第03讲 函数的单调性、极值和最值（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第03讲 函数的单调性、极值和最值 【人教A版2019】 模块一 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1.1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式1.2】（23-24高二下·湖北·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2.1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2.1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二下·海南·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数单调性的应用】 【例3.1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 模块二 函数的极值与最大（小）值 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 3．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【题型4 利用导数求函数的极值】 【例4.1】（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数在处取得极值，则的极大值为（    ） A． B． C． D．1 【例4.2】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 【变式4.2】（23-24高二下·重庆·期末）若函数，在时有极大值，则的极小值为（    ） A．0 B． C． D． 【题型5 根据极值（点）求参数】 【例5.1】（23-24高二下·广东佛山·期中）若函数不存在极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式5.1】（23-24高二下·海南·期中）已知是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高三上·四川广安·阶段练习）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用导数求函数的最值】 【例6.1】（23-24高二下·湖北·期中）函数在上的最大值为（    ） A．0 B． C． D． 【例6.2】（24-25高三·上海·课堂例题）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 【变式6.1】（23-24高二下·湖南益阳·期末）关于函数，下列结论中错误的是（    ） A．定义域为 B．在上单调递增 C．当时， D．当时， 【变式6.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数6，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7.1】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高二下·河南郑州·期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8.1】（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【例8.2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若函数，且是的两个极值点，求的最小值． 【变式8.1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，且． (1)求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，讨论函数在上的最大值． 【变式8.2】（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知函数. (1)讨论的极值点； (2)当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（23-24高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）若函数在处有极大值，则（     ） A．1或3 B．3 C．1 D． 3．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 4．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若函数的导函数图象如图所示，则（ ） A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．的解集为 7．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 8．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·四川自贡·期中）函数的单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是增函数，无极值 B．是减函数，无极值 C．的单调递增区间为，单调递减区间为 D．是极小值，是极大值 11．（23-24高二下·河北·期末）已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（    ） A．a的取值范围是 B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题 12．（23-24高二下·四川雅安·期中）函数是上的单调增函数，则a的取值范围是 . 13．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)写出函数的定义域，求当时的单调区间； (2)若，在区间上为减函数，求a的取值范围. 17．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数． (1)若，求在上的最值； (2)讨论函数的单调性． 18．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 19．（23-24高二下·北京东城·期中）已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在上的最大值、最小值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 函数的单调性、极值和最值 【人教A版2019】 模块一 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1.1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【解答过程】函数的定义域为 ， ， 由，得，解得 ， 所以的单调增区间为 . 故选：B. 【例1.2】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】求出定义域以及导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可 【解答过程】由题意， 在中，， 当时，解得（舍）或， 当即时，函数单调递减， ∴的单调递减区间为. 故选：B. 【变式1.1】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【解题思路】（1）求导得，设切点，写出切线方程，代入，即可得到答案； （2）求导，分讨论即可. 【解答过程】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 所以，切线方程为， 将代入得，解得或， 故过的切线方程为或. （2）. 当时，，恒有，函数单调递增， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式1.2】（23-24高二下·湖北·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【解题思路】（1）求导，对进行分类讨论，由导数符号与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：对分类讨论；方法二：参变分离，转换成不等式恒成立求参数，构造适当的函数，利用导数求最值即可得解. 【解答过程】（1）因为，，所以. 若，则恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）方法一：当时，，不符合恒成立. 当时，由（1）可知，. 因为恒成立，所以，解得，故a的取值范围为. 方法二：恒成立等价于恒成立. 