第04讲 一元二次方程的解法-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

第04讲 一元二次方程的解法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 知识点 1 开平方法 （1）形如  或  的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程 （2）如果方程化成  的形式，那么可得   （3）如果方程能化成  的形式，那么  ，进而得出方程的根。 注意： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程； ③方法是根据平方根的意义开平方。 知识点 2 配方法 将一元二次方程配成  的形式，再利用直接开平方法求解的方法  。 1.用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无解。 2.配方法的理论依据是完全平方公式：  3.配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 知识点 3 公式法 1.用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式  ，确定  的值（注意符号）； ②求出判别式  的值，判断根的情况； ③在（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把  的值代入公式  进行计算，求出方程的根。 知识点 4 因式分解法 1.定义：因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。 2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积； ③令每个因式分别为零 ④括号中 ，它们的解就都是原方程的解。 考点01：直接开平方法解一元二次方程 例题1．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【变式1-1】方程的解是 ． 【变式1-2】方程的解是 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若方程有整数根，则m的值可以是 ．（填一个可能的值） 考点02：配方法解一元二次方程 例题2.解方程：． 【变式2-1】解一元二次方程，配方后得到，则p的值是（   ） A．13 B．9 C．5 D．4 【变式2-2】（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【变式2-3】用配方法解方程：． 考点03：配方法的应用 例题3.若（，为实数），则 ． 【变式3-1】二次三项式的最小值是 ． 【变式3-2】求证：无论m为何值，关于x的方程是一元二次方程． 【变式3-3】选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． (1)对进行配方， ） ； (2)已知，求的值． 考点04：公式法解一元二次方程 例题4.一元二次方程的根为 ． 【变式4-1】已知关于m的方程，那么 ． 【变式4-2】若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 ． 【变式4-3】已知（），则式子的值是 ． 考点05：因式分解法解一元二次方程 例题5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）解方程：． 【变式5-1】方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【变式5-2】解方程： (1)； (2)． 【变式5-3】（24-25九年级上·四川成都·期中）计算： (1) (2) 考点06：换元法解一元二次方程 例题6.若，都是实数，且满足，则的值为 ． 【变式6-1】若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【变式6-2】方程，若设， 则原方程可化为关于y的方程是： 【变式6-3】【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ， 即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）把方程化成的形式，则m，n的值是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）若实数x满足，则的值为（　　） A．8 B． C．8或 D．或2 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（   ） A． B．3或 C．3 D．或1 二、填空题 4．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）若，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）若关于的一元二次方程的一个根为，则实数的值为 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 7．解方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 8．阿成与阿龙两位同学解一元二次方程的过程如下框： 阿成： 两边同除以得 ． 则． 阿龙： 移项，得． 提取公因式，得． 则或． 解得． 你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． (1)阿成的解法 ，阿龙的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） (2)请你选择合适的方法解一元二次方程． 9．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 10．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元二次方程的解法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 知识点 1 开平方法 （1）形如  或  的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程 （2）如果方程化成  的形式，那么可得   （3）如果方程能化成  的形式，那么  ，进而得出方程的根。 注意： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程； ③方法是根据平方根的意义开平方。 知识点 2 配方法 将一元二次方程配成  的形式，再利用直接开平方法求解的方法  。 1.用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无解。 2.配方法的理论依据是完全平方公式：  3.配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 知识点 3 公式法 1.用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式  ，确定  的值（注意符号）； ②求出判别式  的值，判断根的情况； ③在（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把  的值代入公式  进行计算，求出方程的根。 知识点 4 因式分解法 1.定义：因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。 2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积； ③令每个因式分别为零 ④括号中 ，它们的解就都是原方程的解。 考点01：直接开平方法解一元二次方程 例题1．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据直接开平方法进行求解方程即可． 【解析】解： ， ∴或， 解得：． 【变式1-1】方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查直接开平方法解一元二二次方程，先把方程化简成，再直接开平方即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式1-2】方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1，最后利用直接开平方法求解，即可解题． 【解析】解： ， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若方程有整数根，则m的值可以是 ．（填一个可能的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，将原方程变形为，根据方程有整数根，即可得出为完全平方数，即可得出答案，解题的关键是熟悉方程有根的条件． 【解析】解：， ∴， ∵方程有整数根， ∴为完全平方数， ∴可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 考点02：配方法解一元二次方程 例题2.解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先移项，利用配方法，即可求解． 【解析】解： ， 解得：，． 【变式2-1】解一元二次方程，配方后得到，则p的值是（   ） A．13 B．9 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法进行计算即可解答． 【解析】解：， ， ， ， ． 故选：． 【变式2-2】（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-3】用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．先移项，然后配方，再开平方，最后求出方程的解即可． 【解析】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，． 考点03：配方法的应用 例题3.若（，为实数），则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法得到，再利用非负数性质得到，，然后计算的值． 【解析】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴． 故答案为：6． 【变式3-1】二次三项式的最小值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了配方法求最值，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法，把二次三项式配方成，再根据平方的非负性即可得出最小值． 【解析】解：， 根据平方的非负性，得， 所以的最小值为0， 二次三项式的最小值是0． 故答案为：0． 