第05讲 一元一次不等式组-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

第05讲 一元一次不等式组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集； 知识点 1 一元一次不等式组的概念 类似于方程组，把几个具有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一元一次不等式组，如 注意：判断一个不等式组是否为一元一次不等式组的关键是： ①组成不等式组的每个不等式必须是一元一次不等式； ②整个不等式组中只含有一个未知数； ③不等式组中不等式至少有两个. 知识点 2 一元一次不等式组的解集 1.一元一次不等式组的解集 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集. 2.一元一次不等式组的解集的数轴表示 (1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分通常是利用数轴来确定的.公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分. (2)一元一次不等式组解集的4种基本类型 知识点 3 一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)求分解：分别解不等式组中的每一个不等式，求出它们的解集. (2)画公解：将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并确定其公共部分. (3)写组解：将第二步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集.如果这些不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. 考点01：求一元一次不等式组的解集 例题1.解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来    【变式1-1】若关于的不等式组的解集为，则关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级上·吉林长春·期末）解不等式组： (1)； (2)． 考点02：求一元一次不等式组的整数解 例题2．解下列不等式组，并写出其整数解． 【变式2-1】若关于x的不等式的整数解共有3个．则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】不等式组的正整数解为 ． 【变式2-3】解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 考点03：由一元一次不等式组的解集求参数 例题3.已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ． 【变式3-1】已知关于的不等式的解集如图所示，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式3-2】不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如果关于x的不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为 ． 考点04：由不等式组解集的情况求参数 例题4.若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是 ． 【变式4-1】若关于x的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 【变式4-2】若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【变式4-3】若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 考点05：不等式组与方程组结合的问题 例题5．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【变式5-1】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式5-2】（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式5-3】关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 考点06：列一元一次不等式组 例题6.某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为(　　) A． B． C． D． 考点07：一元一次不等式组的应用 例题7．（23-24七年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 【变式7-1】（24-25七年级上·山西忻州·期中）如果把一个非负实数“四舍五入”到个位的值记为．那么当为非负整数时，若，则．如：，．根据以上材料，解决下列问题： (1)若，则满足的条件：_____； (2)若，则应满足的条件：_____； 【变式7-2】（23-24七年级下·湖北随州·期末）“保护好环境，拒绝冒黑烟”，某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买型和型两种环保节能公交车共辆，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元：若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在该线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次，若该公司购买型和型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【变式7-3】某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）不等式组的最大整数解是（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 2．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·二模）已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）若不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）不等式组的解集为 ． 6．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）关于x的不等式组的解集是，则 ． 7．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）对x，y定义一种新的运算，规定，例如． （1） ； （2）若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是 ． 三、解答题 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）解不等式组：． 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 10．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品13件，B种纪念品4件． (1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少？ (2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元一次不等式组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集； 知识点 1 一元一次不等式组的概念 类似于方程组，把几个具有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一元一次不等式组，如 注意：判断一个不等式组是否为一元一次不等式组的关键是： ①组成不等式组的每个不等式必须是一元一次不等式； ②整个不等式组中只含有一个未知数； ③不等式组中不等式至少有两个. 知识点 2 一元一次不等式组的解集 1.一元一次不等式组的解集 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集. 2.一元一次不等式组的解集的数轴表示 (1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分通常是利用数轴来确定的.公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分. (2)一元一次不等式组解集的4种基本类型 知识点 3 一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)求分解：分别解不等式组中的每一个不等式，求出它们的解集. (2)画公解：将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并确定其公共部分. (3)写组解：将第二步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集.如果这些不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. 考点01：求一元一次不等式组的解集 例题1.解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来    【答案】，数轴表示见解析 【解析】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：。 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【变式1-1】若关于的不等式组的解集为，则关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意，得：， 解得； 故选D． 【变式1-2】等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：D． 【变式1-3】（24-25七年级上·吉林长春·期末）解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 考点02：求一元一次不等式组的整数解 例题2．解下列不等式组，并写出其整数解． 【答案】，整数解为：， 【解析】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 其整数解为，． 【变式2-1】若关于x的不等式的整数解共有3个．则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：， 由①解得：， 由②解得：， 故不等式组的解集为， 由不等式组的整数解有3个，得到整数解为3，4，5， 则m的范围为． 故选：D． 【变式2-2】不等式组的正整数解为 ． 