八年级数学上学期期末重难点必刷卷（上海专用）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版五四制2024）

2024-2025学年八年级数学上学期期末重难点必刷卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版八上全部。 5．难度系数：0.6。 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．校车司机李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）      A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 2．已知，，则有（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于的方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知在直角坐标系中，，那么是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 5．，为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，两个大小、形状均相同的和拼在一起，其中点A与点重合，点落在边上，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．若，，则化简的结果是 8．已知正比例函数的图象上的两点，当时，有，那么的取值范围是 ． 9．如图是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x的值为5，则输出的因变量y的值为 ．    10．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 11．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 12．已知，则的值是 ． 13．计算： ． 14．“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”这一命题是 命题（填“真”或“假”）． 15．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围） ． 16．已知是方程的一个根，试求的值 ． 17．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在反比例函数的图象上，点是对角线与的交点且在反比例函数的图象上，则的值为 ． 三、解答题（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．计算： (1) (2) 20．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)甲车的速度是； (2)求乙车出发后多少时间追上甲车？ (3)求相遇后乙车出发多少时间，两车相距50千米？（直接写出结果） 21．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 22．每年暑假是游泳旺季，今年我市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． (1)若降价5元，求平均每天的销售数量； (2)当每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 23．某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 24．如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)作，垂足为G，求证：． 25．在等腰中，，D，E两点在边上运动．    (1)如图1，当时，D在边上，E在边上，，求的面积． (2)如图2，当时，D在边上，E在延长线上，，连接、，取中点F，连接，H为上一点，G为上一点，连接、，且满足，求证：． (3)如图3，当时，D在边上，E在边上，连接，，求的最小值． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期期末重难点必刷卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版八上全部。 5．难度系数：0.6。 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．校车司机李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）      A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】根据在一个变化过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同的值的量称为变量即可判断． 本题考查常量与变量，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：C． 2．已知，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，是解题关键．根据分母有理化，可化简a，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， 故选：B． 3．已知是关于的方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代入求值的计算，把代入方程可求的值，再代入式子计算即可求解． 【详解】解：根据题意，把代入方程得，， 解得，， ∴， 故选：D ． 4．已知在直角坐标系中，，那么是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形． 由勾股定理逆定理进行判断． 【详解】∵， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，． 故选：C． 5．，为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，由已知条件可得出反比例函数的图象位于一、三象限，进而可得出，解不等式即可求出． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， 解得：， 故选：C． 6．如图，两个大小、形状均相同的和拼在一起，其中点A与点重合，点落在边上，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，灵活运用勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理求出的长，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得与全等且均为等腰直角三角形， ， ， ， 在中， ∵， 是直角三角形， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．若，，则化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．结合已知条件，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 8．已知正比例函数的图象上的两点，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由当时，有，可得出随的增大而增大，结合函数的性质可得出，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的图象上的两点，当时，有， ∴随的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．如图是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x的值为5，则输出的因变量y的值为 ．    【答案】70 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，看懂题意是关键．把代入，如果结果大于12就输出，如果结果不大于12，就再算一次． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 输出因变量． 故答案为：70． 10．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支． ， ， 解得（不合题意，舍去），， 故答案为：9． 11．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，解题的关键是掌握：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 先利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且， 故答案为：且． 12．已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14．