令，则. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则，故a的取值范围为. 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2.1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可. 【解答过程】 ，若函数在区间上单调递减， 即在上恒成立， 即在[1,2]上恒成立. 令，则在上单调递减，, 所以,, 即 故选：C. 【例2.2】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【解答过程】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 【变式2.1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的导数，利用单调性列出恒成立的不等式即可求解. 【解答过程】函数，求导得， 由在区间上单调递增，得，， 而对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，因此， 所以实数k的取值范围为. 故选：B. 【变式2.2】（23-24高二下·海南·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，结合二次函数的零点分布即可求出的取值范围． 【解答过程】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 所以或， 解得或 综上可得， 故选：A. 【题型3 函数单调性的应用】 【例3.1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【解答过程】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【例3.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，先判断函数的对称性，再将所求转化为，再利用导数判断函数的单调性，再根据单调性解不等式即可. 【解答过程】令， 则， 所以函数关于对称， 由，得， 即， 因为函数关于对称，所以， 则， ， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以函数在上单调递增， 则，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式3.1】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系. 【解答过程】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 【变式3.2】（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用导数得出其单调性，进而由单调性解不等式即可. 【解答过程】构造函数，， ，即函数在上单调递减， 等价于，解得. 即的解集为. 故选：D. 模块二 函数的极值与最大（小）值 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 3．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【题型4 利用导数求函数的极值】 【例4.1】（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数在处取得极值，则的极大值为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】先求出a的值，再由导数求出单调性求解． 【解答过程】由题意知，，所以，解得， 所以，令，解得或， 由得，，或， 由得，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以的极大值为. 故选：B. 【例4.2】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值. 【解答过程】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 故选：D． 【变式4.1】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 【解题思路】根据函数的图象，得出导函数符号的分布情况，再根据极值的定义即可得解. 【解答过程】由函数的图象， 得当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数有极小值，极大值和. 故选：C. 【变式4.2】（23-24高二下·重庆·期末）若函数，在时有极大值，则的极小值为（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，，求解，再利用导数判断函数的单调性，求解函数的极小值. 【解答过程】， 由题意可知，，， 即，解得：， 当时，，令， 得或， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极小值为. 故选：D. 【题型5 根据极值（点）求参数】 【例5.1】（23-24高二下·广东佛山·期中）若函数不存在极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对函数求导后，由题意可知恒成立，则，从而可求出的取值范围. 【解答过程】由，得， 因为函数不存在极值， 所以在上恒成立， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A. 【例5.2】（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【解题思路】根据题中条件列出方程组，解出，，验证即可； 【解答过程】由题意得， 因为时，有极大值， 所以，解得，， 经检验，当，时，, 故当在上单调递减， 当在上单调递减， 故在时有极大值，符合题意，所以成立． 故选：B． 【变式5.1】（23-24高二下·海南·期中）已知是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，根据极值点与导数之间的关系解得，并代入检验. 【解答过程】由题意可知的定义域为，且， 若是函数的极值点， 则，解得； 若，则， 因为在内单调递减， 可知在内单调递减，且， 当，；当，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则是函数的极值点，即符合题意； 综上所述：. 故选：B. 【变式5.2】（23-24高三上·四川广安·阶段练习）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求导函数，根据存在极值得出在给定区间有变号零点,设再根据导数求出最值即可求解. 【解答过程】, 函数在上存在极值，在该区间有变号零点. 即, ,单调递减,设， 单调递增; 单调递减; , , . 故选:B. 【题型6 利用导数求函数的最值】 【例6.1】（23-24高二下·湖北·期中）函数在上的最大值为（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】利用导数的性质判断函数的单调性，结合函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】， 当时，有单调递增， 当时，有单调递减， 所以， 故选：C. 【例6.2】（24-25高三·上海·课堂例题）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 【解题思路】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为3求出，进而根据单调性可得其最小值. 【解答过程】由，得， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 故当时，取得最大值，即，此时， 当，，当时， 故最小值为. 故选：A. 【变式6.1】（23-24高二下·湖南益阳·期末）关于函数，下列结论中错误的是（    ） A．定义域为 B．在上单调递增 C．当时， D．当时， 【解题思路】根据函数表达式有意义的条件即可判断A；求导，令导函数等于0求解，讨论即可判断B；利用特殊情况时，，来说明不成立即可判断；把代入解析式，利用导函数研究最值即可判断． 【解答过程】A．有意义时真数大于0，故定义域为，故A正确，不符合题意； B．，故， 令，即，解得， 当时，，故在上单调递增，正确，不符合题意； C．当时，例如时，，当，显然， 故错误，符合题意； D．当时，，令，即，解得， 当时，则，故在上单调递减， 当时，则，故在上单调递增， 当时，函数取到极小值，也是最小值，，故正确，不符合题意； 故选：C． 【变式6.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数6，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数解析式判断其单调性，从而不妨设，可得，由此可求得，构造函数，利用导数即可求得最值. 