6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 教学设计 1、 教学目标 1. 通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理; 2. 正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”. 3. 能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 4. 培养数学建模、数学运算等重要学科素养 2、 教学重难点 重点：① 通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理; ② 正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”. 难点：能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 本节课作为高中数学选择性必修第三册的第一节课，其重要性不言而喻。学生在此之前已经接触过一些基础的数学概念和计数方法，但对于更为复杂的计数原理还缺乏深入的理解。 本节课旨在通过分类加法计数原理和分步乘法计数原理的讲解，为学生后续学习排列组合知识打下坚实的基础。然而，这两个原理相对抽象，要求学生具备较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。学生需要能够准确理解问题的本质，将实际问题转化为数学问题，并灵活运用这两个原理进行求解。 考虑到学生之间的差异，部分学生在理解这些原理时可能会存在一定的困难。因此，教师在教学时应采用多种教学手段和方法，如生动的实例、详细的讲解、互动式的课堂练习等，以激发学生的学习兴趣，帮助他们理解和掌握这两个计数原理. 2. 教材分析： 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第一章《计数原理》，本节课主要学习《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》. 这是高中数学选择性必修第三册的第一节课，这节课的内容在教材体系中占有重要地位，因为它是学习排列组合知识的基础。 从教材的角度看，这一节内容是在学生已经掌握了一定的数学基础知识后，进一步深化和拓展计数问题的解决方法。分类加法计数原理将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决；分步乘法计数原理则是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程。这两种原理都是解决计数问题的基本思想方法，具有重要的理论价值和应用价值。 在教学中，需要注意引导学生理解“完成一件事情”的含义，以及区分“分类”和“分步”的不同。通过实例探究，让学生经历从特殊到一般的思维过程，归纳出两个计数原理，并能初步应用它们解决一些简单的实际问题。 因此，这一节课的教学设计需要注重理论与实践相结合，通过丰富的实例和练习，加深学生对两个计数原理的理解和掌握，为后续学习排列组合知识打下坚实的基础。同时，也需要关注学生的学习差异，因材施教，确保每个学生都能在课堂上有所收获. 4、 教学过程 1． 创设情境，引入新知 情景一：随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容． 那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢? 情景二： 1　 小朋友数玩具 2　 红、黄、绿三面旗帜组成航海信号 3　 4种碱基组成不同的RNA分子 以上情景，都是本节课我们需要学习的利用两个计数原理解决计数问题. 思考：通过一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“计数”，以提高效率呢？ 设计意图：让情境引入，问题引导，激发学生的学习兴趣。 2． 探究新知 思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 学生：自主尝试着编号，并用一一列举的方法，得出结果. 预设：编号有2类方案： 第一类方案 用大写的英文字母编号：可编出26种不同的号码; 第二类方案 用阿拉伯数字编号：可编出10种不同号码; 总共能编出 26+10=36种 不同的号码. 探究：你能说一说这个问题的特征吗? 学生：根据预习教材，得出答案 预设：首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次，“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示. 教师：因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数． 思考：上述计数过程的基本环节有哪些？ 学生：回顾师生共同解决问题的过程，得出解决该类问题的基本环节. 预设：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； （2）分别计算各类号码的个数； （3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数． 思考：你能举一些生活中类似的例子吗？ 师生：相互讨论，学生举例，教师适当评价，特别注意让学生思考回答要完成的“一件事”是什么. 举例预设：小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？ 答案预设：从北京到重庆有2类方案： 第一类方案 乘坐飞机：有 4种 不同的走法; 第二类方案 乘坐火车：有 3种 不同的走法; 总共有 4+3=7种 不同的走法. 设计意图：使学生辨析和理解分类加法计数原理. 分类加法计数原理：一般地，完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有： N=m+n 种不同的方法. 3． 应用新知 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1． 表6.1-1 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 管理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择? 师生：共同分析题目，结合分类加法计数原理解决问题. 分析预设：要完成的事情是“选一个专业”．因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 解析预设：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为 ． 跟踪练习：某班有男生30名，女生24名，现要从中选一名，代表班级参加比赛，共有_______种不同的选法. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：可以从男生或女生种选一名． 从男生中有30种不同选法，从女生中有24种不同选法． 根据分类加法计数原理，该班选一名做代表的选法种数为 N=30+24=54 4． 探究新知 探究：完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 学生：类比分类加法计数原理，得出答案：共有 N=m1 +m2+m3 种不同方法. 推广：如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 学生：结合以上结论，得出分类加法计数原理的推广形式，答案为：共有 N=m1 +m2+ ∙∙∙ +mn 种不同方法 设计意图：推广分类加法计数原理，加深对分类加法 计数原理的理解与认识.