清单02 全等三角形综合题清单（9个题型50题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（冀教版）

清单02 全等三角形综合题清单 一、SSS的综合应用 1．（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等判定的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，先根据作图分别判断三角形全等的判定方法，然后进行判断即可． 【详解】解：（1）从作图可知：，， 根据“”可得：， 所以； （2）从操作可得：，，，根据“”得； （3）因为，，，根据“”得， 所以是的平分线； （4）从图形可知：应该先画，然后边和上分别截取，，连接，根据“”得； 综上分析可知：判定方法不一样的是（4）． 故选：D． 2．如图所示，、、、四点在同一条直线上，若，，， 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由可推出，利用即可得出结论； （2）由（1）可得：，因而可得，由、、、四点在同一条直线上可得，于是得证． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）可得：， ， 、、、四点在同一条直线上， ， ． 3．如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解 (2)48 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 4．如图，已知，，点D、E分别在、上，且，，连接，、交于点M、连接． (1)求证：； (2)嘉琪说：“若，则E是的中点”，请你运用所学知识判断嘉琪的说法是否正确，若正确，给出证明；若不正确，说出理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)嘉琪的说法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，线段和差问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质； （1）根据线段和差问题得出，再利用即可证明； （2）由，得出，再根据证明，则有，根据三角形面积公式可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， 又，， ， 在和中， ， （2）解：嘉琪的说法正确，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ； ， ， 过点M作于点F， 则， ， 即E是的中点． 5．在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明； （2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立， 理由：如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 证明：如图，延长到点，使，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键． 二、SAS的综合应用 6．如图所示，已知四边形中，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上面由点C向点D运动，当点Q的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ②当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴，， ∴， ∴点的运动速度：； 故答案为：或． 7．如图，．和是对应角，和是对应边．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． (3)与有何关系（位置和大小）？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，，证明见解析 【分析】 根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算； 根据全等三角形的对应边相等计算； 根据全等三角形的判定和性质以及平行线的判定定理即可得到结论. 【详解】（1）∵， ∴，， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3），． 证明：∵， ∴ 又∵，， ∴ ∴，   ∴ 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键. 8．问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明推出，再依次证明，，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，再依次证明，，推出，可得． 【详解】（1）解：证明如下：在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． （2）解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点G使，连接，如图， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 9．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）12 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形的三边关系，关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得，，即可求解； （3）延长到使，连接，又，即可判定，得到，，而，得到，由，得到，由三角形那么久公式求出的面积，又的面积的面积，于是得到四边形的面积的面积． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是的中线， ， 又， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 又， ， ． （3）延长到K使，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积． 10．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 【答案】(1) (2)猜想，证明见解析 (3)，，证明见解析 (4) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系； （1）延长到M，使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中根据全等三角形的性质可得，，则； （3）延长到M，使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明得到，，再根据线段的和差关系和角之间的关系即可得到结论； （4）过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到；同理可证明，得到，再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：延长到M，使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即 ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，证明如下： 由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：， ，证明如下： 延长到M，使得，延长交于G，连接，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴（周角的定义）， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，； （4）解：如图所示，过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N， ∵是的高，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ， ∴； 同理可证明， ∴， ∴． 三、ASA（AAS）的综合应用 11．如图，，P为的中点，M为射线上（不与点A重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点N，设． (1)求证：． (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由P是的中点，可得，证明； （2）由（1）得，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵P是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 12．已知：线段，以为公共边，在两侧分别作和，并使．点E在射线上． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，若，过点D作交射线于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由，可得，由，可得，进而结论得证； （2）如图1，记的交点为，由，可知，，由，可知，然后作答即可； （3）证明，则，由，可得，由（3）可知，，则，由，，可得，计算求得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图1，记的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（3）可知，， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13．