6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 分层作业 题型研究 题组一　分类加法计数原理解决计数问题 【例题1】（1）一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． （2）甲乙两地隔江相望，现今连接两岸的有4座大桥、3条公路隧道、1条观光隧道和2条摆渡航线，那么，两岸市民过江有 种走法． 题组二　分步乘法计数原理解决计数问题 【例题2】（1）已知，，则可表示不同的值的个数是 ． （2）食堂有大荤菜个、小荤菜个、素菜个、汤个，如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐，有 种不同的搭配方式． 题组三　“多面手”问题 【例题3】有8名学生，其中2名学生会下象棋但不会下围棋，3名学生会下围棋但不会下象棋，3名学生既会下象棋又会下围棋.现从这8名学生中选出2名学生，其中一名学生参加象棋比赛，另一名学生参加围棋比赛，则不同的选派方法有（    ） A．18 B．24 C．27 D．30 题组四　“ ab与ba”问题 【例题4】5名学生报名参加4项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为 ；将三封信投入四个邮筒共有 种不同的投递方式． 1、 基础达标 1．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ） A．3种 B．504种 C．24种 D．12种 2．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．7种 B．9种 C．14种 D．70种 3．每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（    ） A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种 4．某鞋店销售a，b，c，d四种不同款式的运动鞋，甲、乙、丙三人每人任意选择一款运动鞋购买，则不同的购买选择有（    ） A．24种 B．48种 C．64种 D．81种 5．从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（    ） A．7 B．12 C．18 D．24 6．某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 7．甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（    ） A．8种 B．15种 C．种 D．种 8．学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（    ） A．4种 B．24种 C．64种 D．81种 9．将3个不同的小球放入5个不同盒子中，则不同放法种数有（    ） A． B． C． D． 10．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. (1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本同学科的书，有多少种不同的取法？ 11．某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）． (1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？ (2)如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？ 2、 能力提升 1．现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ） A． B． C．20 D．9 2．某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（　　） A．4种 B．6种 C．7种 D．9种 3．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有 种． 4．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种不同选法 5．从，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的二次函数共有 个，其中不同的偶函数共有 个．（用数字作答） 6．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？ 7．用1，2，3，4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列． （1）这个数列共有多少项 （2）若，求m的值． 3、 直击高考 1．（2007·全国·高考真题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 2．（2006·上海·高考真题）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 3．（2024·广东深圳·模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 4．（2024·江苏徐州·一模）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 分层作业 题型研究 题组一　分类加法计数原理解决计数问题 【例题1】（1）一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 【答案】10 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算即得. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的取法种数为． 故答案为：10 （2）甲乙两地隔江相望，现今连接两岸的有4座大桥、3条公路隧道、1条观光隧道和2条摆渡航线，那么，两岸市民过江有 种走法． 【答案】10 【分析】由分类加法计数原理可得答案. 【详解】两岸市民过江有种走法． 故答案为：10. 题组二　分步乘法计数原理解决计数问题 【例题2】（1）已知，，则可表示不同的值的个数是 ． 【答案】12 【分析】由分步计数原理求值的个数，再运算比较不同的值即可得. 【详解】根据题意，，有3种选法；，有4种选法. 由分步计数原理知，求的值有种方法，但警惕所得值有可能相同. （2）食堂有大荤菜个、小荤菜个、素菜个、汤个，如果要大荤、小荤、素菜、汤各一个组成一份三菜一汤的套餐，有 种不同的搭配方式． 【答案】 【分析】根据分步乘法原理即可得出结论. 【详解】依题意得，选择大荤菜有种方法，小荤菜有种方法，素菜有种方法，汤有种方法， 根据分步乘法原理可得，一共有种方法. 故答案为： 题组三　“多面手”问题 【例题3】有8名学生，其中2名学生会下象棋但不会下围棋，3名学生会下围棋但不会下象棋，3名学生既会下象棋又会下围棋.现从这8名学生中选出2名学生，其中一名学生参加象棋比赛，另一名学生参加围棋比赛，则不同的选派方法有（    ） A．18 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】按3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人分成类进行分类讨论，由此求得不同的选派方法. 【详解】3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时，方法数有种. 3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时，方法数种. 3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时方法数种. 故总的方法数有种. 故选：C 题组四　“ ab与ba”问题 【例题4】5名学生报名参加4项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为 ；将三封信投入四个邮筒共有 种不同的投递方式． 【答案】 1024 64 【解析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】由题意知，每名学生都有4种报名方法， 因此，5名学生的报名方法的种数为． 由题意知，每封信放入邮筒有4种不同的投递方式， 由分步乘法计数原理可知， 将三封信投入四个邮筒共有种不同的投递方式． 故答案为：；. 1、 基础达标 1．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ） A．3种 B．504种 C．24种 D．12种 【答案】C 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种. 故选：C. 2．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．7种 B．9种 C．14种 D．70种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理求解即可 【详解】分为三类: 从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法， 根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法; 故选：C 3．每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（    ） A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种 【答案】B 【分析】利用分类加法计数原理计算即得. 【详解】从甲地到乙地不同的方案数为. 故选：B. 4．某鞋店销售a，b，c，d四种不同款式的运动鞋，甲、乙、丙三人每人任意选择一款运动鞋购买，则不同的购买选择有（    ） A．24种 B．48种 C．64种 D．81种 【答案】C 【分析】用分步乘法原理计算. 【详解】每人有4种不同的购买选择，总的购买选择有种. 故选：C． 5．从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（    ） A．7 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人， 由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种. 故选：B. 6．