第5章 二元一次方程组（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第5章 二元一次方程组（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一 二元一次方程（组）概念及解 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程. 注意：二元一次方程的识别方法 ①“二元”，即含有两个未知数； ②“一次”，即含未知数的次数是1； ③“整式方程”，即未知数不能出现在分母中。 2、二元一次方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组． 注意： ①含有两个整式方程； ②方程中共含有两个未知数； ③含未知数的项的次数都是1． 3、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 注意： ①二元一次方程的每一个解都是一对数值，而不是一个数； ②一般情况下，一个二元一次方程有无穷多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个特殊的解。 4、二元一次方程组的解 我们把二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 注意： ①方程组的解同时满足方程组中的每一个方程； ②由于方程组需用“｛”括起来，所以方程组的解也要用“｛”括起来． 5、二元一次方程组解的情况 （1）唯一解；（2）无数解；（3）无解． 知识点二 二元一次方程组的解法 1、代入消元法 将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。 注意： ①找准消元对象。消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的）未知数，使变性后的方程比较简单或代入后比较容易化简； ②在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的第（2）步中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式； ③用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单． 2、 加减消元法 把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 注意： ①化为标准形式。用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成的标准形式，再设法加减消元，这样不易出错； ②选准消元对象。当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单。 知识点三 同解问题 方法技巧：理解方程组的解的实质，由方程组消去未知系数，构造只含两个未知数的二元一次方程，再根据其他条件求出两个未知数的值，最后回代求出未知数的值。 题型： 1、一个二元一次方程组和一个二元一次方程的同解，可以理解为三个方程有相同的解，可以选择其中两个构成二元一次方程组求解，再代入另一个方程求参数的值；或理解为三个方程构成一个三元一次方程组求解； 2、两个方程组有相同的解可以理解成四个方程具有相同的解，先将不含参数的方程联立成方程组，求出未知数的值，然后代入含有参数的方程即可求出参数的值。 知识点四 列方程组解应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： ①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为： ①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式； ②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数； ③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程； ④解答。 知识点五 分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 知识点六 一次函数与二元一次方程（组） 1．一次函数与二元一次方程的关系 一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2．一次函数与二元一次方程组的关系 如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应二元一次方程组的解． 所以求两直线交点的方法为：联立函数关系式，求解方程组． 已知两直线和相交于一点，求交点坐标． ①联立两个直线的函数关系式得到方程组 ②解关于x和y的方程组，得到交点坐标． 用一次函数的图象法求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 知识点七、三元一次方程组的概念 1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。 知识点八、解三元一次方程组的方法和步骤 1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元 考点1：二元一次方程(组)的有关概念 【例题1】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）在下列方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题是考查对二元一次方程组的识别，分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”． 【详解】解：方程组，，符合二元一次方程组的定义，符合题意， 方程组中不满足二元一次方程的定义，不符合题意， 方程组中的第一个方程不是整式方程，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列各组数中，不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把四个选项中的x、y的值代入原方程中看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解，不符合题意； B、把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，符合题意； C、把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解，不符合题意； D、把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解，不符合题意； 故选；B． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1次的整式方程；根据二元一次方程的概念求解即可，注意未知数x的系数非零． 【详解】解∶ ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为∶1． 【变式3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）若关于，的方程，，有公共解，求k的值． 【答案】． 【分析】本题考查了方程的解，解二元一次方程组．先将和组成二元一次方程组，解得x、y的值后代入即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入得： ， 解得． 考点2：三元一次方程组 【例题2】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，转化新方程组解答即可． 【详解】∵知是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得， 故选A． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键． 【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若方程组的解满足，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了解三元一次方程组和点坐标所在象限的判定，方程组三方程相加即可求出的值，从而得到k的值，即可得到P的坐标，再进行判断即可． 【详解】解：， 得， 整理得， ∴， ∴， 点为， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 【变式3】（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）已知，的周长为，、、是三角形三边的长且，，求、、的值． 【答案】，，的值分别为，， 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，根据三角形三条边分别为，，，周长为，再结合已知条件，，即可求解，正确理解三角形的有关概念是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，的值分别为，，． 