专题13 三角函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题13三角函数 【考点01：终边相同的角】 【考点02：弧度制的定义和公式的相关计算】 【考点03：同角三角函数公式】 【考点04：弦的齐次问题】 【考点05： sin θ±cos θ型求值问题】 【考点07： 诱导公式与三角函数定义、同角运用】 【考点08：三角函数的图形与性质】 知识点1：任意角 1、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2、角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3、角的运算 设，是任意两个角，为角的相反角． (1)：把角的终边旋转角.（时,旋转量为,按逆时针方向旋转;时,旋转量为,按顺时针方向旋转） (2)： 知识点2：象限角 1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. 2、象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 知识点3：轴线角 1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. 2、轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 知识点4：终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 知识点5：角度制与弧度制的概念 1、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 3、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 知识点6：扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 知识点7：任意角的三角函数定义 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  知识点8：三角函数值在各象限的符号 ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦” ） 知识点9：特殊的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 知识点10：三角函数线 设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示： 在中： 为正弦线，长度为正弦值。 为余弦线，长度为余弦值。 在中：。为正切线，长度为正切值。 知识点11：同角三角函数公式 知识点12：诱导公式 公式一 (1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.  (2)式子表示: ① ② ③其中.  公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 公式七 知识点13：正弦、余弦和正切函数的图象 正弦函数,的图象叫做正弦曲线. 余弦函数,的图叫做余弦曲线. 正切函数函数图像 知识点14：正弦函数、余弦、正切函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 知识点15：两角和差公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝ 知识点16：二倍角公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 知识点17：半角公式 sin＝± ；cos＝± ； tan＝± 知识点18：函数y=Asin(wx+)的概念 （）的物理概念，振幅：暗示震动时离开平位置的大距离；频率：暗示单位时间内往返震动的次数；初像：；相位： 知识点19：作函数的图像 （1） 用“五点法”作图，用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取来求出相应的，同过列表，计算出五点坐标，描点后得出图像 （2） 由函数的图像通过变换得到的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 知识点20：伸缩平移 函数的图象得到的图象主要有下列两种方法 知识点21： 函数的性质 ① 函数的周期可利用 ② 判断函数()是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为或的形式。 ③ 求的单调区间，一般将看成一个整体，代入相关的单调区间对应的不等式，解之即得。 ④ 讨论的对称性，一般将看成是一个整体，令可得对称轴。令解出可得对称点的横坐标。 ⑤ 两条相邻对称轴之间的间隔为个周期，函数在对称轴处取得最大值或最小值；两个相邻最大值之间为一个周期，两个相邻最小值之间为一个周期。 【考点01：终边相同的角】 1．与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．若角与角的终边相同，则可能是（    ） A． B． C． D． 3．下列角的终边与角的终边关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 4．若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是 . 【考点02：弧度制的定义和公式的相关计算】 5．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 6．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 7．半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 8．若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A．15 B．30 C． D． 9．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 10．已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长为 . 11．已知扇形的面积为，圆心角弧度数为，则其弧长为 ； 【考点03：同角三角函数基本关系】 12．已知，为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 13．若，则（    ） A． B． C． D．3 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 15．若为第二象限角，则（    ） A．1 B． C． D． 16．若为第三象限角，且，则的值是（    ） A．4 B． C． D． 17．已知，，则 . 【考点04：弦的齐次问题】 18．已知，则（    ） A．4 B． C． D．3 19．已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 20．已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．2 21．已知，则（    ） A． B． C． D． 22．若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 23．若，则（    ） A． B． C． D． 24．，则 . 25．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 26．已知角 终边上有一点 ，求下列各式的值． (1) (2) (3) 27．已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点． (1)求； (2)求的值． 【考点05： sin θ±cos θ型求值问题】 28．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 29．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或 30．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 31．多选题已知，且 ，则(    ) A． B． C． D． 32．已知，且，则 ． 33．已知，则的值为 . 34．已知为第一象限角，则 . 35．已知． (1)求的值； (2)的值． 【考点07： 诱导公式与三角函数定义、同角运用】 36．已知，则（    ） A． B． C． D． 37．若为锐角，，则 . 38．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 39．已知，且为第三象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 40．如图，平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点. (1)求的值； (2)求的值. 41．