清单01 分式和分式方程综合题清单（8个题型69题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（冀教版）

清单01 分式和分式方程综合题清单 一、分式的有关性质辨析 1．将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的9倍 D．是原来的6倍 2．分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 3．对于分式，下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时， C．当时， D．当时，越大，的值越接近于1 4．根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 5．下列说法错误的是（　　） A．若式子没有意义，则x的取值范围是 B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍 C．分式的值不可能等于0 D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 二、自定义背景下的分式运算（解分式方程） 6．对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（      ） A． B． C．或 D．或 7．对于两个不相等的有理数，规定表示中较大的值，如果．按照这个规定，方程的解为（   ） A．或 B． C．无解 D．1 8．对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，，依次递推，则等于（    ） A． B． C． D． 9．定义新运算：，若，则的值是 ． 10．定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； 11．我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为． 再如：为“十字分式方程”，可化为，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则__________，__________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，求的值； 三、分式（方程）的纠错问题 12．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 习题2：解方程 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 第三步 经检验，是原方程的解．第四步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 13．（1）解方程：； （2）下面是一道例题及其解答过程的一部分． 化简：． 解：原式 =…… ①若是一个单项式，则这个单项式是_____． ②将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写． 原式 = 14．下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的步骤是________． (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程． 15．以下是小明同学解分式方程 的过程： 解：  ．第一步， 第二步， ……第三步， ，第四步， 经检验： ，是原方程的解． (1)从第步开始出现错误，这一步错误的原因是； (2)请求出该方程的正确解． 16．先化简，再求值：，其中．下面是小明同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第 步是约分得到的，约分的依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值； (3)请根据平时数学学习中积累的经验就分式的化简过程写出一条注意事项； 17．阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 四、被遮挡的部分分式 18．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 19．如图是某同学分式化简的部分计算过程，其中“”不小心被老师擦去了，则被擦去的部分是（    ） A． B． C． D． 20．（新考法）试卷上一个正确的式子★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 21．观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中．解：原式① ② ．③ (1)解题过程中开始出现错误的是步骤______（填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的值就是4，求图中被遮住的的值． 22．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． (1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； (2)若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 23．嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 (1)求被墨水污染的部分； (2)嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 24．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (1)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (2)老师说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 25．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 五、由分式方程解的情况求参数 26．关于的分式方程的解是负数，则字母的取值范围是（　　） A． B．3且2 C． D．3且2 27．关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 28．分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 29．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 30．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 31．若整数a使关于y的不等式组至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程的解为非负数，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A． B． C． D． 32．如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为 ． 33．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 六、分式方程的增根与无解问题 34．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 35．若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 36．若关于x的分式方程无解，求m的值． 37．已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则 ； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 七、分式运算的综合应用 38．已知代数式，解答下列问题： (1)先化简，求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值等于吗？为什么？ 39．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 40．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． (1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示） (2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 41．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 42．定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 43．聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和，如图，在程序中△处输入一个正整数则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序完成运算，程序完成运算． 探究  若△处输入数字2，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字5，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字100，设程序的结果为，则________（填“>”“<”或“=”）． 应用  请利用“探究”中发现的结论证明． 44．