第25章 投影与视图(2节+5课时+6知识点+8题型+巩固练习)-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

第25章 投影与视图 25.1 投影 课程标准 学习目标 ①通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。 1.了解平行投影和中心投影的概念，能根据光线的方向辨认物体的投影，知道在不同时刻物体在太阳光下形成的影子大小和方向是不同的； 2.理解中心投影的概念，能根据灯光来判别物体的影子，确定中心投影下物体影子的位置和大小； 3.了解平行投影和中心投影的区别； 4.了解正投影的概念，并利用概念解决有关问题。 知识点01 投影 ·投影的概念：光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面． 知识点02 平行投影与中心投影 ·平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影． ·中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影． ·平行投影与中心投影的区别： （一）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例. （二）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子则不一定. （三）灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；而太阳光是平行光 【即学即练1】在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行投影 【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键；平行投影特点是在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例． 根据平行投影特点结合选项判断即可． 【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误； D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； 故选：D． 【即学即练2】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处径直走到处这一过程中，他在地上的影子（    ）    A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【答案】B 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮由远处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再远离路灯时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 知识点03 正投影 ·线段的正投影：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点． ·图形的正投影：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段． ·几何体的正投影：一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形． ·视图：一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图 【即学即练3】由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正投影 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 【即学即练4】（2023·安徽淮北·三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】正投影、平行投影 【分析】根据投影的特点进行判断即可． 【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不可能是一个梯形，故A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了投影与视图，解题的关键是熟练掌握投影的特点． 25.2 视图 课程标准 学习目标 ①会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。 ②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型。 ③通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。 1.掌握三视图的定义以及三视图的位置关系； 2.能够准确画出基本几何图形的三视图，明确三个视图的关系。 3.能够根据三视图正确想象出立体图形，并总结一定的还原几何体的方法技巧； 4.能够建立起三视图与几何体的联系，总结出柱体、椎体等几何体的特征。 5.能够利用三视图的相关知识解决实际问题； 6.能够通过简单的三视图还原立体图形本身，并解决面积、体积问题。 知识点01 视图的概念 ·刻画一个几何体：清楚地刻画一个几何体的形状与大小，通常需要画出它在三个互相垂直的投影面（例如墙角的三个面）上的正投影（视图）． 其中正对着我们的面叫做正面，下方的面叫做水平面，右边的面叫做侧面。 ·三视图：自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为主视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为俯视图；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为左视图．主视图、俯视图和左视图就组成了三视图。 ★说明：一个几何体的三个视图分别从不同方向反映了一个几何体的形状与大小，主视图反映几何体的长与高，俯视图反映几何体的长与宽，左视图反映几何体的高与宽． 因此，三视图能较全面地反映几何体的形状与大小． 【即学即练1】（2024·安徽六安·模拟预测）寿州大鼓是流行于安徽寿县、颍上、凤台、霍邱、正阳关一带的传统说唱艺术，是安徽大鼓的一个重要流派．如图是寿州大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（    ）． 正面 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从几何体的正前方看到的图形成为解题的关键． 根据立体图形的主视图的定义即可解答． 【详解】 解：如图是寿州大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是． 故选D． 【即学即练2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图所示的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】 解：由图形可得，该几何体的左视图是， 故选：． 【即学即练3】（2024·安徽·模拟预测）如图是我国古代建筑中经常使用的榫构件示意图，它的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】 解：榫构件示意图的俯视图是  ， 故选：C． 知识点02 三视图的画法 ·三视图可画在同一个平面上，其位置以主视图为基准，俯视图画在主视图的正下方，左视图画在主视图的正右方． ·三视图的画法必须符合以下规律： （１）主视图的长与俯视图的长对正； （２）主视图的高与左视图的高平齐； （３）俯视图的宽与左视图的宽相等． 