第07讲 一元二次方程的应用-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

第07讲 一元二次方程的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力； 知识点 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审：审题目，分清已知量、未知量、等量关系等； 设：设未知数，有时会用未知数表示相关的量； 列：根据题目中的等量关系，列出方程； 解：解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰； 验：检验方程的解能否保证实际问题有意义 答：写出答案，切忌答非所问。 注意：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点 2 一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1；几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2。如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.图形面积问题 　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 注意：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想. 考点01：传播问题 例题1．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【变式1-1】学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 【变式1-3】在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？设每轮传播中平均一人传播了x人，列方程为 ． 考点02：增长率问题 例题2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月份游客人数为万人，月份游客人数为万人．求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率． 【变式2-1】（24-25九年级上·山东济宁·期中）新能源汽车节能，环保，越来越受消费者喜爱，2022年某款新能源汽车销售量为20万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为24万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东广州·期中）新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商8月份至10月份统计，该品牌新能源汽车8月份销售1000辆，10月份销售1690辆．设月平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 考点03：数字问题 例题3．已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【变式3-1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【变式3-2】一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，则这个两位数是 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 考点04：营销问题 例题4．（24-25九年级上·江西九江·期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． (1)若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？ (2)在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？ 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱元，若按每箱元出售，则每天可销售箱．现准备提价销售，经市场调研后发现：每箱每提价元，每天的销量就会减少箱．设该水果售价为每箱元． (1)用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；（化为最简形式） (2)既要考虑经销商的利润，保证经销商每天可获得元利润，又要让利于消费者，则这批水果应按每箱多少元销售？ 【变式4-2】（24-25九年级上·山东枣庄·期中）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． (1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【变式4-3】超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为多少件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 考点05：图形面积问题 例题5．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，利用一面墙，用长的篱笆围成一个矩形场地，所围矩形场地的面积为平方米，请求出的长． 【变式5-3】（22-23九年级上·四川成都·期中）学校停车场车位布局如图所示．已知矩形停车场的长为，宽为，共有五个等宽矩形停车区，其总面积为，其余部分是等宽通道，设通道宽． (1)用含的代数式表示：停车区宽为______，停车区的长为______． (2)停车场的通道宽为多少米？ 考点06：动态几何问题 例题6．如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 【变式6-1】如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 【变式6-2】如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着边匀速移动，当运动时间为多少时，的面积等于？ 【变式6-3】如图， 在矩形 中， ，点从点沿向点以的速度移动，同时点从点沿边向点以的速度移动． 当其中一点达到终点时，另一点也随之停止． 设，两点移动的时间为． (1)当为何值时，； (2)当为何值时，的面积为． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是0.8万人，第三天的游客人数为3.2万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阿进同学有一块长， 宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）某商家销售某种商品，当单价为10元时，每天能卖出200个，现在采用提高售价的方法来增加利润，已知商品单价每上涨1元，每天的销售量就少10个，则每天的销售金额最大为 ． 5．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，把一块长为，宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形，然后把硬纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为 ． 6．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为，则根据题意可列一元二次方程： （化为一般式）． 三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为3000元，市场调研表明：当销售价为3500元/台时，平均每天能销售10台；而当销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台．该商场为了减少库存，让利于顾客，且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元，那么每台冰箱应降价多少元？ 9．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元二次方程的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力； 知识点 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审：审题目，分清已知量、未知量、等量关系等； 设：设未知数，有时会用未知数表示相关的量； 列：根据题目中的等量关系，列出方程； 解：解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰； 验：检验方程的解能否保证实际问题有意义 答：写出答案，切忌答非所问。 注意：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点 2 一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1；几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2。如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.图形面积问题 　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 注意：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想. 考点01：传播问题 例题1．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【答案】(1)8个人 (2)会，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【解析】（1）解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 【变式1-1】学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由枝干数及每个枝干又长出个小分支，可得出个枝干上共长出个小分支，结合一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 个枝干上共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：C． 