专题8.7 期末复习之解答压轴题十一大题型总结-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（北师大版）

专题8.7 期末复习之解答压轴题十一大题型总结 【北师大版】 【题型1 利用勾股定理证明线段平方关系】 1 【题型2 利用勾股定理在网格中作图】 3 【题型3 勾股定理的应用】 4 【题型4 无理数整数部分有关的计算】 7 【题型5 复合二次根式的化简求值】 9 【题型6 一次函数中求图形面积】 10 【题型7 一次函数中的动点问题】 12 【题型8 用一次函数解决问题】 14 【题型9 二元一次方程组的应用】 16 【题型10 过拐点作平行】 18 【题型11 旋转平行问题】 19 【题型1 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【变式1-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【变式1-2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接． （1）求证：； （2）探究、、的数量关系，并证明； （3）若，求两个三角形重叠部分的面积． 【变式1-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 【题型2 利用勾股定理在网格中作图】 【例2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； (2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰； (3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 【变式2-1】（23-24八年级·广东佛山·期中）小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1） 【思考尝试】（1）如图（1），线段的长为6，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点） 【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长． 【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为的两个正方形和摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形． 【变式2-2】（23-24八年级·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 【变式2-3】（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积． 【题型3 勾股定理的应用】 【例3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【变式3-1】（23-24八年级·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 【变式3-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式3-3】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【题型4 无理数整数部分有关的计算】 【例4】（23-24八年级·浙江金华·期中）如图，已知正方形 的边长为． (1)有的网格，每个方格的边长为1，把正方形画在网格中，要求顶点在格点上． (2)如图，把正方形放到数轴上，使得点A与数重合，边在数轴上，那么点D数轴上表示的数为________． (3)在（2）的条件下，如果a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，求的值． 【变式4-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）对于一个实数 m（m≥0），规定其整数部分为 a，小数部分为 b，如：当 m＝3 时，则 a＝3，b＝0；当 m＝4.5 时，则 a＝4，b＝0.5． （1）当m=π时，b＝ ； 当 m＝ 时，a＝ ； （2）当 m＝9 − 时，求 a－b 的值； （3） 若 a－b＝，则 m＝ ． 【变式4-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）阅读材料，完成下列任务： 材料一； 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵， ∴，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且．∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得．解得． ∴． 任务： (1)利用材料一中的方法，的小数部分是 ； (2)x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？ (3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【变式4-3】（23-24八年级·河北邯郸·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【题型5 复合二次根式的化简求值】 【例5】（23-24八年级·山西临汾·期末）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出______； （2）利用上面的解法，请化简： （3）和的值哪个较大，请说明理由． 【变式5-1】（23-24八年级·福建三明·期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： (1)______； (2)当为正整数时，______； (3)计算的值． 【变式5-3】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，且，求m． (3)已知，求的值． 【题型6 一次函数中求图形面积】 【例6】（23-24八年级·四川达州·期末）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交轴于点． (1)求A，B两点的坐标； (2)求点C的坐标，并直接写出直线的函数关系式； (3)若点P是图1中直线上的一点，连接，得到图2．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择 ． A．当点P的纵坐标为3时，求的面积； B．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，求的面积； (4)若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择 ． A．当以点B，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标； B．当以点C，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标． 【变式6-1】（23-24八年级·重庆铜梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为．现将点B向右平移6个单位得到点C，，且，连接AB交y轴于点D． (1)如图1，点A，C的坐标分别为_________，_________，并求出三角形的面积； (2)如图2，与的角平分线相交于点E，，垂足为点F，求证：． (3)如图3，点P是线段上一动点，将点P向下平移2个单位到点Q，连接、、，当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，请直接写出此时点的坐标． 【变式6-2】（23-24八年级·广东梅州·期中）已知坐标平面上的三个点，，，，且满足． (1)求点A，B，C的坐标； (2)求的面积，如图1，若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过多长时间，该直线经过点C． (3)如图2，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求的度数． 【变式6-3】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 【题型7 一次函数中的动点问题】 【例7】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，，，且，满足，点从原点出发以每秒个单位长度向轴正方向运动，点同时从原点出发以每秒个单位长度向轴正方向运动，设运动的时间为秒，当点运动到点时，两点均停止运动．    (1)求； (2)在图1中，若点为线段中点，四边形的面积不小于，求的取值范围； (3)平移线段至线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解，若轴上方的点为直线上一点，且到轴距离为，求点的横坐标． 【变式7-1】（23-24八年级·山西运城·期末） 【探索发现】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．    (1)如图2，当时， 在第一象限构造等腰直角， ； ①直接写出 ， ； ②求点E的坐标； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B 作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图4，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴 于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一 象限内．问点A、P、 Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能， 请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 【变式7-2】（23-24八年级·江苏无锡·期末）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）. (1)当t为何值时，为直角三角形？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？ 【变式7-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　 　； ②点C的坐标是 ； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 【题型8 用一次函数解决问题】 【例8】(24-25八年级·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【变式8-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： (1)甲车的速度为 千米小时，乙车的速度为 千米小时，B、C两地间的距离为 千米； (2)求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米． 【变式8-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【变式8-3】（23-24八年级·福建厦门·期末）双十中学初二生物学习小组研究同一盆栽内A、B两种植物的生长情况．他们发现施用某种药物时，会对A、B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验观察，得到如下信息： 下表为植物A的生长高度与药物施用量的关系． 药物施用量 1 2 5 9 10 14 15 植物A生长高度 8.3 8.6 9.5 10.7 11.1 12.2 12.5 下图为植物B的生长高度与药物施用量的关系（图象是一条线段）．    (1)求植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式； (2)植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成某种函数，试求出这个函数表达式；若植物A按这个规律生长，请估计药物施用量为时，植物A的生长高度； (3)该小组继续研究发现，植物A、B按照（1）（2）中的生长规律继续生长，当药物施用量超过（且a为整数）时，植物B的抑制作用更明显，药物施用量每增加，植物B的生长高度g减少．小组记录了5次实验数据，当药物施用量分别为12，15，17，21，27时，植物B的平均生长高度为．当两种植物高度差不超过时，二者的生长会处于一种平衡状态，求满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围． 【题型9 二元一次方程组的应用】 【例9】（23-24八年级·河南郑州·开学考试）小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个．医用口罩和口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系______．小明的妈妈一共有几种购买方案？ 【变式9-1】（23-24八年级·湖南株洲·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式9-2】（23-24八年级·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 【变式9-3】（23-24八年级·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 【题型10 过拐点作平行】 【例10】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 【变式10-1】（2024八年级·全国·专题练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【变式10-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、．            (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，直接写出和之间的数量关系________； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，在上取一点K，连接交于点H，，若，．求． 【变式10-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，直线分别与直线交于点G、F，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点K在直线上，过点K作直线与直线交于点H，与交于点P，平分交于点Q，直接写出与的数量关系：______； (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作平分交于点T，连接交于点L，交于点O，交于点W，过点H作于点I，满足．若，，求线段的长度． 【题型11 旋转平行问题】 【例11】（23-24八年级·山西长治·期末）如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．    (1)求的度数． (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值． 【变式11-1】（23-24八年级·广西南宁·期末）综合与实践 【问题情境】数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交与点E 【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1，若，则______； （2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图2时，若，求的度数； 【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数（用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可） 【变式11-2】（23-24八年级·广东茂名·单元测试）某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． (1)填空： ； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【变式11-3】（23-24八年级·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.7 期末复习之解答压轴题十一大题型总结 【北师大版】 【题型1 利用勾股定理证明线段平方关系】 1 【题型2 利用勾股定理在网格中作图】 9 【题型3 勾股定理的应用】 16 【题型4 无理数整数部分有关的计算】 24 【题型5 复合二次根式的化简求值】 30 【题型6 一次函数中求图形面积】 35 【题型7 一次函数中的动点问题】 48 【题型8 用一次函数解决问题】 61 【题型9 二元一次方程组的应用】 68 【题型10 过拐点作平行】 74 【题型11 旋转平行问题】 84 【题型1 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． 【详解】（1）解：证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． 【变式1-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，从而即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：，是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）证明：由（2）得：， ， ，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式1-2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接． （1）求证：； （2）探究、、的数量关系，并证明； （3）若，求两个三角形重叠部分的面积． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）． 