专题01 有理数及其运算（6个知识回顾+11种重点题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

专题01 有理数及其运算 （6个知识回顾+11种重点题型归纳+过关检测） 题型聚焦：核心题型+中考题型，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 有理数的相关概念】 【题型2 数轴与相反数】 【题型3 绝对值】 【题型4 有理数的大小比较】 【题型5 有理数的四则运算】 【题型6 有理数的乘方】 【题型7 有理数混合运算的实际应用】 【题型8 近似数】 【题型9 有理数的新定义运算】 【题型10 数轴上的动点问题】 【题型11 绝对值的几何意义】 【知识点01 有理数】 有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. (2)有理数的分类: ① ② 【知识点02 数轴】 数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 【知识点03 相反数与绝对值】 相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； 相反数的商为-1. 相反数的绝对值相等 绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； (2) 绝对值可表示为： 或 ； 【知识点04 比较有理数大小】 有理数比大小： （1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 【知识点05 有理数的混合运算】 倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 【知识点06 科学记数法】 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 题型归纳 【题型1 有理数的相关概念】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）在，，0，，中是负分数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（   ） A．正整数和负整数统称为整数 B．零表示不存在，所以零不是有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．整数和分数统称为有理数 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②③0，④，⑤（每两个1之间依次多一个，⑥；则是正有理数的是 ；非正整数 ． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥；则是非正整数 ． 5．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号） (1)正整数： ； (2)负数： ； (3)分数： ． 【题型2 数轴与相反数】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列数轴中两点到原点距离相等的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（    ）    A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，若点A和点B表示的数互为相反数，则点C表示的数是 ． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，在数轴上A点表示的数为，B点表示的数为6，点C在点A的右侧，点D在点B的左侧，且，则 ．    5．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________； (2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ (3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 【题型3 绝对值】 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 4．（23-24七年级上·重庆·期中）已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简结果为 ．    5．（2024七年级上·浙江·专题练习）点、在数轴上分别表示实数、、、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和1两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 (3)若表示一个实数，且，化简； (4)的最小值为 ， 【题型4 有理数的大小比较】 1．（24-25七年级上·河南周口·期中）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列各组有理数的大小比较中，错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）比较大小（用“”“”或“”连接）： ； ． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：0 ， ， ．（填“”，“”号） 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图： (1)过两点画一条数轴，使点表示2，点表示． (2)在所画数轴上画出表示，，0的点，并把这5个数按从小到大的顺序用“”连接． ________________________． 【题型5 有理数的四则运算】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2) 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1) ； (2)． 3．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6 有理数的乘方】 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1) (2)； (3) (4). 2．（22-23七年级·浙江·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．（2023九年级·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型7 有理数混合运算的实际应用】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）萝卜快跑是由百度推出的无人驾驶出租车服务品牌，日前在北京、武汉等个城市开展服务与测试．某天下午，萝卜快跑的某辆无人驾驶出租车的营运路线全是在东西走向的大街上进行的．如果规定向东为正，向西为负，这辆车这天下午载客行车里程（单位：km）如下：，，，，，． (1)最后一次营运结束时，这辆无人驾驶出租车距离下午出发时的出发地有多远？ (2)萝卜快跑的计费标准为：不超过km，收费元；超过km的部分，按元/km收费，则这辆车这天下午前三次营运的收入共多少元？ 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）现有20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正､负数来表示．记录如下： 与标准质量的差值/千克 0 1 2.5 筐数 2 3 2 1 4 8 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重________千克． (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价1.5元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 3．（23-24七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，尝试解决问题 探究最优方案选择问题 素材1 临沂市第八届运动会于10月27日在奥体中心举行开幕式，本次运动会吉祥物“小沂蒙”深受大家喜爱，某校七年级4个班级计划购买一批吉祥物作为班级奖品，每班购买数量以20个为标准，超过标准记为正，不足标准记为负，各班购买数量如表所示． 班级 七（1） 七（2） 七（3） 七（4） 购买数量/个 素材2 现有甲、乙两家商店均有销售吉祥物，每个标价40元，为吸引更多顾客购买，甲、乙两店开展如下优惠方案：甲店每购满7个送1个；乙店购买数量20个以内（含20）不打折，超过20个的部分按定价的售卖． 问题解决 问题1 根据素材1，购买吉祥物数量最多的班级比购买数量最少的班级多多少个？ 问题2 素材1，2，若按甲店优惠方案四个班级分别购买，则购买费用最多的班级比购买费用最少的班级多多少元？ 问题3 根据素材1，2，若七年级统一购买，购买总数不变且只能选其中一种优惠方案，则在哪家商店购买更优惠？试通过计算说明． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）国庆期间小明妈妈收到浙江电力9月份家庭用电的短信，妈妈把短信截图（如图1）发给正在读七年级的小明，让小明计算一下电费，小明根据所学知识展开计算： 小明通过查阅资料，获得图2材料并归纳出以下信息： ①为了鼓励大家错峰用电，每天22:00至第二天8:00实行低谷电价，8:00至22:00实行高峰电价； ②居民年用电量第一档共有2760度，第二档共有2040度； (1)根据用电情况信息，可以得出9月份440度用电量中，处于第二档收费的用电量是______度； (2)请计算小明家今年前9个月的总用电量； (3)求小明家9月份的电费． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）根据素材，请你探索解决以下任务： 素材1：某加工厂生产某种零件，厂里规定每个工人每周要生产零件560个，平均每天生产80个． 