【变式3-2】求证：无论m为何值，关于x的方程是一元二次方程． 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，配方法的应用，利用配方法证明，即可证明． 【解析】证明：∵， ∴， ∴无论m为何值，方程是一元二次方程．． 【变式3-3】选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． (1)对进行配方， ） ； (2)已知，求的值． 【答案】(1)4，5(2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）利用配方法即可填空； （2）利用配方法把原式写成两个完全平方式的和的形式，再利用非负数的性质可求得的值，即可求出的值． 【解析】（1） ， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴． 考点04：公式法解一元二次方程 例题4.一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先计算，再利用求根公式解方程即可． 【解析】解：∵ ∴， ∴， ∴，； 故答案为：，． 【变式4-1】已知关于m的方程，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法---公式法， 熟记公式是解答本题的关键．先求出的值，然后根据求解即可． 【解析】解：关于m的方程，即， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式4-2】若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，，，即可得到答案． 【解析】解：设关于的一元二次方程为， 一元二次方程的根为， ，，， 该一元二次方程可以为， 故答案为：． 【变式4-3】已知（），则式子的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的求根公式，本题属于基础题型，根据一元二次方程的求根公式即可求出答案． 【解析】解：由一元二次方程的求根公式可知：的其中一个解为， 故答案为：0． 考点05：因式分解法解一元二次方程 例题5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【解析】解：， ， 或， ∴，． 【变式5-1】方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 【变式5-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【解析】（1）解： ， 或， 解得：； （2）解： 或 解得：． 【变式5-3】（24-25九年级上·四川成都·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法求解． 【解析】（1）解： ， ， ， ∴； （2）解： 或 解得：． 考点06：换元法解一元二次方程 例题6.若，都是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法，因式分解法一元二次方程，根据题意，设，则原式得，根据因式分解法求解即可． 【解析】解：设， ∴，整理得，， 解得，， ∵， ∴， 故答案为：4 ． 【变式6-1】若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可． 【解析】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． 【变式6-2】方程，若设， 则原方程可化为关于y的方程是： 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．利用换元法，将代入原方程，再化成整式方程即可． 【解析】解：设，则， 则原方程可化为， ∴ 故答案为：． 【变式6-3】【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ， 即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程与一元二次方程； （1）设进而解一元一次方程，即可求解； （2）设，得出，解一元二次方程，即可求解． 【解析】（1）解：设 ∴， ∴ 故答案为：10； （2）设 ∴ ∴ ∴ 解得：或 即或 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）把方程化成的形式，则m，n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法，解题的关键是首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【解析】解：， 移项得：， 配方得：，即． ∴，， 故选A． 2．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）若实数x满足，则的值为（　　） A．8 B． C．8或 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，把看成一个整体，利用因式分解法解方程即可． 【解析】解：， 因式分解得，， ∴，， ∴，（满足此式实数不存在，舍去）， 故选：A． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（   ） A． B．3或 C．3 D．或1 【答案】C 【分析】首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值．本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键． 【解析】解：把代入得， ， ， 解得：，， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 4．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出整体将原式进行适当变形，转化为解一元二次方程是解题的关键，并注意根据已知条件判断的值．可用换元法将原式化为，解此方程可求出的值，即可得出结果． 【解析】解：设， 则原式可化为：， 即， 解得：或， ， 故， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）若关于的一元二次方程的一个根为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解及解一元二次方程；把根代入方程中即可求得k的值，但要注意二次项系数不为0． 【解析】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：， 但，即， ∴； 故答案为：3． 三、解答题 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法，因式分解法及公式法，根据方程的特点灵活选取解题的方法是解题的关键． （1）方程移项后得：，利用直接开平方法求解即可； （2）先化为一元二次方程的一般式的形式，利用公式法求解； （3）方程右边移项后，利用因式分解法即可求解； （4）方程移项，并化二次项系数化为1得，再利用配方法求解． 【解析】（1）解：移项后得：， 开平方得：， 即； （2）解：原方程化为：， ， ∴， 即； （3）解：方程化简得：， 即或， 解得：； （4）解：方程化为， 配方得：， 即， 开方得：， 即． 7．解方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法与步骤是解本题的关键； （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）先移项，把方程化为，再化为两个一次方程求解即可； （3）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可； （4）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可； 【解析】（1）解：， ∴， ∴， 解得，，； （2）解：， 移项：， 整理得：， ∴， ∴， 解得，． （3）解：， ， 或， 解得，； （4）解：， ， 即． 或． 解得，． 8．阿成与阿龙两位同学解一元二次方程的过程如下框： 阿成： 两边同除以得 ． 则． 阿龙： 移项，得． 提取公因式，得． 则或． 解得． 你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． (1)阿成的解法 ，阿龙的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） (2)请你选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确，不正确 (2)， 【分析】本题考查提公因式法解一元二次方程，阅读材料，理解材料中的解法，按照相应解法步骤操作是解决问题的关键． （1）根据材料中的解题过程分析即可得出答案； （2）根据材料中的解法过程，移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可得到答案． 【解析】（1）解：当时，方程两边除以不正确， 阿成的解法不正确； 提取公因式，得， 阿龙的解法也不正确； 故答案为：不正确，不正确； （2）解：， 移项，得， 提公因式，得， 则或， 解得：，． 9．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 【答案】(1)； (2)，，，． 【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案； （）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想． 【解析】（1）设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， （2）设最小正整数为，则， 即：， 设，则，解得：，， ∵为正整数， ∴，解得，（舍去）， ∴这四个连续正整数为，，，． 10．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 【答案】(1)2，1 (2)最小值为，无最大值 (3) 【分析】本题考查配方法，解一元二次方程等． （1）根据题意配方即可得到本题答案； （2）先提出2，再配方即可求最值； （3）将代数式提出后再进行配方，使得代数式结果有最大值8，即可得到本题答案． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，1 （2）解：∵， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值； （3）解：∵， 即：， ∵， ∴，即代数式有最大值， ∵代数式的最大值为8， ∴当时，即，解得：。 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$