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： ． (1)分式是______分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为______； (2)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (3)利用上述方法解决问题：若是整数，且分式的值为正整数，求的值． 45．如果一个式子由两个或两个以上的分式用“+”连接而成，且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例中交换，的位置可得，两个式子值相同，则是“均衡分式串”． 概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是________．（填序号） ①；②；③． 深入探究：（2）“均衡分式串”是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 拓展应用：（3）若，求“均衡分式串”的值． 46．现有两块钢板，甲钢板是半径为的圆，如图1所示；乙钢板是半径为的圆中间去掉半径为的小圆后剩下的圆环部分，如图2所示． (1)在钢板的外圈围上一圈铁片，甲、乙钢板所围铁片的总价分别为18元和42元，乙钢板所围铁片每米的价格是甲钢板所围铁片每米价格的2倍，求的值； (2)当压力一定时，物体所受的压强与受力面积的关系式为、现测试甲、乙两块钢板的抗压性，对两块钢板施加相同的压力． ①甲钢板所受的压强______Pa，乙钢板所受的压强______Pa； ②将进行化简；当时，直接写出的取值范围 47．【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大； 【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题． 【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式． （1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”） （2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？ 48．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 49．阅读理解材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似的，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：，． 材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 2 1 … 从表格可以看出，当x的取值大于0时，随着x的增大，的取值减小，当x的取值小于0时，随着x的减小，的取值增大． 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式； __________，_________． (2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是__________． 50．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 51．如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”． (1)已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值． (3)已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是． ①求（用含的代数式表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． 52．【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 八、分式方程的实际应用 53．实验室有150克食盐水，其中含盐10克，现要将该容器内食盐水含盐的百分比变为原来的．操作后，晓华根据自己的操作列出方程，则未知数x表示的意义是（　　） A．减少的水量 B．加入的食盐量 C．增加的水量 D．减少的食盐量 54．老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶?”以下为四位同学列出的方程，正确的是（    ） 甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则 A．甲、丁 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 55．为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长的道路进行拓宽改造．为了减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务．求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．珍珍同学根据题意列出方程；文文同学根据题意列出方程．已知两人的答案均正确，下列说法正确的是（    ） A．x，y代表相同的含义 B．x表示实际每天改造道路的长度 C．y表示实际施工天数 D．表示实际每天改造道路的长度 56．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 57．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 58．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 59．某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染，进货单如下： 商品 进行（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 9300 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件． (1)请你求出甲、乙每件商品的进价； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过6870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 60．（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 61．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，下表是两个工程队的施工规则． 甲工程队 第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为天； B方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米． 特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 62．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 63．从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． (1)求高铁的平均速度； (2)某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 64．荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求： (1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？ (2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由． 65．重庆外国语学校迅猛发展，两江新区校区将在今年9月份正式开课，为保障学生按时入学，学校加快校园建设．建筑公司承接了平方米的教室墙壁和若干平方米的学生宿舍墙壁粉刷工作，公司先对教室墙壁进行粉刷，开工5天后，为加快进度增加了施工人员，每天比原来多粉刷平方米，2天后完成教室墙壁粉刷工作． (1)求建筑公司增加人员后每天粉刷墙壁多少平方米？ (2)教室墙壁粉刷完成后，经招标增派建筑公司与建筑公司同时开工合作粉刷学生宿舍墙壁．建筑公司按增加人员后的粉刷速度进行施工．建筑公司粉刷学生宿舍墙壁总面积的后，通过更新设备，每天比原来多粉刷，学生宿舍墙壁完工时，两建筑公司粉刷的墙壁面积和所用时间恰好相同．求建筑公司原来每天粉刷墙壁多少平方米？ 66．洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱． (1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ (2)经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 67．某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高； 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 (1)请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过4870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 68．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下． 