素材2：该厂工人李师傅由于各种原因，每天实际生产数量与计划数量有些变化．下表是李师傅某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 0 （1）【任务1】根据表格数据可知李师傅星期四生产零件______个； （2）【任务2】根据表格数据可知李师傅本周实际生产零件______个； 素材3：该工厂为鼓励工人的积极性作如下规定：每生产一个零件可得工资10元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖8元；少生产一个则倒扣5元．该工厂实行两种工资结算制度：“每周计件工资制”和“每日计件工资制”，即分别按周和按天为单位时间结算工资． （3）【任务3】若李师傅选择“每周计件工资制”结算工资，那么李师傅这一周的工资总额是多少元？ （4）【任务4】精通数学的李师傅最终选择“每日计件工资制”来结算工资，你觉得李师傅的决定正确吗？请说明理由． 【题型8 近似数】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列实例中数据属于准确数的是（　　） A．2024年浙江省中考考生约54.9万人 B．杭州地铁1号线全线共设33个站点 C．新浙教版七年级上册数学课本长约26厘米 D．巴黎奥运会冠军潘展乐以46秒09摘取男子百米自由泳冠军 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）2024年3月14日（国际圆周率日），某国际数据机构公布最新的圆周率小数点后位数，已经计算到小数点后约105万亿位．据悉，这次计算历时75天，使用了36个固态硬盘，储存了大约100万数据．已知数据储存单位换算，，，，，那么与100万最接近的储存单位是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）将精确到千位的近似数是（结果用科学记数法表示） ． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有理数3.8963精确到百分位， ． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）指出下列各近似值精确到哪一位． (1)56.3 (2)5.630 (3) (4)5.630万 (5)0.017 (6)3800． 【题型9 有理数的新定义运算】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）现定义两种同级运算“”“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（   ） A．39 B．90 C．12 D． 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）定义新运算“”，规定，则的值为（      ） A． B． C．6 D．18 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b规定．如：．则的值为 ． 4．（24-25七年级上·湖北随州·期中）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，例如：，．则 ． 5．（22-23七年级上·浙江台州·期中）定义：对于任意的有理数a，b， (1)探究性质： ①例：_________；_________；_________；________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律； (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值； ②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是　　． 【题型10 数轴上的动点问题】 1．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示100的点与圆周上表示（    ）的点重合． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）刻度尺在数轴上的位置摆放如图所示，刻度尺右端点B的刻度为“0”，刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合，现将刻度尺沿数轴向右移动5个单位，如图2，使刻度尺的左端点与数轴上表示的数1重合，则刻度尺的长度为 ． 4．（24-25六年级上·山东济宁·期中）若数轴上的点距离原点个单位长度，若一个点从点出发向右移动个单位长度，此时终点所表示的数是 ． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点． (1)若点到的距离为，点到的距离为． ①当时，求点所表示的数． ②当时，求点所表示的数． (2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数． 【题型11 绝对值的几何意义】 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________． (2)数轴上表示和两点之间的距离为______．若表示一个有理数，且，则______． (3)利用数轴求出的最小值为_______，并写出此时可取哪些整数值______． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）探索研究： (1)比较下列各式的大小．（用“”、“ ”或“”连接） ①_____； ②______； ③_______． (2)观察、分析、归纳，并比较大小：　　．（填“”、“ ”、“”、“”或“”） (3)根据（2）中得出的结论解答下列问题： ①当时，则x的取值范围是______； ②如果，，求m的值． 4．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值． (2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值． 5．（21-22七年级上·河南商丘·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是 ___________； (2)①若，则x=___________； ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为 ___________； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和 ___________表示的点重合； (4)折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和 ___________表示的点重合； ②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是 ___________，点B表示的数是 ___________； 【拓展】 (5)若，则x=___________． 过关检测 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列数轴中两点到原点距离相等的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）以下是某一时刻我国四个城市的气温：哈尔滨，北京，杭州，海口，请问该时刻气温最高的城市是（   ） A．哈尔滨 B．北京 C．杭州 D．海口 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 5．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是（    ） A． B．3 C．4或 D．3或 6．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）在，，，，，这六个数中，分数有 个． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ． 8．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）如果，，那么的值为 ． 9．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）为了让学生更好的掌握第二章有理数的运算知识，七年（1）班数学老师在班级里组织了一次知识竞赛，有10道选择题，每道题答对得5分，答错或不答扣1分． （1）小明答对了8道题，答错了2道题，他的总得分是 分； （2）若该班的学生中至少有4人的得分相同，则这个班级的学生至少有 人． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． (1)如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 12．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）把下列各数填写在相应的集合中． 6.5，，0，11，， (1)整数集合{                                      …}； (2)分数集合{                                      …}； (3)非正数集合{                                      …}； (4)正有理数集合{                                      …}． 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算 (1)； (2)． 14．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有20箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 箱数（箱） (1)最重的一箱比最轻的一箱重　　　千克； (2)求这20箱苹果的总质量； (3)若这批苹果的批发价是8.5元/千克，售价是15元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，则出售这20箱苹果能盈利多少元？ 