巩固概念，学会用分类加法计数原理解答简单问题. 思考：用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以，，…，，，，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 追问：前一个问题和这个问题，完成的事情都是“给一个座位编号”，这两个问题有何不同？ 学生：自主对比分析，根据教师的引导，得出答案 预设：这两个问题中编号的要求不同，在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤． 设计意图：比较分类计数问题与分步计数问题，渗透 分步乘法计数原理. 提示：用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码 教师：图6.1-1是解决计数问题常用的“树状图” 追问：你能用树状图列出所有可能的号码吗？ 学生：根据提示中画“树状图”的方法，列举出所有的编号号码，并做好分享准备. 追问：有没有更简单一点的计数方法？ 学生：小组讨论，思考和分析其他的解法 预设：我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母的任意一个都能和9个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有 6×9=54 个不同的号码. 探究：你能说一说这个问题的特征吗? 学生：根据预习教材，得出答案 预设：首先，这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，其次，“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成. 因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的． 思考：上述计数过程的基本环节有哪些？ 学生：回顾以上解决问题的过程，得出解决该类问题的基本环节. 预设：（1）确定分步标准，根据问题条件分：先选字母号码，后选数字号码两个步骤； （2）分别计算各步骤号码的个数； （3）各类号码的个数相乘，得出所有号码的个数． 思考：你能举一些生活中类似的例子吗？ 师生：相互讨论，学生举例，教师适当评价，特别注意让学生思考回答要完成的“一件事”是什么. 举例预设：小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？ 答案预设：从北京到重庆：需分2个步骤进行 第一步 从北京到成都：有 4种 不同的走法; 第二步 从成都到重庆：有 3种 不同的走法; 总共有 4×3=12种 不同的走法. 设计意图：进一步理解和巩固，以及为引出分布乘法计数原理的定义做准备. 定义：一般地，有如下分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 辨析：（1）无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数 （2）只有各个步骤都完成才算做完这件事情 5． 应用新知 例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法? 师生：共同审题及分析，要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成： 第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法； 第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法， 所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为: N=30×24=720 设计意图：巩固概念，学会用分步乘法计数原理解答简单问题. 跟踪练习：某电话局管辖范围内的电话号码由6位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后2位数字都是0～9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？ 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：确定后两位数字组成一个电话号码，可以分两个步骤完成： 第1步，选第5位上的数字，有10种不同选法； 第2步，选第6位上的数字，有10种不同选法， 所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为 N=10×10=100 6． 探究新知 探究：完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第2 步有 m2 种不同的方法，做第 3 步有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 学生：类比分步乘法计数原理，得出答案：共有 N=m1 ×m2×m3 种不同方法. 推广：如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 学生：结合以上结论，得出分类加法计数原理的推广形式，答案为：共有 N=m1 ×m2× ∙∙∙ ×mn 种不同方法 设计意图：推广分步乘法计数原理，加深对分步乘法计数原理的理解与认识.巩固概念，学会用分步乘法计数原理解答简单问题. 7． 应用新知 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法? （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法? 师生：共同分析题目，结合两个计数原理解决问题. 分析预设：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 解析预设：（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类方案是从第1层取１本计算机书，有4种方法； 第2类方案是从第2层取１本文艺书，有3种方法； 第3类方案是从第3层取１本体育书，有2种方法． 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为： N=4+3+2=9 （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分3个步骤完成： 第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为：N=4×3×2=24 跟踪练习：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法? 预设：法一：分步乘法计数原理 3×2=6 第1步：选出2幅画(3种：甲乙、甲丙、乙丙) 第2步：对2幅画确定左右(各2种挂法) 法二：分步乘法计数原理 3×2=6 第1步：选1幅挂左边(3种：甲、乙、丙) 第2步：选1幅挂右边(各2种选择) 法三：分类加法计数原理 2+2+2=6 第1类：甲在左(2种方法：甲乙、甲丙) 第2类：乙在左(2种方法：乙丙、乙甲) 第3类：丙在左(2种方法：丙甲、丙乙) 法四：树状图列举法，如右图 总结：分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同： 相同点：回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题 不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事． 