期末汇编模拟卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

高二数学期末汇编模拟卷02 范围：平面解析几何+统计概率+立体几何 时间：120分钟 满分：150分 姓名________ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 3．从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，抽到的牌是7的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 6．已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆C：和两点，（），若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取件，则这件产品不是次品的概率（    ） A． B． C． D． 9．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，平面，四边形，均为等腰梯形，，，，到面的距离为3，则这个羡除的体积是（    ） A．128 B．120 C．112 D．104 10．如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为正方体表面上的动点.下列叙述正确的是（    ） A．当点在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为 B．当点为棱的中点时，平面 C．当点时，满足平面的点共有2个 D．当点在棱上时，点到平面的距离的最小值为 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 12．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则点的横坐标为 ，的面积为 . 13．甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有 种． 14．已知点P是圆上的动点，直线：，：，记P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0）， （1）的最大值为 ； （2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m的取值范围是 ． 15．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是 ．（填上你认为所有正确的序号）    ①双纽线C关于原点O中心对称； ②双纽线C上满足的点P只有1个； ③； ④的最大值为． 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 17．如图，在四棱锥中，平面，，，且． (1)求直线与直线所成角的大小； (2)求直线PD与平面PAC所成角的正弦值． 18．某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 19．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，若，求的值. 20．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，. (1)若为棱的中点，求证：直线平面； (2)若平面平面，点在棱上，且二面角的大小为，求直线与底面所成角的正弦值. 21．在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学期末汇编模拟卷02 范围：平面解析几何+统计概率+立体几何 时间：120分钟 满分：150分 姓名________ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，即，直线的斜率为， 则直线的倾斜角为. 故选：D. 2．设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 【答案】C 【详解】令，则可得， 又，则， 又为的系数，且， 因此. 故选：C. 3．从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，抽到的牌是7的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，共有52种结果， 抽到的牌是7，有4种结果， 根据古典概型概率公式可知，抽到的这张牌是7的概率. 故选：B. 4．已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 即的长即为到平面的距离， 在直角中，，，则， ， 故选：B． 5．现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 【答案】C 【详解】若未被选中，则有种安排方法， 若被选中，则有种安排方法， 故共有种安排方法， 故选：C． 6．已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为椭圆的焦点为，，所以； 又过点的直线与交于，两点，的周长为， 则根据椭圆定义可得，， 解得，因此， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 7．已知圆C：和两点，（），若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】显然，因为，所以， 所以要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离， 因为，所以，即的最小值为.    故选：C 8．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取件，则这件产品不是次品的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”． 则，，，， 由全概率公式，可得 ． 所以这件产品不是次品的概率为. 故选：A 9．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，平面，四边形，均为等腰梯形，，，，到面的距离为3，则这个羡除的体积是（    ） A．128 B．120 C．112 D．104 【答案】A 【详解】过分别作，连接,则该多面体可分割成一个直三棱柱以及两个全等的三棱锥， 由于平面，平面,故，又，平面，故平面，故三棱柱为直三棱柱， 由于平面，平面，故平面， 由于到平面的距离为3，故到平面的距离为3，故, 其体积为, 结合四边形，均为等腰梯形，，，因此三棱锥全等，故体积为， 因此这个羡除的体积是， 故选：A 10．如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为正方体表面上的动点.下列叙述正确的是（    ） A．当点在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为 B．当点为棱的中点时，平面 C．当点时，满足平面的点共有2个 D．当点在棱上时，点到平面的距离的最小值为 【答案】D 【详解】由于线面角的最大值为， 与不可能垂直，故直线与平面所成角的最大值达不到.选项A错误； 取的中点为，的中点为,连接,相交于点，连接, 且，故， 平面,面，故不能与平面平行，故选项B错误； 当点时，满足平面的点P共有1个. 当点为平面的中心时，故选项C错误 ，到平面的距离始终为， 故当点运动到点时，取得最小值为， 故， ,, ， 故，故选项D正确. 故选：D 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】由的展开式的通项为， 令，，则， 即在的展开式中，常数项为， 故答案为：. 12．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则点的横坐标为 ，的面积为 . 【答案】 【详解】因为抛物线的方程为，所以，，准线方程为， 因为，，即，解得， 故，解得， 所以， 故答案为：；. 13．甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有 种． 【答案】 【详解】完成这件事，可分为3个步骤： 第1步，先从3所不同的乡村学校中选1所安排甲去，则有种方法； 第2步，将乙、丙、丁3位老师分成两组，3人中选2人1组，另1人自己1组，有种方法； 第3步，将两组老师分配到另外2所学校中去，有种方法， 故由分步计数原理，得不同的支教分派方案有种. 故答案为：. 14．已知点P是圆上的动点，直线：，：，记P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0）， （1）的最大值为 ； （2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m的取值范围是 ． 【答案】 3 【详解】（1）圆，圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以P到直线的距离的最大值为； （2） 当时，两直线重合，不符题意；当时，直线，平行， 若当点P在圆上运动时，为定值，所以圆在两平行线之间，此时直线与圆相离， 所以，解得或， 又因为当时，直线，在圆同侧，不符合题意，所以， 故答案为：3，. 15．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是 ．（填上你认为所有正确的序号）    ①双纽线C关于原点O中心对称； ②双纽线C上满足的点P只有1个； ③； ④的最大值为． 【答案】①②④ 【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以， 用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确， 对于②，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即， 所以，得，所以这样的点只有一个，所以②正确， 对于③，根据三角形的等面积法可知， 即，所以，所以③错误， 对于④，因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 所以的最大值为，所以④正确， 故答案为：①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【详解】（1）由题意得的可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）因为，所以，． （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 17．如图，在四棱锥中，平面，，，且． (1)求直线与直线所成角的大小； (2)求直线PD与平面PAC所成角的正弦值． 【详解】（1）由于平面，平面，所以， 由于，所以两两相互垂直. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ，设直线与直线所成角为， 则， 由于，所以. （2），， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线PD与平面PAC所成角为， 则. 18．某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 【详解】（1）设至少回答正确一个问题为事件，则； （2）这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，， 所以，， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 10 20 30 40 19．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，若，求的值. 【详解】（1）由题可知，， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由（1）可知，    设直线， 联立，整理得， 显然，得， 易知， 所以 . 因为，得， 所以. 20．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，. (1)若为棱的中点，求证：直线平面； (2)若平面平面，点在棱上，且二面角的大小为，求直线与底面所成角的正弦值. 【详解】（1） 取中点，连结，， 因为为的中点，所以，， 由，得， 又，所以，， 则四边形为平行四边形，有， 又平面，平面，故平面； （2） 平面平面，由已知得，设， 以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 易知底面的一个法向量为， 由于二面角的大小为， 所以， 解得或（舍去），则， 设直线与底面所成的角为， 则， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 21．在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 【详解】（1）解：在双曲线的方程中，令，解得， 因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有， 又、，有，，， 解得，， 所以的方程为． （2）解：设，由题意有方程为，① 渐近线方程为，联立得，， 故， 所以是线段的中点，因为、到过原点的直线距离相等， 则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧， 所以该等线必过点，即直线的方程为， 由，解得，故． 所以. 所以， 所以，所以． （3）证明：设，由，所以，， 故曲线的方程为， 由①知切线为，也为，即，即． 易知与在的右侧，在的左侧，分别记、， 到的距离为、、， 由（2）知，， 所以， 由得， 因为， 所以直线为的等线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$