第08讲 完全平方公式与平方差公式-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

第08讲 完全平方公式与平方差公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算； 知识点 1 平方差公式 1.平方差公式 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 注意：(1)公式的左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数。 (2)公式的右边是两项的平方差，即相同的项的平方减去相反项的平方。 (3)公式中的与可以是具体的数字也可以是含有字母的代数式。 2.平方差公式的常见变形 (1)位置变化：； (2)符号变化：； (3)系数变化：； (4)指数变化：； (5)增项变化：； (6)连用公式变化：。 (7)逆用公式变化：。 知识点 2 完全平方公式 1.完全平方公式 ；；即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的两倍。 注意：(1)公式特点：左边是两数的和(或差)的平方.右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍。 (2)常见变形： ①，； ②； ③。 2.添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 注意：(1)无论怎样添括号，原式的值都不能改变。 (2)添括号与去括号是互逆的，符号变化也是一效的，可以用去括号法则检查添括号是否正确。 考点01：运用平方差公式进行运算 例题1.计算： ． 【答案】 【解析】解：原式 ， 故答案为：． 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【解析】解：．故答案为：． 【变式1-2】计算： 【答案】 【解析】解： ． 【变式1-3】计算：（结果保留幂的形式）． 【答案】 【解析】解：原式 考点02：平方差公式与几何图形 例题2.（1）将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形）此时，阴影部分的面积可以表示为：__________； （2）将同样的两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（长方形）此时，新拼成的长方形的长是______；宽是______．则新拼成的长方形的面积可以表示为：________． （3）我们可以得到公式： ___________． 【答案】（1）；（2），，；（3） 【解析】解：（1）从已知可得阴影部分面积：； （2）第一个图中阴影部分的小长方形的宽和大长方形的宽为； 阴影部分的小长方形的长为，大长方形长即为； ∴新拼成的长方形的长为，宽是 ； ∴新拼成的长方形的面积为； （3）根据（1）（2）中两个图形的阴影部分面积相等可得公式： 【变式2-1】如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：， ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选C． 【变式2-2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】解：∵边长为的正方形的面积为，边长为的正方形的面积为， ∴减去正方形后剩余部分的面积为：， ∵长方形的一边为， ∴长方形的另一边长为：， 故选：B． 【变式2-3】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． (1)请表示图①中阴影部分的面积； (2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图②），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？ (3)比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？ 【答案】(1)(2)(3)能 【解析】（1）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴图①阴影部分的面积为； （2）解：图②的阴影部分为长为，宽为， ∴其面积为； （3）解：由图①与图②的面积相等，可以得到平方差公式：． 考点03：运用完全平方公式进行运算 例题3.已知，．则 ， 【答案】4 【解析】解：， ． 得：，即， 得：，即， 故答案为：4，． 【变式3-1】已知，则 ． 【答案】2024 【解析】解： ， ； 故答案为：2024． 【变式3-2】计算： 【答案】 【解析】 ． 【变式3-3】先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】解： ， 当，时， 原式， ， ， ， 考点04：通过完全平方公式变形求值 例题4.已知，求的值． 【答案】3 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【变式4-1】已知，，则 ． 【答案】20 【解析】解：∵，， ∴． 故答案为：20． 【变式4-2】已知：，，则代数式的值为 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式4-3】代数式可以化为，则的值是 ． 【答案】28 【解析】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：28． 考点05：求完全平方公式中的字母系数 例题5.已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 【答案】， 【解析】解：∵A是二项式， ∴是一个二项式的完全平方， ∴可以写成一个二项式的完全平方， ∴，． 故答案为：，． 【变式5-1】如果是一个完全平方式，那么常数 ． 【答案】21或 【解析】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 故答案为：21或． 【变式5-2】若关于的整式是某个关于的整式的平方，则 ． 【答案】或 【解析】解：∵关于的整式是某个关于的整式的平方，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【变式5-3】已知是一个完全平方式，则k的值为 ． 【答案】或 【解析】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 考点：06完全平方公式在几何图形中的应用 例题6.