【解答过程】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 不妨设，则， 可得，则， 令，则， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故选：D. 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7.1】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求导可得，可求得的极值点，同时确认在各个区间的单调性，即可求得. 【解答过程】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为， 故选：D. 【例7.2】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【解答过程】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式7.1】（23-24高二下·河南郑州·期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出导数，判断单调性，结合函数图象，求出的范围即可． 【解答过程】求导，令，得． 易知函数在单调递增，在单调递减，且，，由图象知 故选：D. 【变式7.2】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求得，得出函数的单调性，结合题意，得到，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 故选：D. 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8.1】（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【解题思路】（1）根据极值的定义得到关于，的方程组，即可求出，. （2）判断函数在上的单调性，结合函数的极值和端点函数值求解. 【解答过程】（1）， ∵函数在处取得极值4， ∴，，解得，， ∴，经验证在处取得极大值4， 故，. （2）由（1）可知，，， 令，解得，令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在在时取得极小值，极小值为； 在时取得极大值，极大值为，且，， 经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是. 【例8.2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若函数，且是的两个极值点，求的最小值． 【解题思路】（1）根据题意，求导即可得到，然后分与讨论，即可得到结果； （2）根据题意，将函数极值点问题转化为方程在上有两个不等实根，即可得到，然后构造函数求得极值，即可得到结果. 【解答过程】（1）因为，则，， 当时，，则函数在单调递增， 当时，， 当，，则单调递减， 当，，则单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，， 则， 因为函数有两个极值点， 所以方程在上有两个不等实根， 则，即， 且，，所以， 所以 ， 令，则， 所以， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值，即最小值，且， 此时，即时，取得最小值. 【变式8.1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，且． (1)求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，讨论函数在上的最大值． 【解题思路】（1）求出函数的导函数，依题意，可求得，再结合，即可求解； （2）分、和三种情况结合单调性讨论即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以，                                因为时，有极大值，所以，即，即．              当时，， 令，即；令，即或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，符合题目条件；      又，所以，              所以． （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ①当时，函数在上单调递增， ； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，                        又，                     所以；                         ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，       综上所述，当或时，； 当时，． 【变式8.2】（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知函数. (1)讨论的极值点； (2)当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）求导后得到两个导函数零点，然后根据参数进行分类讨论，分三类讨论，然后列表即可求得极值； （2）结合第（1）题的结论，即可求出的最小值，建立关于a的方程，解方程的a的值，然后验证即可. 【解答过程】（1），令，则，， ①当a=0时，，所以为增函数，故无极值点； ②当a>0时，当x变化时，及变化如下表： x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知的极值小点为，其极大值点−a； ③当a<0时，当x变化时，及变化如下表： x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知的极值小点为−a，其极大值点． 综上所述，当a=0时，无极值点；当a>0时，的极值小点为，极大值点 −a；当a<0时，的极值小点为−a，其极大值点． （2）方法一：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1， 则[0，1]，； 由已知可得，，则， 由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴， ∴， ∵，，则成立，解得：， ∵， ∴当时，，即的最大值为， 综上所述，满足题意的． 方法二：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1， 则[0，1]，； 由已知可得，，则， 由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴， ∴， ∵，， 令，则的零点为，且在上单调递增， ∵，则， ∴当时，则成立，则，即的最大值为，符合题意， 综上所述，． 一、单选题 1．（23-24高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出函数的导函数，分析单调性求解实数的取值范围即可. 【解答过程】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）若函数在处有极大值，则（     ） A．1或3 B．3 C．1 D． 【解题思路】根据在处的导数为0求得c，然后验证函数是否在处取得极大值即可. 【解答过程】因为 若函数在处有极大值， 所以，解得或， 当时，， 当或时，，当时，， 则函数在处取得极小值（舍去）； 当时，， 当或时，，当时，， 则函数在处取得极大值，综上，. 故选：C. 3．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【解题思路】由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属，由此可得在不同区间内的正负，进而判断单调性，得到结果. 【解答过程】时，单调递减；时，单调递增， 已知图象中在上单调递减，在上单调递增， 且有两个零点和的是， ， 由图象可知：当时，；当时，； 当时，；当时，； 在上不单调，A错误； 在上单调递减，B正确； 在，上单调递增，CD错误. 故选：B. 4．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求导得，即可得到在上单调递增，从而可比较函数值的大小关系. 【解答过程】由可得， 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以， 即，则， 所以. 故选：D. 5．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】化简变形后可设，知其在上单调递增，若，则，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果. 