在中，，，点C在直线m上，于点D，于点E，连接． (1)当直线m在如图1所示位置时，且． ①求证：； ②求线段的长； (2)当直线m在如图2所示位置时，，，求的长及的面积； (3)点A，B在直线m异侧，若，当与的面积成2倍关系时，直接写出的长（用含c的代数式表示）． 【答案】(1)①证明见解析；②12 (2)，的面积为 (3)或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）①先证出，，再利用定理即可得证； ②先根据全等三角形的性质可得，再根据求解即可得； （2）先证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据线段和差、三角形的面积公式求解即可得； （3）根据直线的位置分两种情况（图见解析），再根据全等三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 的面积为． （3）解：由题意，分以下两种情况： ①当直线在如下图的所在位置时， ∵， ∴的面积与的面积相等，， ∵与的面积成2倍关系， ∴与的面积成2倍关系，即此时有， ∴， ∴； ②当直线在如下图的所在位置时， 同理可证：， ∴的面积与的面积相等，， ∵与的面积成2倍关系， ∴与的面积成2倍关系，即此时有， ∴， ∴， 综上，的长为或． 14．直线经过的顶点，．E，F分别是直线上两点，且． 【数学思考】若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若，，求证：； （2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】 如图3，若直线经过的外部，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，则与的面积之和为_____． 【答案】数学思考：（1）见解析；（2）当时，①中的结论仍然成立，见解析；问题拓展：4 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 数学思考：（1）证明，则，，； （2）当时，，证明，则，，； 问题拓展：证明，则得到，结合题意可得，从而得出结果． 【详解】数学思考：（1）证明：，， ， ， ，，， ， ，， ， ； （2）解：当时，①中的结论仍然成立，理由如下： 当时，则， ， ，，， ， ，， ， ； 问题拓展： 解：， ， ，，， ， ，的面积是12， ． 15．【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为10；（4）和之间的数量关系为；证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，然后证明出； （2）同（1）可得，，得到，然后根据结合三角形外角的性质得到，进而求解即可； （3）如图所示，延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为30得到，进而求解即可； （4）如图：延长交延长线于F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【详解】解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 四、HL的综合应用 16．数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，是的中点，平分，求证：． 小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再试图说明，即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式． ①过点作交于点； ②作，交于点； ③在上取一点，使得，连接； 上述3种辅助线的添加方式，可以证明“”的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①如图1，过作EF⊥AD，垂足为点F，证明△DEF≌△DCE（AAS），由全等三角形的性质得出CE=EF，DC=DF，∠CED=∠FED，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），得出AF=AB，则得出结论；②作EF=EC，交AD于点F，不能证明结论；③在AD上取一点F，使得DF=DC，连接EF，证明△DEF≌△DCE（SAS），得出CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）得出AF=AB．则可得出结论． 【详解】解：①如图1，过作，垂足为点， 可得， 则， 平分， ， 在和中， ， ； ，，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ． ②如图2，作，交于点； ，，， 根据不能证明， 这种辅助线的添加方式不能证明结论． ③如图3，在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 17．已知：如图，，，垂足分别为，，，与相交于点． (1)求证∶； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）连接，根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，，，可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2），，， ， ， ． 18．如图，已知． 【初步探究】（1）如图1，为边的中点，连接并延长到点，使，连接，求与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图2，若，过点作于点，为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，试说明：． 【答案】（1），；理由见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据线段中点的定义得出，进而证明，根据全等三角形的性质，平行线的判定，即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，证明， 得出，，证明，得出，证明， 得出，即可得证． 【详解】（1）解：，，理由如下： 为边的中点， ， 在和中， ，，， ， ，， ． （2）证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ． 在和中， ，， ， ， ， ∴， 即， ∴， 在和中， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 19．已知点为的外角的平分线上一点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，试比较与的大小关系； (3)如图3，在（1）的条件下，、分别是边、上的点，且，则线段、之间的数量关系为_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点P作,则,再证可得，然后根据三角形内角和定理即可证明结论； （2）如图：延长至M，使得,连接，先证可得，再根据三角形的三边关系可得，即，最后根据即可解答； （3）如图：在上截取，连接，先证可得，,即，进而说明；再证可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点P作,则,    ∵， ∴, ∴， ∵,, ∴． （2）解：如图：延长至M，使得,连接，    ∵为的角平分线， ∴, ∵, ∴， ∴ 在中，，即， ∵, ∴． （3）解：如图：在上截取，连接，    由（1）可得： ∵, ∴， ∴，, ∴，即 ∵ ∴， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 20．将两个全等的直角三角形△ABC和△DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：AF+EF＝DE； （2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其它条件不变，如图②．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由； （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其它条件不变，请在图③中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立． 【答案】（1）证明见详解；（2）AF=DE+EF，理由见详解；（3）成立，理由见详解． 【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE=AF+CF，因此只要求出EF=CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE=BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF=CF，也就能证得本题的结论了； （2）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF． （3）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样； 【详解】解：（1）证明：连接BF，如图， ∵△ABC≌△DBE（已知）， ∴BC=BE，AC=DE． ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴∠BCF=∠BEF=90°． 在Rt△BFC和Rt△BFE中， ∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）． ∴CF=EF． 又∵AF+CF=AC， ∴AF+EF=DE． （2）证明：连接BF， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE， ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴△BCF和△BEF是直角三角形， 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ， ∴△BCF≌△BEF（HL）， ∴CF=EF； ∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE， ∴AF=AC+FC=DE+EF． （3）画出正确图形如图： 同（1）得CF=EF， ∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE， ∴AF+FC=AF+EF=AC=DE． ∴（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键． 五、以尺规作图为基础的全等三角形证明 21．嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明过程．    【答案】（1）BE；BF；（2）见解析 【分析】（1）以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧得到BC=BE，根据题目第一句话得AE=BF； （2）根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC，然后根据AAS证明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧 ∴BC=BE 根据已知条件第一句话，得到AE=BF 故答案为：BE；BF； （2）证明：∵CF⊥BE， ∴∠BFC=90°， 又∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠FBC． ∵以点B为圆心，BC长为半径画弧， ∴BE=BC， 在△ABE与△FCB中， ∴△ABE≌△FCB， ∴AE=BF 【点睛】本题考查了尺规作图，和三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定条件，和性质是本题的关键． 22．阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析 【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． ②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论． 【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下： ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG； ②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②． 理由如下：∵BG＝BF， ∴∠G＝∠BFG， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFG， ∴∠G＝∠EAF， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∴AC＝BF； 故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G； （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示： 则∠G＝∠CAD， ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题． 23．（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 24．如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)图见解析，见解析 【分析】（1）由，，可得，即得，即可证明；延长，交于点，由，，可得，故，由知，可得，因，即可证明； （2）根据作一个角等于已知角的步骤即可，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知点，，这三个点在同一直线上． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ②理由：分别延长，交于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． （2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交于M，交于N，②以B为圆心，的长为半径画弧交于K，③以K为圆心，的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线，则即为所求；    ∵， ∴， 由（1）②知，， ∴过B的直线都与平行， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，这三个点在同一直线上． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 25．综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点在的边的延长线上，过点作且，在上截取，再作交线段于点．    实践操作 （1）尺规作图：作出符合上述条件的图形； 探究发现 （2）勤奋小组在作出图形后，发现，，请说明理由； 探究应用 （3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）线段的长为9 【分析】（1）以为圆心，任意为半径画弧，交于 ,以为圆心，同等长为半径画弧,交于,以为圆心，为半径，与前弧交于,连接并延长至,以为圆心，长为半径，与交于，以为圆心，任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心，同等长为半径，交于，以为圆心，长为半径交前弧于,连接并延长交于; 　 （2）根据平行和（1）中作的图证明，根据全等得出对应边相等、再根据对应角相等得出平行； （3）由（2）的全等得出，再根据线段之间的关系算出． 【详解】（1）以为圆心，任意为半径画弧，交于 ,以为圆心，同等长为半径画弧,交于,以为圆心，为半径，与前弧交于,连接并延长至,以为圆心，长为半径，与交于，以为圆心，任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心，同等长为半径，交于，以为圆心，长为半径交前弧于,连接并延长交于，如图为所求图形：    （2）理由如下： 在和中， ∴． ∴，． ∴． （3）由（2）得，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴线段的长为9． 【点睛】本题考查尺规作图和全等三角形的性质和判定，熟练掌握尺规作图和全等三角形的边角代换是解题关键． 六、倍长中线模型 26．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)已作；对顶角相等；； (2) (3)6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 27．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 28．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 29．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【详解】（1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 30．【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：． 【拓展应用】 如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】[发现问题] 延长到，使得，连接，先判断出，由可证，据此即可解答； [解决问题] 延长到，使，连接，，首先根据全等三角形的判定和性质，可得，再根据线段垂直平分线的性质，可得，最后根据三角形三边的关系，即可证得； [拓展应用] 延长到，使得，连接，同上的方法得出，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可求解． 【详解】解：[发现问题]如图1，延长到E，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：； [解决问题] 延长到，使，连接，，如图， ∵AD是BC中点， ∴BD=DC， ∵在和中 ∴， ∵， ∴ 在中， ∴ [拓展应用] 如图2，延长到，使得，连接， 由(1)知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 七、旋转模型 31．综合与实践 【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：． 