【分析】（1）由题意，先得到，然后由SAS，即可证明结论成立； （2）由（1）得BD=AE，，则，再由勾股定理，即可得到答案； （3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，然后根据题意，得到，再利用面积公式，得到，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）由（1）， ∴，BD=AE， ∵， ∴， ∴， ∴△ABD是直角三角形， ∴， ∴； （3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，如图， ∵BD=AE，， ∴， ∵OD平分∠ADB，OM⊥AD，ON⊥BD， ∴OM=ON， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，角平分线的性质定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题． 【变式1-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）依题意得和均为等腰直角三角形，则，证和全等得，，则，然后在中由勾股定理可得出，，之间的数量关系； （2）连接，，过断作交的延长线于，依题意得和均为等边三角形，则，同理可证和全等得，，则，进而得，，由此可求出，，设，则，，根据等边三角形性质得是线段的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理求出即可得的长． 【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下： 当时，则， ，， 和均为等腰直角三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即； （2）解：连接，，过作交的延长线于，如下图所示： 当时，， ，， 和均为等边三角形， ， 同理可证：， ，， ， ， ， 在中，，， ，由勾股定理得：， 设，则， ，， ， ， 为等边三角形，， 是线段的垂直平分线， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 【题型2 利用勾股定理在网格中作图】 【例2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； (2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰； (3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的性质，利用勾股定理求两点间距离． （1）利用勾股定理求解即可； （2）作一个直角边分别为3和4的直角三角形即可； （3）在的延长线上取格点E，使，连接，取的中点D，连接，即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：5； （2）解：如图，等腰即为所求(答案不唯一) （3）解：如图，即为所求． 【变式2-1】（23-24八年级·广东佛山·期中）小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1） 【思考尝试】（1）如图（1），线段的长为6，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点） 【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长． 【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为的两个正方形和摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形． 【答案】（1），；（2）图见解析，边长为；（3）见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握勾股定理及正方形的面积公式是解题的关键． （1）线段为底，高为1的三角形，利用勾股定理即可求得另外两边长； （2）拼图：以图（2）①中的虚线为边，拼成一个边长为的大正方形，如图（2）②； （3）将两个正方形分割为1个边长为的正方形和4个两直角边分别为a和b的直角三角形即可． 【详解】解：（1）如图，即为所作， ，，， 故答案为：，； （2）拼成的大正方形的面积是5，边长为； 剪切示意图如图（2）①：拼图如图（2）②所示： （3）拼成的大正方形的面积是，边长为； 剪切线如图（3）所示；拼成的图形如图（4）所示： ． 【变式2-2】（23-24八年级·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，即为的高，连接交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）取点、、、、，连接，，交于，交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求； 理由如下：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的高， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴（）， ∴； （2）解：如图，点，点即为所求． 理由如下：连接、， 同（）可证，由（）得，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺格点作图．涉及等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式2-3】（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积． 【答案】见解析；；    ； 【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可 【详解】解：钝角三角形时，如图， ∵BC⊥BD，BC=5， ∴△ABC是钝角三角形， 根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4, ∴； 直角三角形时，如图， 取格点F使得BF=4，FC=3， 根据勾股定理，得BC==5， ∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°， ∴△AEB≌△BFC， ∴∠EAB=∠FBC， ∵∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠FBC+∠EBA=90°， ∴∠ABC =90°， ∴△ABC是直角三角形， 根据勾股定理，得AB==5， ∴ ； 锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4， 根据勾股定理，得BC==5， 根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°， ∴∠ABC＜∠ABN， ∴∠ABC＜90° ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠A=∠C＜90°， ∴△ABC是锐角三角形， ∴=12； 【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键． 【题型3 勾股定理的应用】 【例3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析 (2)台风中心的移动速度是 【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键． （1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：作于点D， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴农场A会受到台风的影响； （2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F， 则， ∴台风在段上移动时A受到影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴台风中心的移动速度． 故台风中心的移动速度是． 【变式3-1】（23-24八年级·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为． （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【变式3-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 【变式3-3】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 【题型4 无理数整数部分有关的计算】 【例4】（23-24八年级·浙江金华·期中）如图，已知正方形 的边长为． (1)有的网格，每个方格的边长为1，把正方形画在网格中，要求顶点在格点上． (2)如图，把正方形放到数轴上，使得点A与数重合，边在数轴上，那么点D数轴上表示的数为________． (3)在（2）的条件下，如果a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)图见详解 (2)； (3) 【分析】（1）根据勾股定理，即可找到相应的格点，即可得到答案； （2）根据数轴上点表示的数字及点到原点距离关系直接求解，即可得到答案； （3）根据夹逼法得到点D表示数字的范围得到a和b，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得， ， ∴正方形在网格中的图如下图， ； （2）解：∵点A与数重合，边在数轴上，边长为， ∴点D表示的数为：； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，数轴上数的表示，无理数小数部分及整数部分计算，解题的关键是找到点D代表的数字． 