第02讲 二次根式的运算-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

第02讲 二次根式的运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算； 知识点1 最简二次根式 1.最简二次根式的概念： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2.最简二次根式的条件： （1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式； （2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、、等． 知识点2 二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 注意：在使用性质（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点3 分母有理化 1.分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 知识点4 同类二次根式 1.同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 2.合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 注意：同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点5 二次根式的加减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点6 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用． 学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”． 2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点7 二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点8 二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 考点01：求二次根式的值 例题1.已知，则代数式的值是 ． 【变式1-1】（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】当时，的值是 ． 【变式1-3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）当时，二次根式的值是 ． 考点02：二次根式的乘法 例题2.（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【变式2-1】化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 【变式2-2】计算： ． 【变式2-3】计算 ． 考点03：二次根式的除法 例题3．（24-25八年级上·上海·期中）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则 ． 【变式3-1】计算： 【变式3-2】若，则 ． 【变式3-3】若三角形的面积为，一边长为，则这边上的高线长为 ． 考点04：二次根式的乘除混合运算 例题4.已知，则的值为 ． 【变式4-1】计算：． 【变式4-2】（24-25九年级上·广西百色·期中）计算： ． 【变式4-3】（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 考点05：最简二次根式的判断 例题5.二次根式、、、中是最简二次根式的有 个． 【变式5-1】下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 考点06：同类二次根式 例题6.在二次根式、、、、、中，与是同类二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-1】下列二次根式中，不能与合并的是（        ） A． B． C． D． 【变式6-2】如果与是同类二次根式，那么 ． 【变式6-3】如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 考点07：已知最简二次根式求参数 例题7．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式7-1】若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【变式7-2】若最简二次根式与是同类二次根式，则代数式的值为 ． 【变式7-3】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 考点08：二次根式的加减运算 例题8．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：． 【变式8-1】计算：（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】计算： ． 【变式8-3】计算： (1) (2) 考点09：二次根式的混合运算 例题9.计算：已知：，，求． 【变式9-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1)； (2)． 【变式9-2】计算： (1) (2) 【变式9-3】计算： (1)； (2)． 考点10：分母有理化 例题10．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【变式10-1】计算的结果是 ． 【变式10-2】分母有理化： ； 【变式10-3】（24-25八年级上·福建宁德·期中）我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题 (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 考点11：已知字母的值或条件式，进行化简求值 例题11．已知，求的值． 【变式11-1】已知，求 的值 【变式11-2】已知，，求的值． 【变式11-3】已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 考点12：比较二次根式的大小 例题12.设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【变式12-1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【变式12-2】比较大小： （填“”、“”、“”）． 【变式12-3】（24-25八年级上·广东茂名·期中）比较大小： （请用<， >或=填空） 考点13：复合二次根式的化简 例题13.阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【变式13-1】“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【变式13-2】像…这样的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)若，且a，m，n为正整数，求a的值 【变式13-3】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 一、单选题 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）已知，则 的值为（   ） A．4 B． C．3 D．2   二、填空题 5．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 6．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 7．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 三、解答题 8．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）计算： (1) (2) 9．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）计算下列各题： (1)； (2)． 10．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算； 知识点1 最简二次根式 1.最简二次根式的概念： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2.最简二次根式的条件： （1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式； （2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、、等． 知识点2 二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 注意：在使用性质（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点3 分母有理化 1.分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 知识点4 同类二次根式 1.同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 2.合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 注意：同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点5 二次根式的加减法 1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点6 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用． 学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”． 