15．（24-25七年级上·浙江温州·期中）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是______． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次），如：，请另写出一种符合要求的运算式子______． 16．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ， ； 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方乘方幂的形式． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式． ； ； （3）想一想，将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方幂的形式等于 ； 【灵活应用】 （4）算一算：． 17．（24-25七年级上·浙江·期中）在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人在一条生产线上巡查了7次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录如下：3，，8，，7，▲，（单位：米）已知机器人第七次巡检结束时刚好回到起点． (1)第五次结束时机器人的位置在起点的左边还是右边？距离起点多远？ (2)路程记录中的数据“▲”是多少？ (3)机器人行驶速度为米/分，求第7次巡检结束的时刻（检查均无故障，不需停留维修）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数及其运算 （6个知识回顾+11种重点题型归纳+过关检测） 题型聚焦：核心题型+中考题型，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 有理数的相关概念】 【题型2 数轴与相反数】 【题型3 绝对值】 【题型4 有理数的大小比较】 【题型5 有理数的四则运算】 【题型6 有理数的乘方】 【题型7 有理数混合运算的实际应用】 【题型8 近似数】 【题型9 有理数的新定义运算】 【题型10 数轴上的动点问题】 【题型11 绝对值的几何意义】 【知识点01 有理数】 有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. (2)有理数的分类: ① ② 【知识点02 数轴】 数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 【知识点03 相反数与绝对值】 相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； 相反数的商为-1. 相反数的绝对值相等 绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； (2) 绝对值可表示为： 或 ； 【知识点04 比较有理数大小】 有理数比大小： （1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 【知识点05 有理数的混合运算】 倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 【知识点06 科学记数法】 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 题型归纳 【题型1 有理数的相关概念】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）在，，0，，中是负分数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类和定义，熟练掌握正数和分数统称为有理数，有理数的分类可以按整数、分数的关系分类，按正数、负数与的关系分类是解答本题的关键．根据负分数的定义进行判断即可求解． 【详解】解：在，，，，中是负分数的有：，，一共有2个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（   ） A．正整数和负整数统称为整数 B．零表示不存在，所以零不是有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：因为正整数，0，负整数统称为整数，所以A不正确； 因为0是有理数，所以B不正确； 因为非负有理数就是正有理数和0，所以C不正确； 因为整数和分数统称为有理数，所以D正确． 故选：D． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②③0，④，⑤（每两个1之间依次多一个，⑥；则是正有理数的是 ；非正整数 ． 【答案】 ④ ①③/③① 【分析】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 根据有理数的定义及分类即可求得答案． 【详解】解：正有理数是④；非正整数是①③； 故答案为：④；①③． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥；则是非正整数 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查有理数的分类，根据非正整数，包括0和负整数，进行判断即可． 【详解】解：①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥，中，是非正整数的是和0， 故答案为：①③． 5．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号） (1)正整数： ； (2)负数： ； (3)分数： ． 【答案】(1)②⑦ (2)①③⑤⑧ (3)①③⑥⑧ 【分析】本题考查有理数的分类及定义，掌握有理数的分类及相关定义是解题的关键； （1）根据正整数定义进行分类即可； （2）根据负数定义进行分类即可； （3）根据分数定义进行分类即可． 【详解】（1）解：； 正整数：②⑦； （2）解：负数：①③⑤⑧； （3）解：分数：①③⑥⑧． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/27 3:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【题型2 数轴与相反数】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列数轴中两点到原点距离相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 根据数轴上点到原点距离解答即可． 【详解】解：A. 两点到原点距离分别为，故两点到原点距离不相等，故不符合题意； B. 两点到原点距离分别为，故两点到原点距离相等，故符合题意； C.两点到原点距离分别为，故两点到原点距离不相等，故不符合题意； D.两点到原点距离分别为，故两点到原点距离不相等，故不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（    ）    A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 共个． 故选C． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，若点A和点B表示的数互为相反数，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与相反数，掌握数轴的性质以及相反数的定义是解题关键．根据点A和点B表示的数互为相反数，确定原点的位置，即可得出点C表示的数． 【详解】解：点A和点B表示的数互为相反数， 的中点为原点， 表示如下： 点C表示的数是， 故答案为：． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，在数轴上A点表示的数为，B点表示的数为6，点C在点A的右侧，点D在点B的左侧，且，则 ．    【答案】4 【分析】本题考查数轴上点表示的数，求出C、D表示的数即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上A点表示的数为，点C在点A的右侧，， ∴C表示的数为， ∵B点表示的数为6，点D在点B的左侧，， ∴D表示的数为， ∴， 故答案为：4． 5．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________； (2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ (3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）“点与点所表示的数互为相反数”，则点B与C分别位于原点的两侧，都到原点是1个单位，由此得点所表示的数为． （2）方法同（1）可得点D表示的数为． （3）方法同（1）可得点所表示的数为，由点在点F左边1个单位，则点所表示的数是2，它的相反数为． 【详解】（1）解：∵点与点所表示的数互为相反数，且B与之间有2个单位长度， ∴可得点所表示的数为； 故答案为： （2）∵点A与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为5， ∴点D表示的数为； （3）∵点与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为6， ∴点所表示的数为， ∵点在点F左边1个单位， ∴点所表示的数是2， ∴点所表示的数的相反数是． 【点睛】本题主要考查数轴和相反数的应用，根据两点之间单位长度的数量来确定点所表示的数字． 【题型3 绝对值】 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，根据数轴的定义和性质可得，逐一判断即可，熟练掌握数轴上的点所表示的数的大小关系是解决问题的关键． 