第03讲 一元二次方程-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

第03讲 一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解一元二次方程的相关概念，掌握一元二次方程根的含义； 2.会把一元二次方程化为一般形式； 3．会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值 知识点 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可。 2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 注意： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 考点01：一元二次方程的定义 例题1.关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【变式1-1】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】一元二次方程的一次项系数是 ． 【变式1-3】当 时，方程为一元二次方程． 考点02：一元二次方程的一般形式 例题2.将一元二次方程化为一般形式则a的值为 ． 【变式2-1】方程的二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．2和3 B．1和 C．2和 D．2和 【变式2-2】将方程化为一般式为： ． 【变式2-3】已知关于的一元二次方程的常数项是0，则 ． 考点03：一元二次方程解的含义 例题3.已知方程的一个根是，求代数式的值． 【变式3-1】已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程： ． 【变式3-2】若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海·期中）若实数是方程的一个根，则代数式的值是 ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） x 3.24 3.25 3.26 0.03 A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（    ） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 6．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 8．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如果一元二次方程有一个根为0，则的值为 ． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知是方程的一个实数根，则的值为 ． 三、解答题 10．将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 11．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 12．（21-22八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 13．（23-24八年级下·山东济宁·期中）阅读理解： 材料1．若一元二次方程两根为，，则，． 材料2．已知实数，满足，，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， ． 解决问题： (1)一元二次方程的两根为，，则______，______． (2)已知实数满足，，且，求的值． 14．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”； 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 15．（22-23八年级下·福建泉州·期中）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．（直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解一元二次方程的相关概念，掌握一元二次方程根的含义； 2.会把一元二次方程化为一般形式； 3．会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值 知识点 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可。 2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 注意： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 考点01：一元二次方程的定义 例题1.关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为0． 将代入方程得到，求出，然后由得到，求出． 【解析】解：将代入， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：2． 【变式1-1】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断即可． 【解析】解：A、是一元二次方程，故符合题意； B、是分式方程，故不符合题意； C、化简后为，是一元一次方程，故不符合题意； D、是二元一次方程，故不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c为常数且），即可解答． 【解析】解：， ， ，即 ∴一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 【变式1-3】当 时，方程为一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的概念可得即可得解． 【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点02：一元二次方程的一般形式 例题2.将一元二次方程化为一般形式则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．先去括号，再移项，再合并同类项，即可答案． 【解析】解：， ， ， ， 则， 故答案为：． 【变式2-1】方程的二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．2和3 B．1和 C．2和 D．2和 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案． 【解析】解： 整理得， ∴二次项系数和一次项系数分别为2和． 故选：C． 【变式2-2】将方程化为一般式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握相关概念是解题关键．一元二次方程的一般形式为，据此将已知一元二次方程变形，即可得到答案． 【解析】解：， 去括号，得：， 移项合并，得：， 即一元二次方程的一般形式为 故答案为：． 【变式2-3】已知关于的一元二次方程的常数项是0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及相关概念，解题的关键是确定常数项，并注意二次项系数不为零的前提条件． 根据一元二次方程的定义以及常数项为0，列出方程解答即可． 【解析】解：由题意可知：， ∴解得：或， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 考点03：一元二次方程解的含义 例题3.已知方程的一个根是，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【解析】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 【变式3-1】已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【解析】解∶∵一元二次方程的常数项为0， ∴设一元二次方程为， ∵一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故该方程为（答案不唯一）， 【变式3-2】若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，把代入一元二次方程，再根据一元二次方程的定义可得，由此即可求解． 【解析】解：把代入一元二次方程得，，且， 解得，，且， ∴， 故答案为： ． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海·期中）若实数是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 根据一元二次方程的根的定义，可得，再代入，即可求解． 【解析】解：∵是关于一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故答案为：2022． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【解析】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义理解，根据“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，把代入关于的一元二次方程中计算求出的值即可，理解一元二次方程的解的定义、正确计算是解题的关键． 【解析】解：把代入，得：， ， 故选：D． 3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案： 【解析】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元二次方程，故此选项符合题意；     D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） x 3.24 3.25 3.26 0.03 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个等于，一个等于，从而可判断当时，． 【解析】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解x的范围是． 故选：A． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（    ） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，解题的根据是理解方程根的定义． 根据题意得到，，代入即可求解． 【解析】∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 6．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【解析】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 二、填空题 7．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根；根据一元二次方程的定义可得出；根据题意将代入方程求出的值，即可求解． 【解析】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， 即； ∵关于的一元二次方程有一个根为， 故将代入方程为， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如果一元二次方程有一个根为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有一个根为0，得到计算即可． 【解析】∵一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得（舍去）． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得出，整体代入代数式，即可求解． 【解析】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 10．将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 【答案】(1)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； (2)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为 (3)一般形式即为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为；常数项为6 【分析】（1）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （2）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （3）利用平方差公式，方程左边为，由此方程即为，方程展开化为一般形式即为，从而即可得解． 【解析】（1）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； （2）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为； （3）解：∵， ∴ ∴， ∴；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为， 一次项系数为；常数项为6． 11．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1(2)且(3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【解析】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 12．（21-22八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)；(2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【解析】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 13．（23-24八年级下·山东济宁·期中）阅读理解： 材料1．若一元二次方程两根为，，则，． 材料2．已知实数，满足，，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， ． 解决问题： (1)一元二次方程的两根为，，则______，______． (2)已知实数满足，，且，求的值． 【答案】(1)4，(2) 【分析】本题考查是阅读理解题，解题的关键是理解并熟练掌握若一元二次方程两根为，，则，． （1）根据材料1提供的关系直接求解即可得到答案； （2）根据材料2提供的方法直接求解即可得到答案． 【解析】（1）解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， 故答案为：4，； （2）解：∵实数满足，， ∴m，n是方程的两根， ∴，， ∴． 14．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”； 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求方程的根为，则，将代入已知方程，化简即可得到答案； （2）设所求方程的根为，则，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案． 【解析】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程， 得， 化简得，， 这个一元二次方程为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程， 得， 去分母得，， 若，则，于是方程有一根为0，不符合题意， ， 所求方程为：． 15．（22-23八年级下·福建泉州·期中）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)4、 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则，所以，然后把代入已知方程得； （2）设所求方程的根为y，则，所以．然后把代入已知方程得．再化成整式方程即可． （3）把一元二次方程变形为，再与方程比较可得解． 【解析】（1）设所求方程的根为y，则， 所以， 把代入已知方程，得． 化简得， 故所求方程为， 故答案为：； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）一元二次方程整理度可得：， ∵令 ∴ 则方程的两根比两根大1， 所以方程的两根分别是4、 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$