第09讲 勾股定理的逆定理-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

第09讲 勾股定理的逆定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；能够运用勾股定理的逆定理证明直角三角形。 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 首先确定最大边（如）； 验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形。 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 考点01：判断能否构成直角三角形 例题1．下列条件中，能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据直角三角形的判定可判断选项A和B，C选项中根据三角形的内角和定理以及三个角的比例关系可求出为，根据勾股定理的逆定理可判断选项D，即可得出答案． 【解析】解：A、由无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； B、，， ，无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； C、，， 最大角， 是直角三角形，故本选项符合题意； D、，，，， ， 不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A．，， B．1，， C．，， D．7，12，13 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解析】解：A、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，故是直角三角形，故本选项符合题意； C、，故是直角三角形，故本选项不符合题意； D、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形的内角和定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理逐一分析判断即可． 【解析】解：A、∵，， ∴，是直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴，是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴故不能判定是直角三角形，符合题意； D、∵， ∴，即，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，通过三角形中一个角是直角，或者勾股定理的逆定理判断． 【解析】解：A、， ， 能说明是直角三角形，不合题意； B、，， ， 能说明是直角三角形，不合题意； C、， 设，，， ， ， 能说明是直角三角形，不合题意； D、， 最大的角， 不能说明是直角三角形，符合题意； 故选D． 考点02：在网格中判断直角三角形 例题2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (2)求出点B到的距离． 【答案】(1)见解析，(2)2 【分析】本题考查了作图：轴对称变换，勾股定理逆定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于x轴对称的图形，进而写出顶点的坐标； （2）根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，设点B到的距离为h，根据，即可求解． 【解析】（1）解：如图，即为所求； 顶点的坐标为； （2）解：根据题意得： ， ， ∴为直角三角形， 设点B到的距离为h， ， ， 解得：， 即点B到的距离为2． 【变式2-1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解析】解：由题意，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键． 根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案． 【解析】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．根据勾股定理，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求出． 【解析】解：∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 考点03：利用勾股定理逆定理求解 例题3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【答案】12 【分析】本题考查了关于三角形面积计算的题，由是边上的中线可得到，结合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，过点A作，垂足为E，在中求出的长，即得高，即可求出面积． 【解析】解：是边上的中线 是直角三角形且 过A作，垂足为E， 如图：， 【变式3-1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若， (1)说明为直角， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理定理及逆定理，根据逆定理得到是直角三角形，利用勾股定理求出是解题关键． （1）根据勾股定理逆定理确定即可得出结果； （2）利用勾股定理得出，结合图形即可求解． 【解析】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 【变式3-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析(2)84 【分析】（1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【解析】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理，得， ∴， ∴的面积为：． 【变式3-3】如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：证明，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【解析】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：， ∴， ∵，， ， ∴ ． 考点04：勾股定理逆定理的实际应用 例题4．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，然后根据面积公式求出答案即可． 【解析】如图所示，连接， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴（）． 【变式4-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 【答案】需要投入元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解． 【解析】解：连接，如图所示： 在中，， 在中，， 而， 即， ∴为直角三角形，， ， ∴需要的投入为（元）． 【变式4-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．下图是搭建帐篷的示意图．在中，支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，且于点，经测量得：，，．按照要求，帐篷支架与所夹的角需为直角．请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件． 【答案】学生搭建的帐篷符合条件，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；先根据勾股定理求得，，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【解析】解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵，， ∴； ∴． ∴学生搭建的帐篷符合条件． 【变式4-3】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，． (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】(1) (2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【解析】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（     ） A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，7 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解析】解：A．，能组成直角三角形，不符合题意； B．，能组成直角三角形，不符合题意； C．，能组成直角三角形，不符合题意； D．，不能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断线段能否组成直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．根据勾股定理的逆定理进行判断． 【解析】A、 ， 不能构成直角三角形，故本选项错误； B、， 不能构成直角三角形，故本选项错误； C、， 不能构成直角三角形，故本选项错误； D、， 能构成直角三角形，故本选项正确； 故选：D 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C．，，（k为正整数） D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据所给选项依次计算判断即可得；掌握勾股定理，三角形内角和是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形； ∵， ∴， ∴为直角三角形； ∵，，（k为正整数）； ∴， ∴为直角三角形； ∵，， ∴ ∴为直角三角形； 综上，选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题 4．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，后直角三角形的面积公式计算即可，本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【解析】∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 【答案】 【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得． 先根据勾股定理的逆定理得，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可． 【解析】解：如图，过点C作 海里，海里，海里， ， ， ，， ， ， ∵， ， 岛在岛的北偏西方向上． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，，则这块试验基地的面积为 （2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为，，（如图），则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可； （2）过作交于点．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴该三角形为直角三角形，其中为斜边， ∴这块试验基地的面积为， 故答案为：； （2）解：过作交于点． 设，则． 在和中， 由勾股定理得 ， 解得， 在中，由勾股定理得, ∴． 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 【答案】(1)是直角三角形；理由见解析 (2)边上的高为2 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可； （2）等积法求高即可． 【解析】（1）解：是直角三角形；理由如下： 由勾股定理，得：， ∴， ∴是直角三角形； （2）设边上的高为， ∵， ∴， ∴； 即：边上的高为2． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)使三角形的三边长分别为，，（在图甲中画一个即可）； (2)使三角形为直角三角形，且面积为，要求至少有两条边不与网格线重合（在图乙中画一个即可）． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理和勾股定理 逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题． （1）利用勾股定理，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造直角边为和的直角三角形即可． 【解析】（1）解：如图，即为所求； ∵， ∴， ∴，即为三边长分别为，，的直角三角形； （2）解：如图乙中，即为所求： ∵， ∴， ∴， 此时． 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，是四边形的对角线，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，在中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解析】（1）解：连接， ，， ，， ， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， 的度数为； （2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为． 10．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，． (1)直接写出的长为______； (2)求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由由含30度的直角三角形的性质可求出答案； （2），连接，求出，，再证明，即可由求解． 【解析】（1）解： ， ， ，， ． （2）解：连接，如图， ，为的中点， ， ， ，， ， ， ∴． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 勾股定理的逆定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；能够运用勾股定理的逆定理证明直角三角形。 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 首先确定最大边（如）； 验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形。 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 考点01：判断能否构成直角三角形 例题1．下列条件中，能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【变式1-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A．，， B．1，， C．，， D．7，12，13 【变式1-2】由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 考点02：在网格中判断直角三角形 例题2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (2)求出点B到的距离． 【变式2-1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形． 【变式2-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 考点03：利用勾股定理逆定理求解 例题3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【变式3-1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若， (1)说明为直角， (2)求的长． 【变式3-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【变式3-3】如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点04：勾股定理逆定理的实际应用 例题4．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 【变式4-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 【变式4-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．下图是搭建帐篷的示意图．在中，支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，且于点，经测量得：，，．按照要求，帐篷支架与所夹的角需为直角．请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件． 【变式4-3】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，． (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（     ） A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，7 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C．，，（k为正整数） D．，， 二、填空题 4．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则 ． 5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 6．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，，则这块试验基地的面积为 （2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为，，（如图），则的面积为 ． 三、解答题 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)使三角形的三边长分别为，，（在图甲中画一个即可）； (2)使三角形为直角三角形，且面积为，要求至少有两条边不与网格线重合（在图乙中画一个即可）． 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，是四边形的对角线，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 10．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，． (1)直接写出的长为______； (2)求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$