设每支圆珠笔为元 (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值． 69．某服装厂需购进一批面料和里料来加工一批秋冬季外套，已知每米面料的进价比每米里料进价的倍还多元，花元购进的面料长度与花元购进的里料长度相等． (1)求购进面料和里料每米各多少元？ (2)一件秋冬季外套需面料米，里料米，该款外套月份投放市场的销售价为元件，出现购销两旺态势，月份进入批发淡季，厂方决定采取打八折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用元， ①求月份每件外套的利润．(利润销售价布料进价固定费用 ②进入月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对客户在月份促销价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在月份促销价的基础上实施价格上浮．已知对客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个客户用元批发外套的件数和一个普通客户用元批发外套的件数相同，则客户享受的降价率为 ． 试卷第2页，共63页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 分式和分式方程综合题清单 一、分式的有关性质辨析 1．将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的9倍 D．是原来的6倍 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：由题意，得， 故选：B． 2．分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果． 【详解】当时， ， 即， 解得： ， 当，时，分式的值为零 故选：D． 3．对于分式，下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时， C．当时， D．当时，越大，的值越接近于1 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的求值，根据分式有意义的条件及将分式变成真分式加整数的形式，进行分析，逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、当时，分式有意义，故本选项不符合题意； 、当时，原式，故本选项不符合题意； 、， ∴当时，，即， 当时，无意义， 时，， 故本选项不符合题意； 、当时，越大，的值越接近于，故本选项符合题意； 故选：． 4．根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 5．下列说法错误的是（　　） A．若式子没有意义，则x的取值范围是 B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍 C．分式的值不可能等于0 D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，性质，分式有意义和分式的值为0，直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案即可． 【详解】解：A．若式子没有意义，则，即，故不符合题意； B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，即，所以分式的值不变，故符合题意； C．当，即时，，所以分式的值不可能等于0，故不符合题意； D．若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故不符合题意； 故选：B． 二、自定义背景下的分式运算（解分式方程） 6．对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程．理解题意，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 由题意知，当时，，即，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意； 当时，， ∴， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意； 综上所述，或， 故选：C． 7．对于两个不相等的有理数，规定表示中较大的值，如果．按照这个规定，方程的解为（   ） A．或 B． C．无解 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式方程的解法，根据新定义运算的规定可得，再解分式方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 经检验，是方程的根． ∵， 故不是方程的根， 故原方程无解． 故选：C． 8．对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，，依次递推，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义及分式的运算，找到规律是解题的关键．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每3个为一循环，即可计算并判断． 【详解】解：，，，……； 由此知，每3个为一循环， 而，且， ∴ ； 故选：C． 9．定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了分式的化简求值，根据定义得到，整体代入所求分式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 10．定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； 【答案】(1)②③ (2)或 【分析】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断； （2）根据给出的“美妙分式”定义求分式的“美妙分式”即可； 本题考查了分式的加减法和绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，正确理解新定义的法则是解题关键． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 故答案为：②③， （2）设分式的“美妙分式”为， 则 ， 或， ①当时， ， ②当时， ， 答：分式的“美妙分式”为或. 11．我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为． 再如：为“十字分式方程”，可化为，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则__________，__________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义——“十字分式方程”．熟练掌握新定义，分解因数，拆数，完全平方公式变形，是解决问题的关键． （1）根据新定义得到，即得，； （2）根据新定义得到，得到或，即得； （3）根据新定义得到，，得到． 【详解】（1）∵为“十字分式方程”， ∴， ，； 故答案为：，； （2）∵为“十字分式方程”， ∴， ∴， ∴或， ∴； （3）∵“十字分式方程”的两个解分别为， ∴，， ∴． 三、分式（方程）的纠错问题 12．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 习题2：解方程 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 第三步 经检验，是原方程的解．第四步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)第1题第一步， 第2题第二步 (2)见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式加法，计算分式加减法时第一步是通分，解分式方程的第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘以最简公分母，这是解题的关键． （1）根据解分式方程和分式加法计算的步骤一步步检查即可． （2）按照解分式方程和分式加法计算的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：第1题第一步和分式加法计算， 第2题第二步和分式加法计算． （2）解：习题1： ． 习题2：解：， 方程两边同乘 ，得， 解得 ：． 经检验是原分式方程的解． 13．（1）解方程：； （2）下面是一道例题及其解答过程的一部分． 化简：． 解：原式 =…… ①若是一个单项式，则这个单项式是_____． ②将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写． 原式 = 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的加减乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，解出整式方程，再检验，即可求解； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果． 【详解】解：（1）方程两边同乘， 得， 整理得，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）①根据题意得， 故答案为：； ②原式 ． 14．