可简述为：长对正，高平齐，宽相等． ·具体作法： 1.先画互相垂直的辅助线ＸＹ′，ＺＹ（用铅笔画，图画好后可擦去） 2.确定主视图的位置，画出主视图． 3.根据“长对正”与几何体宽度画出俯视图． 4.根据“高平齐”与“宽相等”画出左视图（宽相等，可通过点Ｏ为中心旋转画出）． 5.擦去辅助线． ★要注意看不见的轮廓线应画成虚线． 【即学即练4】如图物体是由6个相同的小正方体搭成的，请你画出它的三视图． 【答案】见解析 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图 【分析】本题考查了三视图，掌握空间想象力是解题关键．由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2、2、1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2、1，.俯视图由3列，每列小正方形数目分别为1、2、1，据此可画出图形． 【详解】解：如图所示： 【即学即练5】某几何体如图水平放置，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，看的见的棱用实线，看不见的棱用虚线．据此可得答案． 【详解】 解：左视图为． 故选：C 知识点03 棱柱 ·棱柱：上、下两个面叫做底面，两个底面互相平行且是全等形，其余各面叫做侧面，相邻侧面的交线叫做侧棱（各侧棱平行且相等）．根据底面多边形的边数为n，叫做n棱柱。 ·直棱柱：当侧棱垂直于底面时，棱柱称为直棱柱，直棱柱的各个侧面都是矩形． ·正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． ·空间几何体的三视图 视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 【题型一：中心投影或平行投影作图】 例1．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）； (2)画出小华此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小军的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、中心投影 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的性质与判定： （1）连接点A和小军的头部并延长，连接点D和小丽的头部并延长，两条射线交于点P，点P即为所求； （2）连接点P与小华的头部与地面交于E，则点E与小华脚部的连线线段即为所求； （3）过点P作交延长线于H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，线段即为所求； （3）解：如图所示，过点P作交延长线于H， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴路灯的高度为． 例2．如图，和是直立在地面上的两根立柱，已知，某一时刻在太阳光下的影子长． (1)在图中画出此时在太阳光下的影子； (2)在测量的影子长时，同时测量出，计算的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【知识点】平行投影 【分析】（1）利用平行投影的性质得出即可； （2）利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）由题意可得： ， 解得：， 答：的长为． 【点睛】此题主要考查了平行投影，利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等解题是解题关键． 【题型二：常见几何体的三视图】 例3．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，分别写出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、主视图和左视图都为矩形的，故选项符合题意； B、主视图和左视图都为等腰三角形，故选项不符合题意； C、主视图和左视图为圆，故选项不符合题意； D、主视图是矩形，左视图为三角形，故选项不符合题意； 故选：A． 变式3-1．（2024·安徽·模拟预测）下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其它三个不一样，这个几何体是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此进行判断即可． 【详解】解：正方体的俯视图是正方形；圆柱、圆锥、球的俯视图是圆形， 故选：． 变式3-2．（2024·安徽·模拟预测）下列几何体中，俯视图可能是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查几何体的俯视图，根据从上往下看得到的图像是俯视图逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项图形的俯视图是圆， B选项图形的俯视图是三角形， C选项图形的俯视图是圆， D选项图形的俯视图是长方形， 故选：B． 【题型三：判断不规则几何体的三视图】 例4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，该几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了立体图形的三视图，根据三视图的特点，图形结合分析即可求解． 【详解】解：根据图示，该几何体的左视图为， 故选：B ． 变式4-1．（2024·安徽合肥·三模）秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，它的俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从上面看到的是俯视图，可得答案． 【详解】 从上面看到的是， 故选：B； 变式4-2．（2024·安徽蚌埠·三模）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图即可得出答案． 【详解】解：从上面看，第一层中间是一个小正方形，第二层有三个小正方形，第三层中间是一个小正方形，如图：    故选：B． 【题型四：根据三视图还原几何体】 例5．（2024·辽宁·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体．熟练掌握由几何体的三视图还原几何体是解题的关键．由题意知，该几何体为三棱柱，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，该几何体如下；    故选：A． 变式5-1．（2024·安徽合肥·二模）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】本题考查了几何体三视图，解题的关键是能够通过三视图判断符合条件的几何体．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此分析判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图可知该几何体为一个五棱柱， 且五边形底面在左右两侧，前面平面面积小于后面平面面积， 所以，选项A符合题意． 故选：A． 变式5-2．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】由三视图还原几何体、从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义． 