2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点7 二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点8 二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 考点01：求二次根式的值 例题1.已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【解析】∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式1-1】（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【解析】∵ ∴ ∴ 故选：A． 【变式1-2】当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）当时，二次根式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，掌握二次根式的值的求法是解答本题的关键．将代入即可求解． 【解析】解：根据题意得：， 故答案为：4． 考点02：二次根式的乘法 例题2.（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【解析】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【变式2-1】化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键．二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式． 【解析】解：． 故选A． 【变式2-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解本题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可 【解析】解：， 故答案为：． 【变式2-3】计算 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查二次根式的乘方，直接根据二次根式的乘方运算法则进行计算即可． 【解析】解：， 故答案为：8． 考点03：二次根式的除法 例题3．（24-25八年级上·上海·期中）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解题的关键．根据题意得：，将，代入即可得到的值． 【解析】解：长方形的面积为，相邻两边长分别为，， ， ，， ， 故答案为：． 【变式3-1】计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法运算，先算除法再化简即可． 【解析】，故答案为：． 【变式3-2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，二次根式的除法计算，把方程两边同时除以即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】若三角形的面积为，一边长为，则这边上的高线长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式除法运算，利用三角形面积公式列式，再用二次根式的除法计算即可． 【解析】解：由题意可得高线长为：， 故答案为： 考点04：二次根式的乘除混合运算 例题4.已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，方程两边同时除以，进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴； 故答案为：． 【变式4-1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． 【解析】解： ． 【变式4-2】（24-25九年级上·广西百色·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解： ， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【解析】解： ． 考点05：最简二次根式的判断 例题5.二次根式、、、中是最简二次根式的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可． 【解析】解：，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 则最简二次根式有1个， 故答案为：1． 【变式5-1】下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可． 【解析】A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式5-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解析】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C 【变式5-3】在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式定义是解决本题的关键．根据被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式分析判断即可． 【解析】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是二次根式， 是最简二次根式； 故答案为：． 考点06：同类二次根式 例题6.在二次根式、、、、、中，与是同类二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式即为同类二次根式，可得答案． 【解析】解：∵，，，，， ∴与是同类二次根式的有，，，，中共5个， 故选：D． 【变式6-1】下列二次根式中，不能与合并的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的概念，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先将各二次根式化简，再根据同类二次根式的概念进行判断即可． 【解析】A、因为，所以A不符合题意； B、因为，所以B不符合题意； C、因为，所以C符合题意； D、因为，所以D不符合题意． 故选：C． 【变式6-2】如果与是同类二次根式，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类二次根式的定义、二次根式有意义的条件，根据题意得出，求解即可得出的值，再结合二次根式有意义的条件判断即可得解． 【解析】解：由已知，得， 解得或1， 当时，，不合题意， ∴． 故答案为：1． 【变式6-3】如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质化简，整式的加减运算，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 同类二次根式指的是根指数相同，被开方数相同，由此可得，解出的值，可确定，再根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算即可求解． 【解析】解：由题意可知：， 解得，， ， ， ， ． 考点07：已知最简二次根式求参数 例题7．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，化简二次根式，根据同类二次根式的定义可得出，求解即可． 【解析】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式7-1】若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同类二次根式的概念进行解答即可． 【解析】解：由题意可知，，， 解得，， ； 故答案为：9． 【变式7-2】若最简二次根式与是同类二次根式，则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，也考查了代数式求值．根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解后，再求代数式的值即可． 【解析】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：7 【变式7-3】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【解析】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 考点08：二次根式的加减运算 例题8．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加减运算，熟练掌握二次根式化简是解题的关键． 先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解析】解：原式 ． 【变式8-1】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【解析】解：原式， 故选：B． 【变式8-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式加减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先将化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解析】解：． 故答案为：． 【变式8-3】计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点09：二次根式的混合运算 例题9.计算：已知：，，求． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则． 先根据二次根式的运算法则求出和的值，再把变形为，最后整体代入求值． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴． 