【详解】解： A、由数轴可知，，则，故选项不符合题意； B、由数轴可知，，故选项不符合题意； C、由数轴可知，，则，故选项不符合题意； D、由数轴可知，，则，， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，代数式求值，根据与互为相反数可得，进而得，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查绝对值、相反数的意义； （1）根据表示的意义进行计算即可； （2）分均为小数；与中有一个是小数，一个是整数以及都是整数三种情况解答即可． 【详解】解：（1）根据表示的意义得，， 故答案为：； （2）当均为小数时，如，则，则， 和互为相反数，， 解得， 即的值是两个小于1的小数的和，即； 当与中有一个是小数，一个是整数时，的值是1与一个小于1的小数的和，即； 当都是整数时，， 和互为相反数，，即， 综上所述，代数式的最大值为2． 故答案为：2． 4．（23-24七年级上·重庆·期中）已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简结果为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的化简求值，判断出绝对值里代数式的正负情况是解题的关键． 【详解】解：由数轴得，， ，，， ， 故答案为：． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）点、在数轴上分别表示实数、、、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和1两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 (3)若表示一个实数，且，化简； (4)的最小值为 ， 【答案】(1)4，3 (2)， (3)8 (4)7 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义．理解题意，掌握数轴上A、B两点间的距离为是解题关键． （1）（2）直接代入数轴上两点间的距离公式求解即可； （3）实质是在点表示3和的点之间取一点，计算该点到点3和的距离和； （4）可知对应点在对应和4的点之间时的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据两点间距离公式可知：数轴上表示和1两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为； （3）解：因为， 所以； （4）解：表示x和两点之间的距离与x和4两点之间的距离的和， 所以当表示x的数位于和4两点之间时，距离的和最小，即为和4两点之间的距离为，即的最小值为7． 【题型4 有理数的大小比较】 1．（24-25七年级上·河南周口·期中）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小和绝对值，熟练掌握知识点并能够利用数形结合的思想是解题的关键．根据数轴可知：，，，，进而可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴，， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列各组有理数的大小比较中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数大小的比较，绝对值的意义，化简多重符号，解题的关键是掌握去小括号，正正得正，正负得负，负正得负，负负得正，根据有理数的大小比较的原则，负数小于零小于正数，即可． 【详解】解：A、，， ∵， ∴，故A错误，符合题意； B、，， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C、，， ∵， ∴，故C正确，不符合题意； D、，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：A． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）比较大小（用“”“”或“”连接）： ； ． 【答案】 【分析】根据正数都大于负数，负数小于零，正数大于零，两正数绝对值较大的数较大，两个负数比较大小绝对值大的反而小，逐一进行判断即可． 【详解】解：，， 因为， 所以； ，， 因为 所以； 故答案：；． 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握比较的方法是解题的关键． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：0 ， ， ．（填“”，“”号） 【答案】 【分析】本题考查比较有理数的大小关系： 利用有理数大小的比较方法：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；先运算绝对值，再进行比较，据此解答即可． 【详解】解：； ∵ ∴； ； 故答案为：；；． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图： (1)过两点画一条数轴，使点表示2，点表示． (2)在所画数轴上画出表示，，0的点，并把这5个数按从小到大的顺序用“”连接． ________________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，，， 【分析】本题考查作图复杂作图，数轴，有理数的大小比较等知识，解题的关键是学会利用数轴比较有理数的大小． （1）根据要求作出图形即可； （2）首先计算绝对值，然后在数轴表示，利用数轴比较有理数的大小． 【详解】（1）解：数轴如图所示： （2）解：， 数轴表示如图所示． ∴． 【题型5 有理数的四则运算】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是： （1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法的分配律计算，最后根据加减法则计算即可； （2）先计算乘方和括号内，然后计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的相关运算法则是解题的关键． （1）先算除法，再算加减即可； （2）根据乘方分配律计算即可． 【详解】（1） （2） 3．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)32 【分析】本题考查有理数的运算： （1）减去一个负数等于加上它的相反数，由此可解； （2）变除法为乘法，再约分化简； （3）先计算乘除，再计算减法； （4）利用乘法分配律的逆运算进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)12 (2)13 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先求绝对值，然后从左到右计算即可． （2）先算乘除法，再计算加减法即可． （3）先计算乘方，然后计算括号里面的，然后计算乘除法，最后再计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则解题的关键． （1）先算除法，再算减法即可； （2）先算乘方，然后利用乘法分配律计算即可； （3）先算乘方，再算除法，最后算减法即可； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型6 有理数的乘方】 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1) (2)； (3) (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；的奇数次幂是，的偶数次幂是1. 2．（22-23七年级·浙江·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)2.25 (3) (4) (5)8 【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） （5）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 3．（2023九年级·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)625 (2) (3)0.027 【分析】（1）表示4个相乘，即可得出答案； （2）先计算2的立方，即可得出答案； （3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)80 【分析】(1) 按照有理数的乘方混合运算法则计算即可． (2) 按照有理数的乘方混合运算法则计算即可． 本题考查了含有乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型7 有理数混合运算的实际应用】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）萝卜快跑是由百度推出的无人驾驶出租车服务品牌，日前在北京、武汉等个城市开展服务与测试．某天下午，萝卜快跑的某辆无人驾驶出租车的营运路线全是在东西走向的大街上进行的．如果规定向东为正，向西为负，这辆车这天下午载客行车里程（单位：km）如下：，，，，，． (1)最后一次营运结束时，这辆无人驾驶出租车距离下午出发时的出发地有多远？ (2)萝卜快跑的计费标准为：不超过km，收费元；超过km的部分，按元/km收费，则这辆车这天下午前三次营运的收入共多少元？ 【答案】(1)最后一次营运结束时，这辆无人驾驶出租车距离下午出发时的出发地km． (2)这辆车这天下午前三次营运的收入共元． 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，关键是要正确理解题意，在运算中注意符号，不要出错． （1）根据题意，向东为正，向西为负，把各数相加求和，即可得到结果； （2）根据题意，前三次营运的里程分别为3 km，16 km，5 km，按要求计算每次的收费情况，即可得到前三次的总收入． 