精品解析：安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

六安市独山中学2024-2025学年度第一学期高二学考模拟卷（三）数学试卷（必修一、必修二） 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分总计54分） 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列给出的各组函数中，与是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则 A. B. C. D. 6. 设是两个随机事件，且，则“事件相互独立”是“事件互斥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知两个单位向量，的夹角为，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图所示，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC．BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 A. 12 B. 32 C. 36 D. 48 9. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 10. 用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是（ ） A. 矩形 B. 圆形 C. 梯形 D. 正方形 11. 如果角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知甲、乙两组按顺序排列数据：甲组：27，28，37，，40，50；乙组：24，，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于（ ） A. B. C. D. 13. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 在中，若，则的形状为（ ）. A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 15. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若带宽W不变，信噪比从1000提升到12000，则C比原来大约增加了（ ）．(附：) A. 32% B. 43% C. 36% D. 68% 16. 若不等式的解集是，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 17. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 18. 已知，则函数的零点个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分总计16分） 19. 已知函数在上单调递减，则实数取值范围是__________. 20 定义运算，若，且，，则__________. 21. 如图所示，在直三棱柱中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，，，是的中点，点在棱上，要使平面，则___________. 22. 如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像高度，在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB､CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为___________米． 三、解答题（每题10分总计30分） 23. 已知定义在上奇函数，偶函数，. （1）求的值； （2）判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性； （3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围. 24. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求证：平面． 25. 小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 销售额（万元） （1）求销售额的平均数和方差；（保留两位有效数字） （2）若销售额满足，则称该销售额为“近均值销售额”．去掉前天的销售额，在后天的销售额中任意抽取天的销售额，求取到的销售额中仅有个“近均值销售额”的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六安市独山中学2024-2025学年度第一学期高二学考模拟卷（三）数学试卷（必修一、必修二） 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分总计54分） 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据模的计算公式计算可得； 【详解】解复数满足， , ． 故选：． 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】. 故选：A 3. 下列给出的各组函数中，与是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分别判断四个选项中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数； 对于选项B：，两个函数的对应法则不同，不是同一个函数； 对于选项C：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，与对应法则相同,是同一个函数； 对于选项D：的定义域为R，的定义域为，故两个函数不是同一个函数. 故选：C 4. 下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性可选出答案. 【详解】在定义域上单调递增，满足题意 、、在定义域内都不是单调递增的. 故选：A 5. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将平方后，利用已知条件，结合向量的运算公式，计算出所求的结果. 【详解】由于，所以.故选C. 【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 6. 设是两个随机事件，且，则“事件相互独立”是“事件互斥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由独立事件及互斥事件的概念和性质即可得到二者间的逻辑关系 【详解】由“事件相互独立”得，； 由“事件互斥”得； 由不能得到；由不能得到 所以“事件相互独立”是“事件互斥”的既不充分也不必要条件 故选：D. 7. 已知两个单位向量，的夹角为，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直性质可得，结合向量的数量积计算即可求解. 【详解】由单位向量，的夹角为， 则， 由，可得， 即，则，解得， 故选：D. 8. 如图所示，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC．BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 A. 12 B. 32 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件可得∠ASB=∠BSC=∠ASC=90∘，以SA，SB，SC为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积. 【详解】∵M,N分别为棱SC,BC的中点, ∴MN∥SB ∵三棱锥S−ABC为正棱锥， ∴SB⊥AC(对棱互相垂直) ∴MN⊥AC 又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A， ∴MN⊥平面SAC， ∴SB⊥平面SAC ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90∘ 以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱， 将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴， ∴R=3， ∴V=36π. 故选：C 【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 9. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用抽象函数定义域求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以， 所以， 所以， 所以的定义域为. 故选：C. 10. 用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是（ ） A. 矩形 B. 圆形 C. 