12.3角的平分线的性质（2）课件-2024-2025学年人教版数学八年级上册

12.3角平分线的性质（2） 人教版八年级上册第12章全等三角形 新课导入 问题1 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路，公路的距离相等，离铁路，公路交叉处500 m．请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建在何处(在图上标出它的位置，比例尺为1∶20 000)． S 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 问题2：交换角的平分线的性质中的已知和结 论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质定理的逆定理的证明 探究新知： 角平分线的判定 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 问题2：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE 几何语言： 猜想: 思考：这个结论正确吗？ 探究新知： 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP ， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵ PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 P C 角平分线的判定定理: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE． ∴OP平分∠AOB． 用数学语言表示为： 6 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 ∴ P C P C ∵OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE ∴ OP平分∠AOB ∵ PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 归纳、比较 （1）如图，若PM =PN，则OQ 平分∠AOB； （ ） × A B O P M N 判断题 （2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线 （ ） × A B O Q M N （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上． （ ） √ A B O Q M N 　在问题1中，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？ 图上距离 500m 1 20000 = 解：∵ ∴图上距离 = 0.025m = 2.5cm. P 如图所示：P点即为所求 ; 理由：P点在这个交叉口的角平分线上， 所以P点到公路与铁路的距离相等. 角平分线的性质定理的逆定理的应用 例题讲解 例　如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P．求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等． 证明：过P 点作 PD，PE，PF分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是△ABC的角平分线，点P 在BM 上， ∴PD = PE . 同理 PE = PF . ∴ PD = PE = PF . 即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等． E D F 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 随堂演练 基础巩固 1．如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA，OB的距离相等． B N A O M 2、 如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥ AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线 A B C E F D 课堂小结 1、角平分线的判定： 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2、三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点。 3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线作两边垂线段。 $$