【详解】（1）解：这辆车这天下午载客行车里程（单位：km）如下：，，，，，， （km）， 答：最后一次营运结束时，这辆无人驾驶出租车距离下午出发时的出发地17 km； （2）解：前三次营运的里程分别为3 km，16 km，5 km， 第一次3 km，收费为13元， 第二次16 km，收费为（元）， 第三次5 km，收费为（元）， ∴这天下午前三次营运总收入为（元）， 答：这辆车这天下午前三次营运的收入共元． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）现有20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正､负数来表示．记录如下： 与标准质量的差值/千克 0 1 2.5 筐数 2 3 2 1 4 8 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重________千克． (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价1.5元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)6 (2)超过8千克 (3)462元 【分析】此题考查正数和负数，有理数混合运算的应用． （1）根据有理数的减法运算，用最重的一筐减去最轻的一筐即可； （2）根据有理数的加减混合运算分别计算表格中的数据，将20筐白菜的重量相加即可； （3）根据有理数的乘法运算，将总质量乘以单价即可． 【详解】（1）最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3.5千克， （千克）． （2）（千克）， 故20筐白菜总计超过8千克． （3）（元）， 故出售这20筐白菜可卖462元． 3．（23-24七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，尝试解决问题 探究最优方案选择问题 素材1 临沂市第八届运动会于10月27日在奥体中心举行开幕式，本次运动会吉祥物“小沂蒙”深受大家喜爱，某校七年级4个班级计划购买一批吉祥物作为班级奖品，每班购买数量以20个为标准，超过标准记为正，不足标准记为负，各班购买数量如表所示． 班级 七（1） 七（2） 七（3） 七（4） 购买数量/个 素材2 现有甲、乙两家商店均有销售吉祥物，每个标价40元，为吸引更多顾客购买，甲、乙两店开展如下优惠方案：甲店每购满7个送1个；乙店购买数量20个以内（含20）不打折，超过20个的部分按定价的售卖． 问题解决 问题1 根据素材1，购买吉祥物数量最多的班级比购买数量最少的班级多多少个？ 问题2 素材1，2，若按甲店优惠方案四个班级分别购买，则购买费用最多的班级比购买费用最少的班级多多少元？ 问题3 根据素材1，2，若七年级统一购买，购买总数不变且只能选其中一种优惠方案，则在哪家商店购买更优惠？试通过计算说明． 【答案】问题一：10个；问题二：多360元；问题三：在乙商店购买更优惠，理由见解析 【分析】问题1∶观察表格，找出购买吉祥物数量最多班级是七（1），购买数量最少班级是七（3）班，分别求出它们购买的数量，进行减法运算即可； 问题2∶按甲店优惠方案，求出4个班实际购买的个数，然后求出答案即可； 问题3∶先求出年段统一购买总数，再求出甲店购买和乙店购买的费用，然后进行比较即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解题意列出算式． 【详解】解：问题一：（个） 问题二：七（1）班（元） 七（2）班：（元） 七（3）班：（元） 七（4）班：（元） 以上可知，购买费用最多的班级是七（1）班960元，最少的班级是七（3）班600元． （元） 答：购买费用最多的班级比购买费用最少的班级多360元． 问题三： 购买总数：（个） 甲商店：（元） 乙商店：（元） 答：在乙商店购买更优惠． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）国庆期间小明妈妈收到浙江电力9月份家庭用电的短信，妈妈把短信截图（如图1）发给正在读七年级的小明，让小明计算一下电费，小明根据所学知识展开计算： 小明通过查阅资料，获得图2材料并归纳出以下信息： ①为了鼓励大家错峰用电，每天22:00至第二天8:00实行低谷电价，8:00至22:00实行高峰电价； ②居民年用电量第一档共有2760度，第二档共有2040度； (1)根据用电情况信息，可以得出9月份440度用电量中，处于第二档收费的用电量是______度； (2)请计算小明家今年前9个月的总用电量； (3)求小明家9月份的电费． 【答案】(1) (2)度 (3)元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解数量关系，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示，第一档平均每月的用电量为度，由此即可求解； （2）根据第一档的平均用电量算出前8个月的电量，再加上9月的电量即可求解； （3）分别算出第一档的费用，第二档的费用，即可求解． 【详解】（1）解：∵居民年用电量第一档共有度， ∴平均每月的用电量为：（度）， ∵9月份的用电量是度， ∴处于第二档的有（度）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，平均每月的用电量为度， ∴今年前9个月的总用电量；（度）； （3）解：9月份中度，第一档有度，其中谷度， ∴高峰时的电量为（度）， ∴费用为：（元）， 第二档用电量为度，其中谷度， 高峰时的电量为（度）， ∴费用为：（元）， ∴（元）， ∴小明家9月份的电费是元． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）根据素材，请你探索解决以下任务： 素材1：某加工厂生产某种零件，厂里规定每个工人每周要生产零件560个，平均每天生产80个． 素材2：该厂工人李师傅由于各种原因，每天实际生产数量与计划数量有些变化．下表是李师傅某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 0 （1）【任务1】根据表格数据可知李师傅星期四生产零件______个； （2）【任务2】根据表格数据可知李师傅本周实际生产零件______个； 素材3：该工厂为鼓励工人的积极性作如下规定：每生产一个零件可得工资10元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖8元；少生产一个则倒扣5元．该工厂实行两种工资结算制度：“每周计件工资制”和“每日计件工资制”，即分别按周和按天为单位时间结算工资． （3）【任务3】若李师傅选择“每周计件工资制”结算工资，那么李师傅这一周的工资总额是多少元？ （4）【任务4】精通数学的李师傅最终选择“每日计件工资制”来结算工资，你觉得李师傅的决定正确吗？请说明理由． 【答案】（1）180   （2）567   （3）5726元  （4）正确；理由见解析 【分析】本题主要考查正负数的意义，有理数的混合运算与实际问题的运用，理解正负数表示的意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）[任务1]根据正负数表示的意义，周四为0，由此即可求解； （2）[任务2]根据有理数的加减运算，7的平均量的和加上每天超额完成的量再减去每天不足的量即可求解； （3）[任务3]由（2）可知一周实际生产的量，根据题意，运用有理数的混合运算即可求解； （4）[任务4]实际生产量的费用加上超额完成的费用减去不足时的量的费用即可求解． 【详解】解：（1）[任务1]已知平均每天生产80个，超产记为正、减产记为负， ∴根据表格信息可得，李师傅周四生产零件80个， 故答案为：80； （2）[任务2]根据题意，（个）， 故答案为：567； （3）[任务3]由（2）可知，本题实际生产了567个零件， ∴按周结算工资：元； （4）[任务4]李师傅的决定正确．   理由如下：按“每日计件工资制”结算工资为： 元   ∴， ∴李师傅的决定正确． 【题型8 近似数】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列实例中数据属于准确数的是（　　） A．2024年浙江省中考考生约54.9万人 B．杭州地铁1号线全线共设33个站点 C．新浙教版七年级上册数学课本长约26厘米 D．巴黎奥运会冠军潘展乐以46秒09摘取男子百米自由泳冠军 【答案】B 【分析】本题考查近似数．解答本题的关键是明确近似数和准确数的含义．能准确地表示一些量的数，叫做准确数，与实际接近但存在一定偏差的数，叫做近似数． 根据各个选项中的数据，可以判断是近似数还是准确数，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：选项A中的54.9万是近似数，故选项A不符合题意； 选项B中的33是准确数，故选项B符合题意； 选项C中的26是近似数，故选项C不符合题意； 选项D中的46秒09是近似数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）2024年3月14日（国际圆周率日），某国际数据机构公布最新的圆周率小数点后位数，已经计算到小数点后约105万亿位．据悉，这次计算历时75天，使用了36个固态硬盘，储存了大约100万数据．已知数据储存单位换算，，，，，那么与100万最接近的储存单位是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法与近似数；根据， 则100万可得最接近的存储单位． 【详解】解：， 所以100万； 故与100万最接近的储存单位是； 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）将精确到千位的近似数是（结果用科学记数法表示） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法与近似数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；先求出近似数，再利用科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有理数3.8963精确到百分位， ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据近似数的精确数位，四舍五入，可得答案． 