【变式4-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）对于一个实数 m（m≥0），规定其整数部分为 a，小数部分为 b，如：当 m＝3 时，则 a＝3，b＝0；当 m＝4.5 时，则 a＝4，b＝0.5． （1）当m=π时，b＝ ； 当 m＝ 时，a＝ ； （2）当 m＝9 − 时，求 a－b 的值； （3） 若 a－b＝，则 m＝ ． 【答案】（1）π， 3；（2）；（3） 【分析】正确估算无理数的大小即可求解. 【详解】解：（1）当m=π时 ∵ ∴a=3，b=π 当 m＝ 时 ∵ ∴ ∴ ∴a=3，b= （2）当 m＝9 − 时 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3） ∵ a－b＝ ∴ ∴a-1是的整数部分，1-b是的小数部分. ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴a-1=4 1-b= ∴a=5,b= ∴ 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出各无理数的范围． 【变式4-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）阅读材料，完成下列任务： 材料一； 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵， ∴，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且．∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得．解得． ∴． 任务： (1)利用材料一中的方法，的小数部分是 ； (2)x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？ (3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数的运算． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到，确定、的值，再代入计算即可； （3）按照材料二所提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分为5， 的小数部分为， 故答案为：； （2）解：， ， 的整数部分是1，小数部分为， 即， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分为， 即， ， 即； （3）解：面积为127的正方形的边长是，且． 设，其中， 画出边长为的正方形，如图所示： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得， 解得， ， 即． 【变式4-3】（23-24八年级·河北邯郸·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3)的相反数为 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数等知识．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分． （1）由，即可得的整数部分与小数部分； （2）由，则可得的小数部分为a，同理可得的整数部分为b，代入则可求得值； （3）估算出的整数部分与小数部分，则得到x与y的值，从而可求得的相反数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，的小数部分为； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； ∵， ∴， ∴的整数部分为； ∴； （3）（3）∵， ∴， 即的整数部分为11，小数部分为， ∴， ∴， ∵的相反数为， ∴的相反数为． 【题型5 复合二次根式的化简求值】 【例5】（23-24八年级·山西临汾·期末）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出______； （2）利用上面的解法，请化简： （3）和的值哪个较大，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）由（1）的方法可得，， ，根据可得 ，据此判断即可． 【详解】解：（1）； （2） （3）由（1）的方法可得， ∵ ∴ 即，． 【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 【变式5-1】（23-24八年级·福建三明·期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】解：（1）； ； （2）； （3） ==． 【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： (1)______； (2)当为正整数时，______； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解． 本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律． 【详解】（1） ． 故答案为： （2） ． 故答案为： （3） ． 【变式5-3】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)1；10 (2)1 (3)8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出 ，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： （2） ； （3） ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【题型6 一次函数中求图形面积】 【例6】（23-24八年级·四川达州·期末）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交轴于点． (1)求A，B两点的坐标； (2)求点C的坐标，并直接写出直线的函数关系式； (3)若点P是图1中直线上的一点，连接，得到图2．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择 ． A．当点P的纵坐标为3时，求的面积； B．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，求的面积； (4)若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择 ． A．当以点B，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标； B．当以点C，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)选择A时，，选择B时， (4)选择A时，，，；选择B时，，， 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）过点作轴于，由，推出点的坐标为，再利用待定系数法即可解决问题． （3）．点在直线上，且点的纵坐标为3，把代入，得，过点作轴于点，推出，根据计算即可．．点在直线上，设，因为点在第二象限，到轴，轴距离相等，得，推出，根据即可解决问题． （4）．如图3中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形，根据轴对称的性质即可求解，．如图4中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形，根据轴对称的性质和全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 点的坐标为． 把代入， 得， 解得， 点的坐标为． （2）解：如图1中，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 直线的解析式为． （3）解：如图2中， ．点在直线上，且点的纵坐标为3， 把代入， 得， 过点作轴于点， ， ． ．点在直线上， ， 点在第二象限，到轴，轴距离相等， ， ， 过点作轴于点， ， ． （4）解：．如图3中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形如图所示， ①点C关于x轴的对称点记为，此时由轴对称的性质得到符合题意， ∴； ②当点关于的垂直平分线的对称点记为点，此时由轴对称的性质得到符合题意， ∵，当时，则， ∴， ∴， ∵， ∴的垂直平分线为：， ∵， ∴， ③点关于x轴的对称点记为，则，此时由轴对称的性质得到符合题意， ∴选择A时，，，； ．