考点3：方程组的解法 【例题3】（24-25八年级上·北京大兴·阶段练习）解方程组． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得． 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）由①可得③，将③代入②得，解得，将代入③得，求得，即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 由①可得③ 将③代入②得， 解得：， 将代入③得，， ∴ （2）解： ①×2+②得，， 解得：， 将代入①得， 解得： ∴ 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴方程组的解是． （2）解：原方程组整理得：， 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 故原方程组的解为 【变式3】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法． （1）运用加减消元法解出的值，再代入解出的值，即可作答； （2）先去分母，再运用代入消元法解出的值，即可作答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为； （2）解：， 整理①得，即， 所以整理②得， 把代入， 得， 解得， 把代入， 解得， 所以方程组的解为． 考点4：二元一次方程的应用 【例题4】（24-25八年级上·河南·阶段练习）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，解答即可． 本题考查了方程组的应用，正确理解题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，列方程组得， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学校组织八年级学生到周原景区参观研学，如果每辆汽车坐40人，则有5人没有上车；如果每辆汽车坐48人，则空出一辆汽车，并且其中有一辆车还可以再坐11人．现假设共有x个学生，y辆汽车，则可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，掌握二元一次方程组解决实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，每辆汽车坐40人，则有5人没有上车，则有，每辆汽车坐48人，则空出一辆汽车，并且其中有一辆车还可以再坐11人，则有，由此联立方程组即可求解． 【详解】解：设共有x个学生，y辆汽车， 每辆汽车坐40人，则有5人没有上车， ∴或， 每辆汽车坐48人，则空出一辆汽车，并且其中有一辆车还可以再坐11人， ∴， ∴ 故选：C ． 【变式2】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）学校开展以环保为主题的演讲活动，计划拿出120元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），用来奖励表现突出的学生．已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有 种． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据总价二单价数量，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， 又∵均为正整数， 或或， ∴共有3种购买方案． 故答案为：3． 【变式3】（23-24八年级上·辽宁·期中）甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇． (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 【答案】(1)直线的函数解析式为 (2)B表示两人在乙出发1.5小时后两人相遇 (3)甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象结合题意，分析即可得出； （3）设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米，根据题意结合图象得到两人在乙出发1.5小时后相遇，在乙出发小时后，相距千米，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）由题意，设直线BC的函数解析式为， 把，得：， ， ∴直线的函数解析式为； （2）由题意，结合图象可得，B表示两人在乙出发小时后两人相遇． （3）由题意，设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米， 根据题意可得，， 解得 答：甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米 考点5：二元一次方程(组)与一次函数的关系 【例题5】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两条直线的交点与方程组的解的关系， 先求出两个一次函数的交点坐标，再根据两条直线的交点的横纵坐标，即为两个函数关系式对应的方程组的解得出答案． 【详解】∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴点， ∴方程组的解是． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数与的图象都经过，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，可先根据点的坐标用待定系数法求出，的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与轴的交点，即，的坐标．那么三角形中，底边的长应该是，纵坐标差的绝对值，高就应该是点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：把点代入， 得：， 点． 把点代入， 得：， 点． ， ． 答：的面积为， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与的图象的交点坐标为． (1)关于x，y的方程组的解为_________； (2)求a，b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． （1）根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可； （2）将代入方程组，求解即可； 【详解】（1）∵一次函数与的图象的交点坐标为， ∴方程组的解是； （2）将代入方程组，得， 解得． 考点6：两种思想 思想1：建模思想 【例题6】（24-25八年级上·全国·课后作业）某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，男女生植树数量的总数是56棵，则男生植树（　　） A．14棵 B．16棵 C．28棵 D．40棵 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．设女生植树的数量为棵，男生植树的数量为棵，根据男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，男女生植树数量的总数是56棵列方程组求解即可． 【详解】解：设女生植树的数量为棵，男生植树的数量为棵， 根据题意列方程组得，， 解得， 则男生植树40棵， 故选：D． 【变式1】（23-24七年级上·重庆渝北·期末）一停车场上有辆车，其中一辆汽车有个轮子，一辆摩托车有个轮子，且停车场只有汽车和摩托车，这些车共有个轮子，那么摩托车应为（　　） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意，根据题目给出的条件，找到合适的等量关系，列出方程组，求解方程组，是解答本题的关键． 根据题意，设摩托车应为辆，汽车辆，由此列出二元一次方程组，解出方程组，得到答案． 【详解】解：根据题意设： 摩托车应为辆，汽车辆， 则， 解得， 摩托车应为辆， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分为 分． 【答案】33 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得： ， 得：， ∴小红得分为33分． 故答案为：33． 【变式3】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克． (1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？ (2)现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型、B型球各有多少只？ 【答案】(1)每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克； (2)A型球、型球各有3只、2只． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， （1）直接利用1只型球与1只型球的质量共7千克，3只型球与1只型球的质量共13千克得出方程求出答案； （2）利用分类讨论得出方程的解即可， 熟练掌握分类讨论列方程是解决此题的关键． 【详解】（1）设每只型球、型球的质量分别是千克、千克，根据题意可得： ，解得：， 答：每只型球的质量是3千克、型球的质量是4千克； （2）现有型球、型球的质量共17千克， 设型球1个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 设型球2个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 设型球3个，设型球个，则， 解得：， 设型球4个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 设型球5个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 综上所述：型球、型球各有3只、2只． 思想2：整体思想 【例题7】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，会利用题中换元方法解方程组是解答的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）中的解得到，进而求解即可； （3）根据（1）中的解得到，进而解方程组即可求解． 【详解】（1）解：， 得，则， 得，则， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）解：设，， 则原方程组化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为； （3）解：原方程组可化为 设，， 则原方程组化为，解得， ∴，即 得，则， 得，则， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数满足求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①-②可得，由①+②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组则________，________． (2)已知关于的二元一次方程组若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组，整体思想的运用； （1）将两个方程相加或相减，即可求解； （2）利用加减消元法即可求出，根据题意，即可求解． 【详解】（1）解： ∴得，； 得， ∴， 故答案为：，． （2）解： 得，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 【变式3】（22-23八年级上·河南驻马店·期中）一些关于方程组的问题，求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需36元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需14元 (3)4 【分析】（1）得：，，再得：，进而即可求解； （2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，由题意：买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需36元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，再由整体思想求出，即可求解； （3）由定义新运算：得①，②，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故答案为：，； （2）设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元， 由题意得：， 得：， 即购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需14元； （3）∵， ∴①，②， ②－①得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识；熟练掌握整体思想和新运算，找准等量关系，列出方程组是解题的关键． 一、单选题 1．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象交点坐标可得方程组的解． 【详解】解：由图象可得直线与直线相交于点A（1，3）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个，根据题意列出方程，根据整数解的个数，即可求解． 【详解】解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个， 依题意， ∴ ∵，为正整数， ∴当时，， 当时， 当时， 当时， ∴购买方案有4种， 故选：B． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系． 设鸡只，兔只，根据上有16头，下有44足列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡只，兔只， 根据题意得，． 故选：A． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 二、填空题 5．（2023·河南·中考真题）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 由得，，解得， 把代入①中得，解得， 故原方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键． 6．（2016·四川宜宾·中考真题）今年“五一”，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组 ． 【答案】 【详解】试题分析：设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组： ．故答案为． 考点：由实际问题抽象出二元一次方程组． 7．（2020·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】设醇酒为斗，行酒为斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系． 三、解答题 8．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 得，，解得，． 将代入①得． 方程组的解是 9．（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？ 根据译文，解决下列问题： (1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ； (2)求兽、鸟各有多少． 【答案】(1) (2)兽有8只，鸟有7只． 【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x、y的二元一次方程组； （2）解方程组，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵兽与鸟共有76个头， ∴6x+4y=76； ∵兽与鸟共有46只脚， ∴4x+2y=46． ∴可列方程组为． 故答案为：； （2）解：原方程组可化简为， 由②可得y=23-2x③， 将③代入①得3x+2（23-2x）=38， 解得x=8， ∴y=23-2x=23-2×8=7． 答：兽有8只，鸟有7只． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．（2023·湖南张家界·中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆 (2)租14辆45座客车较合算 【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）由（1）结论求出所需费用比较即可． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆 依题意得 解得：， 答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆； （2）∵要使每位师生都有座位， ∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆， ，， ∵ ∴租14辆45座客车较合算． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键． 一、单选题 1．（21-22八年级上·四川成都·期末）直线经过点，则该直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，把点代入即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴直线为：； 故选：C 2．