期末模拟卷（一）（考试范围：立体几何+解析几何+数列）-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

期末模拟卷（一） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为直线的斜率， 所以，解得． 故选：D. 2．已知数列是等差数列，且满足，则等于（    ） A．45 B．60 C．75 D．90 【答案】A 【详解】由等差数列性质计算可得，即， 所以可得. 故选：A 3．已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，即， 所以，解得. 故选：D. 4．已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【详解】因为，所以点在圆内， 又圆心，半径为7，点到圆心的距离为， 所以，即的取值范围为， 所以的值可能为7. 故选：B. 5．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】由题可得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：B. 6．设抛物线：（）的焦点为，点（）是上一点．已知以为圆心的圆与轴相切，与线段相交于点，，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，点在抛物线上，则，即①，其中, 如图所示，过作直线的垂线，为垂足，且与轴交于， 易知，，故，得， 抛物线的准线方程为：． 故选：B． 7．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若四边形的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】 因为椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积， 已知椭圆面积为，则， 又椭圆的两个焦点分别为，，直线与椭圆交于A，B两点， 由椭圆对称性，得线段互相平分于原点， 则四边形为平行四边形， 因为四边形的周长为12， 由椭圆的定义得，解得， 所以椭圆的短半轴长. 故选：A. 8．在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设外接球的半径为，则，由于是外接球的直径， 所以， ，所以， 所以，所以， 所以， ， 设与所成角为，则， 整理得，所以外接球的表面积为. 故选：A    【点睛】方法点睛： 求解外接球有关问题，关键是找到球心并计算出半径；求解异面直线所成的角，可以利用几何法来求解，也可以利用向量法来进行求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的面积的最大值为 D．存在点，使得 【答案】BCD 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，设的顶点，则，，C正确； 对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有个交点，当点此交点之一时，，D正确. 故选：BCD 10．在正三棱台中，，，，，其中，，则下列结论正确的有（   ） A．当时，点在平面内 B．当点为的重心时， C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A:当时，易得点在平面内，A正确； 对于B:当点为的重心时，设的中点为, 则,,所以， 所以，因为， 所以，，所以，B错误； 对于C： 由，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以，所以的最小值为，C正确； 对D,当时，所以点在平面内，则存在唯一实数对， 使得，因为, 在中，由余弦定理有： 所以 即, 作,所以,因为,所以,, ， 所以 则. 因为，所以，，， 所以，因为，所以， 所以的最大值为，D正确. 故选：ACD. 11．《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节（最下面一节）的高度为0.5尺；②第一圈（最下面一圈）的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺）下列说法正确的是（　　） A．蚂蚁爬到第10节底部时的高度是5.58尺 B．蚂蚁爬到第10节底部时的高度是6.35尺 C．蚂蚁爬到竹子顶的行程是73.995尺 D．蚂蚁爬到竹子顶的行程是61.395尺 【答案】AD 【详解】设从地面往上，每节竹长依次为a1尺，a2尺，a3尺，…，a30尺， 所以{an}是以a1＝0.5为首项，0.03为公差的等差数列， 所以an＝0.5＋0.03（n－1）＝0.03n＋0.47， 前n项和Sn＝0.5n＋0.015n（n－1）＝0.015n2＋0.485n，S9＝5.58，A正确，B错误． 由题意知竹节圈长，上面一圈比下面一圈少0.013尺， 设从地面往上，每节圈长依次为b1尺，b2尺，b3尺，…，b30尺， 所以{bn}是以b1＝1.3为首项，－0.013为公差的等差数列， 所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为（尺），C错误，D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 【答案】6 【详解】 在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6 13．已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是 . 【答案】2 【详解】由椭圆，则，， 易知为椭圆的左右焦点， 由为椭圆上的点，则，可得， 所以，联立，解得， 当时，取得最小值，则取得最小值 如下图： ； 当时，取得最大值，则取得最大值，如下图： . 所以的最大值与最小值的比值为. 故答案为：. 14．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列满足，. (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）由，又， ∴，故，且， ∴是首项、公差均为的等差数列. （2）由（1），，则，又， ∴，则， ∴，， 则， ∴，. 16．