第02讲 导数的运算（思维导图+5知识点+六大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第02讲 导数的运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：求简单函数的导数】 【考点二：求复合函数的导数】 【考点三：求某点处的导数值】 【考点四：求切线的斜率与方程】 【考点五：已知切线求参数范围】 【考点六：公切线问题】 模块四 小试牛刀过关测 1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=的导数,提升数学运算的核心素养. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数,提升数学运算的核心素养. 3.了解求导法则的证明过程,提升逻辑推理的核心素养. 4.掌握函数和、差、积、商的求导法则,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数,提升数学运算素养. 5.了解复合函数的概念,提升数学抽象的核心素养. 6.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数,提升数学运算素养. 一、基本初等函数的导数 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 二、导数的运算法则 1、加减法： 2、乘法： 3、除法： 三、复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数的导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 四、导函数的常用结论 1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 五、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【考点一：求简单函数的导数】 一、多选题 1．（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东茂名·期中）下列结论中不正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高二下·河南南阳·期中）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·湖南衡阳·阶段练习）若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为(　 　) A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 【考点二：求复合函数的导数】 一、解答题 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）指出下列函数的复合关系． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 3．（23-24高二上·江苏·课前预习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【考点三：求某点处的导数值】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（23-24高二下·河北承德·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）简谐运动是最基本也最简单的机械振动，其在声学、电子学、光学等领域有着重要的应用．经典力学的观点认为，当物体进行简谐运动时，其所受的合力与位移成正比．运用经典力学的理论进一步推演可知，简谐运动的位移是关于时间的正弦函数，若某质点做简谐运动，其位移关于时间的关系式为，则该质点的初速度大小为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，，，且，若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，且满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C． D．1 【考点四：求切线的斜率与方程】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期中）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．135° 2．（23-24高二下·陕西西安·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 二、填空题 4．（23-24高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线方程为 ． 5．（23-24高二下·河南洛阳·期中）曲线在点处的切线方程是 . 【考点五：已知切线求参数范围】 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的图象在点处的切线经过点，则（    ） A．1 B． C．e D． 3．（23-24高二下·广东茂名·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则（    ）. A．1 B．2 C． D． 4．（23-24高二下·安徽·阶段练习）若函数的图象在点处的切线方程为，则（   ） A．13 B．7 C．4 D．1 二、填空题 5．（23-24高二下·江苏常州·期中）若函数的图象在点处的切线平行于轴，则 . 6．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若曲线在处的切线方程为，则 ． 7．（23-24高二下·安徽池州·期中）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是 ． 8．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【考点六：公切线问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（    ） A． B． C．满足条件的直线有2条 D．满足条件的直线只有1条 三、填空题 5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 一、单选题 1．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D． 4．（2024·河南新乡·一模）函数的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）设函数，若直线是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山西·阶段练习）曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 9．（2024高三·全国·专题练习）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2024高三·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）以下求导运算正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（2024高三·全国·专题练习）曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为 . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 14．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知，，若与的图象在交点处的切线重合，则 ． 15．（2024高三·全国·专题练习）写出曲线过坐标原点的切线方程： ， . ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 导数的运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：求简单函数的导数】 【考点二：求复合函数的导数】 【考点三：求某点处的导数值】 【考点四：求切线的斜率与方程】 【考点五：已知切线求参数范围】 【考点六：公切线问题】 模块四 小试牛刀过关测 1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=的导数,提升数学运算的核心素养. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数,提升数学运算的核心素养. 3.了解求导法则的证明过程,提升逻辑推理的核心素养. 4.掌握函数和、差、积、商的求导法则,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数,提升数学运算素养. 5.了解复合函数的概念,提升数学抽象的核心素养. 6.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数,提升数学运算素养. 