已知，α是第三象限角，求： (1)的值； (2)的值． 42．已知． (1)若是第三象限角，求，的值； (2)先化简再求值：． 43．已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)若，求的值. 44．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点. (1)求的值； (2)求的值. 45．在平面直角坐标系中，点在角的终边上. (1)求的值； (2)求的值. 46．已知为第二象限角，且终边与单位圆相交于点． (1)求的值； (2)求的值． 47．已知 (1)求的值； (2)已知，求的值． 48．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【考点08：三角函数的图形与性质】 49．下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 50．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 51．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 52．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 53．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 54．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 55．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 56．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 57．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 58．函数 的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 59．已知函数，则（    ） A． B． C． D．0 60．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 61．若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 62．将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移后得函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 63． 多选题已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（     A．函数的解析式 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集为， 64．多选题已知函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（    ） A． B．函数的单调增区间为 C．函数的图象关于中心对称 D．函数的图象关于直线对称 65．多选题已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 66．多选题已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 67．多选题已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为1 68．函数的对称轴为 ． 69．设函数. (1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (2)求在上的最值. 70．已知函数的最小正周期为. (1)求函数的单调递减区间； (2)若，且函数在区间上的值域为，求实数a，b的值. 71．已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间； 72．已知函数，． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 73．已知函数的部分图象如下图所示，根据图中信息解答下列问题． (1)求函数的最小正周期T； (2)写出函数的单调递减区间； (3)求函数的解析式． 74．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，若，求函数在上的取值范围. 75．已知函数的部分图像如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域. (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13三角函数 【考点01：终边相同的角】 【考点02：弧度制的定义和公式的相关计算】 【考点03：同角三角函数公式】 【考点04：弦的齐次问题】 【考点05： sin θ±cos θ型求值问题】 【考点07： 诱导公式与三角函数定义、同角运用】 【考点08：三角函数的图形与性质】 知识点1：任意角 1、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2、角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3、角的运算 设，是任意两个角，为角的相反角． (1)：把角的终边旋转角.（时,旋转量为,按逆时针方向旋转;时,旋转量为,按顺时针方向旋转） (2)： 知识点2：象限角 1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. 2、象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 知识点3：轴线角 1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. 2、轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 知识点4：终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 知识点5：角度制与弧度制的概念 1、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 3、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 知识点6：扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 知识点7：任意角的三角函数定义 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  知识点8：三角函数值在各象限的符号 ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦” ） 知识点9：特殊的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 知识点10：三角函数线 设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示： 在中： 为正弦线，长度为正弦值。 为余弦线，长度为余弦值。 在中：。为正切线，长度为正切值。 知识点11：同角三角函数公式 知识点12：诱导公式 公式一 (1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.  (2)式子表示: ① ② ③其中.  公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 公式七 知识点13：正弦、余弦和正切函数的图象 正弦函数,的图象叫做正弦曲线. 余弦函数,的图叫做余弦曲线. 正切函数函数图像 知识点14：正弦函数、余弦、正切函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 知识点15：两角和差公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝ 知识点16：二倍角公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 知识点17：半角公式 sin＝± ；cos＝± ； tan＝± 知识点18：函数y=Asin(wx+)的概念 （）的物理概念，振幅：暗示震动时离开平位置的大距离；频率：暗示单位时间内往返震动的次数；初像：；相位： 知识点19：作函数的图像 （1） 用“五点法”作图，用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取来求出相应的，同过列表，计算出五点坐标，描点后得出图像 （2） 由函数的图像通过变换得到的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 知识点20：伸缩平移 函数的图象得到的图象主要有下列两种方法 知识点21： 函数的性质 ① 函数的周期可利用 ② 判断函数()是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为或的形式。 ③ 求的单调区间，一般将看成一个整体，代入相关的单调区间对应的不等式，解之即得。 ④ 讨论的对称性，一般将看成是一个整体，令可得对称轴。令解出可得对称点的横坐标。 ⑤ 两条相邻对称轴之间的间隔为个周期，函数在对称轴处取得最大值或最小值；两个相邻最大值之间为一个周期，两个相邻最小值之间为一个周期。 【考点01：终边相同的角】 1．与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同角的概念判断即可. 【详解】与终边相同的角可以写成的形式，其中． 令可得，与的终边相同，其它选项均不合题意. 故选：D． 2．若角与角的终边相同，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据观察选项得答案. 【详解】由已知 观察选项可得只有，所以可能是. 故选：D. 3．下列角的终边与角的终边关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知角，利用周期性写出终边相同角，再结合选项判断即可. 【详解】由题意知，与角的终边关于轴对称的角为 当时，，正确. 经验证，其他三项均不符合要求. 故选：. 4．若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是 . 【答案】/ 【分析】根据终边相同角的表示，求得，令，求得，进而得到答案. 【详解】因为角θ的终边与角的终边相同，可得， 所以， 令，解得，所以， 所以在内与角的终边相同的角为. 故答案为：. 【考点02：弧度制的定义和公式的相关计算】 5．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出弧的半径，即可根据弧长公式求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 6．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由扇形面积及弧长公式可得答案. 【详解】设扇形面积为S，半径为r，对应弧度为，弧长为. 由题可得：. 故选：A 7．半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可. 【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为. 故选：D 8．若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A．15 B．30 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】由一个扇形的半径为1，圆心角为，即为，所以该扇形的面积为. 故选：C. 9．若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，由弧长与半径的关系求出，再由面积求出，即可求出扇形的周长. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长， 所以， 扇形的面积，解得或（舍去）， 所以， 则该扇形的周长为. 故选：C 10．已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长为 . 【答案】4 【分析】由扇形的面积公式以及弧长公式即可直接得答案. 【详解】由，可得，所以. 从而可得. 故答案为：4. 11．已知扇形的面积为，圆心角弧度数为，则其弧长为 ； 【答案】6 【分析】 根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【详解】设弧长为，半径为，圆心角为， 故， 故， 故答案为：6 【考点03：同角三角函数基本关系】 12．已知，为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的商数与平方关系求解，再根据所在象限求解即,代入可得. 【详解】由，得，所以， 联立，解得， 因为为第三象限角， 所以， 故 故选：C. 13．若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系式即可求解. 【详解】∵，∴，，∴， 故选：D. 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以. 故选：C. 15．若为第二象限角，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为第二象限角，得到，化简原式即可. 【详解】因为为第二象限角，则， ， 故选：B. 16．若为第三象限角，且，则的值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合同角三角关系分析求解，注意三角函数值的符号判断. 【详解】由题意可得：， 且为第三象限角，则， 可得. 故选：B. 17．已知，，则 . 【答案】/－0.75 【分析】由同角间的三角函数关系求解． 【详解】因为，所以， 所以． 故答案为：． 【考点04：弦的齐次问题】 18．已知，则（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】C 【分析】首先求出，再将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 19．已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 20．已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据正切函数的定义知，然后弦化切代入求值即可. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：C 21．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式中的分子、分母同除以，再将代入即可. 【详解】由题意，可知， 则， 故选:A． 22．若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】把化为，再利用齐次式进行弦化切代入求解. 【详解】 . 故选：D 23．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分子分母同除以，再代入求值即可. 【详解】根据题意得： 故选：C. 24．，则 . 【答案】 【分析】应用同角三角函数关系结合齐次式求解即可. 【详解】因为 所以. 故答案为：. 25．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案. （2）利用“的代换”的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】（1）. （2） . 26．已知角 终边上有一点 ，求下列各式的值． (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据任意角的三角函数定义可得； （2）分子分母同时除以，化弦为切可解； （3）利用平方关系将目标式化为齐次式，然后化弦为切可解. 【详解】（1）因为角的终边过点， 所以，由三角函数定义可得. （2）由（1）知，， 所以，. （3）原式. 27．已知顶点在原点，以非负半轴为始边的角终边经过点． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义即可得解； （2）利用商数关系化弦为切，再将的值代入即可得解. 【详解】（1）因为角终边经过点， 所以； （2）． 【考点05： sin θ±cos θ型求值问题】 28．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，且，判断出，再利用平方关系求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 则， 故选：B 29．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果. 【详解】将两边同时平方可得，， 可得； 又，所以； 易知，可得； 又,所以. 故选：C 30．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，平方可得， 可得， 因为，所以，所以， 又由，所以. 故选：B. 31．多选题已知，且 ，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合同角三角函数基本关系运算即可得到. 【详解】由， 则， 即，故B正确； 又， 所以，， 故为第二象限角， 则， ， 则，故D正确,C错误； 又， 即有，， 又，故，故A正确. 故选：ABD. 32．已知，且，则 ． 【答案】/ 【分析】利用同角三角函数的平方关系计算即可. 