【答案】1，2，3 【解析】解：， 解①得 解②得 ∴ ∴正整数解为1，2，3． 故答案为：1，2，3． 【变式2-3】解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】，整数解：，，， 【解析】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的整数解有，，，． 考点03：由一元一次不等式组的解集求参数 例题3.已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为不等式组的整数解共有4个，所以整数解为，6，7，8， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】已知关于的不等式的解集如图所示，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】解：关于的不等式， ， 如图所示： ，则，解得， 故选：B． 【变式3-2】不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如果关于x的不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有两个整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点04：由不等式组解集的情况求参数 例题4.若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-1】若关于x的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】解：解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组有且仅有个整数解， 整数解为，，， ， ． 故答案为：． 【变式4-2】若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解： 解①式得：， 解②式得：， ∵若不等式组无解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4-3】若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：， 解①得， 解②得， ∴． 因为当时，能取到的负整数为，且不等组所有整数解的和是， 所以不等式组的整数解为或和0， 所以， 解得． 故答案为：． 考点05：不等式组与方程组结合的问题 例题5．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【解析】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 【变式5-1】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【解析】解：由得， 为正数，为非负数， ， ，故①错误； 当时，，， ，故②正确； 当时，，， 此时，故③正确， 正确的有②③， 故选：B． 【变式5-2】（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 【变式5-3】关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 【答案】 【解析】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 考点06：列一元一次不等式组 例题6.某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 【变式6-1】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 【变式6-2】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为， 这箱苹果共个， 每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个， ， 故选：C． 【变式6-3】一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设张力平均每天读x页，由题意得： ， 故选：A． 考点07：一元一次不等式组的应用 例题7．（23-24七年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 【答案】该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． 【解析】解：该企业投入106万购买这两种设备不可行， 理由：设购买型污水处理设备台， ， 解得且， 该不等式组无解， ∴该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． 【变式7-1】（24-25七年级上·山西忻州·期中）如果把一个非负实数“四舍五入”到个位的值记为．那么当为非负整数时，若，则．如：，．根据以上材料，解决下列问题： (1)若，则满足的条件：_____； (2)若，则应满足的条件：_____； 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-2】（23-24七年级下·湖北随州·期末）“保护好环境，拒绝冒黑烟”，某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买型和型两种环保节能公交车共辆，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元：若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在该线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次，若该公司购买型和型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】(1)购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元． (2)三种方案：①购买型公交车辆，则型公交车辆；②购买型公交车辆，则型公交车辆；③购买型公交车辆，则型公交车辆；型公交车辆，型公交车辆费用最少，最少总费用为万元． 【解析】（1）解：设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元， 由题意得， 解得， 即购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元． （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆， 由题意得， 解得：， 、、；则、、， 则有三种方案： ①购买型公交车辆，则型公交车辆：万元； ②购买型公交车辆，则型公交车辆：万元； ③购买型公交车辆，则型公交车辆：万元； ， 购买型公交车辆，型公交车辆费用最少，最少总费用为万元． 【变式7-3】某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【解析】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）不等式组的最大整数解是（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【解析】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴最大整数解为， 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 解得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴． 故选：B 3．（2024·江苏南通·二模）已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解关于x，y的方程组：， 解得：， ，， ， 解得：， 的取值范围为：， 故选：C． 4．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）若不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵不等式组无解， ∴， 故选：． 二、填空题 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）不等式组的解集为 ． 【答案】 【解析】解： ． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）关于x的不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【解析】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 7．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）对x，y定义一种新的运算，规定，例如． （1） ； （2）若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 2 【解析】解：（1）∵， ∴， 故答案为：2． （2）由题意得：， 解得：， ∵原不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）解不等式组：． 【答案】 【解析】解： 解可得：， 解可得：， ∴不等式组的解集为：． 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 【答案】，数轴表示见解析 【解析】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示为： 10．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品13件，B种纪念品4件． (1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少？ (2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？ 【答案】(1)A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元 (2)一共有3种方案，当购进A种30件，B种10件时，获得最大利润220元 【解析】（1）解：设A、B两种纪念品的进价分别为元、元．由题意， 得， 解得； 答：A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元． （2）解：设商店准备购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件． 由题意，得， 解得：； 因为为整数，所以取30，31，32．故共有3种方案． 当，利润：（元） 当，利润：元） 当，利润：（元） 答：一共有3种方案，当购进A种30件，B种10件时，获得最大利润220元． ( 2 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