【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P．    (1)如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______； (2)如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明． (3)如图5，当点M在线段上时的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用证明，可得结论； （2）过点N作直线于E，证明，可得，再证明，可得结论； （3）过点N作直线于H，证明，可得，，证明，可得，，，设，，则，可得，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转得，， ∵，点M与点C重合， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：， 证明：过点N作直线于E，    ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过点N作直线于H，    同理得， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． 32．在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 【答案】【探究】AM＋BN＝MN，证明见解析；（1）AM＋BN＝MN，证明见解析；（2）BN−AM＝MN，证明见解析 【分析】探究：延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （2）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可． 【详解】探究：AM＋BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中 ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE. ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE. 在△MDN和△EDN中， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN， ∴AM＋BN＝MN． 解：（1）AM＋BN＝MN. 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， ∠ACD＝45°，，。 ∠MDN＋∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠DBE＝90°. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA. ∵∠MDN＝∠BDC， ∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB. 在△DAM和△DBE中, ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE. ∵∠MDN＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE. ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE. 在△MDN和△EDN中, ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN， ∴AM＋BN＝MN． 解：（2）BN−AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∠ACD＝45°，， ∠MDN＋∠ACD＝90°. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA. ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN. ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°. 在△DAM和△DBE中 ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE. ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN. 在△MDN和△EDN中, ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE. ∵NE＝BN−BE＝BN−AM， ∴BN−AM＝MN． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等是解题的关键． 33．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．    【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2 【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案； （2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论； （3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解． 【详解】解：（1）如图1中，    ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CBE＝∠A， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBE＝∠A＝45°， ∴ABE＝90°， ∴AB⊥BE， ∵AB＝AD+BD，AD＝BE， ∴AB＝BD+BE， 故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE． （2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．    理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵AD＝AB+BD，AD＝BE， ∴BE＝AB+BD． ②如图3中，结论：BD＝AB+BE．    理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴AD＝BE， ∵BD＝AB+AD，AD＝BE， ∴BD＝AB+BE． （3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝5+7＝12， ∵BE⊥AD， ∴S△AED•AD•EB12×12＝72． 如图3中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2， ∵BE⊥AD， ∴S△AED•AD•EB2×2＝2． 【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键． 34．如图，和都是等腰直角三角形，． （1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______． 【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）34或14 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出BC=AC，EC=DC，在作差，得出BE=AD，再用∠ACB=90°，即可得出结论； （2）先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD（SAS），得出BE=AD，∠CBE=∠CAD，BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G，进而得出∠CAD+∠BHC=90°，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD于M，求出EM=CM=DE=10，再用勾股定理求出AM=24，即可得出结论； ②当点D在线段AD的延长线上时，过点C作CN⊥AD于N，求出EN=CN=DE=10，再由勾股定理求出根据勾股定理得，AN=24，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴BC=AC，EC=DC， ∴BC-EC=AC-DC， ∴BE=AD， ∵点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°， ∴BE⊥AD， 故答案为BE=AD，BE⊥AD； （2）（1）中结论仍然成立，理由： 由旋转知，∠BCE=∠ACD， ∵BC=AC，EC=DC， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 如图2， BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBE+∠BHC=90°， ∴∠CAD+∠BHC=90°， ∵∠BHC=∠AHG， ∴∠CAD+∠AHG=90°， ∴∠AGH=90°， ∴BE⊥AD； （3）①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M， ∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20， ∴EM=CM=DE=10， 在Rt△AMC中，AC=26， 根据勾股定理得，， ∴AE=AM-EM=24-10=14； ②当点D在线段AD的延长线上时，如图4，过点C作CN⊥AD于N， ∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20， ∴EN=CN=DE=10， 在Rt△ANC中，AC=26， 根据勾股定理得， ∴AE=AN+EN=24+10=34； 综上，AE的长为14或34， 故答案为14或34． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 35．背景知识：如图，在中，，若，则：．    （1）解决问题： 如图（1），，，是过点的直线，过点作于点，连接，现尝试探究线段、、 之间的数量关系：过点作，与交于点，易发现图中出现了一对全等三角形，即，由此可得线段、、之间的数量关系是： ；    （2）类比探究： 将图（1）中的绕点旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段、、之间的数量关系，并证明； （3）拓展应用： 将图（1）中的绕点旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若，，则的长为 （直接写结果）． 【答案】（1）△EAC≌△BDC；BD+BA=；（2）BD−BA=，证明见解析；（3）4. 【分析】（1）利用ASA证明出△EAC≌△BDC，从而得出AE=BD，EB=AE+AB=BD+AB，根据进一步得出答案即可； （2）过C作EC⊥CB交MN于E，利用ASA证明△ACE≌△DCB，进而求得线段之间的关系，进一步求证即可； （3）过C作EC⊥CB于MN于E，利用ASA证明△ACE≌△DCB，然后进一步即可求出AB的长. 【详解】（1）∵， ∴∠ACE+∠ACB=90°， ∵， ∴∠BCD+∠ACB=90° ∴∠ACE=∠BCD， 在四边形ACDB中， ∵，， ∴∠CAB+∠D=180°， ∵∠CAB+∠EAC=180° ∴∠D=∠EAC， 在△EAC与△BDC中， ∵∠EAC=∠D，AC=DC，∠ACE=∠DCB， ∴△EAC≌△BDC(ASA)， ∴AE=BD，EC=BC， ∴EB=AE+AB=BD+AB， 在Rt△ECB中， ∵EC=BC， ∴， ∴BD+BA=， 故答案为：△EAC≌△BDC；BD+AB=； （2）BD−BA=， 证明：    如图（2），过C作EC⊥CB交MN于点E，则∠ECB=90°， ∴∠ECB+∠BCA=∠ACD+∠BCA, ∴∠ECA=∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴∠ABD=∠ACD=90°， 记AC与BD的交点为F，则∠BFA=∠DFC， ∴∠BAF=∠FDC， 在△ACE与△DCB中， ∵∠BAF=∠FDC，AC=DC，∠ECA=∠BCD， ∴△ACE≌△DCB(ASA)， ∴AE=BD，CE=CB， ∴在Rt△BCE中，BE=， ∴BD=AE=BA+BE=BA+, 即：BD−BA=； （3）    如图（3）过C作EC⊥CB交MN于点E，MN与CD相交于F， ∵∠ACD=∠ACF=90°，∠ECB=90°， ∴∠ACB+∠BCF=∠BCF+∠ECF， ∴∠ACB=∠ECF， ∴∠ACB+90°=∠ECF+90°， ∴∠ACE=∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°−∠AFC，∠D=90°−∠BFD， ∵∠AFC=∠BFD， ∴∠CAE=∠D， 在△ACE与△DCB中， ∵∠ACE=∠BCD，AC=DC，∠CAE=∠D， ∴△ACE≌△DCB(ASA)， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE=， 又∵BE=AB−AE=AB−BD, ∴AB−BD=， ∵BD=2，BC=， ∴AB=4. 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 八、垂直模型 36．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 37．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 38．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 39．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明见解析； (3)或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 40．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 九、全等的综合问题 41．如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，再证明，得到，进而求出的长，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴剩余木板（阴影部分）的面积为 ； 故选B． 42．已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，： ③若，，时，； ④若与全等，则或．    A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．本题根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，可判断③，分2种情况求出x的值可判断④． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，        当，时， 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴和不全等，故③错误； ④当时，则，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴若与全等，则或，故④正确． 综上所述，正确的选项为①②④． 故选：C． 43．对于问题：“如图，，且，过点作直线，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点运动，点到达点时停止运动，点继续向点运动，直至到达点时，运动结束．在运动过程中，过点作于点于点，设点的运动时间为秒，当与全等时，求的值”．甲答：2．乙答：6．丙答：16． 对于以上解答，说法正确的是（    ） A．甲和乙的答案合在一起才正确 B．乙和丙的答案合在一起才正确 C．甲、乙、丙三人的答案合在一起才正确 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起也不正确 【答案】C 【分析】分为：当时，点在上，点在上；当，时点P在上，点Q在上；当时，点P在上，点Q在上，由全等求解即可， 【详解】如图，当时，点在上，点在上， 若，则， 即， 解得； 当时，点在上，点在上， 若，此时两三角形重合，则， 即， 解得； 当时，点在上，点在上， 若，则， 即， 解得； 故选：C． 【点睛】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和动点问题，分类求解是解题的关键． 44．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①当时，__________（用含的代数式表示）；点是线段上的一点（不与点重合），设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；；②或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，四边形的内角和，高线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据高线的定义及等角的余角相等得出，利用即可得证； （2）①根据题干中的条件可得出依题意，或化简即可；根据四边形的内角和及角直角的等量关系即可得出； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）①解：依题意，或 ∴或 ∵是边上的高，是边上的高， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ∴， ∵，，∴， ； 如图3，当时， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 45．如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等；线段和线段垂直，理由见解析 (2)存在，或，使得与全等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，在解题时注意分类讨论思想的运用． （1）利用证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由，分两种情况：，，建立方程组求得答案即可． 【详解】（1）解：（1）与全等，线段和线段垂直．理由如下： 当时，， 又，即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴， 即线段和线段垂直． （2）存在，或，使得与全等． 理由：依题意得： ①若， 则， 则， 解得； ②若， 则， 则， 解得：， 综上所述，存在或，使得与全等． 46．如图①，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．若，则的大小是______度； 【探究】如图②，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．求证：； 【应用】若是边的中点，且，其它条件不变，如图③所示，则四边形的周长为______． 