下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的步骤是________． (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)；检验 (2)见解析 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键． （1）根据去分母以及解分式方程的步骤即可求得答案； （2）根据解分式方程的步骤解分式方程即可得出答案． 【详解】（1）解：这位同学解题过程中横线处应填，解题过程缺少的步骤是检验， 故答案为：；检验； （2）解： 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． 经检验，是原方程的解， ∴方程的解为 15．以下是小明同学解分式方程 的过程： 解：  ．第一步， 第二步， ……第三步， ，第四步， 经检验： ，是原方程的解． (1)从第步开始出现错误，这一步错误的原因是； (2)请求出该方程的正确解． 【答案】(1)一；去分母时，第二项没有乘以， (2) 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的每个步骤的注意事项是解题的关键． （1）由去分母的注意事项，分析其原因即可； （2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以， 故答案为：一；去分母时，第二项没有乘以， （2） ， 经检验，是原方程的解． 16．先化简，再求值：，其中．下面是小明同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第 步是约分得到的，约分的依据是 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值； (3)请根据平时数学学习中积累的经验就分式的化简过程写出一条注意事项； 【答案】(1)①三，分式的基本性质；②一，添括号时括号里面的第二项没有变号 (2)，原式 (3)见解析 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握约分的依据以及分式的运算法则． （1）①根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案；②观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． （3）根据分式化简的步骤，写出对应的注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意可知：①化简步骤中，第三步是约分得到的，约分的依据是：分式的基本性质； 故答案为：三，分式的基本性质； ②第一步开始出现错误，这一步错误的原因是：添括号时，括号里面的第二项没有变号． 故答案为∶一，添括号时，括号里面的第二项没有变号． （2）解： 当时，原式； （3）解：通分时若有常数项，要记得给常数项乘以最简公分母（答案不唯一）． 17．阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】问题一：①A；②二，去括号时第二项没有乘以2；问题二：该方程的正确解是；问题三：除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法． 问题一：①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 问题二：根据解分式方程的方法解方程即可； 问题三：根据解分式方程时常见的错误解答即可． 【详解】解：问题一： ①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， 故答案为：A； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 故答案为：二；去括号时第二项没有乘以2 问题二： 方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项并合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为： 问题三： 除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验． 四、被遮挡的部分分式 18．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 先根据乘法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为 ． 故选：A． 19．如图是某同学分式化简的部分计算过程，其中“”不小心被老师擦去了，则被擦去的部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解：被擦去的部分是 ， 故选B． 20．（新考法）试卷上一个正确的式子★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．首先根据被除数除以商等于除数可得★，根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数把除法转化为乘法，再利用乘法分配律可得原式，再根据异分母分式的加法法则进行计算即可． 【详解】解：★， ★ ， ． 故答案为： ． 21．观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中．解：原式① ② ．③ (1)解题过程中开始出现错误的是步骤______（填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的值就是4，求图中被遮住的的值． 【答案】(1)②，化简过程见解析 (2) 【分析】此题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤②错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可； （2）令，然后解分式方程即可求解． 【详解】（1）解：解题过程中开始出现错误的是步骤②； 原式 ； （2）解：令， 去分母得， 解得． 经检验是原分式方程的解， ∴被遮住的x的值是． 22．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． (1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； (2)若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的加减乘除运算顺序和法则，根据乘除加减的互逆关系做等式变形，是解决问题的关键． （1）用代替中的化简，根据，取限定的，0，1中的0作为a值，代入化简结果计算即得； （2）根据乘除加减的互逆关系做等式变形，计算中的． 【详解】（1） ， ∵， ∴， ∴从，0，1中选取0作为a值代入求值， 原式； （2）∵， ∴ ， 则被墨水遮住的式子是． 23．嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 (1)求被墨水污染的部分； (2)嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据分式的除法运算法则即可求出答案． （2）由原分式的值等于1可知x的值，然后根据分式有意义的条件即可判定． 【详解】（1）设被墨水污染的部分是， 则， 解得：； （2）不同意，理由如下： 若，则 由原题可知，当时，原式，原分式无意义， 所以当时，原分式的值不能等于1． 24．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (1)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (2)老师说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程利用了转化的思想． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】（1）解：， 去分母得： 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：设原题中“◆”是a， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 25．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：原方程为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为m， 方程两边同时乘以， 得 ∵原方程无解 ∴是原分式方程的增根， 所以把代入上面的等式得 解得， ∴原分式方程中“？”代表的数是． 五、由分式方程解的情况求参数 26．关于的分式方程的解是负数，则字母的取值范围是（　　） A． B．3且2 C． D．3且2 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键． 解分式方程，得到含有得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于的不等式，解之即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得：， 解得：， ， ， 即， 解得：， 又∵方程的解是负数， ， 解不等式得：， 综上可知：且， 故选：B． 27．关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为负数得到，则，再由，得到，据此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是负数， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上，， 故选：B． 28．