【变式1-2】诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染人，根据题意列一元二次方程，解方程即可． 【解析】解：设每轮传染中平均一人传染人，则第一轮有人感染，第二轮有人感染， 根据题意可得： 解得：或（不符题意，舍去）， 故答案为：． 【变式1-3】在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？设每轮传播中平均一人传播了x人，列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程即可． 【解析】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 即：． 故答案为：． 考点02：增长率问题 例题2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月份游客人数为万人，月份游客人数为万人．求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率． 【答案】这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用．设这两个月的平均增加率为x，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【解析】解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，可得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． 【变式2-1】（24-25九年级上·山东济宁·期中）新能源汽车节能，环保，越来越受消费者喜爱，2022年某款新能源汽车销售量为20万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为24万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均变化率的等量关系，增长为加，降低为减，列出方程即可． 【解析】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 【变式2-2】某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，熟练的掌握由实际问题抽象出一元二次方程是解题的关键． 根据题意可得等量关系“原零售价×（1-百分比）（1-百分比）=降价后的售价”列出方程即可． 【解析】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：． 故答案选：A． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东广州·期中）新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商8月份至10月份统计，该品牌新能源汽车8月份销售1000辆，10月份销售1690辆．设月平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设月平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【解析】解：设月平均增长率为，根据题意可列方程为 故答案为：． 考点03：数字问题 例题3．已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【答案】这个数为或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据“一个数的平方与的差等于这个数与的和”列方程求解．找到相等关系是解题的关键． 【解析】解：设这个数为x，则： ， 整理得， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 则这个数为或． 【变式3-1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和． 【解析】解：设这两个奇数分别为， 由题意得：， 即， 解得：， 而， 故两个奇数和为：或28； 故选：D． 【变式3-2】一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，则这个两位数是 ． 【答案】64或75 【分析】可设个位数字为，则十位上的数字是．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积这个两位数．本题考查了一元二次方程的应用．正确理解关键描述语，找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键． 【解析】解：设个位数字为，则十位上的数字是， 根据题意得， 整理，得，即， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，，这个两位数是64； 当时，，这个两位数是75． 答：这两位数是64或75． 故答案为：64或75． 【变式3-3】（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【解析】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 考点04：营销问题 例题4．（24-25九年级上·江西九江·期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． (1)若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？ (2)在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？ 【答案】(1)该款童装每件应降价6元或24元 (2)该专卖店销售该款童装时应按原售价的八折出售 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该款童装每件应降价x元，则每天可销售件，每件盈利元，根据该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，列出方程，解方程即可； （2）根据要尽可能减少库存，扩大销售量，得出该款童装每件应降价24元，求出售价，然后列式算出答案即可． 【解析】（1）解：设该款童装每件应降价x元，则每天可销售件，每件盈利元， 根据题意可得：， 解得：，， 答：该款童装每件应降价6元或24元； （2）解：由（1）可知，该款童装每件可降价6元或24元， 因为要尽可能减少库存，扩大销售量，所以该款童装每件应降价24元， 此时，售价为：（元），． 答：该专卖店销售该款童装时应按原售价的八折出售． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱元，若按每箱元出售，则每天可销售箱．现准备提价销售，经市场调研后发现：每箱每提价元，每天的销量就会减少箱．设该水果售价为每箱元． (1)用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；（化为最简形式） (2)既要考虑经销商的利润，保证经销商每天可获得元利润，又要让利于消费者，则这批水果应按每箱多少元销售？ 【答案】(1) (2)应按每箱元销售 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，找出等量关系列一元二次方程是解题的关键； （1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量； （2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，即可确定的值． 【解析】（1）解：由题意得：（箱）， 故答案为：； （2）解：依题意得，， 解得，， ∵要让利于消费者， ∴． 答：若超市销售该水果每天想要获得元的利润，则应按每箱元销售． 【变式4-2】（24-25九年级上·山东枣庄·期中）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． (1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】(1)30个，1050元 (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键． （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可． 【解析】（1）解：（个）； （元）． 答：平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1050元； （2）设每个模型应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又每个模型盈利不超过25元， ． 答：每个模型应降价20元． 【变式4-3】超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为多少件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】(1)平均每天销售数量为件． (2)当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可求出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润=每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在让顾客得到更大实惠的前提下，即可得出每件商品应降价元． 【解析】（1）解∶根据题意得∶(件)， 答∶平均每天销售数量为件． （2）解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，依题意得∶ ， 整理得∶， 即 解得∶，， 要让顾客得到更大实惠， ． 答∶当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 考点05：图形面积问题 例题5．