如图4中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形如图所示， ①当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点B作的对称点记为，由轴对称得，过点作射线的垂线于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得， ∴，， ∴， ③过点D作的平行线，过点C作的平行线，交于一点，记为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴点向右平移1个单位，向下平移2个单位， ∴向右平移1个单位，向下平移2个单位即可得到点， ∴选择B时，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点的平移，轴对称性质，坐标与图形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 【变式6-1】（23-24八年级·重庆铜梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为．现将点B向右平移6个单位得到点C，，且，连接AB交y轴于点D． (1)如图1，点A，C的坐标分别为_________，_________，并求出三角形的面积； (2)如图2，与的角平分线相交于点E，，垂足为点F，求证：． (3)如图3，点P是线段上一动点，将点P向下平移2个单位到点Q，连接、、，当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)，，的面积是15 (2)见解析 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）根据点B的平移可得点C的坐标，根据，，可得点A的坐标，根据三角形的面积公式即可求出的面积； （2）由，得到，从而，由角平分线的定义得到，，从而，进而根据三角形的内角和定理得到，因此，从而，得证； （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，表示出三角形和三角形的面积，根据三角形的面积是三角形的面积的4倍即可列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：∵将点向右平移6个单位得到点C， ∴， ∵，且， ∴， ． 故答案为：， （2）∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）解：设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵将点P向下平移2个单位到点Q， ∴， 过点Q作轴于点M，作于点N， ∴，， ∴， ， ∵当三角形的面积是三角形的面积的4倍时， ， 解得：或， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查点的平移的坐标变化，待定系数法，三角形的面积，平行线的判定及性质，三角形的内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． 【变式6-2】（23-24八年级·广东梅州·期中）已知坐标平面上的三个点，，，，且满足． (1)求点A，B，C的坐标； (2)求的面积，如图1，若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过多长时间，该直线经过点C． (3)如图2，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求的度数． 【答案】(1)，， (2)；若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过秒，该直线经过点C (3) 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可求出三个点的坐标； （2）求出直线的解析式：，求出直线与x轴的交点坐标，得出，再求出； （3）延长交的延长线于H，点P为y轴上A点上方的一点，设，，交x轴于F，根据平行线的性质得出，，根据，求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． ∴，，． （2）解：设的关系式：， 把，，代入得 ， 解得：． ∴直线的解析式：， 令，则， 解得：， ∴直线与x轴的交点坐标， ， 直线以每秒2个单位的速度向左移的时间：（秒）． ． （3）解：延长交的延长线于H，点P为y轴上A点上方的一点， 设，，交x轴于F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，非负数的性质，求一次函数解析式，平行线的性质，三角形外角的性质，平移的性质，三角形的面积计算，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线． 【变式6-3】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． （1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把代入中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （2）设，则，则，，由等腰得到，即，求解即可解答； （3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作与AM的延长线交于点N．证明是等腰直角三角形，得到．过点N作轴于点F，过点A作轴于点G．易证，得到，，进而得到．通过待定系数法求出直线的解析式，令，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解． 【详解】（1）解方程组，得． ∴点A的坐标为． 把代入得， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （2）存在． 如图， 设，则． ∴． ∵轴． ∴． ∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）或． 分两种情况： ①若点M在点E的下方， 如图，过点B作与AM的延长线交于点N． ∵，轴， ∴，， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点N作轴于点F，过点A作轴于点G． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∵，． ∴，． ∴． ∴． 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令，得． ∴点M的坐标为． ②若点M在点E的上方， 如图， 由对称性可知． 综上所述：或． 【题型7 一次函数中的动点问题】 【例7】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，，，且，满足，点从原点出发以每秒个单位长度向轴正方向运动，点同时从原点出发以每秒个单位长度向轴正方向运动，设运动的时间为秒，当点运动到点时，两点均停止运动．    (1)求； (2)在图1中，若点为线段中点，四边形的面积不小于，求的取值范围； (3)平移线段至线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解，若轴上方的点为直线上一点，且到轴距离为，求点的横坐标． 【答案】(1)6; (2) (3) 【分析】（1）根据实数满足，求出值即可求得； （2）过点作,，垂足为、，连接，先利用全等三角形求得,，根据当点运动到点时，两点均停止运动，四边形的面积不小于，列不等式组求解即可得到答案； （3）根据题意，如图所示，结合平移线段至线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解，设、，由点的平移法则得到，即可求出、，设直线的表达式为，利用待定系数法得到直线，进而即可求解． 【详解】（1）解：实数满足， ，解得， ∴,, ∴； （2）解：如图所示：过点作,，垂足为、，连接，    由题意可得，， ∵点是线段的中点，, ∴, ∵,， ∴，，, ∴, ∴, ∴, ∴,, ∵四边形的面积不小于， ∴，   解得； （3）解：如图所示：   平移线段至线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解， 设、， ∵， ∴， ， 解得， 、， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 轴上方的点为直线上一点，且到轴距离为， 在直线上运动， 当时，即，解得， 点横坐标为：． 【点睛】本题考查坐标与图形综合，涉及非负式和为零成立的条件、待定系数法求直线表达式、平面直角坐标系中三角形面积求法、解不等式组、点的平移等知识，读懂题意，根据题意作出图形，数形结合转化为常见题型求解是解决问题的关键． 【变式7-1】（23-24八年级·山西运城·期末） 【探索发现】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．    (1)如图2，当时， 在第一象限构造等腰直角， ； ①直接写出 ， ； ②求点E的坐标； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B 作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图4，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴 于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一 象限内．