分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 29．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程， 方程的两边同时乘，得，， 整理得，， ∴， ∵方程有整数解， ∴或或或， ∴或或或或或或或， ∵， ∴， ∴或或， 故选：D． 30．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，利用不等式组的解为，确定的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得值，将符合条件的值相加即可得出结论． 【详解】解：不等式组的解集为， ． ． 关于的分式方程的解为． 是原分式方程的增根， ． ． 关于的分式方程的解为正整数， 为正整数． ，4，7． ， ，4． 所有满足条件的所有整数的和为：． 故选：C． 31．若整数a使关于y的不等式组至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程的解为非负数，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求不等式组的解集，根据分式方程的解的情况，求参数；先根据不等式组的解集和分式方程的解的情况求出的取值范围，进而求出的整数解，进而求解即可． 【详解】解：，由①得，，由②得，， 不等式至少有3个整数解， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得， 方程的解为非负数， ， ， ，， ， 符合条件的整数有，，，，0，1， 所有符合条件的整数的和为， 故选：C． 32．如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解程得到，再根据方程的解为负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵分母不为0， ∴， ∴， ∴； 综上所述，且， 故答案为：且． 33．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 六、分式方程的增根与无解问题 34．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 35．若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 36．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可． 【详解】解：， 方程两边乘，得， 整理，得． 当，即时，分式方程无解． 当时，，分式方程无解． 把代入整式方程，得，解得． 综上，m的值为1或． 37．已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则 ； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】（1）先化简，得，化简，将代入，即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 此题主要考查了解分式方程，增根问题，及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 把代入， 得， ， 故答案为：； （2）由（1）得原分式方程，去分母化简得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 即：且 故答案为：且． 七、分式运算的综合应用 38．已知代数式，解答下列问题： (1)先化简，求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值等于吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)原代数式的值不能等于，见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）先做括号内的减法，注意把各分子、分母先因式分解，约分后再做减法运算；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，然后约分化为最简形式； （2）令，求解，检验即可判断． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解：原代数式的值不能等于， 原因：由（1）可知原式化简后的式子为， ，得， 经检验，是该方程的解， 但是时，原代数式无意义， 原代数式的值不能等于． 39．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 【答案】(1)甲的平均价格是，乙的平均价格是 (2)所以乙的购买方式平均单价低． 【分析】此题考查了列代数式，分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． （1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价； （2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算． 【详解】（1）解：甲的平均价格是（元） 乙的平均价格是：（元） （2）解：甲－乙  即 因为（）， 所以， 所以，即 所以． 所以乙的购买方式平均单价低． 40．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． (1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示） (2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 【答案】(1)， (2)甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为 【分析】本题考查了列分式及分式运算，读懂题目，列出式子是解题关键． （1）根据路程速度和时间，列出方程即可求解； （2）由甲这次往返队伍的过程中队伍行进的时间为，结合路程速度和时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴，； （2）， ． 所以甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为． 41．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用； （1）根据题意，可以分别写出两块试验田的单位面积，然后比较大小即可． （2）根据“两种小麦种植后产量相同”得出关于的一元一次方程，解方程得，根据题意，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得， “丰收1号”单位面积的产量为： “丰收2号”单位面积的产量为： ∵ ∴ ∴， 即“丰收2号”小麦单位面积产量高， 故答案为：． （2）依题意， 解得： ∵，为正整数， ∴或或． 42．定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 43．聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和，如图，在程序中△处输入一个正整数则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序完成运算，程序完成运算． 探究  若△处输入数字2，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字5，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字100，设程序的结果为，则________（填“>”“<”或“=”）． 应用  请利用“探究”中发现的结论证明． 【答案】，，，，，证明见解析 【分析】本题考查的是运算类规律探究，分式的混合运算； 探究：按照程序的含义列出运算式并计算即可； 应用：当若△处输入数字，则程序的结果为，程序的结果为，再利用规律结合分式的运算法则证明即可． 【详解】解：探究：若△处输入数字2，则程序的结果为， 程序的结果为； 若△处输入数字5，则程序的结果为， 程序的结果为； 若△处输入数字100，设程序的结果为， ∴， ∵， ∴； 应用：当若△处输入数字，则程序的结果为， 程序的结果为； ∴， 同理：， ∴ ； ∴成立． 44．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： ． (1)分式是______分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为______； (2)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (3)利用上述方法解决问题：若是整数，且分式的值为正整数，求的值． 【答案】(1)真； (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据材料中的方法即可判定是真分式，根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，即可求解； （3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为正整数即可得出的值． 【详解】（1）在中，分子的次数为，分母的次数为，， 是真分式； ； 故答案为；真；； （2）； （3）； 分式为正整数， 为整数且， 或， 或， 即的值为或． 45．如果一个式子由两个或两个以上的分式用“+”连接而成，且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例中交换，的位置可得，两个式子值相同，则是“均衡分式串”． 