【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为A选项． 故选：A． 变式5-3．（2024·安徽·中考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义． 【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项． 故选：D． 变式5-4．（2024·安徽合肥·三模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】本题主要考查三视图，根据主视图排除部分选项，再根据几何左视图和俯视图即可知答案． 【详解】解：根据主视图可知几何体共有两层，第二层中间有一个正方体，左边三个小正方体是一个整体，右边有一个独立的小正方体，排除A、C和D，且结合左视图和俯视图可知B正确． 故选：B． 例6.（2024·安徽六安·模拟预测）某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握各种几何体的特征是解题的关键．根据该几何体的主视图和俯视图，结合四个选项的几何体判断即可． 【详解】解：A．该几何体的主视图的上层是三角形，选项A的几何体的上层是矩形，故本选项不符合题意； B．该几何体的俯视图是同心圆，选项B的俯视图不是同心圆，故本选项不符合题意； C．该几何体的俯视图是一个圆（带圆心），故本选项不符合题意； D．该几何体的主视图和俯视图符合题意，故本选项符合题意． 故选：D 变式6-1．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（    ）    A．   B．  C．   D．   【答案】C 【知识点】已知一种或两种视图，判断其他视图、判断非实心几何体的三视图 【分析】根据主视图的概念求解即可． 【详解】A.主视图中应该有正方形，选项不符合题意； B.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意； A.主视图中间竖直方向有虚线，选项符合题意； A.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 变式6-2．（2024·安徽合肥·二模）一个几何体由4个相同的小正方体搭成，主视图和俯视图如图所示，则原立体图形可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，根据主视图和俯视图即可得出原立体图形，考查了空间想象能力． 【详解】 解：由主视图和俯视图可得原立体图形可能是， 故选：B． 【题型五：给出1种或2种视图判断其他视图】 例7．（2024·安徽·二模）如图是一个正五棱柱的主视图和左视图，该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知一种或两种视图，判断其他视图 【分析】本题考查三视图，根据主左视图，画出俯视图，判断即可． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选A． 变式7．某几何体的主视图如图所示，它的左视图不可能的是(        ) 主视图 A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知一种或两种视图，判断其他视图 【分析】从主视图左边看即可大概估计左视图． 【详解】从主视图左边看，左视图至少有一列有两行，故它的左视图不可能的是A． 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 例8．如图是由8个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状是（    ）    A．    B．  C．   D．   【答案】B 【知识点】已知一种或两种视图，判断其他视图 【分析】根据从上面看到的几何体形状及个数即可得到从正面看到的形状及对应的个数． 【详解】解：根据从上面看到的几何体形状及个数可知：该几何体从正面看到的形状共三列，从左往右依次是2、2、3， 故选：B． 【点睛】本题考查了三种视图之间的关系，解题的关键是通过空间想象能力得到相应位置上正方体的个数． 【题型六：根据三视图求表面积或体积】 例9．（2023·安徽芜湖·二模）一个长方体的三视图如图所示，主视图的面积为，左视图的面积为，则长方体的表面积用含x的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积 【分析】根据三视图求出长方体的长、宽、高即可得出答案． 【详解】解：主视图的面积为，左视图的面积为， 长为，宽为，高为， 长方体的表面积为． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确掌握三视图的特点是解题关键． 变式9.如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积 【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2，从而得出答案． 【详解】根据三视图可得：这个几何体为圆锥， ∵直径为，圆锥母线长为 ∴侧面积； 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，掌握圆锥的底面直径和母线长是解题的关键． 例10．（23-24九年级上·安徽宿州·单元测试）已知下图为一几何体从不同方向看到的图形． (1)写出这个几何体的名称； (2)若长方形的高为8，三角形的边长为3，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2) 【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求侧面积或表面积 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，用到的知识点为：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱． （1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱； （2）侧面积为长方形，它的长和宽分别为、8，计算出一个长方形的面积． 【详解】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱； （2）这个几何体的侧面积为（平方厘米）． 变式10．（2024·安徽亳州·一模）某几何体的三视图如图所示． (1)该几何体的名称是_______； (2)根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留π） 【答案】(1)圆锥 (2) 【知识点】由三视图还原几何体、求圆锥侧面积 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，以及圆锥的侧面积，正确识别图形，熟记公式是解题的关键． （1）根据几何体三视图即可得出结论； （2）代入圆锥侧面积公式即可， ． 【详解】（1）解：由三视图可知，原几何体为圆锥． 故答案为：圆锥． （2）解：根据图中数据知，圆锥的底面半径为4，高为6， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为． 例11.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　） A．125 B．100 C．75 D．30 【答案】C 【知识点】已知三视图求体积、正多边形和圆的综合 【分析】由三视图可知，几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，利用体积等于底面积乘以高进行计算即可． 