一、基本初等函数的导数 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 二、导数的运算法则 1、加减法： 2、乘法： 3、除法： 三、复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数的导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 四、导函数的常用结论 1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 五、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【考点一：求简单函数的导数】 一、多选题 1．（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）下列求导错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据求导公式和法则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D正确， 故选：AB 2．（23-24高二下·广东茂名·期中）下列结论中不正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】对于A：若，则，故A错误； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：若，则，故D错误. 故选：ACD 3．（23-24高二下·河南南阳·期中）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求解即可． 【详解】A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故符合题意； 故选：ACD． 4．（22-23高三上·湖南衡阳·阶段练习）若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为(　 　) A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，依次求出选项中函数的导数，分析其导函数的奇偶性，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，，其导数，其导函数为奇函数，图象不关于轴对称，不符合题意； 对于B，，其导数，其导函数为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 对于C，，其导数，其导函数为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 对于D，，其导数，其导函数是偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 故选：BCD． 5．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 【答案】BD 【分析】由基本函数的导数公式求出各项的导数后，再逐项代入判断即可. 【详解】A：，故A错误； B：，令，所以，故B正确； C：，所以，故C错误； D：，故D正确； 故选：BD. 【考点二：求复合函数的导数】 一、解答题 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）指出下列函数的复合关系． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)，， 【分析】根据复合函数定义直接求解； 【详解】（1）对于， 可分解为，. （2）对于， 可分解为，，. （3）对于， 可分解为，. （4）对于， 可分解为，，. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】结合导数的四则运算，利用复合函数求导法则求解各个函数即可. 【详解】（1）令，则. . （2）令，则， . （3） ,. （4）令，则， 则. （5），. （6）. 3．（23-24高二上·江苏·课前预习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用复合函数求导运算求解即可； （2）利用复合函数求导运算求解即可； （3）利用复合函数求导运算求解即可； （4）诱导公式和二倍角公式先化简，再直接求导； （5）利用复合函数求导运算求解即可； （6）利用复合函数求导运算求解即可. 【详解】（1）由， 则. （2）由， 则. （3）由， 则. （4）由 ， 则. （5）由， 则. （6）由， 则. 【考点三：求某点处的导数值】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】直接求导代入即可得解. 【详解】由题，，故. 故选：A. 2．（23-24高二下·河北承德·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，直接代入求解即可. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）简谐运动是最基本也最简单的机械振动，其在声学、电子学、光学等领域有着重要的应用．经典力学的观点认为，当物体进行简谐运动时，其所受的合力与位移成正比．运用经典力学的理论进一步推演可知，简谐运动的位移是关于时间的正弦函数，若某质点做简谐运动，其位移关于时间的关系式为，则该质点的初速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义即可求解. 【详解】由可得， 易得该质点的速度为，所以该质点的初速度大小为． 故选：B 4．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导可得，令，求解即可. 【详解】由，可得， 所以，解得. 故选：B. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数，，，且，若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的除法公式即可得，令可得答案. 【详解】由已知得， 所以． 故选：B. 6．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，且满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】对给定等式求导，求出，进而求出函数的解析式及最大值. 【详解】由，求导得， 令，则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【考点四：求切线的斜率与方程】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期中）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】D 【分析】首先求出导函数，再求出导数值，即可得到切线的斜率，从而得到切线的倾斜角. 【详解】因为，所以， 所以，所以曲线在点处的切线的斜率， 所以切线的倾斜角为. 故选：D. 2．（23-24高二下·陕西西安·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用导数几何意义去求切线方程即可. 【详解】由，得， 所以该曲线在点处的切线斜率为， 故所求切线方程为， 即． 故选：C. 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出切线斜率. 【详解】设过点与曲线相切的切点坐标为， 由求导得：，则切线方程为， 于是，整理得，解得， 所以所求切线的斜率为1. 故选：C 二、填空题 4．（23-24高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，并求出的值，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由，求导得，则， 解得，于是，， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 5．（23-24高二下·河南洛阳·期中）曲线在点处的切线方程是 . 【答案】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案． 【详解】由， 得． ， 又， 曲线在点,处的切线方程是． 故答案为：． 【考点五：已知切线求参数范围】 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由导数的几何意义结合直线垂直斜率之间关系即可得到方程，求解即可. 【详解】因为，所以， 则曲线在点处的切线斜率为， 又因为直线斜率为， 所以，即. 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的图象在点处的切线经过点，则（    ） A．1 B． C．e D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义可得函数在点处的切线方程为，代入点计算即可得. 【详解】，故， 故函数在点处的切线方程为， 由在这条直线上，则，解得． 故选：A. 3．