【详解】由可知， 又 ，即， 则， 所以， 故. 故答案为：. 33．已知，则的值为 . 【答案】/ 【分析】去分母，然后两边平方化简可得. 【详解】由得， 两边平方得， 整理得. 故答案为： 34．已知为第一象限角，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的平方关系计算即可. 【详解】由平方得， 解得：，又因为第一象限角，故 . 故答案为： 35．已知． (1)求的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用平方关系作“1”的代换，化为含正余弦的齐次式，再由弦化切求值； （2）由题设，进而得到，再应用平方关系得到齐次式，最后由弦化切求值. 【详解】（1） ； （2）因为，可得， 所以，则， 因为 ， 所以. 【考点07： 诱导公式与三角函数定义、同角运用】 36．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式可得解. 【详解】由诱导公式可得， 又， 故选：A. 37．若为锐角，，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值，再结合诱导公式求值即可. 【详解】因为 为锐角， 所以，则. 故答案为：. 38．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 . 39．已知，且为第三象限角． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【详解】（1）因为，， 所以，又为第三象限角， 所以，所以； （2）由诱导公式化简得： ． 40．如图，平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义即可求值； （2）根据诱导公式求值化简即可. 【详解】（1）由三角函数的定义知：， 所以. （2）由题化简原式得： . 41．已知，α是第三象限角，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【详解】（1）因为，α是第三象限角， 则， 所以tan； （2）. 42．已知． (1)若是第三象限角，求，的值； (2)先化简再求值：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系、商数关系结合是第三象限角即可求解. （2）由诱导公式化简并化成关于的齐次式，代入即可求解. 【详解】（1）因为，，若是第三象限角， 则解得. （2）由题意， 若，则原式. 43．已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求解； （2）首先利用诱导公式化简，再转化为正切表示的式子，即可求解. 【详解】（1）由三角函数的定义可知，解得. 所以. （2）原式 . 44．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可. （2）利用诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）在单位圆中，解得， 因为第四象限角，所以 （2）第四象限角 . 45．在平面直角坐标系中，点在角的终边上. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数定义求得，进而求出，再由即可得出答案； （2）由同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】（1）点在角的终边上，， ，， 所以，， 所以. （2）. 46．已知为第二象限角，且终边与单位圆相交于点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数的平方关系与商数关系计算即可； （2）利用诱导公式结合（1）的结论弦化切计算即可. 【详解】（1）点的横坐标为， ， 又为第二象限角， ． ； （2） . 47．已知 (1)求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果； （2）利用即可得到结果. 【详解】（1）由诱导公式得：， 所以． （2）由（1）得，由，得． 所以 ． 48．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可； （2）根据，结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）. （2） . 【考点08：三角函数的图形与性质】 49．下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于AB：整理可得，根据正弦函数性质分析判断；对于C：根据正切函数性质分析判断；对于D：整理可得，根据余弦函数性质分析判断. 【详解】对于选项A：因为，易知其为奇函数，其最小正周期， 若，则，且在内单调递减， 则在上单调递减， 所以在上单调递增，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：在上单调递减，故B错误； 对于选项C：若时，函数无意义，故C错误； 对于选项D：因为， 若，则，且在内单调递减， 所以在上单调递减，故D错误； 故选：A. 50．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】由，得， 则. 故选：C. 51．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 52．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域. 【详解】由正切函数的定义域，令，即， 所以函数的定义域为. 故选：C. 53．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对于A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，但是在上单调递增，故A错误； 对于B：的最小正周期为，但是在上单调递增，故B错误； 对于C：的最小正周期，故C错误； 对于D：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，且在上单调递减，故D正确. 故选：D 54．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，在单调递增，在单调递增，故A错误；对于B，作出函数的大致图象，由图可知，B正确；对于C，函数在单调递减，故C错误；对于D，函数最小正周期为，故D错误. 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减，故A错误； 对于B，作出函数的大致图象如图所示，函数的最小正周期为，且在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数最小正周期为，由，得，当时，在单调递减，故C错误； 对于D，函数最小正周期为，故D错误. 故选：B.    55．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故选：D 56．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数图象，由，求得周期，进而得到，再根据点在图象上即可求解． 【详解】由图象知，，即，则， 所以， 因为点在图象上，所以，即， 因为，所以， 故选：C． 57．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用代入验证法求出对称中心即可. 【详解】函数，， 因此点是函数图象的对称中心，点不是； ，则点及都不是函数图象的对称中心. 故选：B 58．函数 的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦函数和对数函数的单调性求出即可. 【详解】由题意可得， 所以函数 的单调递增区间为， 故选：A. 59．已知函数，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】结合三角函数与指数函数，根据分段函数分段求解函数值即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 60．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象及“五点法”作图求解即可. 【详解】根据图象可得，，解得， 所以，即， 将点代入的解析式，得， 则，解得，，又， ，所以. 故选：D. 61．若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图象平移“左加右减”的原则，直接推出平移后的函数解析式即可． 【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：． 故答案为：C． 62．