【详解】解：由图可知：几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱， 如图：设正六边形的中心为，， 则：， ∴，， ∴， ∴底面面积为：， ∴该几何体的体积为：； 故选C． 【点睛】本题考查由几何体的三视图，求几何体的体积．解题的关键是根据三视图，还原几何体． 变式11.如图，是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，铸灌这个几何体需要的铁的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知三视图求体积 【分析】直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案． 【详解】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2， 则大圆面积为：，小圆面积为：， 故这个几何体的体积为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确判断出几何体的形状是解题关键． 【题型七：根据三视图判断小立方体的个数】 例12.（2022·安徽·三模）用若干个大小相同，棱长为1的小正方体搭成一个几何体，其三视图如图所示，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】由三视图，判断小立方体的个数 【分析】用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数． 【详解】综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 例13．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）由若干个边长为的小正方体搭成一个组合体，它的主视图、左视图都是如图所示的形状，设垒成这种几何体所需小正方体的个数最少为，最多为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是利用“三视图”特点找到所需正方体的个数，从左视图中可以看出下面一层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而确定和的值． 【详解】下面正方体最少的个数应是个，上面正方体最少的个数是个， ∴这个几何体最少有个小正方体组成，即； 下面正方体最多的个数应是个，上面正方体最多的个数是个， ∴这个几何体最多有个小正方体组成，即； ∴， 故答案为：． 变式13．一个几何体是由若干个相同的小正方体组合而成的，其正视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数最多是（　　） A．10 B．14 C．13 D．15 【答案】C 【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可． 【详解】解：综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个，第一行第3列最多有2个； 第二行第1列最多有1个，第二行第2列最多有1个，第二行第3列最多有1个； 第三行第1列最多有2个，第三行第2列最多有1个，第三行第3列最多有2个； 所以最多有：（个）． 故选：C． 【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 例14.（2024·安徽滁州·二模）如图①，一个的平台上已经放了一个棱长为1 的正方体，要得到一个新的几何体，使其主视图和左视图如图②，平台上至多还能再放这样的正方体（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】此题主要考查了三视图．利用左视图和主视图，进而得出答案． 【详解】解：由题意底层还可以放3个，已经放了一个正方体的上方还可以放1个， 平台上至多还能再放这样的正方体4个， 故选：C． 变式14.（2024·河北邯郸·二模）如图1，一个2×2的平台上已经放了三个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2所示，平台上至少还需再放这样的正方体（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，正确地得出小正方体的个数是解题的关键． 根据题意主视图和左视图判断只需要在①和②两个正方体上方各加一个小正方体即可． 【详解】解：只需要在①和②两个正方体上方各加一个小正方体即可， ∴至少放2块正方体， 故选：B． 例15.（2023九年级下·安徽·专题练习）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【知识点】由三视图，判断小立方体的个数 【分析】从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有6个，右侧有2个，根据三视图的思路可解答该题． 【详解】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子．主视图可知左侧碟子有6个，右侧有2个，而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个． 故选：A． 【题型八：平面直角坐标系中的投影问题】 例16.在平面直角坐标系中，位于第二象限的点在轴上的正投影为点，则 ． 【答案】 【知识点】正投影、求角的余弦值 【分析】依据点在x轴上的正投影为点，即可得到，，进而得出的值． 【详解】点在x轴上的正投影为点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行投影以及平面直角坐标系，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 例17.（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，，然后利用相似比可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 一、选择题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【答案】D 【知识点】正投影 【分析】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可； 【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形； 故选：D． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图所示的几何体“积木”的俯视图是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了三视图，根据俯视图的定义即可解答． 【详解】 解：如图所示的几何体“积木”的俯视图是“” 故选：D． 3．（2024·安徽宣城·三模）如图，四个几何体中，各自的主视图与左视图完全相同的几何体的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了物体的三视图．主视图,左视图,俯视图是分别从物体正面,侧面和上面看,所得到的图形． 【详解】解：圆柱的主视图和左视图都是矩形，相同； 圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，相同； 圆台的主视图和左视图都是等腰梯形，相同； 五棱柱的主视图是三个矩形，而左视图是两个矩形，不相同， 故选C． 4．