【答案】90；证明见详解；4 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可知，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数； （2）根据等边三角形的性质可知，推得，根据三角形外角的性质可推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （3）根据等边三角形的性质可知，，推得，根据全等三角形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，即可求出四边形的周长． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：90； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的中点，， ∴， 由探究可知， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：4． 47．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论； ②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：①延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ；    ②连接，过点作与延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ．    【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键． 48．如图①，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点从点出发，以的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为()．    (1)点、从移动开始到停止，所用时间为_____； (2)当与全等时， ①若点、的移动速度相同，求的值； ②若点、的移动速度不同，求的值； (3)如图②、当点、开始移动时，点同时从点出发，以/的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据时间计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当，时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：点的运动时间(秒， 故答案为：； （2）解：①点、的移动速度相同，点的速度是． ， ∴ ， ， 当时，与全等， 则有，解得． ②点、的移动速度不同， ， 当，时，两个三角形全等， ∴ 运动时间， ，满足题意． （3）解：若点、的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时． 若点、的移动速度相同，则，， 又∵， 或， 解得(舍弃)或， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 49．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明； （2）证明方法与（1）一致，证明即可；     （3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果． 【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD， 延长到E，使，连接 ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°， 证明方法同（1）类似， ∴； （3）， 证明：在截取，连接， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解题关键． 50．如图，在三角形中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图①，若点的横坐标为，点的坐标为______； (2)如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作垂直轴于点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点A在x轴上，且，，，连接交轴于点，点在轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 【答案】(1) (2)，理由见解析． (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）过点作轴的垂线，交轴于点，证明，即可求得答案； （2）延长，交于点，证明和，即可求得答案； （3）过点作轴的垂线，交轴于点，证明和，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点． ∵，， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴点的坐标为． 故答案为： （2），理由如下： 如图所示，延长，交于点． ∵轴恰好平分， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． （3），理由如下： 如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． 试卷第4页，共117页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 全等三角形综合题清单 一、SSS的综合应用 1．（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2．如图所示，、、、四点在同一条直线上，若，，， 求证： (1)； (2)． 3．如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 4．如图，已知，，点D、E分别在、上，且，，连接，、交于点M、连接． (1)求证：； (2)嘉琪说：“若，则E是的中点”，请你运用所学知识判断嘉琪的说法是否正确，若正确，给出证明；若不正确，说出理由． 5．在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 二、SAS的综合应用 6．如图所示，已知四边形中，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上面由点C向点D运动，当点Q的运动速度为 时，能够使与全等． 7．如图，．和是对应角，和是对应边．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． (3)与有何关系（位置和大小）？并说明理由． 根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算； 根据全等三角形的对应边相等计算； 根据全等三角形的判定和性质以及平行线的判定定理即可得到结论. 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键. 8．问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 9．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 10．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 三、ASA（AAS）的综合应用 11．如图，，P为的中点，M为射线上（不与点A重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点N，设． (1)求证：． (2)当时，求的度数． 12．已知：线段，以为公共边，在两侧分别作和，并使．点E在射线上． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，若，过点D作交射线于点F，当时，求的度数． 13．在中，，，点C在直线m上，于点D，于点E，连接． (1)当直线m在如图1所示位置时，且． ①求证：； ②求线段的长； (2)当直线m在如图2所示位置时，，，求的长及的面积； (3)点A，B在直线m异侧，若，当与的面积成2倍关系时，直接写出的长（用含c的代数式表示）． 14．直线经过的顶点，．E，F分别是直线上两点，且． 【数学思考】若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若，，求证：； （2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】 如图3，若直线经过的外部，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，则与的面积之和为_____． 15．【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 四、HL的综合应用 16．数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，是的中点，平分，求证：． 小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再试图说明，即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式． ①过点作交于点； ②作，交于点； ③在上取一点，使得，连接； 上述3种辅助线的添加方式，可以证明“”的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 17．