梯形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的特征进行分析判断即可 【详解】因为圆锥的侧面是曲面，底面是圆， 所以用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆形，不可能是矩形，梯形，正方形， 故选：B 11. 如果角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由任意角的三角函数的定义求解 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 故选：B 12. 已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，，40，50；乙组：24，，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意求出甲组的第30百分位数为第2项，求出，第50百分位数为中位数，从而求出，即可求出, 【详解】因为， 所以第30百分位数为，第50百分位数为， 所以，所以 故选：B 【点睛】本题考查了样本数据中的数字特征，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 13. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合选项，根据基本不等式计算即可判断ABD；根据举例说明即可判断C. 【详解】A：当时，，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，， 当且仅当即时，等号成立，故A错误； B：由，得， 当且仅当即时，等号成立，故B正确； C：当时，，故C错误； D：当时，， ，当且仅当即时等号成立，故D错误. 故选：B. 14. 在中，若，则的形状为（ ）. A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状. 【详解】由正弦定理和余弦定理可得： 即为 ， 化简可得：， 故或即，故为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 15. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若带宽W不变，信噪比从1000提升到12000，则C比原来大约增加了（ ）．(附：) A. 32% B. 43% C. 36% D. 68% 【答案】C 【解析】 【分析】根据和表示出对应，然后根据结合对数的运算求解出结果. 【详解】当时，最大信息传递速度为， 当时，最大信息传递速度为， 所以比原来增加了 ， 故选：C. 16. 若不等式的解集是，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次不等式的解集，得对应一元二次方程的两根，利用韦达定理求出，可得的值. 【详解】不等式解集是，则有， 方程的两根为和，则有， 解得，，所以. 故选：A 17. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较即可 【详解】， ， ， ， 故选：A. 18. 已知，则函数的零点个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先由函数的零点转化为方程和的根，再利用数形结合即可求得函数的零点个数. 【详解】函数的零点， 即方程和的根， 函数的图象如下图所示： 由图可得方程和共有5个根， 即函数有5个零点， 故选：A 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分总计16分） 19. 已知函数在上单调递减，则实数取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数在上的单调性得出指数的符号，进而可求出实数的取值范围. 【详解】由于幂函数在上单调递减，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据幂函数的单调性求参数，考查计算能力，属于基础题. 20. 定义运算，若，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题中定义可得,即,则,利用差角公式求解即可. 【详解】由题,因为,所以,即, 因为,,所以,所以, 所以, 故答案为: 【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查余弦的和（差）角公式的应用,考查理解分析能力. 21. 如图所示，在直三棱柱中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，，，是的中点，点在棱上，要使平面，则___________. 【答案】a或2a 【解析】 【分析】利用已知条件判断B1D⊥平面，然后说明，设AE=x（0<x<3a），然后可得CE2=x2+4a2，DE2=a2+（3a﹣x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，然后可求出答案. 【详解】由已知得A1B1=B1C1，又D是A1C1的中点， 所以B1D⊥A1C1，又侧棱AA1⊥底面ABC， 可得侧棱AA1⊥平面A1B1C1，又B1D⊂平面A1B1C1， 所以AA1⊥B1D，因为AA1∩A1C1=A1， 所以B1D⊥平面AA1C1C， 又CE⊂平面AA1C1C，所以B1D⊥CE， 故若CE⊥平面B1DE，则必有. 设AE=x（0<x<3a），则CE2=x2+4a2， DE2=a2+（3a﹣x）2，又CD2=a2+9a2=10a2， 所以10a2=x2+4a2+a2+（3a﹣x）2， 解得x=a或2a. 故答案为：a或2a. 22. 如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB､CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为___________米． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理、三角恒等变换等知识计算出正确答案. 【详解】在中，，解得， 其中 ， 在中，， 所以，由正弦定理得，， 故． 在中，，所以， 估算该雕像的高度为米． 故答案为： 三、解答题（每题10分总计30分） 23. 已知定义在上的奇函数，偶函数，. （1）求的值； （2）判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性； （3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义研究式子恒成立即可求得的值； （2）利用奇偶性定义判断，利用单调性定义证明即可； （3）可将不等式转化为，再应用函数的单调性转化成，再分类讨论解出的取值范围即可. 【小问1详解】 解：由题意，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 所以恒成立，所以； 所以，即， 所以恒成立，所以 【小问2详解】 因为， 则的定义域为， 因为，所以为奇函数； 因为， 于是任取，且， 则 ， ， 所以为上增函数； 【小问3详解】 解：因为， 所以即， 又因为为上增函数，所以对任意恒成立， 当时，解集不为，所以； 当时，只需，可得到. 综上实数的取值范围是 24. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析. (2) 证明见解析. 【解析】 【详解】分析：（1）根据三角形中位线性质可得，再由线面平行的判定定理可得结论成立．（2）由题意可证得，，根据平面平面可得平面，于是得到．然后根据线面垂直的判定定理可得到平面． 详解：证明： （1）在平面中，，分别为，的中点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． （2）在平面中，，， 所以． 因为，为中点， 所以． 又平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，平面，平面， 所以平面． 点睛：证明空间中的平行、垂直等问题时，要合理选择证明的方法，利用空间中平行、垂直间的相互转化关系进行求解．同时证题时要注意解题过程的规范性，特别是对于定理中的关键性词语，在证题过程中要得到相应的体现． 25. 小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 销售额（万元） （1）求销售额的平均数和方差；（保留两位有效数字） （2）若销售额满足，则称该销售额为“近均值销售额”．去掉前天的销售额，在后天的销售额中任意抽取天的销售额，求取到的销售额中仅有个“近均值销售额”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义和方差的计算公式求解； （2）确定样本空间的样本点个数，再求事件取到的销售额中仅有个“近均值销售额”中所含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 ， ， 所以销售额的平均数可为，方差为． 小问2详解】 在后5天的销售额中，满足的是，，， 从，，，，中任取个，共有个不同结果：，． 其中，仅含有，，中一个的有6个不同结果． 所以，所求概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$