（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形如图所示： ， 故选C． 5．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，一块底面是等腰直角三角形的三明治，可以近似看作一个直三棱柱，则其主视图是（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】D 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查三视图，根据观察得到三视图即可得到答案． 【详解】解：主视图是    故选：D． 6．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，掌握几何体的三视图的定义及空间想象能力成为解题的关键． 观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看：一共三列左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形据此即可解答． 【详解】解：从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，主视图是：    故选：C． 7.（2024·安徽六安·模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】此题考查的是根据三视图，判断几何体的形状，根据三视图的形状和所标的长度即可判断，掌握常见几何体的三视图特征是解决此题的关键． 【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示： 故选：A． 8．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图是某几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】本题考查了几何体的三视图、由三视图还原几何体，根据主视图和俯视图分别是从正面、上面看到的图形，即可作答． 【详解】解：∵俯视图的圆的直径是跟长方体的宽是等长的 ∴这个几何体是   故选：C． 9.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知一种或两种视图，判断其他视图 【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，3．据此可作出判断． 【详解】解：从左面看所得到的图形， ． 故选：D． 【点睛】考查几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图． 10．（23-24九年级上·安徽宿州·单元测试）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知三视图求体积 【分析】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可． 【详解】由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成， 圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5， 故该几何体的体积为：， 故选：D． 11.（2024·安徽淮北·三模）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体．根据三视图逐项判定即可． 【详解】解：由题意知，该几何体分上下两层，上层为圆柱，下层为长方体，故选项A，B，D均不符合题意，则该几何体如下； 故选：C． 二、填空题 12．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）三视图中的三个视图完全相同的几何体可能是 （写出一个即可）. 【答案】球（答案不唯一） 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了三视图的知识，常见的三视图相同的几何体的名称要掌握．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．据此解答即可． 【详解】解：球的三视图都是圆，正方体的三视图都是正方形， ∴三视图中的三个视图完全相同的几何体可能是球、正方体等， 故答案为：球（答案不唯一）． 13．（2023·安徽安庆·一模）如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为 【答案】5 【知识点】含30度角的直角三角形、已知三视图求边长 【分析】过E作交于点，根据，，即可得到，根据左视图即可得到； 【详解】解：过E作交于点， ∵，，， ∴， 由左视图可得， ， 故答案为5； 【点睛】本题考查正确理解几何体的三视图，直角三角形所对直角边等于斜边一半，解题的关键是正确理解三视图． 14．（2024·山东淄博·一模）将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为 ． 【答案】36 【知识点】求几何体视图的面积 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形就是主视图是关键．根据题意判断出该几何体的主视图，进而得出它的面积． 【详解】解：该几何体的主视图是一个边长为的正方形， 所以该几何体主视图的面积是：． 故答案为：36． 15．用几个小正方体指一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为 ． 【答案】8 【知识点】由三视图，判断小立方体的个数 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由俯视图可得最底层有个小正方体， 由主视图可得第一列和第三列都有个正方体， 那么最少需要个正方体． 故答案为：． 【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 三、解答题 16．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． (1)通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影，并说明理由； (2)作出立柱在此光源下所形成的影子． 【答案】(1)中心投影．理由见解析 (2)见解析 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱、形成的影子为与，连接、并延长交于点，据此判断即可； （2）连接并延长交直线于，于是得到结论． 【详解】（1）中心投影． 理由：如图所示，光线相交于点O，所以此光源下形成的投影是中心投影． （2）如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子． 17．如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，请你画出这个几何体的三种视图． 【答案】见解析 【知识点】画简单组合体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．根据主视图、左视图、俯视图的定义即可得到结果． 【详解】解：如图， 18．一个几何体的三种视图如图所示．求这个几何体的表面积．（结果保留）    【答案】 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积 【分析】根据三视图主视图以及左视图都为长方形，底面是圆形，则可想象出这是一个圆柱体，再根据表面积侧面积底面积，列式计算即可． 