12.3角的平分线的性质（1）课件　2024-2025学年人教版数学八年级上册

12.3角平分线的性质（1） 人教版八年级上册第12章全等三角形 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成风筝、钢板等，还能用对折的方法得到风筝、钢板的角平分线吗？ 新课导入 问题3:生活中，工人师傅常常利用角平分仪来平分角，右图就是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？ A B D C E 3 想一想：从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？ 知识点1 尺规作角的平分线 推进新课 利用尺规作角的平分线的具体方法: A B O M N C 　 1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． 3．画射线OC． 射线OC即为所求． 　 2．分别以点M，N为圆心．大于　 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C． 　你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？ A B O M N C 角的平分线的性质 知识点2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 探究 已知：∠AOC = ∠BOC，点 P 在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E． 求证：PD =PE． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 题设： 一个点在一个角的平分线上． 结论：它到角的两边的距离相等． 验证猜想 9 证明: ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO = ∠PEO （已证） ∠AOC = ∠BOC （已知） OP = OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）. ∴PD = PE （全等三角形的对应边相等） ∵OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴PD=PE． 几何语言： 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 小试牛刀：判断正误，并说明理由 （1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 1、如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，求证:AD=AE B A C P M D E 随堂演练 基础巩固 2、如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°， AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. A B C P D 4 2、如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900， AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面积. A B C P D 由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， ·AB·PD=28. （3）求∆PDB的周长. 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 $$