（23-24高二下·广东茂名·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】由函数，可得，则， 因为直线的斜率为2，可得. 故选：B. 4．（23-24高二下·安徽·阶段练习）若函数的图象在点处的切线方程为，则（   ） A．13 B．7 C．4 D．1 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，求出、的值，再代入计算可得. 【详解】∵函数的图象在点处的切线方程为， ，，由题可知，，， ，，． 故选：A 二、填空题 5．（23-24高二下·江苏常州·期中）若函数的图象在点处的切线平行于轴，则 . 【答案】 【分析】求出原函数的导函数，利用处的导数值为0列式求解的值. 【详解】由，可得， 由题意得：，解得：， 故答案为： 6．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若曲线在处的切线方程为，则 ． 【答案】 【分析】利用导函数和切线斜率求出的值，利用解析式和切点坐标求出的值，可得. 【详解】函数，， 若曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率， 则有，解得， 所以． 故答案为：. 7．（23-24高二下·安徽池州·期中）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是 ． 【答案】 【分析】当P为与直线平行且与曲线相切的切线的切点时，点P到直线的距离最短，根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果. 【详解】由可得， 设与直线平行，且与曲线相切的直线，对应切点坐标为， 则，解得，则， 则点到直线的距离，即为点P到直线的最小距离， 即为. 故答案为：. 8．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【答案】25 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 【考点六：公切线问题】 寒假02讲素材06 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出曲线在点处的切线方程,设切线与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果. 【详解】的导数，令，则， 所以曲线在处的切线方程为， 即 的导数，设直线与曲线切于点， 则曲线在点处的切线方程为， 即，所以解得． 故选：D 2．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，根据导数求解斜率，可得和，进而将问题转化为与函数的图象有交点，即可根据导数求解. 【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为 由得在点处的切线斜率为， 如果两条曲线存在公共切线，那么． 又由斜率公式可得，由此得到，则有解， 所以直线与函数的图象有交点即可． 当直线与函数的图象相切时， 设切点为，则，且，得，即有切点，此时， 故实数a的取值范围是．    故选：D． 二、多选题 4．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知直线与曲线和都相切，切点分别为，则（    ） A． B． C．满足条件的直线有2条 D．满足条件的直线只有1条 【答案】AC 【分析】分别求出切点和切点切线方程，再由直线与两条曲线都相切，由两切线的斜率相等，且在y轴上的截距相等求解. 【详解】解：由题可知直线与曲线相切于点，又， 所以直线的斜率，则在点处的切线方程为， 即， 直线与曲线相切于点 ，则在点处的切线方程为， 即． 因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同， 则且， 则，即， 可得，解得，故A正确，B错误； 把代入，得， 在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：的值有两个，故C正确，D错误． 故选：AC 三、填空题 5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【答案】3 【分析】先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出a的值. 【详解】设直线l与曲线相切于点， 由，得，因为l与曲线相切， 所以消去，得，解得． 设l与曲线相切于点，由，得，即， 因为是l与曲线的公共点， 所以消去，得，即，解得． 故答案为：3. 一、单选题 1．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用函数导数的四则运算和复合函数求导即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用复合函数的求导规则计算即可. 【详解】． 故选：D. 3．（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求导计算即可. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得， 所以，，. 故选：C. 4．（2024·河南新乡·一模）函数的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代点求解出，然后对函数进行求导，对应求解出，最后求解. 【详解】由已知，， 故， ， 则切线斜率为，故， 所以． 故选：B. 7．（2024高三·全国·专题练习）设函数，若直线是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由曲线在切点处的斜率与直线的斜率相等，且切点同时位于曲线以及直线上建立方程组求解即可. 【详解】由题意，， 设直线与曲线的切点为， 则，解得． 将代入，解得． 故选：A 8．（24-25高三上·山西·阶段练习）曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义分别求的切线，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 由题意可得：，解得， 所以公切线的斜率为. 故选：A. 9．（2024高三·全国·专题练习）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出曲线（）和直线的图象，将所求距离问题转化为两平行线距离最小，从而结合两直线平行，利用导数的几何意义列方程即可求得切点的横坐标. 【详解】画出曲线（）和直线的图象，如下图所示    若使得取最小值， 则曲线在点处的切线与直线平行， 对函数求导得，令，可得， 又，解得． 故选：C 二、多选题 10．（2024高三·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本函数的导数公式及复合函数导数求法判断各项正误. 【详解】由为常数，则，A错误； 由，则，B正确； 由，C正确； 由，D错误． 故选：BC 11．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）以下求导运算正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用导数的运算法则，即可判断选项. 【详解】A项，，则，A正确； B项，，，B错误； C项，，，C正确； D项，，，D正确． 故选：ACD 三、填空题 12．（2024高三·全国·专题练习）曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为 . 【答案】 【分析】设切点为，利用导数几何意义及斜率两点式列方程求，即可得切线斜率. 【详解】因为，所以，设切点为，则， 所以，解得，所以，即切线的斜率为. 故答案为： 13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】首先对函数求导，然后表示出在点的切线方程，最后根据切线过原点求出实数. 【详解】因为，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为, 又该切线过坐标原点，所以，即， 解得:． 故答案为：. 14．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知，，若与的图象在交点处的切线重合，则 ． 【答案】/ 【分析】设与的图象交点为，再根据导数的几何意义列方程化简求解即可. 【详解】设与的图象交点为，则，即，故. 又则，解得，则. 故答案为： 15．（2024高三·全国·专题练习）写出曲线过坐标原点的切线方程： ， . 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】因为， 当时，，设切点为，由，得， 所以切线方程为. 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 当时，，设切点为，由，得， 所以切线方程为. 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即. 故答案为：；. 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