期末汇编卷01-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

高二数学期末汇编模拟卷01 范围：平面解析几何+数列+立体几何 时间：120分钟 满分：150分 姓名________ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知直线的斜率为， 设其倾斜角为，由可得. 故选：A 2．若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列是等比数列， 所以，解得或， 当时，不满足，故舍去； 当时，经检验符合题意，所以. 故选：B 3．已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为椭圆的焦点为，，所以； 又过点的直线与交于，两点，的周长为， 则根据椭圆定义可得，， 解得，因此， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 4．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意可得，故过F且斜率为的直线方程为， 令，则由题， 因为，所以垂直于直线，故， 又M在抛物线上，所以由， 所以. 故选：C. 5．如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则， 所以， 所以， 又，所以， 因此直线与直线所成的角为. 故选：C. 6．已知是双曲线的右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】易知是直角三角形，双曲线的渐近线方程为，设， 由可知， 所以. 故选：A 7．已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， ，或（舍去）， 所以. 由，， ，所以的最小值为. 故选：B 8．近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度（以下简称增速）统计图． 注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业． 下列说法正确的是（    ） A．4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大 B．4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小 C．连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月 D．连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月 【答案】A 【详解】对于AB，4月，5月，6月这三个月增速的平均数为， 4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数为，B错误； 4月，5月，6月这三个月增速的方差为， 4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差为，A正确； 对于CD，9月，10月，11月这三个月增速的平均数为， 10月，11月，12月这三个月增速的平均数为，D错误； 9月，10月，11月这三个月增速的方差为， 10月，11月，12月这三个月增速的方差为，C错误. 故选：A 9．设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，则.圆的圆心为，半径为； 又，所以四边形为正方形，所以， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 则该圆与直线有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：C 10．已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的公比为，因为，所以， 所以，所以，所以， 因为对任意正整数恒成立， 所以对任意正整数恒成立； 当是偶数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以，所以， 当是奇数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以时，，所以， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若直线与直线平行，则 . 【答案】3 【详解】解：因为直线与直线平行， 显然不合题意，所以，所以. 故答案为：3 12．在等差数列中，，，则数列的前4项的和为 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，因为，， 所以，即，解得， 所以. 故答案为： 13．过点的直线与圆相切，切点为，则 . 【答案】 【详解】由，所以圆心为，半径为. 所以过点向圆作切线，切线段的长度为：. 故答案为： 14．已知点，，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为 . 【答案】（答案不唯一）. 【详解】由点，，可得， 又∵向量在上的投影向量为， ∴， 则，即， 又∵向量与向量不共线，则不成立， 则可令，即， 故答案为：（答案不唯一）. 15．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【详解】对①，如图所示: 因为是中点，， 所以点是的中点，连接，显然也是的交点，连接， 所以，而平面，平面， 所以直线平面，故①正确； 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，对②，，分别是棱，的中点， 所以，平面，平，故平面， 故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，，， ，， 由得，故②正确； 对③，设，，， 则，， 由，得， 得，由，故存在点，使得，故③正确； 对④，由③得到的投影为， 故到的距离， 面积为，， 由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错． 故答案为：①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 【详解】（1）圆，即， 则圆心为，半径， 因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上， 所以，解得， 所以的半径； （2）由（1）可得，圆心为， 因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或.    17．如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接交于，连接， 根据三棱柱的特征可知为平行四边形，即为、的中点， 又为中点，所以是的中位线，即， 易知平面，平面， 所以平面； （2）因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又四边形为正方形，所以两两垂直， 可以以为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令， 即为平面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 根据题意可得，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以数列的通项公式为. （2）因为数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 19．已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求； (2)在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解:联立,得或 所以． （2）假设存在，使为定值． 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立得． 显然，设， 则． 所以 ． 若为常数，只需， 解得，此时． 当直线与轴垂直时，不妨设， 当点坐标为时，． 满足为定值． 综上，存在点，使为定值． 20．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形.    (1)求证：平面； (2)若平面，，，，求： （ⅰ）二面角的余弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 【详解】（1）过C作交于G点， 因为，所以四边形为平行四边形，则， 又四边形为平行四边形，所以， 所以，则四边形为平行四边形， 即， 易知平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又，所以三条线两两垂直， 即可以以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，即， （ⅰ）易知平面的一个法向量为， 二面角的平面角为锐角， 设二面角的一个平面角为， 则； （ⅱ）易知，则点到平面的距离. 21．已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则有，解得， 因此；由，得，而， 则数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）①由（1）知，，， 则，， 所以数列，的前4个公共项依次为. ②，而， 因此数列的前100项中是数列与的公共项的只有这4项， 所以剩下所有项的和为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学期末汇编模拟卷01 范围：平面解析几何+数列+立体几何 时间：120分钟 满分：150分 姓名________ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 5．如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 6．已知是双曲线的右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C．3 D． 7．已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．9 D．10 8．近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度（以下简称增速）统计图． 注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业． 下列说法正确的是（    ） A．4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大 B．4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小 C．连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月 D．连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月 9．设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若直线与直线平行，则 . 12．在等差数列中，，，则数列的前4项的和为 . 13．过点的直线与圆相切，切点为，则 . 14．已知点，，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为 . 15．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 17．如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 19．已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求； (2)在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 20．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形.    (1)求证：平面； (2)若平面，，，，求： （ⅰ）二面角的余弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 21．已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$