【详解】解：根据三视图主视图以及左视图都为长方形，底面是圆形，可得这个几何体是圆柱体， ∵圆柱的半径为3，高为10， ∴ ． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是几何体的表面积，本题难点是确定几何体的形状，关键是根据公式列出算式． 19．（2022·安徽滁州·一模）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果打算搬运其中部分小正方体不考虑操作技术的限制，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，求最多可以搬走小正方体．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】留下靠墙的正方体，以及墙角处向外的一列正方体，依次数出搬走的小正方体的个数相加即可． 【详解】第列最多可以搬走个小正方体； 第列最多可以搬走个小正方体； 第列最多可以搬走个小正方体； 第列最多可以搬走个小正方体； 第列最多可以搬走个小正方体． 个， 所以最多可以搬走个小正方体． 故选：A． 【点睛】本题考查了组合体的三视图，依次得出每列可以搬走小正方体最多的个数是解题的关键． 20．（2024·安徽合肥·二模）某种机械零件模型如图所示，若箭头所示为主视方向，则该几何体的左视图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了三视图，根据题意进行观察即可得；理解题意，掌握箭头方向为主视方向是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，该几何体的左视图是 故选：C． 21．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． (1)通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影，并说明理由； (2)作出立柱在此光源下所形成的影子． 【答案】(1)中心投影．理由见解析 (2)见解析 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱、形成的影子为与，连接、并延长交于点，据此判断即可； （2）连接并延长交直线于，于是得到结论． 【详解】（1）中心投影． 理由：如图所示，光线相交于点O，所以此光源下形成的投影是中心投影． （2）如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子． 22．（23-24七年级上·广东佛山·期中）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，请你画出这个几何体的三种视图． 【答案】见解析 【知识点】画简单组合体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．根据主视图、左视图、俯视图的定义即可得到结果． 【详解】解：如图， 23．一个几何体的三种视图如图所示．求这个几何体的表面积．（结果保留）    【答案】 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积 【分析】根据三视图主视图以及左视图都为长方形，底面是圆形，则可想象出这是一个圆柱体，再根据表面积侧面积底面积，列式计算即可． 【详解】解：根据三视图主视图以及左视图都为长方形，底面是圆形，可得这个几何体是圆柱体， ∵圆柱的半径为3，高为10， ∴ ． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是几何体的表面积，本题难点是确定几何体的形状，关键是根据公式列出算式． 24．（2024·安徽合肥·三模）用8个相同的小正方体搭成一个几何体，其俯视图如图所示，那么左视图一定不是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：A、从左边看，第一层层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层中间一个正方形，即第二层最多是3个正方体，共8个正方体，故A不符合题意； B、从左边看，第一层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层中间一个正方形，实际可以是一个正方体，也可以是两个正方体或三个正方体，第三层中间一个正方体，实际可以是一个正方体，也可以是两个正方体或三个正方体，可以满足有8个正方体，故B不符合题意； C、从左边看，第一层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层左一个正方形，第三层左边一个正方形，即第二、三层共2个正方体，共7个正方体，即该左视图不可能原图形的左视图，故C符合题意； D、从左边看，第一层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层左一个正方形，第三层左边一个正方形，右边一个正方形，即第二、三层共3个正方体，共8个正方体，故D不符合题意； 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 投影与视图 25.1 投影 课程标准 学习目标 通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。 1.了解平行投影和中心投影的概念，能根据光线的方向辨认物体的投影，知道在不同时刻物体在太阳光下形成的影子大小和方向是不同的； 2.理解中心投影的概念，能根据灯光来判别物体的影子，确定中心投影下物体影子的位置和大小； 3.了解平行投影和中心投影的区别； 4.了解正投影的概念，并利用概念解决有关问题。 知识点01 投影 ·投影的概念：光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面． 知识点02 平行投影与中心投影 ·平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影． ·中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影． ·平行投影与中心投影的区别： （一）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例. （二）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子则不一定. （三）灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；而太阳光是平行光 【即学即练1】在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处径直走到处这一过程中，他在地上的影子（    ）    A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长 知识点03 正投影 ·线段的正投影：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点． ·图形的正投影：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段． ·几何体的正投影：一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形． ·视图：一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图 【即学即练3】由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（2023·安徽淮北·三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   25.2 视图 课程标准 学习目标 ①会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。 ②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型。 ③通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。 1.掌握三视图的定义以及三视图的位置关系； 2.能够准确画出基本几何图形的三视图，明确三个视图的关系。 3.能够根据三视图正确想象出立体图形，并总结一定的还原几何体的方法技巧； 4.能够建立起三视图与几何体的联系，总结出柱体、椎体等几何体的特征。 5.能够利用三视图的相关知识解决实际问题； 6.能够通过简单的三视图还原立体图形本身，并解决面积、体积问题。 知识点01 视图的概念 ·刻画一个几何体：清楚地刻画一个几何体的形状与大小，通常需要画出它在三个互相垂直的投影面（例如墙角的三个面）上的正投影（视图）． 其中正对着我们的面叫做正面，下方的面叫做水平面，右边的面叫做侧面。 ·三视图：自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为主视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为俯视图；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为左视图．主视图、俯视图和左视图就组成了三视图。 ★说明：一个几何体的三个视图分别从不同方向反映了一个几何体的形状与大小，主视图反映几何体的长与高，俯视图反映几何体的长与宽，左视图反映几何体的高与宽． 因此，三视图能较全面地反映几何体的形状与大小． 【即学即练1】（2024·安徽六安·模拟预测）寿州大鼓是流行于安徽寿县、颍上、凤台、霍邱、正阳关一带的传统说唱艺术，是安徽大鼓的一个重要流派．如图是寿州大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（    ）． 正面 A． B． C． D． 【即学即练2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图所示的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】（2024·安徽·模拟预测）如图是我国古代建筑中经常使用的榫构件示意图，它的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   知识点02 三视图的画法 ·三视图可画在同一个平面上，其位置以主视图为基准，俯视图画在主视图的正下方，左视图画在主视图的正右方． ·三视图的画法必须符合以下规律： （１）主视图的长与俯视图的长对正； （２）主视图的高与左视图的高平齐； （３）俯视图的宽与左视图的宽相等． 可简述为：长对正，高平齐，宽相等． ·具体作法： 1.先画互相垂直的辅助线ＸＹ′，ＺＹ（用铅笔画，图画好后可擦去） 2.确定主视图的位置，画出主视图． 3.根据“长对正”与几何体宽度画出俯视图． 4.根据“高平齐”与“宽相等”画出左视图（宽相等，可通过点Ｏ为中心旋转画出）． 5.擦去辅助线． ★要注意看不见的轮廓线应画成虚线． 【即学即练4】如图物体是由6个相同的小正方体搭成的，请你画出它的三视图． 【即学即练5】某几何体如图水平放置，其左视图是（    ） A． B． C． D． 知识点03 棱柱 ·棱柱：上、下两个面叫做底面，两个底面互相平行且是全等形，其余各面叫做侧面，相邻侧面的交线叫做侧棱（各侧棱平行且相等）．根据底面多边形的边数为n，叫做n棱柱。 ·直棱柱：当侧棱垂直于底面时，棱柱称为直棱柱，直棱柱的各个侧面都是矩形． ·正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． ·空间几何体的三视图 视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 【题型一：中心投影或平行投影作图】 例1．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）； (2)画出小华此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小军的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度． 例2．如图，和是直立在地面上的两根立柱，已知，某一时刻在太阳光下的影子长． (1)在图中画出此时在太阳光下的影子； (2)在测量的影子长时，同时测量出，计算的长． 【题型二：常见几何体的三视图】 例3．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（2024·安徽·模拟预测）下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其它三个不一样，这个几何体是（    ） A．   B．   C．   D．   变式3-2．（2024·安徽·模拟预测）下列几何体中，俯视图可能是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【题型三：判断不规则几何体的三视图】 例4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，该几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（2024·安徽合肥·三模）秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，它的俯视图为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（2024·安徽蚌埠·三模）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【题型四：根据三视图还原几何体】 例5．（2024·辽宁·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ）      A．   B．   C．   D．   变式5-1．（2024·安徽合肥·二模）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ）    A．   B．   C．   D．   变式5-3．（2024·安徽·中考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 变式5-4．（2024·安徽合肥·三模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 例6.（2024·安徽六安·模拟预测）某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（    ）    A．   B．  C．   D．   变式6-2．（2024·安徽合肥·二模）一个几何体由4个相同的小正方体搭成，主视图和俯视图如图所示，则原立体图形可能是（　　） A． B． C． D． 【题型五：给出1种或2种视图判断其他视图】 例7．（2024·安徽·二模）如图是一个正五棱柱的主视图和左视图，该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 变式7．某几何体的主视图如图所示，它的左视图不可能的是(        ) 主视图 A．B． C． D． 例8．如图是由8个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状是（    ）    A．    