【详解】解：结果精确到百分位：． 故答案为：． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）指出下列各近似值精确到哪一位． (1)56.3 (2)5.630 (3) (4)5.630万 (5)0.017 (6)3800． 【答案】(1)56.3精确到十分位； (2)5.630精确到千分位； (3)精确到万位； (4)5.630万精确到十位； (5)0.017精确到千分位； (6)3800精确到个位 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （1）所给数的数位最小到十分位，据此解答即可． （2）所给数的数位最小到千分位，据此解答即可． （3）所给数的数位最小到万位，据此解答即可． （4）所给数的数位最小到十位，据此解答即可． （5）所给数的数位最小到千分位，据此解答即可． （6）所给数的数位最小到个位，据此解答即可． 【详解】（1）解：56.3精确到十分位； （2）解：5.630精确到千分位； （3）解：精确到万位； （4）解：5.630万精确到十位； （5）解：0.017精确到千分位； （6）解：3800精确到个位． 【题型9 有理数的新定义运算】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）现定义两种同级运算“”“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（   ） A．39 B．90 C．12 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，定义新运算，先根据新定义将6和8进行新运算，同时计算括号内的，再将结果进行新运算即可． 【详解】原式 ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）定义新运算“”，规定，则的值为（      ） A． B． C．6 D．18 【答案】A 【分析】本题考查新定义，有理数的乘法运算，解答本题的关键是明确新定义和有理数乘法运算的计算方法．根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b规定．如：．则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，正确理解运算法则是解题的关键．根据新定义列出算式，按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意：． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖北随州·期中）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，例如：，．则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的比较大小及加法运算，新定义，掌握表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数是解题的关键．根据新定义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 5．（22-23七年级上·浙江台州·期中）定义：对于任意的有理数a，b， (1)探究性质： ①例：_________；_________；_________；________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律； (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值； ②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是　　． 【答案】(1)①；；；；②见解析，一般规律为 (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ， ， 故答案为：；；；； ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为； （2）解：① ； ②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉， 即， 代数式等于， 为偶数， 最小值， 故答案为：． 【题型10 数轴上的动点问题】 1．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示100的点与圆周上表示（    ）的点重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数轴，有理数的减法与除法，圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，滚动到100时，滚动了101个单位长度，用101除以4，余数即为重合点． 【详解】解：圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合， ， ， ∴数轴上表示100的点与圆周上表示1的点重合． 故选：B 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的数的运算．根据点在线段上和线段上以及的取值范围分别判断出的取值范围，即可求得的最大值和最小值，计算即可． 【详解】解：点在线段上， ， ； 点在线段上， ， ， ， 综上： ∴最大值为，最小值为， ∴， 故选：B． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）刻度尺在数轴上的位置摆放如图所示，刻度尺右端点B的刻度为“0”，刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合，现将刻度尺沿数轴向右移动5个单位，如图2，使刻度尺的左端点与数轴上表示的数1重合，则刻度尺的长度为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了数轴与刻度尺，根据刻度“”和“”分别与数轴上表示的数0和的点重合，可求出数轴上一个单位是，再根据向右平移5个单位得出点表示的数，就可求出刻度尺的长，解题的关键是求出一个单位长度代表多少厘米． 【详解】解：∵刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合， ∴数轴上一个单位长度为， 将该刻度尺沿数轴向右平移5个单位，如图2，使刻度尺的左端点A与数轴上表示的数1重合， 原点A表示的数是， 则点A到原点的距离为， 刻度尺长为， 故答案为：40． 4．（24-25六年级上·山东济宁·期中）若数轴上的点距离原点个单位长度，若一个点从点出发向右移动个单位长度，此时终点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的点所表示的数，根据数轴上的点距离原点个单位长度，可得点表示的数，再根据向右移动几个单位加几，向左移动几个单位减几．明确向右移动用加法，向左移动用减法是解题的关键． 【详解】解：∵点距离原点个单位长度， ∴点表示的数为或， 当点表示的数为时，一个点从点出发向右移动个单位长度，终点所表示的数是：； 当点表示的数为时，一个点从点出发向右移动个单位长度，终点所表示的数是：； 综上所述，此时终点所表示的数是或． 故答案为：或． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点． (1)若点到的距离为，点到的距离为． ①当时，求点所表示的数． ②当时，求点所表示的数． (2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数． 【答案】(1)①；②点所表示的数为或； (2)点所表示的数为或或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，理解数轴上表示数的特征是解答关键． （1）利用当时，点是的中点来求解；分两种情况：若在左侧，若在之间，分别进行计算求解； （2）利用，画出图形进行计算求解． 【详解】（1）解：①， 当时，点是的中点， 点所表示的数． ②当时， 若在左侧，， 点所表示的数 若在之间，， 点所表示的数 点所表示的数为或． （2）解：，， 点所表示的数 ，， 点所表示的数 ，， 点所表示的数 ，, 点所表示的数 点所表示的数为或或或． 【题型11 绝对值的几何意义】 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________． (2)数轴上表示和两点之间的距离为______．若表示一个有理数，且，则______． (3)利用数轴求出的最小值为_______，并写出此时可取哪些整数值______． 【答案】(1)4，3 (2)，6 (3)7；，，，0，1，2，3，4 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值等知识，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式，即可获得答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式，即可获得答案；根据的值，化简绝对值并进行运算，即可获得答案； （3）利用数轴的特点和绝对值的意义，即可获得答案． 【详解】（1）解：，， ∴数轴上表示1和5两点之间的距离是4，数轴上表示2和的两点之间的距离为3． 故答案为：4，3； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵表示一个有理数，且， ∴． 故答案为：，6； （3）解：根据题意，可知的几何意义为有理数表示的点到表示的点以及4表示的点的距离和， 当时，， ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 综上所述，的最小值为7； 此时，即，可取的整数值有，，，0，1，2，3，4． 