第08讲 勾股定理-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

第08讲 勾股定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题； 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 2.勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形. 图中，所以. 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形. 　图中，所以。 方法三：如图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　图中，所以。 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 考点01：用勾股定理理解三角形 例题1．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图， 已知等腰的底边，为腰上的高，且，求的周长． 【变式1-1】在中，斜边，则的值为（   ） A．15 B．25 C．50 D．60 【变式1-2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】如图，在中，，，，垂足为，若，则的长为 ． 考点02：已知两点坐标求两点距离 例题2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和． (1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离． 【变式2-1】已知直角坐标平面上点和，那么 ． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过轴上的点作垂直于轴，若，以为圆心，为半径作圆弧交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 【变式2-3】已知平面内两点，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点、，试求、两点间的距离； (2)点在第一三象限角平分线上，且轴，点的横坐标为，试求、两点间的距离． 考点03：勾股数问题 例题3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【变式3-1】在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．，， B．5，6，7 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【变式3-2】下列各组数是勾股数的是（   ） A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11 【变式3-3】已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是 ． 考点04：以直角三角形三边为边长的图形的面积 例题4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）勾股定理是数学中一颗璀璨的明珠，在人类的文明史上有杰出的贡献．如图1，在中，，，分别以的各边为一边向外部作正方形，把两个较小正方形按图2放置，若图形①的面积是4，则图形②的面积是 ． 【变式4-1】图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于 ． 【变式4-3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图， 在中， ． 若， 则正方形和正方形的面积差为 ． 考点05：勾股定理与网格问题 例题5．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)写出格点各顶点的坐标； (2)求出的周长． 【变式5-1】如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在正方形网格中，是格点三角形（每个顶点都是格点），格点与全等（点D与点C不重合），满足条件的共有 个． 【变式5-3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与△关于直线成轴对称的△； (2)的周长为_________． 考点06：勾股定理与折叠问题 例题6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为 ． 【变式6-1】（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为 ． 【变式6-3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． 考点07：勾股定理的证明 例题7．（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【变式7-1】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请用两种不同的方法证明：． 【变式7-3】我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 考点08：利用勾股定理进行计算或证明 例题8．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【变式8-1】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ． 【变式8-2】RtABC中，斜边，则的值为 ． 【变式8-3】（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 考点09：以弦图为背景的计算问题 例题9．（24-25八年级上·浙江·期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式9-1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图中四条线段得到如图的新图案，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25八年级上·浙江金华·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为 ． 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 考点10：勾股定理的应用 例题10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 【变式10-1】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动 ． 【变式10-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 【变式10-3】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降． 实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是6，物体到定滑轮的垂直距离是8．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高7，求滑块向左滑动的距离． 例题11．（24-25八年级上·山西太原·期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 米． 【变式11-1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，，，求小树的高度． 【变式11-3】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度为，将它往前推送6（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终拉得很直．若踏板垂直高度差，求绳索的长． 例题12．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 【变式12-1】如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式12-2】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【变式12-3】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 例题13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【变式13-1】（24-25八年级上·广东清远·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 【变式13-2】如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 【变式13-3】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米． 例题14．如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东方向以每小时36海里的速度前进，乙艇沿南偏东方向以每小时32海里的速度前进，15分钟后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？（结果保留根号） 【变式14-1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）一艘轮船以3海里/时的速度从港口出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（    ） A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里 【变式14-2】（24-25八年级上·四川·期中）一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时他离出发点 ． 【变式14-3】如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知的三个角度数的比，，则为（　　） A． B．4 C．2 D． 2．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为(   ) A．1 B． C． D．3 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（    ） A．4 B．5 C．7 D．25 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角时，的长为（    ） A．5 B．3 C． D． 二、填空题 6．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则斜边的长是 ． 7．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 三、解答题 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知：直角三角形约三边长为，，，且的平方根分别为与，求的值． 