【变式9-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算括号内的二次根式的减法运算，再计算除法运算即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可． 【解析】（1）解：； ； （2）解： ． 【变式9-2】计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法以及二次根式的性质化简，进而即可求解． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式9-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式、绝对值，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除，再进行二次根式的加减运算． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 考点10：分母有理化 例题10．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解； （3）根据题意可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【解析】解：（1）∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴将分母有理化得， 故答案为：，； （2） ； （3），理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 【变式10-1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后利用平方差公式计算，再进行约分即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【变式10-2】分母有理化： ； 【答案】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【变式10-3】（24-25八年级上·福建宁德·期中）我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题 (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解； （2）根据材料提示，将的分子、分母同时乘以分母有理化得，将的分子、分母同时乘以分母有理化得，再将两数作差进行比较即可； （3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点11：已知字母的值或条件式，进行化简求值 例题11．已知，求的值． 【答案】当时，原式；当时，原式． 【分析】讨论：当，，利用因式分解的方法得到，解得，当，，则，解得，然后把，代入中进行分式的化简求解． 【解析】解： 要有意义，即， 且或且， 当且时， ， 或（舍去）， 解得：， 把代入得：； 当且时， ， （舍去）或， 解得：， 把代入得：． 【变式11-1】已知，求 的值 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键． 首先化简得到，，然后求出，，然后代入求解即可． 【解析】解：， ， ∴，， ． 【变式11-2】已知，，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式， 首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解，最后代数求解即可． 【解析】解： ， ∵，， ∴原式． 【变式11-3】已知 ，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)12(2) 【分析】本题考查了完全平方公式以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把代入计算，即可作答． （2）先通分得出，再把代入计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ． 考点12：比较二次根式的大小 例题12.设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分母有理化，比较二次根式的大小．先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小． 【解析】解：，， 由，则， 由，则， ∴b最大， 又∵， 则．故． 故答案为：． 【变式12-1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【解析】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 【变式12-2】比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，掌握二次根式的性质是解题的关键． 先把化成，再进行比较即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式12-3】（24-25八年级上·广东茂名·期中）比较大小： （请用<， >或=填空） 【答案】> 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，根据得出，即可作答． 【解析】解：依题意， ∵， ∴， 故答案为：>． 考点13：复合二次根式的化简 例题13.阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【解析】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 【变式13-1】“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【解析】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式13-2】像…这样的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)若，且a，m，n为正整数，求a的值 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查化简复合二次根式： （1）根据题意，构造完全平方公式，进行化简即可； （2）根据题意得到是一个完全平方式，进而推出或，进行求解即可． 【解析】（1）解：； （2）∵ ∴是一个完全平方式， ∵，，均为正整数，且或， ∴或， ∴，此时或，此时． 【变式13-3】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【解析】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 一、单选题 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式的加法法则、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、二次根式的乘除法法则进行判断即可． 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是二次根式的运算，根据合并同类二次根式法则和二次根式的乘除法运算法则逐一判断即可． 【解析】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减、乘除和二次根式的性质计算即可判断． 【解析】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）已知，则 的值为（   ） A．4 B． C．3 D．2   【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的加法法则求出，根据乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【解析】解：，， ，， 则 ， 故选：B． 二、填空题 5．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式和最简二次根式等知识点，根据同类二次根式的定义得出，求出即可，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 【解析】∵， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：7． 6．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．先化简，再结合同类二次根式的定义（被开方数相同），即可作答． 【解析】解： ∴这个二次根式可以是； 故答案为：（答案不唯一） 7．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的化简．熟练掌握数轴，二次根式的化简是解题的关键． 由数轴可得，然后进行化简即可． 【解析】解：由数轴可得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）先去绝对值，运用完全平方公式去括号，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【解析】（1）解： ； （2）解： =． 9．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】（）根据二次根式的乘法运算法则和完全平方公式运算，再合并即可； （）利用二次根式的性质及乘法运算法则运算，再合并即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 【答案】(1)①；②(2)44 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、数字类规律探索，二次根式的混合运算，得出规律，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题目中的例子，计算即可得出答案； （2）根据题目中的例子得出，结合规律代入计算即可得出答案． 【解析】（1）解：①； ②； 故答案为：；； （2）解：， ， ， ， …， ， ∴ ． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$