问点A、P、 Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能， 请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①  2，3；② (2)当k变化时，的面积是定值，，见解析 (3)或 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）过点N作于M，由题意易证，然后可得，进而问题可求解； （3）设点，由（1）知，，然后可得或，进而问题可求解 【详解】（1）解：①若，则直线为直线， 当时，， ， 当时，， ， ，， 故答案为：2，3； ②作于，如图所示：    ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：当k变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时， ， 过点N作于M，    ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ∴， ∴k变化时，的面积是定值，； （3）解：如下图，设点，    当时， 由（1）知，， ∴，即或 解得：或， ∴或 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-2】（23-24八年级·江苏无锡·期末）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）. (1)当t为何值时，为直角三角形？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)当的值为5或时，为直角三角形； (2)当的值为或或10时，为等腰三角形． 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想与分类思想思考问题． （1）首先容易求出，两点的坐标，然后求出，的长度，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可； （2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，利用等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点、， 当时，；当时，， ，， ，， ， 为直角三角形，分两种情况： ①当时，点与点重合， ， 点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． 当的值为5时，为直角三角形； ②当时，设， ，， ， ，解得， ， 当的值为时，为直角三角形； 综上，当的值为5或时，为直角三角形； （2）解：由题意得， ①当时，， ， 在中，， ， ， 当的值为时，为等腰三角形； ②当时，， 当的值为时，为等腰三角形； ③当时， ，， ， ， 当的值为10时，为等腰三角形； 综上，当的值为或或10时，为等腰三角形． 【变式7-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　 　； ②点C的坐标是 ； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①3，6；② (2)的面积是定值，定值为18，理由见解析 (3)2或 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点Q作于E，交于F，分两种情况：当点Q在下方时；当点Q在上方时，分别 求出a值即可． 【详解】（1）解：①若，则直线为， 当时，， ， 当时，， ， ，； ②作于，    ， ， 是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点C的坐标为； （2）解：当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于，如图，    ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ． 变化时，的面积是定值，定值为18． （3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，， 过点Q作于E，交于F， 分两种情况：当点Q在下方时，如图，    ∵，， ∴， 由“k型全等”可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：； 当点Q在上方时，如图，    同理得： ， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：； 综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形， 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，一次函数图象性质，坐标与图形，掌握“k型全等”模型是解题的关键． 【题型8 用一次函数解决问题】 【例8】(24-25八年级·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 (2)该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 (3)方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定W值的增减情况，同时注意自变量的取值范围． （1）设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可列出W和a的一次函数关系，关于a的一元一次不等式，再结合一次函数的性质求解即可； （3）由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变，则可列出W、a和m的关系式为，又可知．分类讨论：①当，②当和③当，结合一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【变式8-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： (1)甲车的速度为 千米小时，乙车的速度为 千米小时，B、C两地间的距离为 千米； (2)求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米． 【答案】(1)80；30；240 (2) (3)小时或小时或小时或小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行驶过程是解题的关键． （1）由已知得乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地，所以可求得甲车的速度为千米小时，以及两地相距千米，同时由已知可得乙车从B地到达C地共用时8小时，乙车的速度为千米小时，B、C两地间的距离为千米； （2）由（1）可知D，G两点的坐标，设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为，用待定系数法即可求得答案； （3）由题意知，，用待定系数法求出甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式，即可求出当小时时，甲乙两车相遇，再分，，，四种情况分别列方程，求出两车之间相距50千米时的时间节点，即得答案． 【详解】（1）甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时， 乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地， 甲车的速度为千米小时， 两地相距千米， 甲车比乙车早2小时到达C地， 乙车从B地到达C地共用时8小时， 乙车的速度为千米小时，B、C两地间的距离为千米； 故答案为：80；30；240． （2）由（1）可知，，， 设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 则， 解得， 所以乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为； （3）设甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 由题意知，， 则， 解得， 所以甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 令， 解得， 所以当小时时，甲乙两车相遇， 乙车到达C地前，两车之间相距50千米的情况有四种： ①当时，乙车出发1小时以内， ， 解得； ②当时，即甲车从A地出发后到两车相遇前， ， 解得； ③当时，即在两车相遇后到甲车到达C地前， ， 解得； ④当时，即甲车到达C地后到乙车到达C地前， ， 解得； 综上说述，乙车到达C地前，两车出发小时或小时小时或小时或小时，两车之间相距50千米． 【变式8-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 【变式8-3】（23-24八年级·福建厦门·期末）双十中学初二生物学习小组研究同一盆栽内A、B两种植物的生长情况．他们发现施用某种药物时，会对A、B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验观察，得到如下信息： 下表为植物A的生长高度与药物施用量的关系． 药物施用量 1 2 5 9 10 14 15 植物A生长高度 8.3 8.6 9.5 10.7 11.1 12.2 12.5 下图为植物B的生长高度与药物施用量的关系（图象是一条线段）．    (1)求植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式； (2)植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成某种函数，试求出这个函数表达式；若植物A按这个规律生长，请估计药物施用量为时，植物A的生长高度； (3)该小组继续研究发现，植物A、B按照（1）（2）中的生长规律继续生长，当药物施用量超过（且a为整数）时，植物B的抑制作用更明显，药物施用量每增加，植物B的生长高度g减少．小组记录了5次实验数据，当药物施用量分别为12，15，17，21，27时，植物B的平均生长高度为．当两种植物高度差不超过时，二者的生长会处于一种平衡状态，求满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）根据表中的数据可知植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成一次函数，运用待定系数法可求出函数关系式，再把代入函数关系式求解即可； （3）根据函数关系式列出不等式组求解即可． 【详解】（1）设植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式为， 把代入解析式得，， 解得， ∴植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式为； （2）从表格中所给数据可得出：药物施用量每增加植物A生长高度增加，故可得植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成一次函数， 设此一次函数的表达式为， 把代入解析式得，， 解得，， ∴植物A的生长高度f与药物施用量x的函数关系式为； 当时， （3）解：依题意得：当时，， 当、、、时，5次实验数据，植物B的平均生长高度均大于． 当时，药物施用量分别为12，15，17，21，27时，植物B的生长高度分别为，、、、，植物B的平均生长高度为． 故植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式： 根据题意得：当时， ， 解得：， 当时，， 解得：， 所以，满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． 【题型9 二元一次方程组的应用】 【例9】（23-24八年级·河南郑州·开学考试）小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个．医用口罩和口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系______．小明的妈妈一共有几种购买方案？ 【答案】(1)医用口罩的单价为1.5元，洗手液的单价为25元 (2)，有3种购买方案：①购买口罩50个，购买医用口罩150个，购买洗手液9瓶；②购买口罩100个，购买医用口罩100个，购买洗手液6瓶；③购买口罩150个，购买医用口罩50个，购买洗手液3瓶 【分析】此题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用——购买问题．解题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，解二元一次方程组，二元一次方程的解的定义，是解决问题的关键． （1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元，列二元一次方程组求解即可； （2）首先根据题意得到，整理得到，根据都为正整数，赋值a，求出对应的b值即可． 【详解】（1）设医用口罩的单价为元/个，洗手液的单价为元/瓶， 根据题意得，． 解得：， 答：医用口罩的单价为1.5元，洗手液的单价为25元． （2）购买口罩a个，为正整数，购买洗手液瓶，则买医用口罩个， 根据题意得，， 整理得：， 即有， ∵都为正整数， ∴，，， 即有3种购买方案． 答：有3种购买方案： ①购买口罩50个，购买医用口罩150个，购买洗手液9瓶； ②购买口罩100个，购买医用口罩100个，购买洗手液6瓶； ③购买口罩150个，购买医用口罩50个，购买洗手液3瓶． 故答案为：． 【变式9-1】（23-24八年级·湖南株洲·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元 (2)①；②有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆；方案一利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据题意，得，化简得，即可求解； ②根据题意，得，两种车都买，故m，n都是正整数，得到，解得，且m是偶数，得到方案；设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 根据题意，得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）①设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 根据题意，得， 化简得， 得到． 故； ②根据题意，得，由两种车都买，故m，n都是正整数， 得到，解得，且m是偶数， 具体如下： ，，， 故有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆； 设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大，故方案一，利润最大，最大利润为元． 【变式9-2】（23-24八年级·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多； (1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______； (2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？ (3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？ 【答案】(1)1500； (2)第二批能制成祛湿茶151包 (3)两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）根据每包祛湿茶需要茯苓进行求解即可；再根据每包祛湿茶需要陈皮、白扁豆求出一共需要陈皮、白扁豆的重量，进而求出对应的比值即可； （2）设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，根据剩余的白扁豆比陈皮多且所用原料陈皮与白扁豆的质量比为列出方程组求解即可； （3）设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，根据两次的利润列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴购入茯苓的质量为； ， ∴这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为； （2）解：设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克， 由题意得，， 解得， ∴， 答：第二批能制成祛湿茶151包； （3）解：设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元， 由题意得， 解得， ∴， ∴， 答：两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元． 【变式9-3】（23-24八年级·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 【答案】任务一：6；880；任务二：型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；任务三：使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用； 任务一：根据消费券规则求解； 任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解； 任务一：先分类讨论，列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解． 【详解】解：任务一：用型的消费券数量为：， 满减前至少消费（元）， 实际消费最少为（元）． 故答案为：6；880； 任务二：设型的消费券张，则型的消费券张，型的消费券张， 由题意可得， 解得． 型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张； 任务三：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，， ①、型：． ， ，都是正整数，，， 无解； ②、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； ③、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； 综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小 【题型10 过拐点作平行】 【例10】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论； （2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论； （3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得． 