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为． (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，在中，，求证：； （）在中，，，边上的高，求边的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 勾股定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题； 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 2.勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形. 图中，所以. 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形. 　图中，所以。 方法三：如图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　图中，所以。 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 考点01：用勾股定理理解三角形 例题1．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图， 已知等腰的底边，为腰上的高，且，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据勾股定理得出，设，则，再勾股勾股定理求出即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理的应用和等腰三角形的性质． 【解析】解：∵为腰上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴的周长为． 【变式1-1】在中，斜边，则的值为（   ） A．15 B．25 C．50 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【解析】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【解析】解：米，米， （米）， （米）， 故选：D． 【变式1-3】如图，在中，，，，垂足为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，易得为等腰直角三角形，得到，勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 考点02：已知两点坐标求两点距离 例题2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和． (1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离． 【答案】(1)(2)9 【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是巧妙的运用两点间的距离公式求出任意两点间的距离． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，可以利用垂直于轴的距离公式进行计算即可． 【解析】（1）解：点，， ， 即，两点间的距离是； （2）解：点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为， ， 即，两点间的距离是9． 【变式2-1】已知直角坐标平面上点和，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式，熟知若两点的坐标分别为，则这两点的距离是解题的关键．根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可． 【解析】解：∵直角坐标平面上点和， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过轴上的点作垂直于轴，若，以为圆心，为半径作圆弧交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，勾股定理，线段的和与差等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 先求出，的长，然后利用勾股定理求出的长，于是可得的长，利用线段的和与差可求得的长，于是即可求出点的坐标． 【解析】解：，，， ，， 又， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式2-3】已知平面内两点，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点、，试求、两点间的距离； (2)点在第一三象限角平分线上，且轴，点的横坐标为，试求、两点间的距离． 【答案】(1)A、B两点间的距离为13； (2)A、B两点间的距离为6． 【分析】本题考查了两点间的距离公式，关键是掌握并运用两点间的距离公式． （1）根据两点间的距离公式可得； （2）因为点在第一三象限角平分线上，所以，解得的值，可得点坐标，因为轴，所以、两点间的距离，可得、两点间的距离． 【解析】（1）解：， 答：、两点间的距离为13； （2）解：点在第一三象限角平分线上， ， 解得：， ， 轴， ， 答：、两点间的距离为6． 考点03：勾股数问题 例题3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【答案】37 【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为，则：股为，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【解析】解：设弦为，则：股为， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：37． 【变式3-1】在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．，， B．5，6，7 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解． 【解析】解：A．不是正整数，则，，不是勾股数，故本选项不符合题意； B．，则5，6，7不是勾股数，故本选项不符合题意； C．不是正整数，则0.3，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意； D．因为，所以5，12，13是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3-2】下列各组数是勾股数的是（   ） A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解． 【解析】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴3，4，5是勾股数，符合题意； C、∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【变式3-3】已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股数，构成一个直角三角形的三边的一组正整数，叫做勾股数，根据勾股数的定义列式计算即可，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【解析】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， 则， ∴，是整数，符合题意； ， ∴，不是整数，不符合题意； 综上可知：勾股数的第三个数是， 故答案为：． 考点04：以直角三角形三边为边长的图形的面积 例题4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）勾股定理是数学中一颗璀璨的明珠，在人类的文明史上有杰出的贡献．如图1，在中，，，分别以的各边为一边向外部作正方形，把两个较小正方形按图2放置，若图形①的面积是4，则图形②的面积是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理求出，再根据得出答案． 【解析】解：根据勾股定理，得， ∴． ∵①的面积是4， ∴②的面积是5． 故答案为：5． 【变式4-1】图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据正方形的面积公式，运用勾股定理，发现：2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积． 【解析】解∶ 由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A，B的面积之和． 故选：D． 【变式4-2】如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，根据图形得到，，根据勾股定理推出即可求解. 【解析】解：由题意，得，， 所以， 故答案为：. 【变式4-3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图， 在中， ． 若， 则正方形和正方形的面积差为 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理与面积，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．由勾股定理可得出答案． 【解析】解：，， ， 正方形和正方形的面积差为． 故答案为：4． 考点05：勾股定理与网格问题 例题5．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)写出格点各顶点的坐标； (2)求出的周长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形的性质． （1）根据图形直接写出答案； （2）由勾股定理求得三角形的三边长度，进而得到其周长． 【解析】（1）解：，，； （2）解：由勾股定理知：，，． 所以，的周长为； 【变式5-1】如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【解析】解：如图所示， ∵网格是正方形网格， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A ． 【变式5-2】（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在正方形网格中，是格点三角形（每个顶点都是格点），格点与全等（点D与点C不重合），满足条件的共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与网格，全等三角形的判定，掌握勾股定理的判定方法是解题的关键． 运用勾股定理可得的长，根据全等三角形的判定方法作图分析即可求解． 【解析】解：如图所示， ∵，是公共边，， ∴运用边边边可证：， ∴满足条件的共有3个， 故答案为：3 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与△关于直线成轴对称的△； (2)的周长为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图−轴对称变换以及求三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找出关键点、，作图即可即可； （2）利用网格及勾股定理确定，然后求周长即可． 【解析】（1）解：关于直线l成轴对称的如下图，   ； （2）由网格得：， 的周长为：． 故答案为：． 