如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）解：由长方形的面积公式可得：. 故答案为：； （2）由图可知：. 故答案为：； （3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为， 又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24 ∴两个关于m，n的等式为：，． 【变式6-1】如图，长方形的周长为，面积为，以为边向外作正方形和，求正方形和的面积之和． 【答案】正方形和的面积之和为． 【解析】解：设长方形的长为，则宽为， ∵长方形的周长为，面积为， ∴， 正方形和的面积之和为， ∵． ∴正方形和的面积之和为． 【变式6-2】如图，将4个长为，宽为的长方形木条拼成一个正方形相框． (1)若，，求正方形和正方形的面积； (2)用两种不同的方法计算大正方形的面积，你发现了什么代数结论？ 【答案】(1)正方形的面积为：，正方形的面积为： (2)面积计算见解析， 【解析】（1）解：正方形的面积为： 正方形的面积为：； （2）解：方法一：正方形的面积为： 方法二：正方形的面积为： ∵两种表示方法表示的面积相等， ∴． 【变式6-3】如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②)． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系：　 　； (2)利用（1）中的结论，若，，则的值是 　 　； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：　 ； (4)两个正方形，如图④摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）解：中间部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． （3）解：分别以大矩形的面积和几个小矩形的面积为等量可得：， 故答案为：． （4）解：∵，， ∴①， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴②， ①+②得，， ∴， 图中阴影部分面积和 ． 考点07：整式的混合运算 例题7．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】解： ， 当，时， 原式． 【变式7-1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ， ， ； （2）解： ． 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ； （4）解：原式， ， ， ． 【变式7-3】已知，将下面代数式先化简，再求值 【答案】；9 【解析】解： 将代入，原式． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； C、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； D、，能用平方差公式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：图①中阴影面积为， 图②中阴影面积为， 根据根据两部分阴影面积相等可以得到． 故选：B 二、填空题 4．（22-23七年级下·安徽池州·期末）已知，则 ， ． 【答案】 6 /0.5 【解析】解： ，， ①，②， ①②得： ， 则； ①②得： ， 解得：． 故答案为：6；． 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知实数a满足，则的值是 ． 【答案】7 【解析】解：设，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：7． 三、解答题 6．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）计算∶ (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（22-23七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值： (1) (2) 【答案】(1)；5(2)； 【解析】（1）解： ∵， ∴，， ∴，， 把，代入得，； （2）解： 把代入得，． 8．（22-23七年级下·安徽六安·期末）我们知道完全平方公式是，由此公式我们可以得出以下结论：①；②；利用公式①和②解决下列问题： (1)若，求的值． (2)若满足，求的值． 【答案】(1)112；(2)． 【解析】（1）∵ ∴ （2）∵ ∴ 9．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）（1）填空： __________； __________； __________； （2）猜想： __________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】（1）；；；（2）（3） 【解析】（1）， ， ； 故答案为：；；； （2）猜想∶ (其中为正整数，且)； 故答案为：； （3）利用（2）猜想的结论计算： ， =， = 10．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）数学课上，老师用图中的一张正方形纸片、一张正方形纸片、两张长方形纸片，拼成如图所示的大正方形观察图形并解答下列问题： (1)写出由图可以得到的等式；（用含、的等式表示） (2)小明想用这三种纸片拼成一个面积为的大长方形，则需要，，三种纸片各多少张？ (3)如图，，分别表示边长为、的正方形面积，且、、三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)需要三种纸片各6张、2张、7张 (3)8 【解析】（1）解：根据题意得：图是一个边长为的大正方形，面积为；还是由1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，1个长为b，宽为a的长方形组成，面积为， 由图可以得到等式； （2）解：， 需要，，三种纸片各张、张、张； （3）解：由题意得，， ， 即， 解得， 图中阴影部分的面积为：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 完全平方公式与平方差公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算； 知识点 1 平方差公式 1.平方差公式 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 注意：(1)公式的左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数。 (2)公式的右边是两项的平方差，即相同的项的平方减去相反项的平方。 (3)公式中的与可以是具体的数字也可以是含有字母的代数式。 2.平方差公式的常见变形 (1)位置变化：； (2)符号变化：； (3)系数变化：； (4)指数变化：； (5)增项变化：； (6)连用公式变化：。 (7)逆用公式变化：。 知识点 2 完全平方公式 1.完全平方公式 ；；即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的两倍。 注意：(1)公式特点：左边是两数的和(或差)的平方.右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍。 (2)常见变形： ①，； ②； ③。 2.添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 注意：(1)无论怎样添括号，原式的值都不能改变。 (2)添括号与去括号是互逆的，符号变化也是一效的，可以用去括号法则检查添括号是否正确。 考点01：运用平方差公式进行运算 例题1.计算： ． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】计算： 【变式1-3】计算：（结果保留幂的形式）． 考点02：平方差公式与几何图形 例题2.（1）将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形）此时，阴影部分的面积可以表示为：__________； （2）将同样的两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（长方形）此时，新拼成的长方形的长是______；宽是______．则新拼成的长方形的面积可以表示为：________． （3）我们可以得到公式： ___________． 【变式2-1】如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（    ） A． B． C． D．6 【变式2-3】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． (1)请表示图①中阴影部分的面积； (2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图②），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？ (3)比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？ 考点03：运用完全平方公式进行运算 例题3.已知，．则 ， 【变式3-1】已知，则 ． 【变式3-2】计算： 【变式3-3】先化简，再求值：，其中 考点04：通过完全平方公式变形求值 例题4.已知，求的值． 【变式4-1】已知，，则 ． 【变式4-2】已知：，，则代数式的值为 【变式4-3】代数式可以化为，则的值是 ． 考点05：求完全平方公式中的字母系数 例题5.已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 【变式5-1】如果是一个完全平方式，那么常数 ． 【变式5-2】若关于的整式是某个关于的整式的平方，则 ． 【变式5-3】已知是一个完全平方式，则k的值为 ． 考点：06完全平方公式在几何图形中的应用 例题6.如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 【变式6-1】如图，长方形的周长为，面积为，以为边向外作正方形和，求正方形和的面积之和． 【变式6-2】如图，将4个长为，宽为的长方形木条拼成一个正方形相框． (1)若，，求正方形和正方形的面积； (2)用两种不同的方法计算大正方形的面积，你发现了什么代数结论？ 【变式6-3】如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②)． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系：　 　； (2)利用（1）中的结论，若，，则的值是 　 　； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：　 ； (4)两个正方形，如图④摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和． 考点07：整式的混合运算 例题7．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式7-1】计算 (1) (2) 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-3】已知，将下面代数式先化简，再求值 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23七年级下·安徽池州·期末）已知，则 ， ． 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知实数a满足，则的值是 ． 三、解答题 6．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）计算∶ (1) (2) 7．（22-23七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值： (1) (2) 8．（22-23七年级下·安徽六安·期末）我们知道完全平方公式是，由此公式我们可以得出以下结论：①；②；利用公式①和②解决下列问题： (1)若，求的值． (2)若满足，求的值． 9．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）（1）填空： __________； __________； __________； （2）猜想： __________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 10．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）数学课上，老师用图中的一张正方形纸片、一张正方形纸片、两张长方形纸片，拼成如图所示的大正方形观察图形并解答下列问题： (1)写出由图可以得到的等式；（用含、的等式表示） (2)小明想用这三种纸片拼成一个面积为的大长方形，则需要，，三种纸片各多少张？ (3)如图，，分别表示边长为、的正方形面积，且、、三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$