已知圆C与x轴相切于B点，与y轴相切于A点，圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)P是圆C上一动点，M为AP的中点，若的面积为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）由题意知所求圆的圆心是直线和直线的交点，则， 解得，即圆C的圆心坐标，易知圆C的半径为2， 所以圆C的标准方程为. （2）    因为的面积为2，而，所以M到直线的距离为， 又直线的方程为， 设与直线平行且距离为的直线的方程为， 令，得或. 设，，由题意知P是圆C上一动点， 则，，即，， 所以，解得点M的轨迹方程为， 由方程，可得圆心，半径， 当时，圆心到直线的距离； 当时，圆心到直线的距离. 所以直线l与点M的轨迹有交点，则， 联立方程组，解得或， 由与，则直线方程为； 由与，则直线方程为，整理可得. 所以直线AP的方程为或. 17．设向量，满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若点，设斜率为且过的直线与（1）中的轨迹交于P，Q两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 由椭圆定义知： 点到两定点的距离之和为4，且， 所以，，所以可得 所以点的轨迹C的方程为：. （2）因为， 所以直线方程为， 联立方程组得， 设，则 所以 点到直线PQ的距离 所以 18．如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)存在， (2)． 【详解】（1）存在点，且当时，. 由题意，知两两垂直，所以以点O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 所以可求得 所以所以. 因为点在线段上，所以可设. 因为，所以点， 所以， 假设存在点，使得，则， 所以，解得，即所以， 所以存在点，且当时，. （2） 由（1）得 所以，，，=. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面与平面所成的角为， 则=， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 19．“对号函数”的图象也可以看成是以与为渐近线的双曲线.设函数，若将其图象看成双曲线. (1)求双曲线的焦点坐标； (2)将双曲线绕着坐标原点顺时针旋转，使焦点落到轴上，得到双曲线，设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设双曲线的实轴长，虚轴长，焦距，由题意为双曲线的一条对称轴， 设直线与函数图象交于两点， 联立，解得或，所以， 则，所以，又，所以，则， 设双曲线的焦点分别为，则； （2）由（1）可知双曲线的方程为，右焦点， 设直线的方程，与的方程联立可得， 设，由题意，， 所以， ， 即，解得，此时直线的方程为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末模拟卷（一） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A．2 B． C．3 D． 2．已知数列是等差数列，且满足，则等于（    ） A．45 B．60 C．75 D．90 3．已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 4．已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 5．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 6．设抛物线：（）的焦点为，点（）是上一点．已知以为圆心的圆与轴相切，与线段相交于点，，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 7．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若四边形的周长为12，则椭圆C的短半轴长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的面积的最大值为 D．存在点，使得 10．在正三棱台中，，，，，其中，，则下列结论正确的有（   ） A．当时，点在平面内 B．当点为的重心时， C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值为 11．《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节（最下面一节）的高度为0.5尺；②第一圈（最下面一圈）的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺）下列说法正确的是（　　） A．蚂蚁爬到第10节底部时的高度是5.58尺 B．蚂蚁爬到第10节底部时的高度是6.35尺 C．蚂蚁爬到竹子顶的行程是73.995尺 D．蚂蚁爬到竹子顶的行程是61.395尺 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 13．已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是 . 14．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列满足，. (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和. 16．已知圆C与x轴相切于B点，与y轴相切于A点，圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)P是圆C上一动点，M为AP的中点，若的面积为2，求直线的方程. 17．设向量，满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若点，设斜率为且过的直线与（1）中的轨迹交于P，Q两点，求的面积. 18．如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 19．“对号函数”的图象也可以看成是以与为渐近线的双曲线.设函数，若将其图象看成双曲线. (1)求双曲线的焦点坐标； (2)将双曲线绕着坐标原点顺时针旋转，使焦点落到轴上，得到双曲线，设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，当时，求直线的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$