【详解】（1）证明： 平分， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点F作， ，， ， ， ， ， 又 ， ， 即； （3）解：如图，作，， 由（1）知， ， 平分，平分， ，， ， 又 ， ， ， ； ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ； 由（2）知， ， 即， 又 ， ， 整理得， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换． 【变式10-1】（2024八年级·全国·专题练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， ， 【变式10-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、．            (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，直接写出和之间的数量关系________； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，在上取一点K，连接交于点H，，若，．求． 【答案】(1)130度 (2) (3)30度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，求得，，即可得到的度数； （2）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，得出，，则可得出，同理可得，然后结合角平分线定义即可得出结论； （3）由（2）可求， ，设，，，，则，在中，根据三角形内角和定理可得出，由（2）知：，则，根据三角形外角的性质可得出，则可求出，根据三角形内角和定理并结合可得出，进而求出，代入，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，则，   ，， ，， ，， ； （2）解：如图，过点作，则，   ，， ， 同理， 平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ， ， 由（2）知： ， 又， ， ， 设，，，，则， 在中，， ， ， 由（2）知：， ， 如图，    ， ， ， ， ，即， ， 把代入，得， ， ． 【变式10-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，直线分别与直线交于点G、F，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点K在直线上，过点K作直线与直线交于点H，与交于点P，平分交于点Q，直接写出与的数量关系：______； (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作平分交于点T，连接交于点L，交于点O，交于点W，过点H作于点I，满足．若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由角平分线的性质得，由可得，由平行线的判定即可证明平行； （2）分别过P、Q作，则得，则，，则易得； （3）由分别平分，得；过O作， 设，则由平行线的性质及角的和差可得，从而由，得；在中，由面积关系得，再由，，即可求得线段的长度． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过P、Q作， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴ ； 故答案为：； （3）解：∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 过O作，如图， 设， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， 即； ∵，且， ∴设， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，互补关系，角平分线的定义等知识，构造平行线，利用平行线的性质是解题的关键． 【题型11 旋转平行问题】 【例11】（23-24八年级·山西长治·期末）如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．    (1)求的度数． (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值． 【答案】(1) (2)①12.5秒  ②画图见解析； 【分析】题目主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解； （2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解； ②分三种情况：当时，当，当，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒    ②当时，分别延长和，交于点I，交于点J，交于点O，如图所示：    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 延长，交于点O，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得：； 当，    同理得 当    同理得       同理得 综上可得：t的值为． 【变式11-1】（23-24八年级·广西南宁·期末）综合与实践 【问题情境】数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交与点E 【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1，若，则______； （2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图2时，若，求的度数； 【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数（用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可） 【答案】（1）；（2）；（3）或或. 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的计算； （1）根据平行线的性质、对顶角相等以及三角形内角和定理求解即可； （2）过作，根据平行的性质，依次求出，，，即可； （3）根据的大小分类讨论，过作的平行线，根据平行线的性质求出即可． 【详解】（1）解： 和交于点， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴ （3）或或. 当点在上方时 ①当时，如图，延长交于，过点作. ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ②当时，如图，延长交于，过点作. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在下方时 ③如图，延长交于，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ 【变式11-2】（23-24八年级·广东茂名·单元测试）某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． (1)填空： ； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)秒或秒 【分析】本题考查角的和差计算，平行线的性质，一元一次方程的实际应用： （1）根据平角的定义，结合，求出的度数即可； （2）分和，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ， ， ， ， ， 解得 ； 当时，如图， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行． 【变式11-3】（23-24八年级·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)3秒 (2)当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； (3)15或24或27或33 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是3秒； （2）解：当旋转至的内部时， 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 综上，当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； （3）解：分四种情况： ①当时，如图，， ； ②当时，如图，则， ， ； ③当时，如图，则，此时，， ， ； ④当时，如图，则， ， ； 综上，的值是15秒或24秒或27秒或33秒． 故答案为：15或24或27或33． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$