【解答过程】由已知有，即，即， 因为，令，，易知在上单调递增， 因，所以，故，即. 所以，令，可得， 又因在上小于零，故y在单调递减， 在上大于零，故y在单调递增， 故当时，y取极小值也是最小值为e. 故选：A. 6．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若函数的导函数图象如图所示，则（ ） A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．的解集为 【解题思路】根据题意，结合函数的单调性与导数图象之间关系，逐项判定，即可得答案. 【解答过程】对于A，由图可知，当时，；当时，. 所以为函数的极小值点，故A正确； 对于B，由图可知，当时，， 所以不是的极值点，故B错误； 对于C，由图可知，当时，，当且仅当，， 所以在上单调递增，故C错误； 对于D，由图可知，当时，单调递增，所以，故D错误. 故选：A. 7．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【解题思路】利用导数求出函数的单调区间，从而可表示出函数的最小值，然后列方程可求出的值，从而可求出最大值. 【解答过程】由，得， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为的最小值为，所以， 所以， 因为，， 所以的最大值为. 故选：B. 8．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得. 【解答过程】由可得，即， 设，，则由可得，在上单调递增. 又， 由可得，，即，解得. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·四川自贡·期中）函数的单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数求出函数的单调增区间即可. 【解答过程】， 令，则， 所以函数的单调增区间为， 则符合题意的选项为AD. 故选：AD. 10．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是增函数，无极值 B．是减函数，无极值 C．的单调递增区间为，单调递减区间为 D．是极小值，是极大值 【解题思路】求出，求出的区间，的区间，求出的单调递增区间和单调递减区间，判断A、B和C选项，求出的极小值和极大值，判断D选项. 【解答过程】定义域为，， 当时，，当时，， 的单调递增区间为，单调递减区间为，AB错误，C正确； 的极小值为，极大值为，D正确. 故选：CD. 11．（23-24高二下·河北·期末）已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（    ） A．a的取值范围是 B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【解题思路】首先求函数的导数，转化为二次函数根的分布问题，即可判断ABC，并利用韦达定理表示，转化为关于的函数，利用导数判断函数的单调性，再求最值，即可判断D. 【解答过程】对AB，，， 由题意可知，有2个正根， 则，解得：，故A错误，B正确； 对C，，，所以，故C正确； 对D，， ， 设，， ，所以函数在单调递减， ， 所以的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高二下·四川雅安·期中）函数是上的单调增函数，则a的取值范围是 . 【解题思路】因为函数在上是递增函数，所以可利用导数恒大于或等于零来研究参数的取值范围. 【解答过程】由函数求导得：， 因为函数是上的单调增函数， 所以，即， 又由，则，解得， 故答案为：. 13．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【解题思路】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【解答过程】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】由题意在区间无解，在区间有2两个不同解，然后参变分离，转换成图像交点问题即可. 【解答过程】由题意在区间无解， 即在区间无解，设，则， 所以当时，，在单调递减， 当当时，，在单调递增， 所以，显然当趋于无穷大时，趋于无穷大，所以； 又函数在区间有2个极值点， 所以在区间有2两个不同解， 即在区间有2两个不同解， 设，则， 所以当时，，在单调递减， 当当时，，在单调递增， 所以，显然当趋于无穷大和0时，都趋于无穷大， 所以，所以，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【解题思路】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程； （2）求导，解不等式得到单调区间. 【解答过程】（1）∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． （2）∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 16．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)写出函数的定义域，求当时的单调区间； (2)若，在区间上为减函数，求a的取值范围. 【解题思路】（1）由函数解析式求出定义域，求出函数导数，建立不等式求解，即得函数单调区间； （2）由在区间上为减函数等价于在区间上恒成立，由二次函数得到关于参数的不等式组，解之即得. 【解答过程】（1）因为， 所以函数定义域为， 当时，， 因，由可得，则的单调增区间为， 由，解得，所以的单调减区间为， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由函数，可得， 在区间上为减函数等价于在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 不妨设且，结合二次函数的图象与性质， 需使，解得或（舍去）. 即的取值范围是. 17．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数． (1)若，求在上的最值； (2)讨论函数的单调性． 【解题思路】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，比较端点值和极值大小，即可求解最值； （2）首先求函数的导数，并化简得，再讨论导数的零点，求函数的单调性. 【解答过程】（1）当时，， 当，，，的变化情况如下表所示， 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间的最大值为，最小值为. （2）， 令，得或， 当，即时，，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当，即，此时恒成立，所以函数的单调递增区间是，无减区间； 当，即时，，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，函数的单调递增区间是，无减区间； 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. 18．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 【解题思路】（1）求导，令，进而可判断函数的单增区间与单减区间，进而可求极值； （2）利用导数，分或两种情况讨论，可求的取值范围. 【解答过程】（1）由，可得， 令，解得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，； （2）由，可得， 因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立， 当时，由，可得， 当，由，可得，所以， 又在上单调递减，所以，所以， 所以的取值范围为. 19．（23-24高二下·北京东城·期中）已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在上的最大值、最小值. 【解题思路】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可； （2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值. （3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可. 【解答过程】（1）由题意可知：，则 因为曲线在处的切线方程为， 则，即，解得. （2）因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （3）函数在，上单调递增，在上单调递减， 且， 函数在上的最大值,最小值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$