已知：如图，，，垂足分别为，，，与相交于点． (1)求证∶； (2)若，，求的长． 18．如图，已知． 【初步探究】（1）如图1，为边的中点，连接并延长到点，使，连接，求与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图2，若，过点作于点，为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，试说明：． 19．已知点为的外角的平分线上一点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，试比较与的大小关系； (3)如图3，在（1）的条件下，、分别是边、上的点，且，则线段、之间的数量关系为_____． 20．将两个全等的直角三角形△ABC和△DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：AF+EF＝DE； （2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其它条件不变，如图②．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由； （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其它条件不变，请在图③中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立． 五、以尺规作图为基础的全等三角形证明 21．嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明过程．    22．阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 23．（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 24．如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 25．综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点在的边的延长线上，过点作且，在上截取，再作交线段于点．    实践操作 （1）尺规作图：作出符合上述条件的图形； 探究发现 （2）勤奋小组在作出图形后，发现，，请说明理由； 探究应用 （3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得，，求线段的长． 六、倍长中线模型 26．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 27．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 是的中点， ∴, 又 ∴， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴， ∴， 28．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 29．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 30．【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：． 【拓展应用】 如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长． 七、旋转模型 31．综合与实践 【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：． 【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P．    (1)如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______； (2)如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明． (3)如图5，当点M在线段上时的值为______． 32．在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 33．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．    34．如图，和都是等腰直角三角形，． （1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______． 35．背景知识：如图，在中，，若，则：．    （1）解决问题： 如图（1），，，是过点的直线，过点作于点，连接，现尝试探究线段、、 之间的数量关系：过点作，与交于点，易发现图中出现了一对全等三角形，即，由此可得线段、、之间的数量关系是： ；    （2）类比探究： 将图（1）中的绕点旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段、、之间的数量关系，并证明； （3）拓展应用： 将图（1）中的绕点旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若，，则的长为 （直接写结果）． 八、垂直模型 36．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 37．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 38．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 39．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 40．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 九、全等的综合问题 41．如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 42．已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，： ③若，，时，； ④若与全等，则或．    A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 43．对于问题：“如图，，且，过点作直线，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点运动，点到达点时停止运动，点继续向点运动，直至到达点时，运动结束．在运动过程中，过点作于点于点，设点的运动时间为秒，当与全等时，求的值”．甲答：2．乙答：6．丙答：16． 对于以上解答，说法正确的是（    ） A．甲和乙的答案合在一起才正确 B．乙和丙的答案合在一起才正确 C．甲、乙、丙三人的答案合在一起才正确 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起也不正确 44．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①当时，__________（用含的代数式表示）；点是线段上的一点（不与点重合），设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 45．如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 46．如图①，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．若，则的大小是______度； 【探究】如图②，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．求证：； 【应用】若是边的中点，且，其它条件不变，如图③所示，则四边形的周长为______． 47．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 48．如图①，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点从点出发，以的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为()．    (1)点、从移动开始到停止，所用时间为_____； (2)当与全等时， ①若点、的移动速度相同，求的值； ②若点、的移动速度不同，求的值； (3)如图②、当点、开始移动时，点同时从点出发，以/的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 49．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 50．如图，在三角形中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图①，若点的横坐标为，点的坐标为______； (2)如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作垂直轴于点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点A在x轴上，且，，，连接交轴于点，点在轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 试卷第4页，共117页 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