将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移后得函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可得答案. 【详解】将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再将图象向左平移后得函数的图象，即， 故选：D 63． 多选题已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（     A．函数的解析式 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集为， 【答案】ABD 【分析】由图象结合五点法求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各选项． 【详解】对于A，由图知函数的最小正周期，所以， 所以，将点代入，得， 所以，解得， 又，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，当时，， 当时，取得最小值，所以在区间上不单调递增，故C错误； 对于D，由，得，所以，， 解得，，故D正确． 故选：ABD． 64．多选题已知函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（    ） A． B．函数的单调增区间为 C．函数的图象关于中心对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】BD 【分析】由图象求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质逐一分析各选项即可得解. 【详解】因为， 对于A，由图象可知，所以，所以，故A正确； 对于B，由A得， 令得， 故的单调增区间为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误； 故选：BD． 65．多选题已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【分析】根据给定的图象求出函数的解析式可判断A；将代入解析式可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D. 【详解】函数的周期，则，， 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为； 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为， 因为， 所以， 对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，是的最小值，故B正确； 对于C，当时，， 利用正弦函数的性质知，， 得，故C错误； 对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 66．多选题已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 【答案】ABD 【分析】利用周期公式可得A正确；由正弦型函数的单调性可得B正确；利用整体代换法以及正弦函数性质可得C错误；由平移规则可知D正确. 【详解】的最小正周期为，A正确. 当时，， 在上单调递增，B正确. ，的图象不关于直线对称，C错误. 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到，D正确. 故选：ABD. 67．多选题已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为1 【答案】ABC 【分析】求得最小正周期判断A；求得最大值判断B；求得对称中心判断C；求得对称轴判断D. 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 由，可得， 所以图象的对称轴为， 当时，图象的关于对称，故B正确； 由，可得， 所以图象的对称中心为，当时， 图象的关于点对称，故C正确； 当时，的最大值为2，故D不正确. 故选：ABC. 68．函数的对称轴为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的对称性，利用整体代入法求解可得. 【详解】由得， 所以，函数的对称轴方程为. 故答案为： 69．设函数. (1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (2)求在上的最值. 【答案】(1)对称轴方程为，，对称中心的坐标为，； (2)，. 【分析】（1）因为，根据正弦函数的图像与性质，即可求解； （2）由，所以，得到函数的单调性，进而求得函数的最值. 【详解】（1）解：因为， 令，解得， 所以的对称轴方程为， 令，可得， 可得函数图象的对称中心的坐标为. （2）解：因为，所以， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又由，， 所以. 70．已知函数的最小正周期为. (1)求函数的单调递减区间； (2)若，且函数在区间上的值域为，求实数a，b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据正弦函数的周期公式可得，再代入正弦函数的单调递减区间求解即可； （2）根据可得，结合正弦函数的图象可得的值域，进而根据值域为列式求解即可. 【详解】（1） 因为的最小正周期为，，故，解得，故. 令，解得. 故函数的单调递减区间为 （2）根据可得，故， 又，故，由题意，解得. 71．已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可； （2）利用整体代入法，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，，则， 故. （2）令，解得， 故的单调递增区间为. 72．已知函数，． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据周期公式以及正弦函数单调性分析求解即可； （2）以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）由题意可知：的最小正周期； 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，． （2）因为，则， 当，即时，； 当，即时，； 所以在上的最大值为，最小值为. 73．已知函数的部分图象如下图所示，根据图中信息解答下列问题． (1)求函数的最小正周期T； (2)写出函数的单调递减区间； (3)求函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由图象得出半周期，进而可得函数的最小正周期T； （2）由图象直接得出函数的单调递减区间； （3）结合图象分别求出，从而可得函数的解析式. 【详解】（1）由图可知：， 所以函数的最小正周期． （2）由图可知，函数的单调递减区间为：. （3）由图可知； 又，又，故 ; 由图象过点得：，，解得，， 又，故. 于是函数的解析式为. 74．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，若，求函数在上的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为；； (2). 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式计算可得，由求出最小正周期，利用整体代换法即可求出单调区间； （2）根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期为； 令，则， 所以的单调增区间为. （2）的图象向左平移个单位长度得到， 再向上平移1个单位长度得到， 所以.令， 因为， 又因为，所以. 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即函数在上的取值范围是. 75．已知函数的部分图像如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域. (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求得，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，可得，根据三角函数的性质，求得函数的最值，即可求解； （3）根据三角函数的图象变换，求得，求得函数的单调递减区间，结合，即可求解. 【详解】（1）解：根据函数的部分图像， 可得，所以， 再根据五点法作图，可得， 又因为，可得，所以， 令，解得， 故函数对称中心为. （2）解：因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值琙为. （3）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即. 令，解得， 可得的减区间为， 结合，可得在上的单调递减区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$