某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】从A类语言4个中任选一个，从E类语言5个中任选一个，由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】第三语言可从A类语言4个中任选一个，有4种方法， 第四语言可从E类语言5个中任选一个，有5种方法， 所以共有种. 故选：A. 7．甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（    ） A．8种 B．15种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种. 故选：B. 8．学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（    ） A．4种 B．24种 C．64种 D．81种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解. 【详解】3个年级段均有4种选择，故不同的选择方法有种. 故选：C 9．将3个不同的小球放入5个不同盒子中，则不同放法种数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】每个不同小球都有5种不同放法，故共有种不同放法. 故选：C. 10．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. (1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取两本同学科的书，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)24 (2)10 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求不同的取法； （2）利用分类加法计数原理求不同的取法； 【详解】（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成： 第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法， 第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法， 第3步从第3层取1本体育书，有2种方法， 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是. （2）分为3类：第1类取两本计算机书有6种取法； 第2类取两本文艺书有3种取法； 第3类取两本体育书有1种取法； 不同取法的种数共有. 11．某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）． (1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？ (2)如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？ 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）利用分类加法计数原理进行求解； （2）利用分步乘法计数原理进行求解. 【详解】（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为3类： 第一类，选一名教师主持，有3种选法； 第二类，选一名男同学主持，有4种选法； 第三类，选一名女同学主持，有5种选法． 根据分类加法计数原理，共有种不同的选法． （2）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步： 第一步，选出一名教师，有3种选法； 第二步，选出一名男同学，有4种选法； 第三步，选出一名女同学，有5种选法， 以上3个步骤依次完成后，事情才算完成． 根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法． 2、 能力提升 1．现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ） A． B． C．20 D．9 【答案】A 【分析】将此事分为5步，每一步均为1名同学选择讲座，后由分步计数原理可得答案. 【详解】将完成此事分为5步.第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法. 则由分步计数原理可知，不同选法的种数位为：. 故选：A 2．某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（　　） A．4种 B．6种 C．7种 D．9种 【答案】A 【分析】分为买两本和买三本两种情况求解即可. 【详解】买两本，有种方案；买三本，有1种方案； 因此共有方案(种)． 故选：A. 3．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有 种． 【答案】 【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可. 【详解】若三人选书没有要求，则有种， 若三人选择的书完全相同，则有种， 所以三人选择的书不全相同，不同的选法有种. 故答案为：. 4．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种不同选法 【答案】12 【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况. 【详解】 从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种. 故答案为：12 5．从，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的二次函数共有 个，其中不同的偶函数共有 个．（用数字作答） 【答案】 18 6 【分析】函数为偶函数，则，再根据乘法原理直接得到答案. 【详解】可组成不同的二次函数共有：个. 函数为偶函数，则，共有：个. 故答案为：18；6 6．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？ 【答案】（1）9，（2）20，（3） 【分析】（1）分析题意，这是一个分类问题，分两种情况讨论，即分别从第一个和第二个信封中取信，由分类加法计数原理计算可得答案 （2）分析题意，这是一个分步问题，分两步进行，先从第一个信封中取信，再从第二个信封取信，由分步乘法计数原理计算可得答案 （3）将信封投入邮筒，是分步问题，每封信都有4种不同的方法，由分步乘法计数原理计算可得答案 【详解】（1）任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，是分类问题 从第一个口袋中取一封信有5种情况，从第二个口袋中取一封信有4种情况 则共有种 （2）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能完成这件事，是分步问题 应分两个步骤完成，第一步，从第一个口袋中取一封信有5种情况， 第二步，从第二个口袋中取一封信有4种情况 由分步乘法计数原理，共有种 （3）第一封信投入邮筒有4种可能 第二封信投入邮筒有4种可能 第九封信投入邮筒有4种可能 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的投法 【点睛】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的运用，解题时，注意分析题意，认清是分步问题还是分类问题，这是解题的关键. 7．用1，2，3，4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列． （1）这个数列共有多少项 （2）若，求m的值． 【答案】（1）64；（2）45. 【分析】（1）应用分步计数方式，求四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数即可. （2）由分类、分步计数方式：比341小的数有①百位上的数是1或2、②百位上的数是3，分别求出并加总，即可知m的值． 【详解】（1）由题意，知这个数列的项数就是由1，2，3，4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数． 由于三位数上每个数位上的数都有4种取法，则三位数有个， ∴数列共有64项． （2）比341小的数分为两类： 第一类，百位上的数是1或2，有个 第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1，2，3中的任一个，个位上的数可以是1，2，3，4中的任一个，有个． ∴比341小的数共有个，则341是这个数列的第45项，即. 3、 直击高考 1．（2007·全国·高考真题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【答案】D 【分析】由分步乘法原理计算． 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 故选：D 2．（2006·上海·高考真题）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 3．（2024·广东深圳·模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】从A类语言4个中任选一个，从E类语言5个中任选一个，由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】第三语言可从A类语言4个中任选一个，有4种方法， 第四语言可从E类语言5个中任选一个，有5种方法， 所以共有种. 故选：A. 4．（2024·江苏徐州·一模）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解. 【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合. 故选：A 5．（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 【答案】C 【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解. 【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法； 若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法． 故一共有种去法． 故选：C. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$