故答案为：7；，，，0，1，2，3，4． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 【答案】(1)3 (2) (3)4 (4)或 (5)5， (6)3 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （3）根据题意化简绝对值，即可获得答案； （4）根据数轴上两点之间距离公式可知所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和，且当时，的最小值为，据此即可获得答案； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和，结合数轴及绝对值的性质，即可获得答案； （6）将原式整理为时，结合数轴确定、的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是． 故答案为：3； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为． 故答案为：； （3）当时，则． 故答案为：4； （4）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和， 当时，的最小值为， 所以时，有理数的取值范围是或． 故答案为：或； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和， 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为， 综上所述，当时，有最小值为5． 故答案为：5，； （6）由（5）可知，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 而， 即时，，， 所以的最大值为3． 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）探索研究： (1)比较下列各式的大小．（用“”、“ ”或“”连接） ①_____； ②______； ③_______． (2)观察、分析、归纳，并比较大小：　　．（填“”、“ ”、“”、“”或“”） (3)根据（2）中得出的结论解答下列问题： ①当时，则x的取值范围是______； ②如果，，求m的值． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②或 【分析】（1）先分别计算再比较大小即可； （2）根据提供的关系式得到规律即可； （3）①根据提供的关系式得到规律即可；②根据（1）中的结论分当为正数，为负数时和当为负数，为正数时两种情况分类讨论即可确定答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：，，； （2）根据题意得：， 故答案为：； （3）①当时，则的取值范围是， 故答案为：； ②由上题结论可知，因为，，，所以、异号． 当为正数，为负数时，，则，，或2； 当为负数，为正数时，，则，，或； 综上所述，为或． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是能够根据题意分类讨论解决问题，难度不大． 4．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值． (2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值． 【答案】(1) (2)a的最大值为7 【分析】（1）直接化简绝对值即可得到答案； （2）分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当时， ； 当时， 当时，； 当时，； ∴要使得无论p取何值都成立，a的最大值为7． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． 5．（21-22七年级上·河南商丘·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是 ___________； (2)①若，则x=___________； ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为 ___________； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和 ___________表示的点重合； (4)折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和 ___________表示的点重合； ②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是 ___________，点B表示的数是 ___________； 【拓展】 (5)若，则x=___________． 【答案】(1)6 (2)①1或，② (3) (4)①，②， (5)或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程或，求出x的值即可； ②根据绝对值的几何意义可知时，，求出符合条件的整数x即可； （3）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （4）①利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； ②设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； ③根据①②结合中点坐标公式可求， （5）根据绝对值的几何意义，分情况讨论即可． 【详解】（1）表示5和两点之间的距离是 ， 故答案为6； （2）①， 或， 解得或， 故答案为：1或； ②要使x所表示的点到表示和2的点的距离之和为5， ， 与2的距离是5， ， x是整数， x的值为，，，0，1，2， 所有符合条件的整数x的和为， 故答案为：； （3）1表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是0， 4表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （4）①3表示的点和表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合， 故答案为：； ②设A点表示的数是x，则B点表示的数是， 解得 ∴点A表示的数，点B表示的数是， 故答案为：，． （5） 则或或或 或不成立， 或 解得 或． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键． 过关检测 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列数轴中两点到原点距离相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 根据数轴上点到原点距离解答即可． 【详解】解：A. 两点到原点距离分别为，故两点到原点距离不相等，故不符合题意； B. 两点到原点距离分别为，故两点到原点距离相等，故符合题意； C.两点到原点距离分别为，故两点到原点距离不相等，故不符合题意； D.两点到原点距离分别为，故两点到原点距离不相等，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）以下是某一时刻我国四个城市的气温：哈尔滨，北京，杭州，海口，请问该时刻气温最高的城市是（   ） A．哈尔滨 B．北京 C．杭州 D．海口 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，比较即可得解，熟练掌握有理数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该时刻气温最高的城市是海口， 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据数轴分析出，再逐项进行判断即可．本题考查数轴、有理数大小比较，熟练掌握数轴的知识点是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知， ， A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项正确，符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，将70写成，继而即可求得答案，熟练掌握将70写成是解决此题的关键． 【详解】 ， ∴十进制数字70写为二进制数字1000110， ∴十进制数字70是二进制下的7位数， 故选：B． 5．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是（    ） A． B．3 C．4或 D．3或 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法运算，先求出的长，再由折叠的性质得到，再分当点在的右侧时，当点在的左侧时，两种情况分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B表示的数分别是，10， ∴， 由折叠可知， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 当点在的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 故选：C． 6．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）在，，，，，这六个数中，分数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，根据分数的定义即可得出答案，掌握分数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，，，，这六个数中，是分数的是：，，，共个， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】１ 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握相反数性质，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，几个非负数都为0，是解题关键． 