考点06：勾股定理与折叠问题 例题6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，根据勾股定理列方程求解是解题的关键；由勾股定理可求，由翻折可得，则，，根据勾股定理可得，解方程即可得解． 【解析】解：， ， 将沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上， ，， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：5． 【变式6-1】（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【解析】解：由题意可得：，， ∵点是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，根据，，求出，根据勾股定理可求的值． 【解析】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：9． 【变式6-3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，先由题意求出，再由折叠的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【解析】解；由题意得，轴，轴， ∵的坐标为， ∴， ∴， 分两种情况： 当点在轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ②当点在轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 考点07：勾股定理的证明 例题7．（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)小正方形的面积等于1． 【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积个正方形的面积个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积边长；写出、、之间的等量关系； （2）直接用（1）的结论求出结果． 【解析】（1）证明：， ， ， ； （2）解：大正方形的面积是25， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， 小正方形的面积等于1． 【变式7-1】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形是边长为c的正方形，则其面积为，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为，根据两种表示方法表示的面积相等即可得到结论． 【解析】解：大正方形是边长为c的正方形，则其面积为， 中间的小正方形是边长为的正方形，则其面积为， 大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为， ∴，即， 故选：C． 【变式7-2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请用两种不同的方法证明：． 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，对于方法1，根据三个直角三角形其面积和等于直角梯形的面积列出等式，再整理即可；对于方法2，根据四个全等的直角三角形面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积． 【解析】方法1：如图，有三个直角三角形其面积分别为ab，ab和，直角梯形的面积为． 由图形可知： ， 整理得， ∴． 故结论为：直角边长分别为a、b，斜边为c的直角三角形中． 方法2：先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形． 由图1可以得到， 整理，得． 所以． 【变式7-3】我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 【答案】(1)5； (2)见详解 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）根据梯形的面积等于三个直角三角形面积之和即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为； 故答案为5；； （2）解：由图可知： ， 整理得：． 考点08：利用勾股定理进行计算或证明 例题8．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【解析】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式8-1】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ． 【答案】69 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【解析】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2， CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2， MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）， ＝132−102， ＝69． 故答案为：69． 【变式8-2】RtABC中，斜边，则的值为 ． 【答案】16 【分析】由勾股定理得＝＝8，则，即可得出结论． 【解析】解：∵在 中，斜边BC＝， ∴＝＝8， ∴＝ ＝16． 故答案为：16． 【变式8-3】（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【解析】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 考点09：以弦图为背景的计算问题 例题9．（24-25八年级上·浙江·期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等角对等边得出，进而可得，根据三线合一，即可得证； （2）由（1）得：，可以求得，进而证明，得出，再根据勾股定理，即可求解． 【解析】（1）证明： （2）由（1）得： ，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成， ∴， 在中， ∴ ， 在中， 【变式9-1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图中四条线段得到如图的新图案，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得，，，，进而由勾股定理可得，即得，可得，最后用大正方形的面积减去个空白部分三角形的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【解析】解：如图，根据题意得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：． 【变式9-2】（24-25八年级上·浙江金华·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键掌握勾股定理． 根据面积加减关系求解减即可得到答案； 【解析】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 【变式9-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【答案】(1)见解析(2)26 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用． （1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论； （2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值． 【解析】（1）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． ， ， ． （2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． 大正方形的面积是15，小正方形的面积是4， ， ， 由题意知， ． 考点10：勾股定理的应用 例题10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 【答案】(1)这架梯子的顶端到地面的距离为； (2)梯子的顶端沿墙向上移动了． 【分析】（）根据勾股定理即可得到结论； （）先求出，根据勾股定理求出的长，然后即可求解； 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【解析】（1）解：在中，由勾股定理得， 即，所以， 即这架梯子的顶端到地面的距离为； （2）解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∴， 即梯子的顶端沿墙向上移动了． 【变式10-1】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可．掌握勾股定理是解题的关键． 【解析】解：如图所示：根据题意得， 根据勾股定理可得，， 如果梯子的顶度端下滑2米， 则． 在直角三角形中，，根据勾股定理得到：， 则梯子滑动的距离就是， 故答案为：． 【变式10-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可． （2）如果云梯的顶端A下滑了到达E处，则，再利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【解析】（1）解：， 则此架云梯的顶端到地面的距离为. （2）解：如果云梯的顶端A下滑了到达E处， 则， 则， ∴ 【变式10-3】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降． 实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是6，物体到定滑轮的垂直距离是8．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高7，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性即可. （1）计算即可求解； （2）计算即可求解； 【解析】（1）解：由题意得6，． ∴， ∴， 即：绳子的总长度为 （2）解：如图所示： 由题意得，6，8． ∴， ∴， 即：滑块向左滑动的距离为 例题11．（24-25八年级上·山西太原·期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 米． 【答案】14 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【解析】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 故答案为：14． 【变式11-1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可直接进行求解 【解析】解：由题意可得方程为； 故选D 【变式11-2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，，，求小树的高度． 【答案】小树的高度为． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．在和中，分别运用勾股定理表示出的长，建立方程求解即可． 