概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是________．（填序号） ①；②；③． 深入探究：（2）“均衡分式串”是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 拓展应用：（3）若，求“均衡分式串”的值． 【答案】（1）①（2）是，0（3）2 【分析】本题考查分式的运算，理解“均衡分式串”的定义，分式的运算法则，是解题的关键： （1）根据“均衡分式串”的定义，进行判断即可； （2）根据分式的加法法则，进行计算即可； （3）根据，得到，代入分式，进行计算即可． 【详解】解：（1），故①是“均衡分式串”， ，故②不是“均衡分式串”， ，故③不是“均衡分式串”， 故答案为：①； （2）是，理由：； （3）∵， ∴， ∴ ． 46．现有两块钢板，甲钢板是半径为的圆，如图1所示；乙钢板是半径为的圆中间去掉半径为的小圆后剩下的圆环部分，如图2所示． (1)在钢板的外圈围上一圈铁片，甲、乙钢板所围铁片的总价分别为18元和42元，乙钢板所围铁片每米的价格是甲钢板所围铁片每米价格的2倍，求的值； (2)当压力一定时，物体所受的压强与受力面积的关系式为、现测试甲、乙两块钢板的抗压性，对两块钢板施加相同的压力． ①甲钢板所受的压强______Pa，乙钢板所受的压强______Pa； ②将进行化简；当时，直接写出的取值范围 【答案】(1) (2)①；；②； 【分析】本题考查了分式的运算，解方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出两钢板的周长；设甲钢板所围铁片每米价格为x元，则乙钢板所围铁片每米价格为元；根据甲、乙钢板所围铁片的总价分别为18元和42元，列出方程组，消去x即可求得a的值； （2）①分别求出两钢板的面积，则可得两钢板所受的压力； ②两式相比并化简即可；根据化简后的式子，结合a的取值范围，即可确定结果的范围． 【详解】（1）解：甲钢板的周长为：；乙钢板的周长为：； 设甲钢板所围铁片每米价格为x元，则乙钢板所围铁片每米价格为元， 由题意得：， 两式相比，消去x得：， 解得：； 即a的值为7； （2）解：①甲钢板的面积为：， 乙钢板的面积为：； 则，； 故答案为：；； ②， ∴； ∵， 又∵， ∴ ∴， ∴， 即． 47．【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大； 【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题． 【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式． （1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”） （2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？ 【答案】[类比]增大； [拓展]（1），； （2）当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了 【分析】本题考查了分式的减法运算，注意分类讨论； [类比] 通分后化为，根据条件可判断其符号，进而得到与的大小关系； [拓展] （1）把c的值代入分式中并计算，即可判断与的大小关系； （2）作差：，化简得，就分母的符号，对c分类讨论即可 【详解】解：[类比]： ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 解：[拓展] （1）当时，；当时，； 故答案为：； （2） ， 当时，， ∴ ∴； 当时，， ∴ ∴； 综上，当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了． 48．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义逐个分析即可得解； （2）根据题意结合“和谐分式”的定义计算即可得解； （3）先化简，再结合分式有意义的条件即可得解． 【详解】（1）解：，， 故属于“和谐分式”的是②③； （2）解：； （3）解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 49．阅读理解材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似的，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：，． 材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 2 1 … 从表格可以看出，当x的取值大于0时，随着x的增大，的取值减小，当x的取值小于0时，随着x的减小，的取值增大． 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式； __________，_________． (2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是__________． 【答案】(1)， (2)当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大． (3)2 【分析】本题主要考查了分式的加减法，分式的变化，分式的值，本题是阅读型题目，理解题干值的定义并熟练应用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）将分式转换成形式，利用的变化情况解答即可； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）根据表格可知，当或时，随着x的增大，的值逐渐减小，随着x的减小，的值逐渐增大， ∵， ∴当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大． （3）∵， 当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0， ∴分式的值无限趋近于一个数，这个数是2， 故答案为：2． 50．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】（1）①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④． （2）， 故答案为:. （3）（3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． 51．如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”． (1)已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值． (3)已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是． ①求（用含的代数式表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． 【答案】(1)是， (2)1 (3)①②或 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，分式求值，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义的法则，进行计算，判断即可； （2）根据新定义，推出，代入分式进行求解即可； （3）①根据新定义，进行求解即可；②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：是； ， ∴“信度值”； （2）由题意，得： ， ∴， ∴， ∴； （3）①由题意，得： ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵为正整数，且为正整数， ∴或， ∴或． 52．【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 八、分式方程的实际应用 53．实验室有150克食盐水，其中含盐10克，现要将该容器内食盐水含盐的百分比变为原来的．操作后，晓华根据自己的操作列出方程，则未知数x表示的意义是（　　） A．减少的水量 B．加入的食盐量 C．增加的水量 D．减少的食盐量 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用．根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比变为原来的．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出增加了水分，即可得出答案． 【详解】解：根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比变为原来的后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应增加了水分， x表示的意义是增加的水量． 故选：C． 54．老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶?”以下为四位同学列出的方程，正确的是（    ） 甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则 A．甲、丁 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 【答案】C 【分析】根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可． 