直接利用两个互为相反数和为0列方程，绝对值的非负性质，非负数性质，得出a，b的值，进而代入得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 8．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）如果，，那么的值为 ． 【答案】/4和/和4 【分析】本题考查绝对值的意义和化简，有理数的加减法，代数式求值，注意要分类讨论． 根据绝对值的定义可得，，分别代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时， 当，时， 当，时， 当，时， 即的值为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 【答案】 / 105 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，要使两张卡片上的数字的商最小，在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的；要使3张卡片的积最大，要保证抽到两个负数和较大的正数． 【详解】解：抽到和2时，商最小，最小的商为：， 抽到，和时，积最大，最大的积为：， 故答案为：；105． 10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）为了让学生更好的掌握第二章有理数的运算知识，七年（1）班数学老师在班级里组织了一次知识竞赛，有10道选择题，每道题答对得5分，答错或不答扣1分． （1）小明答对了8道题，答错了2道题，他的总得分是 分； （2）若该班的学生中至少有4人的得分相同，则这个班级的学生至少有 人． 【答案】 38 34 【分析】本题考查有理数乘法运算及加减运算的实际应用，理解题意是解题的关键． （1）根据“正负分数的和等于总积分”列式求值； （2）根据题意先求出一共有种分数，再根据该班的学生中至少有4人的得分相同列式求解即可． 【详解】解：（1）（分）， 故答案为：； （2）最高得分为分，最低得分为分，一共有种分数， ∴参加竞赛的学生至少有（人）； 故答案为：． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． (1)如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点R表示原点并结合数轴即可得解； （2）由相反数的定义结合数轴得出点R表示的数为，点表示的数为，从而得出点Q表示的数为，即可得解． 【详解】（1）解：如果点R表示原点，点P表示的数是，点S表示的数是，点T表示的数是； （2）解：∵点R、T表示的数互为相反数，点R、T之间的距离为6， ∴点R表示的数为，点表示的数为， ∴点Q表示的数为， ∴点Q和点R到原点的距离的和． 12．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）把下列各数填写在相应的集合中． 6.5，，0，11，， (1)整数集合{                                      …}； (2)分数集合{                                      …}； (3)非正数集合{                                      …}； (4)正有理数集合{                                      …}． 【答案】(1)0，11， (2)6.5， (3)，0， (4)6.5，，11 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的相关概念和分类，是解答本题的关键． 根据有理数的分类对各数进行归类即可． 【详解】（1）整数集合{0，11，…}； （2）分数集合{6.5，…}； （3）非正数集合{，0，…}； （4）正有理数集合{6.5，，11…}． 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则． （1）先算乘方，再算除法，最后算加减，即可求解； （2）根据有理数的乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 14．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有20箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 箱数（箱） (1)最重的一箱比最轻的一箱重　　　千克； (2)求这20箱苹果的总质量； (3)若这批苹果的批发价是8.5元/千克，售价是15元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，则出售这20箱苹果能盈利多少元？ 【答案】(1) (2)这20箱苹果的总质量为201千克 (3)元 【分析】本题主要考查有理数的四则运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得：最重的一箱比最轻的一箱重的千克数，然后进行计算即可解答； （2）根据有理数的乘法，加法法则进行计算，即可解答； （3）根据总售价总进价，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： （千克）， ∴最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解： （千克）， ∴ （千克）， 答：这20箱苹果的总质量为203千克； （3）解： （元）， 答：出售这20箱苹果能盈利1005元． 15．（24-25七年级上·浙江温州·期中）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是______． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次），如：，请另写出一种符合要求的运算式子______． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数乘法法则找出符号相同，且绝对值最大的两个数，即与，使其乘积最大即可； （2）根据有理数除法法则找出符号相反，且绝对值最大和最小的两个数（除0外），即与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可． 【详解】（1）解：从中取出与这2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大， 即，最大值是8； （2）解：从中取出与这2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小， 即，最小值是； （3）解：． 16．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ， ； 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方乘方幂的形式． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式． ； ； （3）想一想，将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方幂的形式等于 ； 【灵活应用】 （4）算一算：． 【答案】（1）；4   （2）；   （3）  （4）162 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的乘方运算，有理数的混合运算等知识点， （1）根据题目给出的定义，进行计算即可； （2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可； （3）从（2）中总结归纳相关规律即可； （4）先将除方转化为乘方，再运用有理数的混合运算法则计算即可； 理解新定义，熟练掌握有理数的乘方运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）， ， 故答案为：，4； （2）， ， 故答案为：，； （3）a的圈n次方为：， 故答案为：； （4） ． 17．（24-25七年级上·浙江·期中）在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人在一条生产线上巡查了7次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录如下：3，，8，，7，▲，（单位：米）已知机器人第七次巡检结束时刚好回到起点． (1)第五次结束时机器人的位置在起点的左边还是右边？距离起点多远？ (2)路程记录中的数据“▲”是多少？ (3)机器人行驶速度为米/分，求第7次巡检结束的时刻（检查均无故障，不需停留维修）． 【答案】(1)在起点位置的右边，距离起点9米处 (2)“▲”为 (3)第7次巡检结束的时间是晚上点 【分析】（1）由，作答即可； （2）由题意知，，进而可得； （3）由题意知，（米），则（分），（小时），（时），然后作答即可． 【详解】（1）解：∵（米）； ∴第五次结束时机器人的位置在起点位置的右边9米处． （2）解：由题意知，， ∴， ∴“▲”是． （3）解：（米）， ∴（分）， ∴（小时）， ∴（时）， ∴第7次巡检结束的时间是晚上点（）． 【点睛】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减混合运算的应用，绝对值，有理数的除法应用．熟练掌握正负数的实际应用，有理数的加减混合运算的应用，绝对值，有理数的除法应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$