【解析】解：在中，， 在中，， ∴， 解得：， 所以， 即小树的高度为． 【变式11-3】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度为，将它往前推送6（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终拉得很直．若踏板垂直高度差，求绳索的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意知，，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【解析】解：由题意知，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴绳索的长为． 例题12．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 【答案】25 【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【解析】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 【变式12-1】如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【解析】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 【变式12-2】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【解析】解：过C作平行地面，连接， 由题意得，米，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：13． 【变式12-3】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【解析】解：如图，作于，连接， ， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 例题13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面米高处被折断 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，标注相应点后，则有，，利用勾股定理求解即可． 【解析】解：设离地面高度x米处折断，则，， ∵ ∴， ∴    ． ∴ 答：这棵树在离地面2.5米高处被折断． 【变式13-1】（24-25八年级上·广东清远·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【解析】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 【变式13-2】如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 【答案】480 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出即可． 【解析】解：， 即该河处的宽度是； 故答案为：480． 【变式13-3】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—求台阶上地毯长度，利用平移解决实际问题等知识点，利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算是解题的关键． 根据题意，结合图形，先把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形，再求矩形的长，则可求出地毯的长度至少需要多少米． 【解析】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形， 则矩形的长为：（米）， 地毯的长度为：（米）， 故答案为：． 例题14．如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东方向以每小时36海里的速度前进，乙艇沿南偏东方向以每小时32海里的速度前进，15分钟后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？（结果保留根号） 【答案】M岛与P岛之间的距离是海里． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据条件可以证得是直角三角形，求得与的长，根据勾股定理即可求得的长． 【解析】解：由题意得：， ∴为直角三角形， （海里），（海里）， 在中，由勾股定理得： （海里）， 答：M岛与P岛之间的距离是海里． 【变式14-1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）一艘轮船以3海里/时的速度从港口出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（    ） A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练运用勾股定理是解题的关键；根据两艘轮船出发的方向，可以得到，结合勾股定理求解即可． 【解析】解：根据题意，如图所示， 可知，，海里，海里， 在中，（海里）， 故两船相距海里 故选：C． 【变式14-2】（24-25八年级上·四川·期中）一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时他离出发点 ． 【答案】26 【分析】本题考查了直角三角形的性质及勾股定理的应用．两段航行的路线正好互相垂直，构成直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【解析】解：根据题意，这艘船航行路线可以构成一个直角三角形， 此时两直角边的长分别是和， ， 故此时这艘船离出发点． 故答案为：26． 【变式14-3】如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 【答案】A、C两点之间的距离为． 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【解析】解：∵， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知的三个角度数的比，，则为（　　） A． B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，以及含30度直角三角形的性质．由三角之比，利用内角和定理求出三角度数，利用30度所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【解析】解：的三个内角度数之比是， ，，， ， ． 故选：A． 2．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为(   ) A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】点到轴的距离为，到轴的距离为，然后根据勾股定理，计算到原点的距离为． 【解析】解：点到原点的距离为， 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【解析】解：A、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，这组数是勾股数， 故本选项不符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（    ） A．4 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理计算结果，再将计算的结果化简即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【解析】由图知，黑、白两棋子的距离， 故选：B． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角时，的长为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理．利用勾股定理列出方程求解是解题关键．由勾股定理可求出．由折叠可知当是直角时，点E和F重合，且，，从而可求出．设，则．再根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可． 【解析】解：由折叠可知当是直角时，点E和F重合，如图， ∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． 设，则． ∵是直角， ∴，即， 解得：， ∴． 故选B． 二、填空题 6．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则斜边的长是 ． 【答案】 【分析】根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，可用含的式子表示，再根据勾股定理即可求解． 【解析】解：根据题意，，，， ∵， ∴设， ∴，∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【解析】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米），米， 最短路径为：（米）． 故答案为：10． 三、解答题 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知：直角三角形约三边长为，，，且的平方根分别为与，求的值． 【答案】的值为或 【分析】本题考查了平方根的应用，勾股定理以及二次根式的性质化简；根据题意得出，进而分为直角边与斜边两种情况讨论，根据勾股定理，即可求解． 【解析】解：的平方根分别为与， ， 解得： ， ， 当为直角三角形的斜边时，由勾股定理得： ； 当为直角三角形的直角边时，由勾股定理得： ； 综上所述，的值为或． 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为． (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 【答案】(1)对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； (2)拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）作于，求出的长即可解决问题． （2）如图以为圆心为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间路程速度计算即可． 【解析】（1）解：作于，   ，， ， 答：对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； （2）解：如图以为圆心为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，， ， 重型运输卡车的速度为， 重型运输卡车经过的时间， 答：拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图，在中，，求证：； （）在中，，，边上的高，求边的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理证明即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【解析】解：（）在，中，根据勾股定理得： ，， ∴， ∴； （）在，中，根据勾股定理得： ， ， ∴． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$