【详解】解：设这种饮料的原价每瓶是元，则有； 设该种饮料每箱有瓶，则有， 故选C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 55．为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长的道路进行拓宽改造．为了减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务．求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．珍珍同学根据题意列出方程；文文同学根据题意列出方程．已知两人的答案均正确，下列说法正确的是（    ） A．x，y代表相同的含义 B．x表示实际每天改造道路的长度 C．y表示实际施工天数 D．表示实际每天改造道路的长度 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，理解题意是解题的关键．根据题意依次进行判断即可． 【详解】解：珍珍同学：设原计划每天改造道路的长度为，实际每天改造的长度为； 文文同学：设实际施工天数为，故原计划施工天数为； x，y代表不相同的含义，故选项A错误； x表示原计划每天改造道路的长度，故选项B错误； y表示实际施工天数，故选项C正确； 表示原计划每天改造道路的长度，故选项D错误； 故选：C． 56．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减法的实际应用： （1）设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 根据实际比并比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）利用时间等于路程除以速度，分别求出两种方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论． 【详解】（1）解：设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：汽车实际走完全程所花的时间为； （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ， ∵a，b均为正数，且， ∴，， ∴， 即 ， ∴． 57．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)元 (2)①新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ． 解得：． 经检验：是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元． ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：， 解得：． 答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低． 58．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 【答案】(1)3．2米/秒 (2)不能，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查列分式方程解应用题，解题的关键是根据题意确定等量关系列方程． （1）根据“致远号”行全程的与 “领航号”行全程所用时间相等作为等量关系列方程； （2）分别利用时间=路程÷速度求出二者时间，比较时间可以得出结果； （3）根据“致远号”行30米与 “领航号”行36米所用时间相等作为等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒； （2）解：不能同时到达． 设调整后“领航号”的行驶路程为（米）， “领航号”到达终点所用的时间为（秒）， “致远号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达； （3）解：设调整后“领航号”的平均速度为y米/秒，， 解得：， 经检验是原方程的解； 设调整后“致远号”的平均速度为z米/秒，， 解得： 经检验是原方程的解． 答：调整后“领航号”的平均速度为或调整后“致远号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点． 59．某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染，进货单如下： 商品 进行（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 9300 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件． (1)请你求出甲、乙每件商品的进价； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过6870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 【答案】(1)甲商品每件75元，乙商品每件50元 (2)74件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握解方程，解不等式是解题的关键． （1）设乙商品每件的进价为x元，则甲商品的进价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设最多购买甲商品y件．根据题意，得，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙商品每件的进价为x元，则甲商品的进价为元，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：甲商品每件75元，乙商品每件50元． （2）解：设最多购买甲商品y件．根据题意，得，， 解得， 由件数是正整数， 故y最大取74． 答：最多购买甲商品74件． 60．（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】（1）40，60（2）方案C 【分析】本题考查分式方程的应用． （1）根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题． 【详解】解：（1）设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：大巴的平均速度为40公里小时，小车的平均速度为60公里小时； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得， 经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选， 方案的工程款为（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，选择方案最节省工程款． 61．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，下表是两个工程队的施工规则． 甲工程队 第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为天； B方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米． 特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 【答案】(1)甲工程队完成施工任务需要5天 (2)乙工程队应采取B方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式减法的实际应用： （1）根据题意可得两天后的施工速度为千米/天，全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间为天，改变后完成道路施工的时间为天，再根据从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天列出方程求解即可； （2）根据题意求出，，再利用作差法得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：依题意可得：， 解得． 经检验是方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲工程队完成施工任务需要5天； （2）解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得：；， ， ， ， ， ， 乙工程队应采取B方案． 62．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)（或）； (2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动汽车每千米行驶费用为0.11元；②他们购买纯电动汽车的年费用更低． 【分析】（1）根据表中的信息，可以表示新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.64元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②先分别算出购买燃油车的年费和购买纯电动汽车的年费，再进行比较，即可作答． 本题考查列代数式的问题，分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）； 故答案为：（或）． （2）解：①， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元； ②购买燃油车的年费：（元） 购买纯电动汽车的年费：（元） ∵ ∴他们购买纯电动汽车的年费用更低． 63．