图，无人机在塔树上方Q处悬停，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为12米，无人机竖直高度PQ为60米，B、P、C在一条直线上，且P点到塔底B的距离比到树底C的距离多8米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】塔高AB的值为（54﹣12）米． 【解答】解：如图：延长CD交GH于点E，延长BA交GH于点F， 由题意得：CE⊥GH，BF⊥GH，CE＝BF＝PQ＝60米，EQ＝CP，QF＝PB， ∵CD＝12米， ∴DE＝CE﹣CD＝48（米）， 在Rt△DEQ中，∠EQD＝60°， ∴EQ＝＝＝16（米）， ∵PB﹣PC＝8， ∴QF﹣QE＝8， ∴QF＝QE+8＝（16+8）米， 在Rt△QFA中，∠FQA＝37°， ∴AF＝QF•tan37°≈0.75（16+8）米， ∴AB＝BF﹣AF＝60﹣0.75（16+8）＝（54﹣12）米， ∴塔高AB的值为（54﹣12）米． 58．“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”，8D魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡CD底端C距离轻轨所穿楼栋AB底端A处30米远，斜坡CD长为42米，坡角为30°，DE⊥CE，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡角为45°的斜坡DN． （1）求观景平台MN的长；（结果保留根号） （2）小育在N处测得轻轨所穿楼栋AB顶端B的仰角为30°，点A、B、C、D、E在同一个平面内，点A、C、E在同一条直线上，且AB⊥AE，求轻轨所穿楼栋AB的高度．（结果精确到0.1米，，） 【答案】（1）观景平台MN的长为（15﹣15）米； （2）轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米． 【解答】解：（1）如图： 由题意得：MF⊥DE，FM∥EC， ∴∠DMF＝∠DCE＝30°， ∵DC＝42米，CM＝12米， ∴DM＝CD﹣CM＝30（米）， 在Rt△DFM中，DF＝DM＝15（米），FM＝DF＝15（米）， 在Rt△DFN中，∠DNF＝45°， ∴FN＝＝15（米）， ∴MN＝FM﹣FN＝（15﹣15）米， ∴观景平台MN的长为（15﹣15）米； （2）如图： 由题意得：FN＝EP＝15米，EF＝AH，FH＝EA， 在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，CD＝42米， ∴DE＝CD＝21（米），CE＝DE＝21（米）， ∵AC＝30米， ∴FH＝AE＝AC+CE＝（30+21）米， ∴NH＝FH﹣FN＝30+21﹣15＝（21+15）米， 在Rt△BNH中，∠BNH＝30°， ∴BH＝NH•tan30°＝（21+15）×＝（21+5）米， ∵DF＝15米， ∴EF＝AH＝DE﹣DF＝21﹣15＝6（米）， ∴AB＝BH+AH＝27+5≈35.7（米）， ∴轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米． 三十．频数与频率（共1小题） 59．青青的袋中有红、黄、蓝、白球若干个，晓晓又放入5个黑球，通过多次摸球试验，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球的频率依次为30%，15%，40%，10%，则青青的袋中大约有黄球（　　） A．5个 B．10个 C．15个 D．30个 【答案】C 【解答】解：晓晓放入5个黑球后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球的频率依次为30%，15%，40%，10%，故发现摸到黑球的频率为5%， 则可以由此估计袋中共有球＝100（个）， 说明此时袋中可能有100个球（包括5个黑球），故黄球有100×15%＝15（个）， 故选：C． 三十一．几何概率（共1小题） 60．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（　　） A． B．π C．π D． 【答案】C 【解答】解：∵如图所示的正三角形， ∴∠CAB＝60°， 设三角形的边长是a， ∴AB＝a， ∵⊙O是内切圆， ∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°， ∴BO＝tan30°AB＝a， 则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2， 因此概率是a2÷a2＝． 故选：C． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/20 2:54:44；用户：乐乐；邮箱：lhqfhf@163.com；学号：11297611 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$