“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”这一命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题主要考查了判断命题真假、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法．根据真假命题的概念进行判断即可． 【详解】解：一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形是真命题． 如图，已知是的边上的中线，且． 求证：是直角三角形． 证明：∵， ∴， 同理， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 故答案为：真． 15．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围） ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据“油箱内剩油量油箱内原有油量耗油量”写出y与x的关系式，将代入y与x的关系式，求出x的最大值，从而写出x的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， 当时，得，解得， ， 与x的关系式为． 故答案为：． 16．已知是方程的一个根，试求的值 ． 【答案】2009 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；由是方程的一个根，将其代入方程，得到关于A的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】∵是方程的一个根， ∴，即， 则 故答案为：2009． 17．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是的值最小，的面积是，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且， ∵， ∴，即， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴当点在一条直线上时，周长，即最小就是的值最小， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在反比例函数的图象上，点是对角线与的交点且在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，勾股定理，过点作轴于，设，则，，由菱形的性质可得，，在中，由勾股定理可得，解得，即得，利用中点坐标公式可得，代入反比例函数即可求解，掌握菱形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于，则， 设，则，， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∴， 解得或， ∵点位于第二象限， ∴， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∵点为菱形对角线的交点， ∴点为线段的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别化简各项后再进行加减运算即可得到答案； （2）原式根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)甲车的速度是； (2)求乙车出发后多少时间追上甲车？ (3)求相遇后乙车出发多少时间，两车相距50千米？（直接写出结果） 【答案】(1) (2)1.5 (3)相遇后乙车出发2.75小时或小时时，甲、乙两车相距50千米 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据题意求出乙车的速度，再列方程解答即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，甲车的速度是：． 故答案为：； （2）解：乙车的速度为：， 设乙车出发后x小时追上甲车，根据题意得： ， 解得， 答：乙车出发后1.5小时追上甲车； （3）解：设甲车出发小时，两车相距50千米，根据题意得： 或， 解得3.75或． 乙车比甲车晚出发1小时， 此时乙车出发的时间为2.75小时或小时 答：相遇后乙车出发2.75小时或小时时，甲、乙两车相距50千米 21．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据题意只需要证明即可； （2）利用因式分解法求出方程的两个根为，再根据方程有一个不小于4的根列出不等式求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵方程有一个不小于4的根， ∴， ∴． 22．每年暑假是游泳旺季，今年我市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． (1)若降价5元，求平均每天的销售数量； (2)当每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 【答案】(1)降价5元，平均每天的销售数量为件 (2)每件游泳服降价元或元时，该商店每天销售利润为6000元 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可得出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件，降价5元， ∴平均每天可多售出（件）， ∴若降价5元，平均每天的销售数量为（件）． （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， ∵商店每天销售利润为6000元， ∴， 解得：，， 答：每件游泳服降价元或元时，该商店每天销售利润为6000元． 23．某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键． （1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式； （2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解． 【详解】（1）解：设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上到第二天早上的时间间隔为，， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升）， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行． 24．如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)作，垂足为G，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及等边三角形的性质等知识， （1）由等边三角形的性质得，，再证出，进而即可得解； （2）由，可得，由，可得，再由直角三角形的性质即可得解； 熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中 ， ， ； （2）证明：，垂足为， ， ． ， ， ∴． 25．在等腰中，，D，E两点在边上运动．    (1)如图1，当时，D在边上，E在边上，，求的面积． (2)如图2，当时，D在边上，E在延长线上，，连接、，取中点F，连接，H为上一点，G为上一点，连接、，且满足，求证：． (3)如图3，当时，D在边上，E在边上，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点A作于点F，过点E作于点G，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，计算，，，结合计算即可． （2）先证明是等边三角形，延长到点M使得，连接，再证明，，，接着证明是等边三角形，即可得证． （3）过点D作于点M，则，过点E作直线得对称点F，过点F作于点G，过点A作于点Q，结合，要求的最小值，只需求得的最小值即可，根据垂线段最短，计算即可． 【详解】（1）解：过点A作于点F，过点E作于点G， ∵，，， ∴，，，， ∴， ．    （2）证明：∵， ∴是等边三角形， ∴，， 延长到点M使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，    ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （3）解：过点D作于点M， ∵， ∴， 过点E作直线得对称点F，过点F作于点G， 则， 故的最小值，只需求得的最小值即可，根据垂线段最短， 计算的长度， 而的长度，随的变小而变小，当时即点E与点A重合时，最小， 过点A作于点Q， 则， ∴．   ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形判定和性质、勾股定理、三角函数的应用、两点之间线段最短、点到直线最短距离；熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角函数的应用、点到直线最短距离是解题的关键． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$