从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． (1)求高铁的平均速度； (2)某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 【答案】(1)高铁的平均速度是每小时240千米 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． （1）设客车平均每小时的行驶x千米，则高铁列车平均每小时行驶3x千米，根据题意可得，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时，据此列方程求解； （2）求出陈老师所用的时间，然后进行判断． 【详解】（1）解：设客车平均每小时的行驶x千米，则高铁列车平均每小时行驶3x千米 根据题意列方程得 解方程得                     经检验是原分式方程的解， 高铁的平均速度： 答：高铁的平均速度是每小时240千米 （2）能，（小时） 小时，从11点20分开始3个小时后是14点20分． 答：他能在开会之前到达 64．荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求： (1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？ (2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由． 【答案】(1)甲队单独完成需要20天，，乙队单独完成需要25天； (2)方案③最省钱 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天，把工作总量看做单位1，根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要25天； （2）解：方案①的费用为万元， 方案②的费用为万元，但是此种方案耽误工期，不符合题意； 方案③的费用为万元， ∵， ∴方案③最省钱． 65．重庆外国语学校迅猛发展，两江新区校区将在今年9月份正式开课，为保障学生按时入学，学校加快校园建设．建筑公司承接了平方米的教室墙壁和若干平方米的学生宿舍墙壁粉刷工作，公司先对教室墙壁进行粉刷，开工5天后，为加快进度增加了施工人员，每天比原来多粉刷平方米，2天后完成教室墙壁粉刷工作． (1)求建筑公司增加人员后每天粉刷墙壁多少平方米？ (2)教室墙壁粉刷完成后，经招标增派建筑公司与建筑公司同时开工合作粉刷学生宿舍墙壁．建筑公司按增加人员后的粉刷速度进行施工．建筑公司粉刷学生宿舍墙壁总面积的后，通过更新设备，每天比原来多粉刷，学生宿舍墙壁完工时，两建筑公司粉刷的墙壁面积和所用时间恰好相同．求建筑公司原来每天粉刷墙壁多少平方米？ 【答案】(1)平方米； (2)平方米 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用． （1）设建筑公司增加人员后每天粉刷墙壁平方米，根据总面积为平方米列方程并解方程即可； （2）设建筑公司原来每天粉刷墙壁y平方米,设每个公司的粉刷面积为m平方米, 所用时间恰好相同．据此列方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设建筑公司增加人员后每天粉刷墙壁平方米， 解得 答：建筑公司增加人员后每天粉刷墙壁平方米； （2）设建筑公司原来每天粉刷墙壁y平方米,设每个公司的粉刷面积为m平方米, ， 则 解得 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 答：建筑公司原来每天粉刷墙壁平方米 66．洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱． (1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ (2)经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 【答案】(1)上周生物老师购买洋葱的单价为1元/斤 (2)生物老师至少要再购买20斤洋葱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤，根据“生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设生物老师还需再购买洋葱m斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤，     根据题意可列方程：    解得     经检验：是原方程的根且符合题意．     答：上周生物老师购买洋葱的单价为1元/斤 （2）解：设生物老师还需再购买洋葱m斤     则有     解得     答：生物老师至少要再购买20斤洋葱． 67．某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高； 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 (1)请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过4870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 【答案】(1)甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件； (2)43件． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为元/件，利用数量=总价÷单价，结合购进甲商品的数量比乙商品多40件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出乙商品的进价，将其代入中，可求出甲商品的进价，再利用数量=总价÷单价，即可求出购进甲、乙两种商品的数量； （2）设购买甲商品m件，则购买乙商品件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过4870元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为元/件， 依题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（1+50%）x=60，，． 答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件； （2）解：设购买甲商品m件． 由题意，得， 解得． ∵m是整数， ∴最多可购买甲商品43件， 答：最多可购买甲商品43件． 68．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下． 设每支圆珠笔为元 (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)整数的值为3 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题； （2）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， 经检验是分式方程的解． 此时圆珠笔的数量为， 圆珠笔的数量为整数， 不合题意， 嘉嘉搞错了； （2）由题意可得， 解得： 中性笔和圆珠笔的单价均为整数，， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 整数的值为3． 69．某服装厂需购进一批面料和里料来加工一批秋冬季外套，已知每米面料的进价比每米里料进价的倍还多元，花元购进的面料长度与花元购进的里料长度相等． (1)求购进面料和里料每米各多少元？ (2)一件秋冬季外套需面料米，里料米，该款外套月份投放市场的销售价为元件，出现购销两旺态势，月份进入批发淡季，厂方决定采取打八折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用元， ①求月份每件外套的利润．(利润销售价布料进价固定费用 ②进入月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对客户在月份促销价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在月份促销价的基础上实施价格上浮．已知对客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个客户用元批发外套的件数和一个普通客户用元批发外套的件数相同，则客户享受的降价率为 ． 【答案】(1)每米面料的进价是元，每米里料的进价是元 (2)①10月份每件外套的利润为元；② 【分析】本题考查了分式方程的应用； （1）设每米里料的进价是元，则每米面料的进价是元，利用数量总价单价，结合花元购进的面料长度与花元购进的里料长度相等，可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每米里料的进价，再将其代入中，即可求出每米面料的进价； （2）①利用利润销售价布料进价固定费用，即可求出结论； ②设客户享受的降价率为则普通客户的提价率为利用数量总价单价，结合一个客户用元批发外套的件数和一个普通客户用元批发外套的件数相同，可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：设每米里料的进价是元，则每米面料的进价是元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每米面料的进价是元，每米里料的进价是元． （2）① 元． 答：月份每件外套的利润为元． ②设客户享受的降价率为则普通客户的提价率为， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 客户享受的降价率为． 故答案为：． 试卷第2页，共63页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$