（22-23八年级上·河南郑州·期中）已知关于，的方程组的解也满足方程，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由和组成新的方程组，求解得到x和y的值，代入中解方程即可得到m的值． 【详解】解：∵关于，的方程组的解也满足方程， ∴可得到新的方程组， 解方程组得， 将代入中， 可得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了构造二元一次方程组求解、解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是用代入法进行检验．所谓方程组的解，是指未知数的值满足方程组中的每一个方程，据此分别代入即可判断． 【详解】解：把代入方程组， 可知满足方程组中的每一个方程， 故是此方程组的解， 故选：B． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（   ） A．15 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用②减①求出，然后得出即可求出k的值． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 5．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， 解得：， 故选：C 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的定义，二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．根据定义逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，是二元一次方程组，故该选项符合题意；     B. ，含有3个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意；     C.，最高次为2次，故该选项不符合题意； D. ，第2个方程不是整式方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．（24-25八年级上·河北张家口·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解法一：由得到，设，，则， 根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得到，，求解即可，解法二：把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：解法一：， ∴， 设，， ∴， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴，， 解得：， ∴原方程组的解集为：； 解法二：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故选：C． 8．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交点的意义，得，结合交点坐标与方程组的关系解答即可． 本题考查了交点的意义，交点坐标与方程组的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 故选：A． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元， 故选：D． 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据“绳索比竿长5尺；绳索对半折比竿短5尺”列方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：7． 12．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，先解方程组求出x，y，根据方程组的解为正整数，求出整数a的值，最后求和即可得到答案． 【详解】解：方程组得， ∵方程组的解为正整数， ∴都为正整数， ∴或或或或， ∴或或或或 ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：11． 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把x与y的值代入方程，再相减即可求出值． 【详解】解：把代入方程组得：， 由得：， 故答案为：1 14．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 15．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，理解方程中的“二元”和“一次”的含义是解答本题的关键． 根据二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴， 故答案为：1． 16．（24-25八年级上·北京·阶段练习）要用20张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．设有x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，依题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，理解题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程组是解题的关键． 依据题意列出方程组即可． 【详解】解：依据题意可列方程组如下： ， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与二元一次方程组的解，从数与形两个方面来理解两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解关系是解题关键．由交点坐标，代入求出的值，再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标求出方程组的解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴的解是． 故答案为： 18．（24-25八年级上·全国·期末）甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有 块糖． 【答案】40 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．根据题意列出方程组，解答即可． 【详解】解：设甲、乙二人原来分别有糖块、块糖，乙从丙处取来块糖． 则根据题意知，甲、乙、丙分别有糖块、、． 乙处糖的转换过程得知，， 由三处糖块一样多可得，， 把①代入③，得④； 由得，． 故乙原来有40块糖块． 故答案为：40． 三、解答题 19．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入法与加减法解方程组是解本题的关键； （1）将①代入②求出x的值，再将x的值代入①求出y的值即可； （2）由消去y，求得，再把代入②得，从而求出方程组的解． 【详解】（1）解： ， 把①代入②得，， 解得，， 把代入①得，， ∴方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为． 20．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）整理方程①得方程，然后利用加减消元后解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②可得，解得：， 将代入①可得， 故方程组的解为：． （2）解：， 整理①得：③， 得：，解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为． 21．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】此题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的三角形的面积，熟练掌握求一次函数与坐标轴交点坐标的方法与技巧是解决问题的关键． （1）当时，则，解得：，当时，则，可得出点A、B的坐标； （2）根据A，B两点的坐标得，，进而可由三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，则，解得：， ∴； 当时，则， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 22．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组； （1）依题意，，由①可得，代入②得，，即可求解． （2）依题意，③，代入②得，，，将代入①得，，即可求解． 【详解】（1）解： 依题意， 由①可得， 解得： ∴，代入②得， 解得： （2）解： 依题意，③ 将③代入②得，， 解得： ∴ 将代入①得， 解得： 23．