第06讲 一元二次方程的根与系数的关系-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

第06讲 一元二次方程的根与系数的关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 了解一元二次方程的根与系数的关系 知识点 1一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个实数根是，，. 注意：它的使用条件为:， . 知识点 2一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ． 考点01一元二次方程根与系数的关系 例题1．若、是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“设，是一元二次方程的两个根，则有”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【解析】解：∵、是方程的两个根， ∴， 故选：D． 【变式1-1】已知，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，结合方程即可得出结论． 【解析】解：， ， ． 故答案为：；． 【变式1-2】若、是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，再代入计算即可． 【解析】解：、是方程的两个根， ，， ， 故答案为：． 【变式1-3】已知是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，程的两根分别为和，则根据根与系数的关系直接计算即可． 【解析】解：∵是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 考点02：根与系数关系的变形 例题2．已知、是的两个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得、，再把化为，再代入求值即可． 【解析】解：∵m，n是方程的两实数根， ∴、， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·四川·期中）已知、为质数且是方程的根，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、质数的定义，根据一元二次方程根与系数关系得到，再利用质数求得，或，，再代值求解即可． 【解析】解：∵、为质数且是方程的根， ∴，则，或，， 当，时， 当，时，， 综上，的值是， 故选：B． 【变式2-2】设a，b是方程的两根，则代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：3． 【变式2-3】（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知实数，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握其计算方法是解题的关键． 根据题意，设，，可得，将原式变形得，由此代入计算即可求解． 【解析】解：已知实数，且，， ∴设，， ∴，即， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 例题3．已知是方程的两个实数根，且． (1)求及a的值； (2)求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值： （1）根据根与系数的关系得到，，再由求出，则； （2）根据（1）所求，结合进行求解即可． 【解析】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴． 【变式3-1】若a、b是方程的两个实数根，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、完全平方公式、代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 先利用根与系数的关系求出与的值，再利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【解析】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式3-2】（24-25九年级上·四川内江·期中）方程的两根为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，代数式求值，解题的关键是理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系，．利用一元二次方程的根与系数的关系和完全平方公式变形解答即可． 【解析】解：方程的两根为， ，， ， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知一元二次方程的两实数根为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，，再代入计算即可得出答案． 【解析】解：∵一元二次方程的两实数根为、， ∴，， ∴， 故答案为：． 例题4．（24-25九年级上·重庆万州·期中）已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，再将式子变形为，整体代入计算即可得解． 【解析】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，代数式求值，若是一元二次方程的两个实数根，则，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据一元二次方程的解得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，再整体代入代数式计算即可得到答案． 【解析】解：，是方程的两个实数根， ，， 故答案为： ． 【变式4-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2040 【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握，． 将代数式同时加上和减去，根据一元二次方程的解及根与系数的关系直接求解即可得到答案. 【解析】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，是方程的两个根，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即，由题意可得，即，于是可推出，进而可得，化简即可得出答案． 【解析】解：，是方程的两个根， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如果关于x的一元二次方程 的一个实数根为，另一个实数根为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键． 设一元二次方程的另一个实数根为a，然后运用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【解析】解：设一元二次方程的另一个实数根为a， ∵一元二次方程的一个实数根为，另一个实数根为a， ∴，解得：． 故选C． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出，，将其代入原式中即可求出结论． 【解析】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 故选：． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．23 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．将，进行变形可知，为方程的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到，的值,利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值． 【解析】解： ，是不为0的实数， 由 ，，得，， 又， ，为一元二次方程的两个不相等实根， ，， ， 故选：A． 4．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解析】解：①当时，， 是方程的解，①的说法正确； ②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确． ③若方程两根为，且满足， ，， ，， 即可得出方程，必有实根，，③的说法正确； ④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确； ⑤若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ，⑤的说法正确； 综上，①③⑤的说法正确； 故选：D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【解析】解：设该方程的另一个根为， ∵，， ∴； 故答案为． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知，是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得 【解析】解：∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【解析】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）已知等腰三角形一边长为4，另两边恰好是关于的方程的根，求此三角形的另两边长． 【答案】此三角形的另两边长为4和2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，解题的关键是注意进行分类讨论．分两种情况进行讨论：当腰长为4时，把代入原方程求出m，再求出另外一个根；当底边为4时，那么x的方程的两根是相等的，根据根的判别式求出m，再解方程即可． 【解析】解：∵一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是关于x的方程的两根， ①当腰长为4时，把代入原方程得：， ∴， ∴原方程变为：， 设方程的另一个根为x， 则， ∴， ∵，能围成三角形，符合题意； ∴此三角形的另两边长为4和2； ②当底边为4时，那么x的方程的两根是相等的， ∴， ∴， ∴方程变为， ∴方程的两根为， ∵，围不成三角形，不符合题意． 综上所述，此三角形的另两边长为4和2． 9．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． （1）根据题意可知，解出不等式即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入，求出方程的解即可． 【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和 解得：． 则实数的取值范围是． （2）解：根据题意，， ，即 ，即 解得：或1 舍去 ． 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的定义，一元二次方程解的定义： （1）根据判别式和一元二次的定义进行求解即可； （2）把代入原方程求出k的值，进而由根与系数的关系得到，再求出，最后利用整体代入法求解即可． 【解析】（1）解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴且； （2）解：把代入中得：， ∴， ∴原方程为，即， ∴， ∴ ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元二次方程的根与系数的关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 了解一元二次方程的根与系数的关系 知识点 1一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个实数根是，，. 注意：它的使用条件为:， . 知识点 2一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ． 考点01一元二次方程根与系数的关系 例题1．若、是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，则 ， ． 【变式1-2】若、是方程的两个根，则 ． 【变式1-3】已知是一元二次方程的两根，则的值为 ． 考点02：根与系数关系的变形 例题2．已知、是的两个根，则的值为 【变式2-1】（24-25九年级上·四川·期中）已知、为质数且是方程的根，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设a，b是方程的两根，则代数式的值是 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知实数，且，，则 ． 例题3．已知是方程的两个实数根，且． (1)求及a的值； (2)求的值 【变式3-1】若a、b是方程的两个实数根，则 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·四川内江·期中）方程的两根为，则 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知一元二次方程的两实数根为、，则的值为 ． 例题4．（24-25九年级上·重庆万州·期中）已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式 ． 【变式4-1】已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【变式4-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，是方程的两个根，那么 ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如果关于x的一元二次方程 的一个实数根为，另一个实数根为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值是（      ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．23 B．15 C．10 D．5 4．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 二、填空题 5．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为 ． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知，是方程的两根，则 ． 7．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 三、解答题 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）已知等腰三角形一边长为4，另两边恰好是关于的方程的根，求此三角形的另两边长． 9．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$