8． 能力提升 类型一：“多面手”问题 例1 7名学生中，3名会下象棋但不会下围棋，2名会下围棋但不会下象棋，2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有____种不同的选法. 预设：第1步：选出会象棋的，有5种选择;3 象 2 围 2 多 第2步：选出会围棋的，有4种选择; 根据分步乘法计数原理，共5×4=20种选法. 总结：排除法解决“多面手”问题模型 a名会甲但不会乙，c名会乙但不会甲，b名既会甲又会乙，现从中选出2人分别参加甲比赛和乙比赛，共有 N 种不同的选法. 解法：第1步：选出会甲的，有a+b种选择;a 甲 c 乙 b 多 第2步：选出会乙的，有c+b种选择; 根据分步乘法计数原理，共(a+b)(c+b)种选法. 其中同个多面手2次均被选中的情况应排除， 故有(a+b)(c+b)－b种选法 题型二：“ ab与ba”问题 例题2 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 预设：（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：36＝729. （2）每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：63＝216. 总结：分步乘法计数原理解决“ ab与ba”问题 模型：有a个人选b个项目，在下列情况下各有多少种不同的选法？(不一定每人都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 解法：（1）人选项目，每人有b种选法，根据乘法原理：a个人共有ba种选法; （2）项目选人，每项目有a种选法，根据乘法原理：b个项目共有 ab种选法; 9． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 10． 随堂限时小练 1．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 【详解】完成从书架上取1本书可以分三类方案，第1类，从第1层取有有3种取法；第2类，从第2层取有有3种取法；第3类，从第3层取有有2种取法；由分类加法计数原理可得，不同的取法种数共为： . 故选：B. 2．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（    ） A．9种 B．12种 C．24种 D．72种 【详解】任选1部电影可分四类： 第一类选的是科幻片，有3种选法；第二类选的是警匪片，有4种选法；第三类选的是战争片，有3种选法；第四类选的是喜剧片，有2种选法； 由分类加法计数原理可得不同的选法共有（种）． 故选：B． 3．有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（    ） A．13 B．40 C．72 D．60 【详解】搭配配成一套，需要分两个步骤： 第 1步选上衣，共有5种选法；第2步选长裤，共有8种选法，由分步乘法计数原理得不同的配法种数为 . 故选：B. 4．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【详解】由题可知，每个人都必须有灯笼，所以是人选灯笼，每名同学都有3种选法， 故不同的选购方式有种. 故选：A 5. 书架的第一层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有4本不同的外语书． (1)从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？ (2)从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？ 【详解】（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本语文书，有6种方法；第2类，从第2层取1本数学书，有5种方法；第3类，从第3层取1本外语书，有4种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为. （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本语文书，有6种方法；第2步，从第2层取1本数学书，有5种方法；第3步，从第3层取1本外语书，有4种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为. 6．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？ 【详解】第1步：选出会下象棋的，有6种选择; 第2步：选出会乙的，有7种选择; 根据分步乘法计数原理，共6×7=42种选法. 其中同个多面手4次均被选中的情况应排除， 故有42−4=38种选法 11． 课后作业布置 作业1：完成教材：第5页~第6页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》.  12． 课后作业答案 练习（第5页） 1．填空题 （1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 ； 【答案】9 【解析】由题意，选择第1种方法来完成工作，共有5种选法； 选择第2种方法完成工作，共有4种选法；所以符合题意得选法共有种．故答案为：9． （2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是 ． 【解析】因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条， 所以从A村经B村去C村，共有条不同路线．故答案为：6． 2．在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个 专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为．这种算法有什么问题? 2．【解析】这种算法不正确．因为要确定的是这名同学的专业选择，并不需要考虑学校的差异，所以应当是(种)可能的专业选择． 3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法? 3．【解析】（1）从书架上任取1本书，有两类方法： 第1类方法是从上层取1本数学书，有6种取法； 第2类方法是从下层取1本语文书，有5种取法． 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是． （2）从书架的上、下层各取1本书，可以分成两个步骤完成： 第1步，从上层取1本数学书，有6种取法； 第2步，从下层取1本语文书，有5种取法． 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是． 4．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名． （1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? （2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动．有多少种不同的选法? 4．【答案】（1）12；（2）60． 【解析】从高一年级的学生中选取1名，有3种选法；从高二年级的学生中选取1名，有5种选法；从高三年级的学生中选取1名，有4种选法； （1）从三个年级的学生中任选1人参加活动，共有种不同选法； （2）从三个年级的学生中各选1人参加活动，共有种不同选法. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$