B．  C．   D．   【题型六：根据三视图求表面积或体积】 例9．（2023·安徽芜湖·二模）一个长方体的三视图如图所示，主视图的面积为，左视图的面积为，则长方体的表面积用含x的式子表示为（    ） A． B． C． D． 变式9.如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为 ． 例10．（23-24九年级上·安徽宿州·单元测试）已知下图为一几何体从不同方向看到的图形． (1)写出这个几何体的名称； (2)若长方形的高为8，三角形的边长为3，求这个几何体的侧面积． 变式10．（2024·安徽亳州·一模）某几何体的三视图如图所示． (1)该几何体的名称是_______； (2)根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留π） 例11.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　） A．125 B．100 C．75 D．30 变式11.如图，是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，铸灌这个几何体需要的铁的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型七：根据三视图判断小立方体的个数】 例12.（2022·安徽·三模）用若干个大小相同，棱长为1的小正方体搭成一个几何体，其三视图如图所示，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例13．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）由若干个边长为的小正方体搭成一个组合体，它的主视图、左视图都是如图所示的形状，设垒成这种几何体所需小正方体的个数最少为，最多为，则的值为 ． 变式13．一个几何体是由若干个相同的小正方体组合而成的，其正视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数最多是（　　） A．10 B．14 C．13 D．15 例14.（2024·安徽滁州·二模）如图①，一个的平台上已经放了一个棱长为1 的正方体，要得到一个新的几何体，使其主视图和左视图如图②，平台上至多还能再放这样的正方体（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式14.（2024·河北邯郸·二模）如图1，一个2×2的平台上已经放了三个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2所示，平台上至少还需再放这样的正方体（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例15.（2023九年级下·安徽·专题练习）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 【题型八：平面直角坐标系中的投影问题】 例16.在平面直角坐标系中，位于第二象限的点在轴上的正投影为点，则 ． 例17.（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 一、选择题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 2．（2024·安徽·模拟预测）如图所示的几何体“积木”的俯视图是（    ） A．B．C． D． 3．（2024·安徽宣城·三模）如图，四个几何体中，各自的主视图与左视图完全相同的几何体的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（    ） A．B．C． D． 5．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，一块底面是等腰直角三角形的三明治，可以近似看作一个直三棱柱，则其主视图是（    ） A．B．C．   D．   6．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ）   A．  B．   C．   D．   7.（2024·安徽六安·模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（     ） A． B． C． D． 8．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图是某几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（　　　）   A． B． C． D． 9.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（    ） A．B．C．D． 10．（23-24九年级上·安徽宿州·单元测试）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 11.（2024·安徽淮北·三模）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）三视图中的三个视图完全相同的几何体可能是 （写出一个即可）. 13．（2023·安徽安庆·一模）如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为 14．（2024·山东淄博·一模）将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为 ． 15．用几个小正方体指一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为 ． 三、解答题 16．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． (1)通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影，并说明理由； (2)作出立柱在此光源下所形成的影子． 17．如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，请你画出这个几何体的三种视图． 18．一个几何体的三种视图如图所示．求这个几何体的表面积．（结果保留）    19．（2022·安徽滁州·一模）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果打算搬运其中部分小正方体不考虑操作技术的限制，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，求最多可以搬走小正方体．（   ） A． B． C． D． 20．（2024·安徽合肥·二模）某种机械零件模型如图所示，若箭头所示为主视方向，则该几何体的左视图正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． (1)通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影，并说明理由； (2)作出立柱在此光源下所形成的影子． 22．（23-24七年级上·广东佛山·期中）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，请你画出这个几何体的三种视图． 23．一个几何体的三种视图如图所示．求这个几何体的表面积．（结果保留）    24．（2024·安徽合肥·三模）用8个相同的小正方体搭成一个几何体，其俯视图如图所示，那么左视图一定不是（    ） A．B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$