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果，经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元） 售价（元） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果进行销售，求平台每天售完两种水果获利w（元）与销售甲种水果的数量的函数关系式；并说明在销售甲种水果的数量不超过的情况下，平台每天获利能否达到2500元？ 【答案】(1)的值为8，的值为12； (2)，不能获利2500元，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）根据“购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润每千克的销售利润销售数量，可找出关于的函数关系式，利用一次函数的性质，可求出的最大值，再将其与2500元比较后，即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：． 答：的值为8，的值为12； （2）根据题意得：， 即， ， 随的增大而增大， 又， 当时，取得最大值，最大值， ， 平台每天售完水果不能获利2500元． 24．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）先阅读，然后解方程组： 解方程组 时， 可由①得③， 然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解题意，掌握题目所给整体代入法的方法和步骤是解题的关键． 由①可得：③，把③代入②求出y的值，再把y的值代入③，求出x的值即可． 【详解】解： 由①可得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 25．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n的值代入方程组求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； （2）把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得： ， 则方程组的解为． 26．（23-24八年级上·四川眉山）阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ． 【答案】（2）  （3） 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （2）利用换元法解方程组即可； （3）设，进而得到，求解即可． 【详解】（2）设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （3）原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 二元一次方程组（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一 二元一次方程（组）概念及解 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程. 注意：二元一次方程的识别方法 ①“二元”，即含有两个未知数； ②“一次”，即含未知数的次数是1； ③“整式方程”，即未知数不能出现在分母中。 2、二元一次方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组． 注意： ①含有两个整式方程； ②方程中共含有两个未知数； ③含未知数的项的次数都是1． 3、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 注意： ①二元一次方程的每一个解都是一对数值，而不是一个数； ②一般情况下，一个二元一次方程有无穷多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个特殊的解。 4、二元一次方程组的解 我们把二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 注意： ①方程组的解同时满足方程组中的每一个方程； ②由于方程组需用“｛”括起来，所以方程组的解也要用“｛”括起来． 5、二元一次方程组解的情况 （1）唯一解；（2）无数解；（3）无解． 知识点二 二元一次方程组的解法 1、代入消元法 将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。 注意： ①找准消元对象。消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的）未知数，使变性后的方程比较简单或代入后比较容易化简； ②在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的第（2）步中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式； ③用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单． 2、 加减消元法 把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 注意： ①化为标准形式。用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成的标准形式，再设法加减消元，这样不易出错； ②选准消元对象。当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单。 知识点三 同解问题 方法技巧：理解方程组的解的实质，由方程组消去未知系数，构造只含两个未知数的二元一次方程，再根据其他条件求出两个未知数的值，最后回代求出未知数的值。 题型： 1、一个二元一次方程组和一个二元一次方程的同解，可以理解为三个方程有相同的解，可以选择其中两个构成二元一次方程组求解，再代入另一个方程求参数的值；或理解为三个方程构成一个三元一次方程组求解； 2、两个方程组有相同的解可以理解成四个方程具有相同的解，先将不含参数的方程联立成方程组，求出未知数的值，然后代入含有参数的方程即可求出参数的值。 知识点四 列方程组解应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： ①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为： ①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式； ②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数； ③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程； ④解答。 知识点五 分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 知识点六 一次函数与二元一次方程（组） 1．一次函数与二元一次方程的关系 一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2．一次函数与二元一次方程组的关系 如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应二元一次方程组的解． 所以求两直线交点的方法为：联立函数关系式，求解方程组． 已知两直线和相交于一点，求交点坐标． ①联立两个直线的函数关系式得到方程组 ②解关于x和y的方程组，得到交点坐标． 用一次函数的图象法求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 知识点七、三元一次方程组的概念 1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。 知识点八、解三元一次方程组的方法和步骤 1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元 考点1：二元一次方程(组)的有关概念 【例题1】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）在下列方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列各组数中，不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【变式3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）若关于，的方程，，有公共解，求k的值． 考点2：三元一次方程组 【例题2】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若方程组的解满足，则点在第 象限． 【变式3】（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）已知，的周长为，、、是三角形三边的长且，，求、、的值． 考点3：方程组的解法 【例题3】（24-25八年级上·北京大兴·阶段练习）解方程组． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【变式3】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 考点4：二元一次方程的应用 【例题4】（24-25八年级上·河南·阶段练习）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学校组织八年级学生到周原景区参观研学，如果每辆汽车坐40人，则有5人没有上车；如果每辆汽车坐48人，则空出一辆汽车，并且其中有一辆车还可以再坐11人．现假设共有x个学生，y辆汽车，则可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）学校开展以环保为主题的演讲活动，计划拿出120元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），用来奖励表现突出的学生．已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有 种． 【变式3】（23-24八年级上·辽宁·期中）甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇． (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 考点5：二元一次方程(组)与一次函数的关系 【例题5】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数与的图象都经过，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 【变式2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数与的图象的交点坐标为． (1)关于x，y的方程组的解为_________； (2)求a，b的值． 考点6：两种思想 思想1：建模思想 【例题6】（24-25八年级上·全国·课后作业）某班组织学生参加植树活动，男生植树数量比女生植树数量的2倍多8棵，男女生植树数量的总数是56棵，则男生植树（　　） A．14棵 B．16棵 C．28棵 D．40棵 【变式1】（23-24七年级上·重庆渝北·期末）一停车场上有辆车，其中一辆汽车有个轮子，一辆摩托车有个轮子，且停车场只有汽车和摩托车，这些车共有个轮子，那么摩托车应为（　　） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分为 分． 【变式3】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克． (1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？ (2)现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型、B型球各有多少只？ 思想2：整体思想 【例题7】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________； (2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； (3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______． 【变式1】（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数满足求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①-②可得，由①+②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组则________，________． (2)已知关于的二元一次方程组若方程组的解满足，求的值． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【变式3】（22-23八年级上·河南驻马店·期中）一些关于方程组的问题，求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需36元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 一、单选题 1．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 3．（2023·四川绵阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（  ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 5．（2023·河南·中考真题）方程组的解为 ． 6．（2016·四川宜宾·中考真题）今年“五一”，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组 ． 7．（2020·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 三、解答题 8．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 9．（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？ 根据译文，解决下列问题： (1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ； (2)求兽、鸟各有多少． 10．（2023·湖南张家界·中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 一、单选题 1．（21-22八年级上·四川成都·期末）直线经过点，则该直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河南郑州·期中）已知关于，的方程组的解也满足方程，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（   ） A．15 B． C．14 D． 5．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北张家口·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 12．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 14．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是 ． 15．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 16．（24-25八年级上·北京·阶段练习）要用20张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．设有x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，依题意可列方程组 ． 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 18．（24-25八年级上·全国·期末）甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有 块糖． 三、解答题 19．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 20．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 21．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． 22．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 23．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果，经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元） 售价（元） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果进行销售，求平台每天售完两种水果获利w（元）与销售甲种水果的数量的函数关系式；并说明在销售甲种水果的数量不超过的情况下，平台每天获利能否达到2500元？ 24．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）先阅读，然后解方程组： 解方程组 时， 可由①得③， 然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组 25．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 26．（23-24八年级上·四川眉山）阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$