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【解析】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 【变式5-1】图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该盒子的高为，则纸盒底面的长为，宽为，根据“纸盒的底面（图中阴影部分）面积是”即可列出方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【解析】解：设该盒子的高为，则纸盒底面的长为，宽为， 纸盒的底面（图中阴影部分）面积是， ， 故选：D． 【变式5-2】如图，利用一面墙，用长的篱笆围成一个矩形场地，所围矩形场地的面积为平方米，请求出的长． 【答案】的长度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据设的长度为，得出，再结合矩形面积公式列式计算，即可作答． 【解析】解：设的长度为．则， 由题可知， 解得：， 答：的长度为． 【变式5-3】（22-23九年级上·四川成都·期中）学校停车场车位布局如图所示．已知矩形停车场的长为，宽为，共有五个等宽矩形停车区，其总面积为，其余部分是等宽通道，设通道宽． (1)用含的代数式表示：停车区宽为______，停车区的长为______． (2)停车场的通道宽为多少米？ 【答案】(1) (2)5m 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据图示中，矩形停车场的宽为，是停车区与两条通道的宽的和，由此列式即可求解； （2）根据面积的计算方法即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，得停车区的宽为：， 停车区的长为：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 解得（舍去）， ∴停车场的通道宽为5米． 考点06：动态几何问题 例题6．如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)秒、5秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； 对于（2），分三种情况：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段上；③点在射线上，点在射线上；进行讨论即可求解． 【解析】（1）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分 由题意知：，，则， ， ， ， 此方程无解， 线段不能将分成面积相等的两部分； （2）设秒后，的面积为， ①当点在线段上，点在线段上时 此时 由题意知：， 整理得：， 解得：（不合题意，应舍去），； ②当点在线段上，点在线段的延长线上时 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：； ③当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：，，（不合题意，应舍去）， 综上所述，经过秒、5秒或秒后，的面积为. 【变式6-1】如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 【答案】或时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解析】解：设运动时间为，则，， 依题意，得． 整理，得， 解得，， 或时，的面积是． 【变式6-2】如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着边匀速移动，当运动时间为多少时，的面积等于？ 【答案】当5秒时，的面积 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积．设运动时间为，可得，，，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可． 【解析】解：设运动时间为， 由题意可得：，， ∵，，， ∴， ∴， 解得：或． 当时，， ∴应舍去，所以． ∴当5秒时，的面积． 【变式6-3】如图， 在矩形 中， ，点从点沿向点以的速度移动，同时点从点沿边向点以的速度移动． 当其中一点达到终点时，另一点也随之停止． 设，两点移动的时间为． (1)当为何值时，； (2)当为何值时，的面积为． 【答案】(1)当时， (2)为或时，的面积为 【分析】（1）由题意得，得，当，得出方程，解方程即可； （2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解析】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即当时，； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当为或时，的面积为； 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是0.8万人，第三天的游客人数为3.2万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设每天游客增加的百分率相同且设为x，则第二天的游客为人，第三天的人数为人，则可列出关于x的一元二次方程． 【解析】解：设每天游客增加的百分率相同且设为x， 列方程为：， 故选B． 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．根据等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染求解即可． 【解析】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 列方程得：， 即． 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阿进同学有一块长， 宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【解析】解：设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为， 由题意得，        整理得：， 解得： (不合题意，舍去)          ∴折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是， 故选：D． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）某商家销售某种商品，当单价为10元时，每天能卖出200个，现在采用提高售价的方法来增加利润，已知商品单价每上涨1元，每天的销售量就少10个，则每天的销售金额最大为 ． 【答案】2250元 【分析】根据销售金额=单价销售总量，进行列式得出一元二次方程进行解答即可． 【解析】解：设售价上涨元，销售金额元， 则 所以当时有最大值，最大值为2250． 故答案为：2250元． 5．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，把一块长为，宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形，然后把硬纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为 ． 【答案】（方程形式不唯一） 【分析】设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：（方程形式不唯一）． 6．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为，则根据题意可列一元二次方程： （化为一般式）． 【答案】 【分析】本题考查列一元二次方程，先求出每椽的价格，再计算出少拿一株椽后的运费，根据少拿一株椽后的运费恰好等于一株椽的价钱建立等式，即可得到答案． 【解析】解：设这批椽的数量为， 则每株椽的价格为：元， 根据题意得：， 整理得：， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【解析】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为3000元，市场调研表明：当销售价为3500元/台时，平均每天能销售10台；而当销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台．该商场为了减少库存，让利于顾客，且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元，那么每台冰箱应降价多少元？ 【答案】每台冰箱应降价200元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每台冰箱应降价x元，根据销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台，销售利润平均每天达到6000元，列出方程进行求解即可．正确的列出方程，是解题的关键． 【解析】解：设每台冰箱应降价x元，根据题意得： ， 解得，， ∵商场为了减少库存，让利于顾客，， ∴， 答：每台冰箱应降价200元． 9．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【答案】(1)， (2)1或5 【分析】（1）根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为时，的长度； （2）根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【解析】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）解：依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，． 答：的值为1或5． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)每千克应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程 （1）设每次降价的百分率为a，则两次降价的百分率为，再列出方程即可， （2）根据总盈利＝每千克盈利×数量，列出方程即可解答； 【解析】（1）解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为， 或（舍去）， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克涨价x元， 依题意得： 解得：，， 要尽快减少库存， 则， 答：每千克应涨价5元。 ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$